强化第五讲：多元函数微分学与二重积分

强化第五讲：第五单元模拟试卷

一单项选择题（每小题4分，共24分） 1设z?A

f(xy,x?y)，则

22''?z?x=（C）

'''xf1?yf2

B

xf1?2yf2 C yf1?2xf2

'D

2xf1?2yf2

''2设z?z(x,y)由方程1z?1x?1y所确定，则x2?z?y2?x?z?y=（A）

2z2A 0 B 3若

21ln|z|222(xln|x|?yln|y|) C z D

f(x,y)?2x?ax?xy?2y2在点(1,-1)处取得极值，则a=（D）

A 3 B 4 C 5 D -5

14若I???(1?x)d?，其中D:|x|?1,|y|?1，I1D12???xyd?其中DD22:x?y?1，

22则I1与I2的值为（B） A

I1?0,I2?0 B I1?0,I2?0 C I1?0,I2?0 D I1?0,I2?02

5设D:x2?y2?R

A 4??(2x?D1,D1为D的第一象限部分，则??(2x?Dy)dxdy=（D）

y)dxdy

B 2??(2x?y)dxdyD1 C 2??dxdy

D1D 0

6设D?{(x,y)|x2?y2?a2 A ?0?,a?0,y?0},则??(x?y)dxdy22D=（B）

d??rdr B

0a2??0d??rdr C

0a?3?2??2d??a0rdr D

3?2?0d??rdr

0a3二填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7若z?y，则

x?z?x2??z?y=ylny?xyxx?1

8设z?ln(x?y)，则dz2x?1y?0=dx

2229设z?z(x,y)由方程xz?2yz?xy?0所确定，则dz=

?2xz?y22x?4yz2dx?4yz?2xyx?4yz222dy

11x10交换二次积分次序?0dx?f(x,y)dy= 11若f(x,?y)??f(x,y)，且D关于X轴对称，f(x,y)在D上连续，则??f(x,y)dxdy=

D 0

12将?dx?011?x0f(x,y)dy化成极坐标形式的二次积分为

1??20d??sin??cos?0rf(rcos?,rsin?)dr

三计算题（本大题共8题，每小题8分，满分64分） 13求z?(1?xy)y的一阶偏导数 答案：

?z?x?y(1?xy)2y?1，

?z?y?(1?xy)[ln(1?xy)?yxy1?xy]

（求

?z?y时要用到两边取自然对数的方法）

14设u?f(xy,)，其中f(v,w)有一阶连续偏导数，求du yz?u?x?u?y?u?z1y1z提示：du?dx?dy?dz

?u?x?u?y?u?z?f1??1y?f2??0?f1?

?f1??(?xy)?f2??2yz??xyyz22f1??1zf2?

?f1??0?f2??(?)??2'f2?

答(du?1yfdx?(11f2z'?xy2f2)dy?yz2f2dz)

2'15设z?z(x,y)由方程z?x?ez?y所确定，求

?z?x?y

提示：本题是隐函数求混合偏导数的问题，用隐函数求偏导的公式 令F(x,y,z)?z?x?e?z?xFxFz1ez?yz?y?Fx?1,Fy??e??FyFz?eez?yz?y,Fz?1?ez?y

?z?y ????1，

?z?yz?y?1（看似这里不需要求，而下面的过

程中可以看到必须要算出

?z?x?y2?z?y）

1(ez?y???ye1(1z?y?1z?y)??ee?1)?1)2?ez?y?(?z?y?1)z?y ?????e(ez?yz?y(ez?y?1)2?e?(z?y?1

e(ez?yz?y?1)3答(

?1)3)

16求二元函数f(x,y)?x3?4x2?2xy?y2?1的极值 提示：

?f?x?3x?8x?2y，

2?f?y?2x?2y

令

?f?x?0，

?f?y?0得驻点(0,0),(2,2)

?f?x22?6x?8，

?f?x?y2?2，

?f?y22??2

驻点 （0，0） （2，2） A -8 4 B 2 2 C -2 -2 B2 -AC -12 12 判定 f(0,0)=1是极大值 f(2,2)=1非极值 (f(0,0)?1)

（建议大家学会列表法解有关极值、拐点的题目） 17计算I???ydxdy其中D是由直线y=x,y=x-1,y=0,y=1所围成

D提示：选择Y-型较好 I? (I=

12?10dy?y?1yydx?....?..12

)

18计算I???eD?y2dxdy其中D是由y=x,y=1及x=0所围成的闭区域

提示：本题只能选择Y-型 I?12?10dy?e0y?y211dx?....?..(1?)

2e(I?(1?1eD))

2219计算I=??ln(1?x?y)dxdy，其中D由x2?y2?1及坐标轴所围成第一象限内的闭区域

提示：极坐标变换???x?rcos??y?rsin?2

I???201d??rln(1?r)dr?021?2?10rln(1?r)dr2102??ln(1?r4?0)drr22??42[rln(1?r)2??10rd(ln(1?r))]22 ??4(ln2?(ln2??1?r01dr)2dr)2

?4?1r?1?11?r220?......??4(2ln2?1) (

?4(2ln2?1))

20、确定常数A，使??Asin(x?y)dxdy?1，其中D是由y=x,y=2x,x=

D?2所围成的闭区域

四、证明题（每小题7分，共14分）

2221设f(x,y)?Ax?2Bxy?Cy?2Dx?2Ey?F,且A?0,B?AC?0，证明，存在一

点(x0,y0)使得f(x0,y0)为极小值 (x0?BE?CDAC?B2,y0?BD?AEAC?B2)

BE?CD?x?fx?2Ax?2By?2D?0?2?AC?B证明： ???BD?AEfy?2Bx?2Cy?2E?0??y?2AC?B? fxx?2A,fxy?2B,fyy?2C

因为??(2B)2?2A?2C?4(B2?AC)?0，所以有极值

又2A?0，所以为极小值

x?yx?y222设D?{(x,y)|x2?y2?1,x?y?1}，证明??Ddxdy?2?2?2

?x?rcos?1证明：极坐标变换?代入x?y?1得r?

sin??cos?y?rsin?? 所以??Ddxdy=?22?122?0d?x?y2?sin??cos?x?y??1rcos??rsin?r2?rdr?...?2??2

五：综合题（每小题8分，共24分）

?z?x?y223设z?f(x?y,e)，其中f有二阶连续偏导数，求

22xy

解：

?z?x2xyxy?f1??2x?f2??ye?2xf1???yef2?

?z?x?y???yxy(2xf1???yef2?)???(?2y)?f12???xexy]?[(exy?y?xexy)f2??yexy(f21???(?2y)?f22???xexy)] ?2x[f11xy???2exy(x2?y2)f12???xye?e(1?xy)f2??4xyf112xy??f22???f21??） （注：f1224若D是以（0，0），（1，0），（0，1）为顶点的三角形区域，求??(1?x?y)dxdy

D解：??(1?x?y)dxdy=?dx?011?x0(1?x?y)dy?...16

D（

16）

25设在极坐标系的积分区域D：r?a,r?acos?,0????2(a?0)，计算I???rdrd?

D2解：I???rdrd?

D2???20d?3?a?acos?rdr??302?20(r3aacos?3)d??13?a3?20(1?cos?)d?3?13?

(3??4)a[?|02??2cos?d?]?13a(3?2?23)?a318（I?a318(3??4)

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