2020年枣庄市山亭区中考数学一模试卷 (含答案解析)

2020年枣庄市山亭区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1.?2

3

的相反数是()

A. ?2

3B. 3

2

C. 2

3

D. ?3

2

2.下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是()

A. 等边三角形

B. 平行四边形

C. 圆

D. 矩形

3.如图，已知a//b，小华把三角板的直角顶点放在直线a上．若∠1=40°，则∠2的度数为()

A. 100°

B. 110°

C. 120°

D. 130°

4.如图所示，有理数a、b在数轴上的位置如图，则下列说法错误的是()

A. ?a+b<0

B. ?b?a>0

C. ab<0

D. b?a>0

5.某校有35名同学参加眉山市的三苏文化知识竞赛，预赛分数各不相同，取前18名同学参加决

赛.其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，只需要知道这35名同学分数的()

A. 众数

B. 中位数

C. 平均数

D. 最高分与自己成绩的差

6.截至2014度，我国人口已超过13亿人．数据“13亿”用科学记数可表示为()

A. 1.3×108

B. 13×108

C. 13×109

D. 1.3×109

7.如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么B(?3,2)

的对应点B′的坐标是()

A. (2,3)

B. (3,2)

C. (2,?3)

D. (3,?2)

8.如图，在正方形网格的格点(即最小正方形的顶点)中找一点C，使得△ABC是

等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有()个．

A. 7个

B. 8个

C. 9个

D. 10个

9.在平面直角坐标系中，点A(3,?2)所在的象限是()

A. 一

B. 二

C. 三

D. 四

10.如图，在?ABCD中，已知AD=15cm，AB=10cm，AE平分∠BAD交

BC于点E，则CE长是()

A. 8cm

B. 5cm

C. 9cm

D. 4cm

11.如图，菱形ABCD的两个顶点A，C在反比例函数y=k

的图象上，

x

对角线AC，BD的交点恰好是坐标原点O，已知B(?1,1)，∠ABC=

120°，则k的值是()

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

12.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(?1,3)，与x轴的交点A

在点(?3,0)和(?2,0)之间，以下结论：①b2?4ac=0②a+b+c=

0③2a?b=0④c?a=3，其中正确的有()个．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.2sin30°+(π?3.14)0+(?1)2018=______．

14.若关于x的一元二次方程a2x2+(2a?1)x+1=0有两个实数根，则a的取值范围是______．

15.某商品的进价为m元，提价a%后进行销售，一段时间后在现有售价下降低b%进行促销，则促

销价是______元．(用代数式表示)

16.如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位

似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为(?4,4)，(2,1)，则位似中心的坐标为____________．

17.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5cm，AC=3cm，将△ABC

绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A1B1C的位置，则线段AB扫

过区域(图中阴影部分)的面积为______ cm2．

18.若抛物线y=mx2?4mx+c与x轴交于两点，其中一个交点是

(?1,0)，则另一个交点的坐标是______．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分）

19.先化简，再求值：x2?9

2x2+6x ÷(x?6x?9

x

)，其中x的值从不等式组{

3x>3

5?x

2

?1≥0的整数解中选取．

20.某市4所大学(用A、B、C、D表示)各组织部分学生参加“汉语桥”大赛，各学校组织的学生

人数绘制成的条形统计图和扇形统计图如图所示．

请根据统计图回答下列问题：

(1)将条形统计图补充完整；扇形统计图中C代表的扇形的圆心角为_________度；

(2)赛后，大赛组织方从参赛的学生中挑选出2名学生前往西藏的日噶则、那区、山南3个地区

(分别用R、N、S表示)宣传汉语，每名学生各自随机选择了一个地区进行宣传工作，请用画树状图或列表的方法求出两人恰好都选择了同一地区的概率．

21.在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE.若AB=AE，

求证：∠DAE=∠D．

22.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点

D，AE与过点D的切线互相垂直，垂足为E．

(1)求证：AD平分∠BAE；

(2)若CD=DE，求sin∠BAC的值．

23.已知甲、乙两种商品的进价和售价如表所示：

甲乙

进价(元/价)1535

售价(元/价)2045

(Ⅰ)商场购进甲、乙两种商品共180件，两种商品很快销售完，并获得利润1300元，求商场甲、乙两种商品各购进了多少件？(利润=售价?进价)

(Ⅱ)商场计划再次购进甲、乙两种商品共180件．设计划购进甲商品x件，计划销售完本次两种商品共获得利润y元．

①列出y与x之间的函数关系式；

②若商场计划购进的乙商品数不超过甲商品数的2倍，求当x取何值时，可使商场本次计划销

售所获得的利润最大？

(k>0)的图象交于A、B两点，过点A 24.如图所示，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=k

x

作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为2．

(1)求A、B两点的坐标及k的值；

(2)x轴上是否存在一点P，使△ABP为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由．

25.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(?1,0)、B两点、与y轴交于点C(0,?3)，这条抛物

线的顶点M．

(1)求这条抛物线的解析式；

(2)P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q.若点P在线段BM上运动(点P不与点

B、M重合)，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S.求S与t之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；

(3)在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案与解析】

1.答案：C

解析：

本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．

解：?23的相反数是2

3，

故选：C ． 2.答案：B

解析：解：A 、不是中心对称图形，是轴对称图形；故A 错误；

B 、是中心对称图形，不是轴对称图形；故B 正确；

C 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故C 错误；

D 、是中心对称图形，也是轴对称图形；故D 错误；

故选：B ．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.答案：D

解析：解：∵∠1+∠3=90°，

∴∠3=90°?40°=50°，

∵a//b ，

∴∠2+∠3=180°．

∴∠2=180°?50°=130°．

故选：D．

先根据互余计算出∠3=90°?40°=50°，再根据平行线的性质由a//b得到∠2=180°?∠3=130°．本题考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．

4.答案：D

解析：

本题考查了有理数的大小比较，利用数轴确定a、b的大小以及|a|与|b|的大小是解题关键．

根据数轴上点的位置关系，可得a、b的大小，进而根据有理数加法的法则即可判定A，根据有理数的减法，可判断B；根据有理数的乘法，可判断C，根据有理数的减法，可判断D．

解：由数轴上点的位置关系，得a>0>b，|a|<|b|．

A.，说法正确，本选项错误；

B.，说法正确，本选项错误；

C.ab<0，说法正确，本选项错误；

D.b?a<0，D选项说法错误，本选项正确；

故选D．

5.答案：B

解析：

本题考查了统计量的选择，以及中位数意义，解题的关键是正确的求出这组数据的中位数.由于比赛取前18名参加决赛，共有35名选手参加，根据中位数的意义分析即可．

解：35个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有18个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．

故选B．

6.答案：D

解析：

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．由科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数?10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

13亿=1300000000=1.3×109．

故选D．

7.答案：A

解析：解：如图，过B作BC⊥x轴于C，过B′作B′D⊥x轴于D，则∠OCB=

∠B′DO=90°，

由旋转可得，BO=OB′，∠BOB′=90°，

∴∠BOC+∠B′OD=90°=∠BOC+∠OBC，

∴∠OBC=∠B′OD，

∴△BOC≌△OB′D，

∴BC=OD，CO=DB′，

又∵B(?3,2)，

∴BC=OD=2，CO=DB′=3，

∴B′(2,3)，

故选：A．

作辅助线构造全等三角形，根据旋转的性质和点B(?3,2)可以求得点B′的坐标．

本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质以及点的坐标的运用，解答时证明三角形全等是关键．

8.答案：C

解析：

此题考查了等腰三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．

首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答

案．

解：如图，

∵AB=√12+22=√5，

∴①若AB=BC，则符合要求的有：C1，C2，C3，C4共4个点；

②若AB=AC，则符合要求的有：C5，C6，C7，C8，C9共5个点；

若AC=BC，则不存在这样格点．

∴这样的C点有9个．

故选C．

9.答案：D

解析：

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特征是解决本题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(?,+)；第三象限(?,?)；第四象限(+,?).根据各象限内点的坐标特征解答即可．

解：点A(3,?2)所在的象限是第四象限．

故选D．

10.答案：B

解析：

此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB=BE是解题关键．

直接利用平行四边形的性质得出AD=BC=15cm，AD//BC，进而结合角平分线的定义得出∠EAB=∠AEB，进而得出AB=BE，求出EC的长即可．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC=15cm，AD//BC，

∵AE平分∠BAD交BC于点E，

∴∠DAE=∠EAB，

∵AD//BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∴∠EAB=∠AEB，

∴AB=BE=10cm，

∴EC=AB?BE=15?10=5(cm)．

故选B．

11.答案：C

解析：解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=AD，AC⊥BD，

∵∠ABC=120°，

∴∠BAD=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∵点B(?1,1)，

∴OB=√2，

∴AO=OB

=√6，

tan30°

∵直线BD的解析式为y=?x，

∴直线AD的解析式为y=x，

∵OA=√6，

∴点A的坐标为(√3,√3)，

∵点A在反比例函数y=k

的图象上，

x

∴k=√3×√3=3，

故选：C．

根据题意可以求得点A的坐标，从而可以求得k的值．

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

12.答案：B

解析：解：①由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

故△=b2?4ac>0，故①错误；

②(?2,0)关于直线x=?1的对称点为(0,0)，

(?3,0)关于直线x=?1的对称点为(1,0)，

∴令x=1，y=a?b+c<0，故②错误；

=?1，

③由对称轴可知：?b

2a

∴2a?b=0，故③正确；

④令x=?1，y=a?b+c=3，

∴a?2a+c=3，

即c?a=3，故④正确；

其中正确的有③④两个．

故选：B．

根据二次函数图象与性质即可求出答案．

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

13.答案：3

+1+1

解析：解：原式=2×1

2

=3．

故答案为：3．

直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

14.答案：a≤1

且a≠0

4

解析：解：根据题意得a2≠0且△=(2a?1)2?4a2≥0，

且a≠0．

解得a≤1

4

且a≠0．

故答案为a≤1

4

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a2≠0且△=(2a?1)2?4a2≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2?4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

15.答案：m(1+a%)(1?b%)

解析：

此题考查了列代数式有关知识，先表示出提价a%后的售价，再表示出下降低b%后的售价，即可得出答案．

解：根据题意得：促销价=m(1+a%)(1?b%)元．

故答案为m(1+a%)(1?b%)．

16.答案：(0,2)

解析：

本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．连接BF交y轴于P，根据题意求出CG，根据相似三角形的性质求出GP，求出点P 的坐标．

】

解：如图，连接BF交y轴于P，

∵四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B，F的坐标分别为(?4,4)，(2,1)，∴点C的坐标为(0,4)，点G的坐标为(0,1)，

∴CG=3，

∵BC//GF，

∴GP

PC =GF

BC

=1

2

，

∴GP=1，PC=2，

∴点P的坐标为(0,2)，

故答案为(0,2)．

17.答案：2π

解析：

本题考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积等于大扇形的面积+三角形的面积?小扇形的面积?三角形的面积是关键．

根据阴影部分的面积是：，分别求得：扇形BCB1的面积，SΔCB

1A1

，S△ABC以及扇形CAA1的面积，即可求解．

解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5cm，AC=3cm，∴AB=√BC2?AC2=4cm．

扇形BCB1的面积是=45π×52

360=25π

8

，

SΔCB

1A1=1

2

×3×4=6；

S

扇形CAA1=45π×32

360

=9π

8

．

故

=25π

8+6?6?9π

8

=2π．

故答案为：2π．

18.答案：(5,0)

解析：

【试题解析】

本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即

可找出抛物线与x 轴的另一交点坐标，此题得解．

解：由抛物线的表达式y =mx 2?4mx +c ，

可求得对称轴为直线x =??4m 2m =2，

又因为抛物线与x 轴交于两点，其中一个交点是(?1,0)，

根据对称性可求得该抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)，

故答案为(5,0)．

19.答案：解：原式=(x+3)(x?3)2x(x+3)÷x 2?6x+9x

=

x ?32x ?x (x ?3)2 =12(x ?3)

=12x?6，

解不等式组{3x >35?x 2?1≥0得1

其整数解为2和3，

由于x ≠3，

所以当x =2时，

原式=14?6=?12．

解析：先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求得符合条件的整数x 的值，继而代入计算可得．

本题主要考查分式的化简求值和解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．

20.答案：解：(1)144；

条形统计图补充完整为：

(2)画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好都选择了同一地区的结果数为3，

所以两人恰好都选择了同一地区的概率=3

9=1

3

．

解析：

(1)本题考查了条形统计图和扇形统计图，先利用A代表的人数和它所占的百分比计算出样本容量为200，则可计算出C代表的人数为80，然后用360°乘以C所占的百分比得到扇形统计图中C代表的扇形的圆心角的度数；最后补全条形统计图；

(2)本题考查了统计图和列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式求事件A的概率．

解：

(1)20÷10%=200(人)，

所以样本容量为200，所以C代表的人数为200?20?40?60=80(人)，

所以扇形统计图中C代表的扇形的圆心角的度数为360°×80

200

=144°，

故答案为144;(2)见答案．

21.答案：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，∠B=∠D，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AB=AE，

∴∠B=∠AEB，

∴∠D=∠DAE．

解析：由平行四边形的性质可得AD//BC，∠B=∠D，可得∠DAE=∠AEB，由等腰三角形的性质可得∠B=∠AEB，即可得结论．

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．22.答案：(1)证明：连接OD，如图，

∵DE为切线，

∴OD⊥DE，

∵DE⊥AE，

∴OD//AE，

∴∠1=∠ODA，

∵OA=OD，

∴∠2=∠ODA，

∴∠1=∠2，

∴AD平分∠BAE；

(2)解：连接BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠2+∠ABD=90°，∠3+∠ABD=90°，

∴∠2=∠3，

∵sin∠1=DE

AD ，sin∠3=DC

BC

，

而DE=DC，

∴AD=BC，

设CD=x，BC=AD=y，∵∠DCB=∠BCA，∠3=∠2，

∴△CDB∽△CBA ，

∴CD ：CB =CB ：CA ，即x ：y =y ：(x +y)，

整理得x 2+xy +y 2=0，解得x =

?1+√52y 或x =?1?√52y(舍去)， ∴sin∠3=DC BC =√5?12

， 即sin∠BAC 的值为√5?12．

解析：(1)连接OD ，如图，根据切线的性质得到OD ⊥DE ，则可判断OD//AE ，从而得到∠1=∠ODA ，然后利用∠2=∠ODA 得到∠1=∠2；

(2)连接BD ，如图，利用圆周角定理得到∠ADB =90°，再证明∠2=∠3，利用三角函数的定义得到sin∠1=DE AD ，sin∠3=DC BC ，则AD =BC ，设CD =x ，BC =AD =y ，证明△CDB∽△CBA ，利用相似比得到x ：y =y ：(x +y)，然后求出x 、y 的关系可得到sin∠BAC 的值．

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形． 23.答案：解：(Ⅰ)设商场购进甲商品x 件，乙商品y 件．

根据题意，得{x +y =1805x +10y =1300

， 解得{x =100y =80

． 答：商场购进甲商品100件，乙商品80件；

(Ⅱ)①设计划购进甲商品x 件，

由题意，可得y =5x +10(180?x)=?5x +1800(0≤x ≤180)．

②设计划购进甲种商品x 件，

由题意，可得180?x ≤2x ，解得x ≥60．

∵0≤x ≤180，∴60≤x ≤180．

又∵y =?5x +1800，

∴k =?5<0，

∴y 随x 增大而减小，

∴x =60时，y 的值最大，最大值是1500．

∴当x 取60时，可使商场本次计划销售所获得的利润最大．

解析：本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型． (Ⅰ)首先设出未知数，根据题意可得两个等量关系：(i)甲、乙两种商品共180件；(ii)获得利润1300元；依此列出方程组，解方程组即可；

(Ⅱ)①根据总利润=甲种商品利润+乙种商品利润即可解决问题；

②根据商场计划购进的乙商品数不超过甲商品数的2倍列出不等式，求出x 的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．

24.答案：解：(1)∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A 、B 两点，

∴A 、B 两点关于原点对称，

∴OA =OB ，

∴△BOC 的面积=△AOC 的面积=2÷2=1，

又∵A 是反比例函数y =k x 图象上的点，且AC ⊥x 轴于点C ，

∴△AOC 的面积=

12|k|，

∴12|k|=1， ∵k >0，

∴k =2．

故这个反比例函数的解析式为y =2x ；

将y =2x 与y =2x 联立成方程组得：

{y =2x

y =2x ，

解得：{x 1=1y 1=2,{x 2=?1y 2=?2

， ∴A(1,2)，B(?1,?2)，

(2)x 轴上存在一点P ，使△ABP 为直角三角形．

①当AP ⊥AB 时，如图1，

设直线AP的关系式为y=?1

2

x+b，

将A(1,2)代入上式得：b=5

2

，

∴直线AP的关系式为y=?1

2x+5

2

，

令y=0得：x=5，

∴P(5,0)；

②当BP⊥AB时，如图2，

设直线BP的关系式为y=?1

2

x+b，

将B(?1,?2)代入上式得：b=?5

2

，

∴直线AP的关系式为y=?1

2x?5

2

，

令y=0得：x=?5，

∴P(?5,0)；

③当AP⊥BP时，如图3，

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