数学(基础模块)下册电子教案

数学 基础模块 中职

【课题】 6．1 数列的概念

【教学目标】

知识目标：

（1）了解数列的有关概念；

（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式． 能力目标：

通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力． 【教学重点】

利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项． 【教学难点】

根据数列的前若干项写出它的一个通项公式． 【教学设计】

通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．

从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．

例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．

例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受. 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

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教 过

学 程

教师 行为 播放 (1 ) 课件

学生 行为 观看 课件

教学 意图 从实 例出 发使

时 间

将正整数从小到大排成一列数为 1,2,3,4,5, . 将 2 的正整数指数幂从小到大排成一列数为2, 2 , 2 , 2 , 2 , .2 3 4 5

质疑 (2 )

思考

学生 自然 的走 向知 识点

当 n 从小到大依次取正整数时， cos n 的值排成一列数为 -1,1,-1,1, . (3 )

取无理数 的近似值(四舍五入法) ,依照有效数字的个 数，排成一列数为 3,3.1,3.14,3.141,3.1416, . (4) 自我 引导 分析 分析

5

*动脑思考 探索新知 【新知识】 象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列数叫做数 列.数列中的每一个数叫做数列的项.从开始的项起，按照自 左至右的排序， 各项按照其位置依次叫做这个数列的第 1 项 (或 首项) ,第 2 项，第 3 项， ,第 n 项， ,其中反映各项在 数列中位置的数字 1,2,3, ,n,分别叫做对应的项的项数. 只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做 无穷数列. 【小提示】 数列的“项”

与这一项的“项数”是两个不同的概念.如 数列(2)中，第 3 项为 23 ,这一项的项数为 3. 【想一想】 上面的 4 个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列? 【新知识】 由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对 仔细 分析 理解 引导 总结 归纳 思考 带领 学生 分析

-2-

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教 过

学 程

教师 行为 讲解 关键 词语

学生 行为 记忆

教学 意图 式启 发学 生得 出结 果

时 间

应，所以无穷数列的一般形式可以写作

a1 , a2 , a3 , , an, . (n N ) 简记作{ an }.其中，下角码中的数为项数，a1 表示第 1 项，a2 表示第 2 项， .当 n 由小至大依次取正整数值时， an 依次可 以表示数列中的各项，因此，通常把第 n 项 an 叫做数列{ an } 的通项或一般项. *运用知识 强化练习 1.说出生活中的一个数列实例. 2.数列“1,2,3,4,5”与数列“5 ,4, 3,2,1 ” 是否为同一个数列？ 3.设数列 {an } 为“-5,-3,-1,1,3, 5, ” ,指出其中 a3 、

10

及时 了解 学生 提问 巡视 指导 思考 口答 知识 掌握 得情 况 15

a6 各是什么数？*创设情境 兴趣导入 【观察】 6.1.1 中的数列(1)中，各项是从小到大依次排列出的 正整数.a1 1 , a2 2 , a3 3 , ,

质疑

思考

引导 启发 引导 分析 参与 分析 学生 思考

可以看到，每一项与这项的项数恰好相同.这个规律可以用an n (n N* )

表示.利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11 11 , a20 20 .

6.1.1 中的数列(2)中，各项是从小到大顺次排列出的 2 的正整数指数幂.a1 2 , a2 22 , a3 23 , ,

-3-

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教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

可以看到，各项的底都是 2,每一项的指数恰好是这项的项 数.这个规律可以用an 2n (n N* )

25 表示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如a11 211 , a20 220 .

*动脑思考 探索新知 【新知识】 一个数列的第 n 项 an ,如果能够用关于项数 n 的一个式 子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 仔细 数列(1)的通项公式为 an n ,可以将数列(1)记为数 列{n};数列(2)的通项公式为 an 2n ,可以将数列(2)记 为数列 {2 } . *巩固知识 典型例题 例1 设数列{ an }的通项公式为an 1 , 2nn1

总结 归纳

思考 归纳

带领 学生 总结

理解 记忆

分析 讲解 关键 词语

35

说明 强调

观察

写出数列的前 5 项. 分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需

引领

思考

将通项公式中的 n 换成该项的项数，并计算出结果. 解a5 a1 1 1 1 1 1 1 1 1 ;a2 2 ;a3 3 ;a4 4

; 1 4 8 16 讲解 2 2 2 2 2

主动 求解 通过 例题 进一 步领

1 1 . 5 32 2

说明

例 2 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项 公式. (1)5,10,15,20 , ; (2)

1 1 1 1 , , , , ; 2 4 6 8 引领

会 观察

-4-

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教 过

学 程

教师 行为 分析

学生 行为

教学 意图

时 间

(3) 1,1, 1,1, . 分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式 子表示这种关系. 解 (1)数列的前 4 项与其项数的关系如下表： 项数 n 项 an 关系 1 5 2 10 3 15 4 20

5 5 1

10 5 2 15 5 3 20 5 4

由此得到，该数列的一个通项公式为an 5n .

(2)数列前 4 项与其项数的关系如下表： 序号 项 an 11 2

注意 观察 41 8 1 1 8 2 4

21 4

31 6

学生 是否 理解 知识 点

关系

1 1 2 2 1

1 1 4 2 2

1 1 6 2 3

由此得到，该数列的一个通项公式为an 1 . 2n

(3)数列前 4 项与其项数的关系如下表： 序号 项 an 关系 1 1( 1)1

2 1( 1) 2

3 1( 1)3

4 1( 1) 4

由此得到，该数列的一个通项公式为an ( 1)n .

强调 含义

思考 求解

-5-

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教 过 【注意】

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 反复 强调

时 间

由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一 的.例如， an ( 1)n 与 an cos n 都是例 2(3)中数列“ 1, 1, 1,1, . ”的通项公式. 【知识巩固】 例 3 判断 16 和 45 是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指 出是第几项. 思考 分析 如果数 a 是数列中的第 k 项，那么 k 必须是正整数， 并且 a 3k 1 . 解 数列的通项公式为 an 3n 1 . 将 16 代入数列的通项公式有 求解 说明 领会

16 3n 1 ,解得n 5 N* .

所以，16 是数列 {3n 1} 中的第 5 项. 将 45 代入数列的通项公式有

45 3n 1 ,解得44 n N* , 3

50

所以，45 不是数列 {3n 1} 中的项. *运用知识 强化练习 1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前 4 项： (1) a n 3 2 ;n

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

(2) a n ( 1) n .n

2. 根据下列各无穷数列的前 4 项,写出数列的一个通项公 式： (1) 1,1,3,5, ;

提问 巡视

动手 求解

自我 发现 归纳

指导 1 1 1 1 (2) , , , , ; 3 6 9 12-6-

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【教师教学后记】

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【课题】 6．2 等差数列（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解等差数列的定义； （2）理解等差数列通项公式． 能力目标：

通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】

等差数列的通项公式． 【教学难点】

等差数列通项公式的推导． 【教学设计】

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本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定义、等差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特点:an 1 an d(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.

教材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳方法是不完全归纳法.因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列的通项公式及其中任一项的巩固性题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四个量：a1,d,n,an,只要知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量． 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

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教 过

学 程

教师 行为 总结 归纳

学生 行为 思考

教学 意图 带领 学生 分析

时 间

如果一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的差都等 于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列.这个常数叫做 等差数列的公差，一般用字母 d 表示. 由 定 义 知 ， 若 数 列 a n 为 等 差 数 列 ， d 为 公 差 ， 则an 1 an d ,即

仔细 分析 讲解 关键

理解

记忆

an 1 an d

(6.1)

词语

10 *巩固知识 典型例题 例1 已知等差数列的首项为 12, 公差为 5, 试写出这个 说明 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领 思考 会等 差数 讲解 说明 主动 求解 列通 项公 式 45

数列的第 2 项到第 5 项. 解 由于 a1 12, d 5 ,因此

a2 a1 d 12 5 7 ;a3 a2 d 7 5 2 ; a4 a3 d 2 5 3; a5 a 4 d 3 5 8.*运用知识 强化练习 1. 已知 a n 为等差数列， a5 8 ,公差 d 2 ,试写出

及时 了解 提问 巡视 动手 求解 学生 知识 掌握 得情 况 25

这个数列的第 8 项 a8 . 2. 写出等差数列 11,8,5,2, 的第 10 项.

指导

*创设情境 兴趣导入 你能很快地写出例 1 中数列的第 101 项吗? 质疑 思考

从实 际事 例使

- 10 -

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教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 学生

时 间

显然，依照公式(6.1)写出数列的第 101 项,是比较麻烦 的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的 第 101 项. 引导 分析 参与 分析

自然 的走 向知 识点

30

*动脑思考 探索新知 设等差数列 an 的公差为 d ,则 总结 归纳 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 仔细 理解 记忆 得到 等差 数列 通项 公式 35

a1 a1 ,

a2 a1 d ,

a3 a2 d a1 d d a

1 2d , 分析 a4 a3 d a1 2d d a1 3d , 讲解... ... 依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式an a1 n 1 d .

关键 词语 (6.2)

知道了等差数列 an 中的 a1 和 d ,利用公式(6.2) ,可以 直接计算出数列的任意一项. 在例1的等差数列 {an } 中， a1 12 , d 5 ,所以数列的 通项公式为an 12 (n 1)( 5) 17 5n ,

引导 数列的第 101 项为a101 17 5 101 488 .

启发 学生 思考 求解

【想一想】 等差数列的通项公式中,共有四个量： a n 、 a1 、 n 和 d , 只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？- 11 -

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教 过 *巩固知识 典型例题 例 2 求等差数列

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

说明 . 1,5,11,17, .. 强调

观察

通过 例题 进一 步领

的第 50 项. 解 式为 由于 a1 1, d a2 a1 5 1 6, 所以通项公 引领 思考

会

an a1 (n 1)d 1 (n 1) 6 6n 7,

讲解 说明

主动 求解 注意 观察

即 故

a n 6n 7.

学生 是否

a50 6 50 7 293 .例3 解 在等差数列 a n 中, a100 48, 公差 d 由于公差 d

引领

观察

理解 知识 点 45

1 , 求首项 a1. 3

分析

1 , 故设等差数列的通项公式为 3an a1 (n 1) 1 3

强调 含义

思考 求解

由于 a100 48 ,故1 48 a1 (100 1) , 3

反复 强调

解得a1 15.

说明

领会

【小提示】 本题目初看是知道 2 个条件， 实际上是 3 个条件： 100 , nan 48, d

1 . 3

思考 求解

例4

小明、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好

构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为 120 岁,爷爷的年龄 比小明年龄的 4 倍还多 5 岁,求他们祖孙三人的年龄.- 12 -

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教 过 分析

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间 50

知道三个数构成等差数列，并且知道这三个数的

和,可以将这三个数设为 a d , a , a d ,这样可以方便地求 出 a ,从而解决问题. 解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 a d , a , a d , 其中 d 为公差 则

a d a a d 120 , 4 a d 5 a d解得

a 40, d 25从而

a d 15, a d 65.答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为 15 岁、40 岁和 65 岁. 【注意】 将构成等差数列的三个数设为 a d , a , a d ,是经常使 用的方法. *运用知识 强化练习 练习 6.2.2 1.求等差数列2 8 ,1, , 的通项公式与第 15 项. 5 5

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

2.在等差数列 a n 中， a5 0

, a10 10 ,求 a1 与公差 d . 3.在等差数列 a n 中， a5 3 , a9 15 ,判断-48 是 否为数列中的项，如果是,请指出是第几项.

提问 巡视 指导

动手 求解

自我 发现 归纳

60 *理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等差数列的通项公式是什么？ 质疑 小组 讨论 及时 了解 学生

- 13 -

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教 过 结论： 等差数列的通项公式

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 知识

时 间

回答 归纳

掌握 情况

an a1 n 1 d .

强调

理解

以小组 讨论师

强化

生共同 归纳的 形式强 调重点 突破难 点

70

*归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？ 你的学习效果如何？ 写出等差数列7 1 3 , ,1, , 5 5 5 的通项公式，并求出数列的第 11 项.

引导

回忆

检验 学生 学习 效果 提问 反思

培养 学生

巡视 指导

动手 求解

总结 反思 学习 过程 的能 力 80

*继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题 6.2(必做) ;学习指导 6.3(选 做) (3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例 90 说明 记录 分层 次要 求

- 14 -

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【教师教学后记】

【课题】 6．3 等比数列（一）

【教学目标】

知识目标：

（1）理解等比数列的定义； （2）理解等比数列通项公式． 能力目标：

通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力． 【教学重点】

等比数列的通项公式． 【教学难点】

等比数列通项公式的推导．

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【教学设计】

本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．

等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:

an 1

q(常数). an

例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：a1，q,

n, an,

只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.

从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是

a

,a,aq比较好,因为这q

样设了以后,这三个数的积正好等于a,很容易将a求出. 【教学备品】

教学课件． 【课时安排】

2课时．(90分钟) 【教学过程】

3

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教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

不难发现，从第 2 项开始，数列中的各项都是其前一项的 1.1 倍， 即从第 2 项开始， 每一项与它的前一项的比都等于 1.1. *动脑思考 探索新知 【新知识】 如果一个数列从第 2 项开始，每一项与它前一项的比都等 于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做这 个等比数列的公比，一般用字母 q 来表示. 由定义知，若 a n 为等比数列，q 为公比，则 a1 与 q 均不a 为零，且有 n 1 q ,即 an

引导 分析

自我 分析 5

总结 归纳

思考

带领 学生 分析

仔细 分析 讲解 关键 (6.5) 词语

理解

引导 记忆 式启 发学 生得 出结 果 10

an 1 an q .

*巩固知识 典型例题 例1a5 .

在等比数列 {an } 中，a1 5 ,q 3 , a2 、a3 、a4 、 求

说明 强调

观察

通过 例题 进一 步领

解

引领

思考

a2 a1 q 5 3 15, a3 a2 q 15 3 45, a4 a3 q 45 3 135, a5 a4 q 135 3 405.【试一试】 你能很快地写出这个数列的第9项吗？ 讲解 说明 主动 求解

会

15

*运用知识 强化练习 练习 6.3.1 1.在等比数列 a n 中， a 3 6 , q 2 ,试写出 a4 、 提问 动手 及时 了解 学生

- 17 -

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教 过a6 .

学 程

教师

行为 巡视 指导

学生 行为 求解

教学 意图 知识 掌握 得情 况

时 间

2.写出等比数列 3, 6,12, 24, 的第5项与第 6 项.

25

*创设情境 兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ 质疑 思考 学生 自然 引导 分析 参与 分析 的走 向知 识点 *动脑思考 探索新知 与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关 系，分析、探求规律. 设等比数列 a n 的公比为 q,则 总结 归纳 思考 归纳 带领 学生 总结 问题 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 得到 等差 数列 通项 公式 35 30

a2 a1 q, a3 a2 q a1 q q a1 q 2 , a4 a3 q a1 q 2 q a1 q 3 , 【说明】a1 a1 1 a1 q 0

依此类推，得到等比数列的通项公式：

(6.6)

知道了等比数列 an 中的 a1 和 q ,利用公式(6.6) ,可以 直接计算出数列的任意一项. 【想一想】 等比数列的通项公式中,共有四个量： a n 、 a1 、 n 和 q , 只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针 对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？- 18 -

引导 启发 学生 思考 求解

数学 基础模块 中职

教 过

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图

时 间

*巩固知识 典型例题 说明 例 2 求等比数列 强调 观察 通过 例题 进一 步领 引领1 a1 1 , q , 2

1 1 1 1, , , , 2 4 8的第 10 项. 解 由于 思考

会

故，数列的通项公式为

讲解 说明

主动 求解

1 an a1 q n 1 1 2

n 1

1 1 ( 1) n 1 2

n 1

( 1) n

1 , 2n 1

所以a10 ( 1)10 1 210 1

1 . 512

1 例 3 在等比数列 a n 中， a5 1 , a8 ,求 a13 . 8

45

解

由 a5 1, a8 有

1 8

1 a1 q 4 ,

(1) 引领 (2) 分析 观察 注意 观察 学生 强调 含义 思考 求解 是否 理解 知识 说明 领会 点

1 a1 q 7 , 8(2)式的两边分别除以(1)式的两边,得

1 q3 , 8由此得

q 1 将 q 代人(1) ,得 2

1 . 2

a1 2 4 ,所以，数列的通项公式为 思考 反复 强调- 19 -

数学 基础模块 中职

教 过

学 程1 an 24 ( )n 1 . 2

教师 行为

学生 行为 求解

教学 意图

时 间

故

1 1 a13 a1 q 2 2 8 . 256 2 12 4

12

【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究 等比数列问题的常用方法. 【想一想】 在等比数列 a n 中， a7 比较简单的方法？ 【知识巩固】 例 4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数 量恰好组成一个等比数列.已知他们三人一共钓了 14 条鱼， 而

每个人钓鱼数量的积为 64. 并且知道，小强钓的鱼最多， 小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？ 分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的1 1 , q .求 a3 时，你有没有 9 3

积,可以将这三个数设为 而解决问题. 解

a 引领 , a, aq ,这样可以方便地求出 a ,从 q 分析

观察

设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为

a , a, aq .则 强调 q含义

思考 求解 注意 观察 学生

a q a aq 14, a a aq 64. q 解得

a 4, a 4, 1 或 q 2, q 2 . - 20 -

是否 理解

数学 基础模块 中职

教 过 当q 2时

学 程

教师 行为

学生 行为

教学 意图 知识 点

时 间

a 4 2, aq 4 2 8, q 2此时三个人钓鱼的条数分别为 2、4、8. 当q

50

1 时 2

a 4 1 8, aq 4 2, q 1 2 2此时三个人钓鱼的条数分别为 8、4、2. 由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了 2 条 鱼，小刚钓了 4 条鱼，小强钓了 8 条鱼. 【注意】

a 将构成等比数列的三个数设为 , a, aq ,是经常使用的方 说明 q法. *运用知识 强化练习 1.求等比数列

领会 思考

反复 强调

2 ,2,6, .的通项公式与第 7 项. 31 , a5 5 , 判断 125 是否 25

启发 引导

思考 了解

可以 交给 学生

2.在等比数列 a n 中， a2

提问 巡视 指导

动手 求解

为数列中的项，如果是，请指出是第几项.

自我 发现 归纳 60

*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题： 等比数列的通项公式是什么 结论： 归纳n 1

质疑 回答

及时 了解 学生 知识 理解 掌握 情况 强化 70

a n a1 q

.

强调

- 21 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/je6e.html