期权期货和其它衍生产品第三版约翰赫尔答案1-12

第一章

1.1请解释远期多头与远期空头的区别。

答：远期多头指交易者协定将来以某一确定价格购入某种资产；远期空头指交易者协定将来以某一确定价格售出某种资产。

1.2请详细解释套期保值、投机与套利的区别。

答：套期保值指交易者采取一定的措施补偿资产的风险暴露；投机不对风险暴露进行补偿，是一种“赌博行为”；套利是采取两种或更多方式锁定利润。

1.3请解释签订购买远期价格为$50的远期合同与持有执行价格为$50的看涨期权的区别。

答：第一种情况下交易者有义务以50$购买某项资产（交易者没有选择），第二种情况下有权利以50$购买某项资产（交易者可以不执行该权利）。 1.4一位投资者出售了一个棉花期货合约，期货价格为每磅50美分，每个合约交易量为50，000磅。请问期货合约结束时，当合约到期时棉花价格分别为（a）每磅48.20美分；（b）每磅51.30美分时，这位投资者的收益或损失为多少？

答：(a)合约到期时棉花价格为每磅$0.4820时，交易者收入：（$0.5000-$0.4820）×50，000＝$900; (b)合约到期时棉花价格为每磅$0.5130时，交易者损失:($0.5130-$0.5000) ×50，000=$650

1.5假设你出售了一个看跌期权，以$120执行价格出售100股IBM的股票，有效期为3个月。IBM股票的当前价格为$121。你是怎么考虑的？你的收益或损失如何？

答：当股票价格低于$120时，该期权将不被执行。当股票价格高于$120美元时，该期权买主执行该期权，我将损失100(st-x)。

1.6你认为某种股票的价格将要上升。现在该股票价格为$29,3个月期的执行价格为$30的看跌期权的价格为$2.90.你有$5,800资金可以投资。现有两种策略：直接购买股票或投资于期权，请问各自潜在的收益或损失为多少？

答：股票价格低于$29时，购买股票和期权都将损失，前者损失为

$5,800$29×(29-p),后者损失为$5，800;

当股票价格为（29，30），购买股票收益为

$5,800$29×(p-29),购买期权损失为$5,800;当股票价格高于$30

时，购买股票收益为

$5,800$29×(p-29)，购买期权收益为$

$5,800$29×(p-30)-5,800。

1.7假设你拥有5,000股每股价值$25的股票，如何运用 看跌期权来确保你的股票价值在未来的四个月中不会受到股价下跌的影响。

答：通过购买5，000份价格为$25，期限为4个月的看跌期权来保值。

1.8一种股票在首次发行时会为公司提供资金。请说明CBOE股票期权是否有同样的作用。 答：股票期权不为公司提供资金，它只是交易者之间相互买卖的一种证券，公司并不参与交易。 1.9请解释为什么远期合同既可用来投机又可用来套期保值？

答：如果投资者预期价格将会上涨，可以通过远期多头来降低风险暴露，反之，预期价格下跌，通过远期空头化解风险。如果投资者资产无潜在的风险暴露，远期合约交易就成为投机行为。

1.10假设一个执行价格为$50的欧式看涨期权价值$2.50,并持有到期。在何种情况下期权的持有者会有盈利？在何种情况下，期权会被执行？请画图说明期权的多头方的收益是如何随期权到期日的股价的变化而变化的。

答：由欧式看涨期权多头的损益计算公式：max(ST?X,0)-2.5=ST-52.5,该欧式看涨期权的持有者在标的资产的市场价格大于$52.5时，会有盈利；当标的资产的市场价格高于$50时，期权就会被执行。图形如下：

1

损益

ST

0 52.5

1.11假设一欧式看跌期权执行价格为$60，价值为$4.00并持有到期。在何种情况下，期权持有者（即空头方）会有盈利？在何种情况下，期权会被执行？请画图说明期权的空头方的收益是如何随期权到期日的股价的变化而变化的。

答：由欧式看跌期权多头的损益计算公式：max(X?ST,0)-4=56-ST,该欧式看跌期权的持有者在标的资产的市场价格低于$56时，会有盈利；当标的资产的市场价格低于$60时，期权就会被执行。图形如下： 损益

ST 0 56

1.12一位投资者出售了一个欧式9月份到期的看涨期权，执行价格为$20。现在是5月，股票价格为18,期权价格为$20,现在是5月，股票价格为$18,期权价格为$2如果期权持有到期，并且到期时的股票价格为$25,请描述投资者的现金流状况。

答：由欧式看涨期权空头的损益计算公式：max(X?ST,0)+2=20-25+2=-3，投资者到期时将损失$3。 1.13一位投资者出售了一个欧式12月份到期的看跌期权，执行价格为$30,期权价值为$4。在什么情况下，投资者会有盈利？

答：当市场价格高于$20时，该看跌期权不被执行，投资者盈利为$4,当市场价格为（30，34）时，投资者盈利为4-(30-ST)。

1.14请说明在1.4节中描述的标准石油公司的债券是一种普通债券、一个执行价格为$25的基于油价的看涨期权的多头和一个执行价格为$40的基于油价的看涨期权的空头的组合。

max(ST?25,0)+min(40?ST,0)?ST,若市场价格高于$25,低于$40，则投资者损失为$25；若市场价格高

于或等于$40,投资者收入为ST-25+40-ST+ST=ST+15;因此，该组合为一种普通债券，一个执行价格为$25的看涨期权多头和一个执行价格为$40的看涨期权空头。

1.15一家公司将在4个月后收到一笔外币。选用哪种期权合约，可以进行套期保值？

答：通过购入四月期的看跌期权进行套期保值。

1.16黄金的现价为每盎司$500。一年后交割的远期价格为每盎司$700。一位套期保值者可以10％的年利率借到钱。套利者应当如何操作才能获利？假设储存黄金费用不计。

答：套利者以10%的年利率借入货币，购买黄金现货，卖出黄金远期，一年后交割收益为700-（1＋10％） 1.17芝加哥交易所提供标的物为长期国债的期货合约。请描述什么样的投资者会使用这种合约。

答：投资者预期长期利率下降的套期保值者；长期利率的投机者以及在现货和期货市场套利者，可购买该期货合约。

1.18一种股票的现价为$94,执行价格为$95的3个月期的看涨期权价格为$4.70。一位投资者预计股票价格

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将要上升，正在犹豫是购买100股股票，还是购买20份看涨期权（每份合约为100股）。两种策略都须投资$9,400。你会给他什么建议？股票价格上升到多少时，购买期权会盈利更大？ 答：购买股票盈利更大些。由：

max(ST?X,0)?C

=20max(ST?95,0)?9,400 因此，当股票价格高于$

940020?95=$565时，期权会盈利更大。

1.19“期权和期货是零合游戏”你是怎样理解这句话的？

答：这句话是说期权和期货的一方损失程度等于另一方的盈利程度，总的收入为零。

1.20请描述下述组合的损益：同时签订一项资产的远期多头合约和有同样到期日的基于该项资产的欧式看跌期权的多头，并且在构造该组合时远期价格等于看跌期权的执行价格。

答：ST-X+max(X-ST,0),当ST>X时，收入为ST-X,当ST

1000a?ST?X

因此，ICON的收益来自： （a） 普通债券

（b） 执行价格为X的欧式空头看涨期权 （c） 执行价格为X?1000a的欧式多头看涨期权

如下图所示：

普通债券 空头看涨期权 多头看涨期权 总收益

STST>X 1000 -a(ST-X) 0 1000-a(ST-X)

1000 -a(ST-X) -a(ST-X-1000aST>X+

1000a) 0

1.22说明在1.4节中描述的范围远期合约可由两种期权组合而成。如何构造价值为零的范围远期合约？ 答:假设用范围远期合约去购买一单位的外汇，ST为汇率，则 （a） 若STX1,支付X2

（c） 若X1?ST?X2，支付即期利率

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范围远期合约可以看作由一个执行价格为X1的空头看跌期权和一个执行价格为X2的多头看涨期权组成。 如下表所示：

外汇成本 看跌期权价值 看涨期权价值 净成本

ST

X1

由于范围远期合约看跌期权与看涨期权头寸在建立初相等，因此构建范围远期合约不需要成本。

1.23某公司在1996年7月1日签订了一份远期合约，在1997年1月1日，购买1000万日元。1996年9月1日，又签订了在1997年1月1日出售1000万日元的远期合约。请描述这项策略的损益。 答：第一份远期合约的收益为ST-F1,第二份远期合约的收益为ST-F2,因此总收益为F2-F1。 1.24假设英镑兑美元的即期和远期汇率如表1.1所示。在下列情况中，投资者会有何获利机会？ （A） 一个180天的欧式看涨期权执行价格为1英镑兑1.5700美元，成本2美分。 （B） 一个90天的欧式看跌期权执行价格为1英镑兑1.6400美元，成本2美分。

答：交易者通过卖出（A），90天后买入（B）来套利。则（A）合约的损失为min(X?ST,0)+0.02＝0.0118,(B)合约盈利为max(X?ST,0)-0.02=0.0144,净收益为0.0026。

1.25请解释下面这句话：“一个远期合约的多头等价于一个欧式看涨期权的多头和一个欧式看跌期权的空头。” 答：由欧式看涨期权和看跌期权的损益公式得，一个欧式看涨期权的多头和一个欧式看跌期权的空头组合的损益为：max(ST?X,0)+ min(X?ST,0),当ST>X时，总收入为ST-X+X-ST=0;当ST

2.1请说明未平仓合约数与交易量的区别。

答：未平仓合约数既可以指某一特定时间里多头合约总数，也可以指空头合约总数，而交易量是指在某一特定时间里交易的总和约数。

2.2请说明自营经纪人与佣金经纪人的区别。

答：佣金经纪人代表顾客利益，同时收取佣金。而自营经纪人则代表自己的利益。 2.3请说明结算所管理保证金账户与经纪人管理保证金账户有何异同。

答：结算所管理保证金帐户要求清算所每日盯市，同时要求帐户资金额达到每日规定的初始保证金水平。而经纪人管理保证金帐户也要求每日盯市，但是只要求在资金帐户额低于维持保证金时补充资金，一般维持保证金为初始保证金的75％。

2.4请说明设计一个新的期货合约最重要的是哪几方面。

答：设计一个期货合约主要包括一下三个方面：选择期货和约的标的资产，和约规模，和交割月份等。 2.5请说明保证金是如何使投资者免于违约的。

答：为了保证投资者保证金账户的资金余额在任何情况下都不为负值，设置了维持保证金，若保证金账户的余额低于维持保证金，投资者就会收到保证金催付，这部分资金称为变动保证金。如果投资者未提供变动保证金，经纪人将出售该合约来平仓。

2.6请分别说明在什么情况下应该使用空头套期保值和多头套期保值。

答：空头套期保值用于公司准备售出其已有资产，多头套期保值用于公司在未来打算购买某种资产时，它

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也能用于弥补空头头寸风险。

2.7请说明在使用期货合约进行套期保值时，什么是基差风险。

答：基差风险指计划进行套期保值资产的现货价格与所使用合约的期货价格不一致导致的风险。 2.8是否完全的套期保值总是比不完全的套期保值有更好的结果。请解释你的回答。

答：完全的套期保值并不一定比不完全的套期保值有更好的效果，它只是产生更多的确定性收入。假设这样一种情形：某公司通过套期保值来消除风险暴露，如果资产的价格朝向利于公司的方向变动，这时完全的套期保值只会抵消公司的盈利。

2.9在什么情况下最小方差套期保值组合根本就没有套期保值效果呢？

答：当期货合约资产与风险暴露资产完全不相关时，即?＝0时，最小方差套期保值组合根本没有套期保值效果。

2.10假设你签订了一期货合约，7月在纽约商品交易所以每盎司$5.20的价格卖出白银。合约规模为5,000盎司。初始保证金为$4,000，维持保证金为$3,000。将来价格发生什么样的变化会导致保证金催付？如果你不补足保证金会怎样？

答：当投资者保证金帐户损失额度达到$1，000时，即白银的价格上涨1000/5000=$0.20，（白银价格为每盎司$5.40）会导致保证金催付。如果不补足保证金，合约会被平仓。

2.11期货合约空头方有时会有权选择交割的资产，在哪里交割，何时交割等。这些权力会使期货交割上升还是下降？请解释原因。

答：这些权利使得期货合约对于空头方比多头方更具吸引力，他们会因此趋向于降低期货价格。 2.12一家公司签订了一份空头期货合约，以每蒲式耳250美分卖出5,000蒲式耳小麦。初始保证金为$3,000,维持保证金为$2,000。价格如何变化会导致保证金催付？在什么情况下，可以从保证金账户中提回$1,500？ 答：当小麦价格上升1000/5000=$0.2,即小麦价格为每蒲式耳$2.7时，会导致保证金催付。当盈利$500时，即小麦价格下跌500/5000＝$0.1时,可以从保证金帐户提回$1,500。

2.13一位投资折签订了两份冷冻橙汁的多头期货合约，每份合约的交割数量都为15,000磅。当前期货价格为每磅160美分；每份合约的初始保证金为$6,000;维持保证金都为$4,500。价格如何变化会导致保证金催付？在什么情况下，可以从保证金账户中提回$2,000?

答：当投资者保证金帐户损失额度达到$1,500时，即冷冻橙汁的价格下跌1,500/15,000=$0.1（冷冻橙汁的价格为每磅$1.5）会导致保证金催付；当保证金帐户盈利$500,即冷冻橙汁价格上涨500/15,000=0.0333时，可以从保证金帐户提回$2,000。

2.14在某天结束时，一位结算所成员成员有100份多头合约，结算价格每份合约为$50,000。每份合约的初始保证金为$2,000。第二天，这位成员又以每份合约$51,000,签订了20份多头合约。这天的结算价为$50,200。这位成员必须向交易所补交多少保证金？

答：该成员需要补足三个部分保证金：清算所要求提供20×$2,000=$40,000作为初始保证金；原合约盈利部分（50,200-50,000）×100＝$20,000;新的期货合约损失部分（51,000-50,200）×20＝$16,000。 40,000-20,000+16,000=$36,000

2.15假设一种商品的价格每季度的标准偏差为$0.65,改种商品的期货价格的每季度的标准偏差为$0.81,两种变化的相关系数为0.8,。那么一份三个月期的合约的最佳套期保值比率为多少？这有什么含义？ 答：最佳套期保值比率为 0.8×0.65/0.81=0.642

该式表示期货合约的头寸大小为64.2%的公司三个月期的风险暴露资产大小。 2.16“在期货市场的投机行为是纯粹的赌博。允许投机者在期货市场中拥有一席之位，是违背公众利益的”。请对此观点进行分析。

答：投机者是市场重要参与者，这是由于他们增加了市场的流动性。但是，合约必须具有经济性目的，只有当公众可能对套期保值者和投机者感兴趣时才会同意签订合约。

2.17请指出表2.2中最活跃的交易合约。分别考虑以下几部分：谷物和油籽，牲畜和肉类，食品和纤维制品，及金属和汽油。

答：最活跃的交易合约：

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谷物和油籽： Corn(CBT)

牲畜和肉类： Cattle-live(CME) 食物和纤维制品： Sugar-world(CSCE) 金属和汽油： Crude Oil(NYM)

2.18你认为如果在合约中未指明标的物的质量，会发生什么情况？

答：该合约不能成功。这是由于空方将持有合约头寸直到交割最便宜的债券，一旦大家知道出现资产质量问题，就不会有人愿意购买该合约。 2.19请解释下面这句话：“一种期货合约在交易所大厅内交易时，未平仓合约可能增加一个，或保持不变，或减少一个”。

答：平仓是从事一个与初始交易头寸相反的头寸,如果双方购入新的合约，未平仓数就会增加一个，如果交易双方结平头寸，未平仓数就会减少一个，如果一方购入新的合约，一方结平已有的头寸，未平仓数就保持不变。

2.20芝加哥交易所的玉米期货合约，有如下交割月可供选择;3月、5月、7月、9月、12月。当套期保值的到期日分别为6月、7月和1月时，应选用哪种合约进行套期保值？ 答：套期保值到期日应在交割月份之后，且二者最为接近的月份， （a） 7月 （b） 9月

（c） 5月

2.21请解释一个完全的套期保值是否总能成功地将未来交易的价格锁定在现在的即期价格上。 答：错误，完全的套期保值将交易价格锁定为期货价格。

2.22请解释空头套期保值者当基差意想不到地扩大时，为什么保值效果会有所改善？

答：基差指进行套期保值资产的现货价格与所使用合约的期货价格之差。空头套期保值者买入资产同时卖出期货合约，因此当基差扩大时，保值效果改善，反之，保值效果恶化。

2.23假设你是一家向美国出口电子设备的日本公司的财务主管。请说明你将采用什么样的策略来进行外汇交易的套期保值。如何将此策略推荐给你的同事。

答：估计该公司未来的现金流，并用日元和美元分别表示；购买远期或期货合约锁定美元汇率的变动。这些还不足够，你还需要估计出口收入的其它决定因素，比如该公司是否会提高出口美国电子设备的价格等，一旦提高出口价格水平，该公司即可选择是否需要利用远期来规避风险。

2.24“如果最小风险的套期保值率为1.0,那么这个套期保值一定是完全的“。这句话是否正确？为什么？ 答：该陈述错误，最小风险的套期保值比率为 ??S?F

当?S=2?F,?＝0.5时，套期保值率为1.0,但是由于?<1.0，因此该套期保值不是完全的。 2.25“如果没有基差风险，最佳的套期保值率总为1.0”，这句话是否正确？为什么？

答：该陈述是正确的，如果套期保值率为1.0，则套期保值者将价格锁定在F1＋b2，由于F1和b2都是确定的，因此风险为零。

2.26活牛的每月即期价格变化的标准差为1.2（美分/磅）。每月期货价格变化的标准差为1.4。期货价格变化和即期变化的相关性为0.7。现在是10月15日。一个牛肉生产商准备在11月15日购买200，000磅的活牛。生产商打算用12月的活牛期货合约来对冲风险。每份合约的交易数量为40，000磅，牛肉生产商应该采用什么样的策略？

答：最小方差套期保值率为 0.7×

1.21.4=0.6

6

牛肉生产商需要购买200,000×0.6/40,000=3份期货合约进行套期保值。

2.27一位养猪农场主预计三个月后出售90，000磅活猪。芝加哥商品交易所每份活猪期货合约的交易数量为30，000磅。农场主如何进行套期保值？以农场主的观点，套期保值的优点和缺点是什么？

答：农场主卖出三份三个月期的期货合约来套期保值。如果活猪的价格下跌，期货市场上的收益即可以弥补现货市场的损失；如果活猪的价格上涨，期货市场上的损失就会抵消其现货市场的盈利。套期保值的优点在于可以我成本的将风险降低为零，缺点在于当价格朝着利于投资者方向变动时，他将不能获取收益。 2.28现在是1996年7月。一采矿公司新近发现一小存储量的金矿。开发矿井需要6个月。然后黄金提炼可以持续一年左右。纽约商品交易有黄金的期货合约交易。从1996年8月到1998年4月，隔两个月就有一个交割月份。每份合约的交易金额为100盎司。采矿公司应如何运用期货市场进行套期保值？

答：采矿公司必须逐月估计其产量，同时卖出期货合约来锁定风险。例如，预计1999年11月至1999年12月的产量为300盎司，于是售出30份1999年12月的期货合约保值。 2.29一位航空公司经理认为：“我们不需要使用石油期货。石油价格在未来上升和下降的机会是均等的。”你如何看待此观点。

答：航空公司经理说的可能是真的。但是，航空公司并不需要通过石油期货来规避因错误预期导致的股东风险暴露，它应当只关注于其专业技术。

2.30在2.10节的例2.4中，套期保值比率用1.5而不是1.0,会有什么影响？ 答：套期保值比率用1.5，期货合约的收益将为： 1.50×1.70=$2.55/桶

而该公司将每桶多盈利$0.85。

2.31“股东可以对公司面临的风险进行套期保值。并不需要公司自己去进行套期保值”。你如何看待此观点。 答：此观点假设股东比公司对于风险有更多的信息。在许多情况下，并不是如此。它忽略了合约和其它交易成本。套期保值的成本可能要小些。

另一种说法是股东比公司能更容易的化解风险。一个身兼数职股东处理风险的能力比公司要强。例如一个身兼数职的股东可能还持有铜生产企业的股份。

2.32“在生产中使用某种商品的公司，应当把该商品价格的变化转嫁给客户。套期保值是不必要的。”你如何看待此观点。

答：将商品的价格变化转嫁给客户，会使公司丧失市场份额。

2.33“公司的财务经理不应当进行套期保值。当套期保值头寸有损失时，他们还受到责备”。你如何看待此观点。

答：套期保值既可能导致公司利润的增加也可能导致公司利润的降低。而公司衡量财务经理的标准是他们为公司作出的贡献，因此，如果其它管理者不理解财务经理所作的行为，财务经理还会收到责备。 第三章

3.1一家银行给你的报价如下:年利率14％，按季度计复利。问：(a)等价的连续复利利率为多少？(b)按年计复利的利率为多少？ 解：(a)等价的连续复利为

4ln(1?0.144)＝0.1376

或每年13.76％。 （b）按年计复利的利率为

(1?0.144)＝0.1475

4或每年14.75%。

3.2请说明一位投资者卖空某种股票时，会发生什么情况？

答：投资者的经纪人从其它客户处借来股票，在公开市场上将其卖掉，将出售股票所得存在这位投资者的帐户内。只要能借到股票，这位投资者就能够按照自己的愿望不断维持该空头头寸。然而到某个阶段，投资者会指示经纪人将该头寸平仓。经纪人于是用投资者帐户上的资金购买借来的股票，并物归原主。若在

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合约未平仓期间，经纪人买不到股票了，投资者就成了所谓挤空，尽管他或她可能并不想轧平头寸，也必须立即平仓。

3.3假设你签订了一份不支付红利股票的六个月期的远期合约。现在股票价格为$30,无风险利率为12％（连续复利计息）。远期价格为多少？ 解：远期价格为

30e0.12 0.5＝$31.86

3.4一种股票指数现为350。无风险年利率为8％（连续复利计息）。指数的红利收益为每年4％。一份四个月期限的期货合约价格为多少？ 解：期货合约价格为

350e(0.08?0.04) 0.333＝$354.7

3.5请仔细解释为什么黄金的期货价格可以从它的现价和其他的可观测的变量计算得来，但铜的期货价格就不能？

答：黄金被投资者用于投资。如果期货价格过高，投资者就会增加持有黄金持有量，同时卖出期货合约；如果期货合约价格过低，他们就会减少黄金持有量，买入期货合约。而铜是种消费性资产。由于投资者不愿大量持有，当期货价格过低时，售出的铜无人购买，因此铜的期货价格与现货价格相关程度较低，无法直接计算出来。

3.6请认真解释便利收益与持有成本这两个术语的含义。期货价格、现货价格，便利收益和持有成本之间有何联系？

答：便利收益指持有实实在在的商品比持有期货合约具有的收益；持有成本指存储成本加上融资购买资产所支付的利息之和。期货价格F0，现货价格S0，便利收益和持有成本之间的关系为

F0?S0e(c?y)T

其中c为持有成本，y为便利收益，T为持有期货合约的时间。

3.7一种股票指数的期货价格是高于还是低于预期的未来的指数价格？为什么？

答：股票指数的期货价格总是低于预期的未来指数价格。这是由于股票指数具有系统性风险。令u表示预

(u?q)T期回报率，E表示股票指数的期货价格，则E(ST)?Se。

3.8一人现在投资$1,000，一年后收回$1,100，当按以下方式计息时，年收益为多少？ (a) 按年计复利 (b) 以半年计复利 (c) 以月计复利 (d) 连续复利

解：（a）按年计复利时收益为

11001000－1＝0.1

或每年10%的收益率。

（b）半年计复利的收益率R为

1000(1?R2)＝1100

2i.e.

1?R2=1.1=1.0488 所以R=0.0976,年收益率为9.76%。

8

(c)以月计复利的R为

1000(1?R12)12＝1000

i.e.

12所以R＝0.0957,年收益率为9.57%。 (1?R)=

121.1=1.00797 （d） 连续复利R为

1000e?1100

Ri.e.

e?1.1

R所以R?ln1.1＝0.0953，即年收益率为9.53%。

3.9按月计复利的15％的年利率等价于多少连续复利的年利率？ 解：收益率R为

eR?(1?0.1512)

12i.e.

R?12ln(1?0.1512)

=0.1491

所以连续复利的年利率为14.91%。

3.10一存款帐户按12％的年利率连续复利计息，但实际上是每季度支付一次利息$10,000的存款，每季度支付多少利息？

解：等价年利率R为

e0.12?(1?R4)

4或

R?4(e0.03?1)＝0.1218

所以每季度支付的利息为 1000×

0.12184＝304.55

或$304.55。

3.11当一种不支付红利股票为$40时，签订一份一年期的基于该股票的远期合约，无风险利率为10％（连续复利计息）。 解：（a）远期合约价格F0为

F0?40e0.1=44.21

或$44.21。期货合约的初始价值为零。

（b）远期合约的交割价格K为$44.21。六个月后，远期合约的价值f为

f?45?44.21e

?0.1*0.5

9

＝2.95

i.e.,远期合约价值为$2.95。远期价格为

45e0.1*0.5＝47.31

或$47.31。

3.12一种股票预计在两个月后会每股支付$1红利，五个月后再支付一次。股票价格为$50,无风险年利率为8%(对任何到期日连续复利计息)。一位投资者刚刚持有这种股票的六个月远期合约的空头头寸。 解：利用等式（3.7）,六个月的远期合约价格为

150e(0.07?0.032)*0.5?152.88

或$152.88。

3.13无风险年利率为7％（连续复利计息），某股票指数的红利年支付率为3.2%.指数现值为150。六个月期限的期货合约的期货价格为多少？ 解：期货合约的价格为 150e0.5(0.07?0.032)＝152.88

3.14假设无风险年利率为9％（连续复利计息），某股票指数的红利支付率在年内经常发生变化。在2月份，5月份及11月份红利支付率为5％。其他月份红利年支付率为2％。假设1996年7月31日的指数价值为300。那么1996年12月31日交割的期货合约的期货价格为多少？

解：该期货合约为5个月期，其中三个月利率为2％，另外两个月为5％。因此，平均利率为：

15（3×2＋2×5）＝3.2%

该期货合约的价格为：

300e0.4167(0.09?0.032)＝307.34

3.15假设无风险年利率为10%(连续复利计息)，某股票指数的红利支付率为4％。现在指数为400，四个月后交割的期货合约的期货价格为405。请问存在什么样的套利机会？ 期货理论价格为

400e0.3333(0.10?0.04)＝408.08

而实际期货价格为405。这说明该股指期货价格被低估，正确的套利策略为： （a） 购入期货多头合约 （b） 售出该指数下的股票

3.16用表3.3中所给数据，计算德国和美国的无风险利率的差别。

答：德国利率低于美国的利率，因此，随着到期日的增长，德国马克期货价格上升。

3.17瑞士和美国按连续复利计息的两个月期的年利率分别为3％和8％。瑞士法郎即期价格为$0.6500。两个月后交割的合约的期货价格为$0.6600。问存在怎样的套利机会？ 解：理论期货价格为

0.65e0.1667(0.08?0.03)＝0.6554

实际期货价格高估。套利者可以通过借入美元买入瑞士法郎同时卖出瑞士法朗期货合约来套利。

3.18银的现价为每盎司$9。储存费用为每盎司每年$0.24,每季度支付一次而且要预先支付，假设所有期限的利率均为每年10％(连续复利计息)，计算九个月到期的银的期货价格？ 解：九个月的储存费用为

0.06?0.06e

?0.25*0.1?0.06e?0.5*0.1?0.176

10

＝112.02－57/184*6.5＝110.01

④ 除以转换因子得：110.01/1.5＝73.34 因此，该合约的期货报价为73.34。 4.16

解：则空头方会从中选择交割价格最便宜的债券，对这种债券的需求增加会使它的价格升高，频繁的交割使得债券市场有效期长于15年的债券交割价格趋同。最终，选择那种债券进行交割的成本是接近的，没有区别的。 4.17

解：由贴现率计算123天短期国债的现金价格Y?100?123/360*10.03＝96.57 则123天的连续复利为：R2??36512396.57100㏑＝10.36％；

365123?3333天后到期的国债期货合约隐含的远期利率为：RF??则隐含的再回购率R1?4.18

解：6到9月份之间的远期利率为：

Rf?0.08*9?0.075*69?6?9.0%

㏑

90.04100＝42.55％；

R2T2?RF(T2?T1)T1?10.36%*123?42.55%*9033=-77.43%

若按照实际天数/360天的计算惯例来计息，由于90天等于0.25年，则在6个月后交割的面值为100美元的90天期短期国债期货的价格为：

F?100e?0.09*0.25?97.7751

那么，面值为1000000美元的短期国债期货的价格为977751美元。

报价为：Z?100?4*(100?97.7751)?91.1004 4.19

解：计算90天到180天之间的远期利率：

?0.102*180?0.1*90R??10.4%

180?90由期货报价计算期货价格：

F?100?0.25*(100?89.5)?97.375

设90天后到期的欧洲美元期货合约隐含的远期利率为RF， 则：RF??36590?由于RF大于R，采用第二类套利方案：

㏑0.97375＝10.79％。

① 买入期货合约；

② 以10.2％的年利率借入期限为180天的资金； ③ 将借入的资金进行利率为10％的90天的投资。 4.20

16

解：一个距交割日为T1的美国短期国债期货合约+一个期限为T1+90天的美元兑换为加元的远期外汇合约＝一个距交割日为T1的加拿大短期国债期货合约。 4.21

解：a）债券的价格为：

8e?0.11?8e?0.11*2?8e?0.11*3?8e?0.11*4?108e?0.11*5?86.80

b)债券的久期：

186.80(8e?0.11?2*8e?0.11*2?3*8e?0.11*3?4*8e?0.11*4?5*108e?0.11*5)?4.256年。

c) 由于?B??BD?y＝－86.80*4.256*0.002＝0.74，所以0.2％的收益率的下降使得债券的价格从86.80上身到87.54。 d) 债券的价格：

8e?0.108?8e?0.108*2?8e?0.108*3?8e?0.108*4?108e?0.108*5?87.54

与c)计算的结果相同。 4.22

解：a) 两个组合的久期不一样阿

4.23

?解：由（公式一）N＝??S?F 推出（公式二）

N＝?SDSFDF时，假设?=1，即假设收益率的变化对所有

期限来说都是一样的。本题中短期收益率比长期收益率更容易变化，表明收益率的变化是不一样的，即?<1，此时，按照公式二计算的套期保值率要大于真正的套期保值率，因此存在套期保值过度的问题。 4.24

解：若利率上升，公司将遭受损失，因此2月20日卖空欧洲美元期货进行保值。根据报价＝92，计算得期货合约得价值为：10000（100－0.25*（100－92））=980000。 应购买得期货合约数为：4.25

解：由于现货和期货价格走向的一致性，应该卖空期货合约来套期保值。假设面值为10万美元的期货合约，应卖空的分数为：

N＝?4820000*2980000＝9.8，约为10张。

10000000*7.191.375*1000*8.8＝88.3

约为88份。

4.26

解：上题中卖空88张期货合约可将组合的久期从7.1年降低到0。本题中要将组合的久期从7.1降低到3年，则卖空的期货合约应为：

17

N＝88.3*?4.17.1＝50.99

约为51张。 4.27

解：愿意持有公司债券。因为公司债券用30/360的惯例计息，从1997年2月28日到1997年3月1日公司债券按3天计息；而政府债券的计息方式是实际天数/实际天数（期限内），实际的计息天数只有一天。因此，持有公司债券可获得约3倍于政府债券的利息。

第五章 互换 5.1

解：公司A在固定利率借款上有比较优势而需要浮动利率借款，公司B在浮动利率借款上有比较优势而需要固定利率借款，因此，存在互换的基础。固定利率的差值为1.4％，浮动利率的差值为0.5％，因此总的获利为0.9％。已知金融机构获利0.1％，则公司A、B各获利0.4％。则公司A实际上以LIBOR－0.3％借浮动借款，公司实际上B以13.0％借固定利率借款。互换如下图所示： 12.0％

5.2

解：公司X在借日元上有比较优势而需要借美元，公司Y在借美元上有比较优势而需要借日元，因此存在互换的基础。日元上的利差为1.5％，美元上的利差为0.4％，因此总的获利为1.1％。已知银行获利0.5％，则公司X和Y分别获利0.3％。则公司X实际上以9.3％借得美元，公司Y实际上以6.2％借得日元。互换安排如下： 9.3%美元 10％美元 公司X 银 行 公司Y 10％美元 5.0％日元 5.0％日元 6.2％日元 银行承担所有的外汇风险。 5.3

解：已知贴现率为10％，每次支付的固定利息为k＝100*12％*0.45＝6万美元，在第4个月份收取的浮动利息为k＝100*9.6％*0.5＝4.8万美元。 则：Bft?(100?4.8)*eBfix＝6e?0.1*0.3333LIBOR 公司A 12.3％ 金融机构 LIBOR 公司B 12.4％ LIBOR+0.6％ ??0.1*0.3333?101.36百万美元

?106e?0.1*0.8333＝103.33百万美元

Vswap＝Bft－Bfix＝－1.97百万美元。

因此，支付浮动利率的一方的互换价值为197万美元，支付固定利率的一方的互换价值为－197万美元。 5.4

解：在实际中，两个公司不可能同时与同一家金融机构接触，也不可能在同一互换中头寸状态正好相反。由于这一原因，许多大的金融机构准备储存利率或货币互换。这包括与一方进行互换，然后对冲消除利率或货币风险，直到找到处于互换中相反头寸的另一方。这就是储存互换。

18

5.5

解：.互换中各期美元利息为：3000*10％＝300万美元，英镑利息为：2000*14％＝280万英镑。 互换中美元债券的现值为：BD＝互换中英镑债券的现值为：BF＝3001.081.110.25??300?30001.081.111.25＝3291.6109万美元 ＝2273.9461万美元

2800.25280?20001.25互换价值为：Vswap＝SBF?BD＝2273.9461*1.65－3291.6109＝460.4002万美元

所以，支付英镑的一方互换现值为-460.4002万美元，支付美元的一方互换现值为460.4002万美元。 5.6

解：当金融机构的互换合约价值为正时，信用风险产生于对方违约的可能性。市场风险来自于利率、汇率这样的市场变量变化使得金融机构的互换合约价值转化为负值的可能性。市场风险可通过签订抵偿合约来对冲，信用风险不能对冲。

5.7

解：在合约签定时两个合约的都价值接近于0。合约生效后一段时间，一个合约出现正的价值，另一个出现负的价值。若正价值的合约的一方违约，金融机构将蒙受这部分正价值的损失。这就是信用风险。 5.8

解：公司X的比较优势在浮动利率投资，而需要的是固定利率投资；公司Y的比较优势在固定利率投资，而需要的是浮动利率投资，因此存在互换的基础。固定利率差为0.8％，浮动利率差为0，因此互换总的获利为0.8％。已知银行获利0.2％，则两公司各获利0.3％。即公司X实际上以8.3％的固定利率投资，Y实际上以LIBOR+0.3％的浮动利率投资。互换安排如下图： LIBOR 5.9

公司X LIBOR 8.3％ LIBOR 银 行 8.5％ 公司Y 8.8％ 解：公司A的比较优势在英镑而需要美元借款，公司B相反，因此存在互换的基础。英镑上的利差为0.4％，美元上的利差为0.8％，因此互换的总获利为0.4％。已知银行获利0.1％，则两个公司各获利0.15％。因此A实际上以6.85％的利率借美元，而B实际上以10.45％的利率借英镑。在银行承担所有市场风险的情况下，互换安排如下图： 美元6.85％ 公司A 英镑11％ 银 行 英镑10.45％ 美元6.2％ 公司B 美元6.2％ 英镑11％ 5.10

解：每季度支付固定利息k＝10000*0.1*0.25＝250万美元，下一付息日收取浮动利息k＝10000*0.118*0.25＝295万美元。贴现率＝12％。 Bfix＝2501??2505?2508?25011?250?1000014?9921.48万美元

1.1261.12121.12121.12121.1212 19

Bfl＝295?100001?10102.37万美元

1.126Vswap＝Bft－Bfix＝10102.37-9921.48＝180.89万美元。

因此，互换的价值为：180.89万美元。 5.11

解：支付马克年利息为：2000*0.05＝100万马克，收取美元年利息为：1000*0.1＝100万美元。

BD?100*eBF?100*e?0.11*1?(100?1000)*e?(100?2000)*e?0.11*2?972.3541万美元 ?1881.8136万美元

?0.08*1?0.08*2Vswap?BD -BFS=972.3541-1881.81362.1= 76.2524万美元。

因此，互换的价值为 76.2524 万美元。 5.12

解：金融机构的损失可以看作这样一个互换的正的价值的损失：以第3年为起点，第3年，3.5年，4年末，4.5年，5年末进行共5次固定和浮动利率的交换。下面计算这样一个互换的贴现到3年的价值：

每次收取的固定利息为：1000*10％*0.5＝50万美元，第三年支付的浮动利息为：1000*9％*0.5＝45万美元。

Bfix＝50?501.080.5?501.081?501.081.5?50?10001.082?1089.1632万美元

Bfl＝45?1000?1045万美元

Vswap＝Bfix－Bft＝1089.1632－1045＝44.1632万美元。

因此，金融机构的违约损失为：44.1632万美元。 5.13 解：

6 7 8 9 10

每年支付美元利息为：700*0.08＝56万美元，每年收取法郎利息为：1000*0.03＝30万法郎。

BD＝56?BF＝30+561.083011?561.083022??561.083033?56?70041.03?1.031.03?1.0830?10001.034?755.9766万美元 ?1030.013万法郎

Vswap＝0.8*1030.013-755.9776＝68.0328万美元。

所以，金融机构共损失68.0328万美元。 5.14

解：A在德国马克固定利率上有比较优势，B在美元浮动利率上有比较优势；但是A想以浮动利率解美元，B想以固定利率借马克。所以存在互换的基础。

美元上的利差为0.5％，马克上的利差为1.5％，互换获利为1.0％。已知金融机构获得0.5％，则两公司各获得0.25％。安排互换的结果是A能以LIBOR+0.25％借美元，B能以6.25％借马克。互换安排如下图所

20

时卖空2份执行价格为X2的看跌期权p2，到期日股票价格为ST,则组合价值为：max（X1?ST,0）+max(X3?ST,0)－2max(X2?ST，0）

ST的数值 组合价值

ST?X1 X1＋X3?2X2

X1?ST?X2 ST?X3?2X2 X2?ST?X3 X3?ST X3?ST 0

因此，在期初该组合价值p1?p3?2p2应大于等于0，即p2?0.5(p1?p3)成立。

7.22假设你是一家杠杆比例很高的公司的经理及唯一所有者。所有的债务在1年后到期。如果那时公司的价值高于债务的面值，你就可以偿还债务。如果公司的价值小于债务的面值，你就必须宣布破产，让债务人拥有公司。

a) 将公司的价值作为期权的标的物，描述你的头寸状况。

b)按照以公司价值为标的物的期权的形式，描述债务人的头寸状况。 c)你应当如何做来提高你头寸的价值？

解：a) 拥有一份看涨期权多头，头寸为max（VT?D,0）其中，VT为公司价值，D为债务面值； b)拥有一份看跌期权空头及债券多头，其头寸价值为 D－max（D?VT，0） c)应通过努力经营公司，使公司价值提高。

7.23经理股票期权是公司向它的经理们发行的看涨期权。通常期权执行价格接近于期权发行时的股票市场价格。如果期权被执行，公司发行新的库存股票。经理人员通常不能将经理股票期权出售给其他人，有时在经理人员离开公司后将被取消。他们通常为期10年。在刚好到期前被执行。请讨论一位经理为什么会提前执行期权。

解：当经理需要现金，或他对公司未来前景不确定时，他会选择提前执行期权。一般的看涨期权在这两种情形下都会被执行，但经理执行期权不同。理论上，经理可卖空公司股票作为一种替代选择，但实际中这行为并不鼓励，甚至是违法的。因而只有提前执行期权。

第八章

8.1什么是有保护的看跌期权？看涨期权的什么头寸等价于有保护的看跌期权？

解：有保护的看跌期权由看跌期权多头与标的资产多头组成，由期权平价公式可知，其等价于看涨期权多头与一笔固定收入的组合。

8.2 解释构造熊市价差期权的两种方法。

解：1）熊市价差期权可由2份相同期限、不同执行价格的看涨期权构成；投资者可通过卖空执行价格低的同时买入执行价格高的看涨期权构造。

2）熊市价差期权也可由2份相同期限、不同执行价格的看跌期权构成；投资者可通过卖空执行价格低的同时买入执行价格高的看跌期权构造。

8.3 对于投资者来说，什么时候购买蝶形期权是合适的？

解：蝶形期权涵盖了3份执行价格不同的期权，当投资者认为标的资产价格很可能位于中间执行价格附件时，则会购买蝶形期权。

8.4 有效期为一个月的股票看涨期权分别有$15、$17.5和$20的执行价格，其期权价格分别为$4、$2和$0.5。解释如何应用这些期权来构造出蝶式价差期权。做个表格说明蝶式价差期权损益如何随股票变化而变化的。

26

解：投资者可通过购买执行价格为$15和$20的看涨期权，同时卖空2份执行价格为$17.5的看涨期权构造蝶式价差期权。初始投资为4＋0.5－2×2＝$0.5。T时刻损益随股价变化如下： 股价ST T时蝶式价差期权损益 ST<15 －0.5 1520 －0.5

8.5 什么样的交易策略可构造出倒置日历价差期权？

解：倒置日历价差期权可通过买入1份较短期限的期权，同时卖出1份执行价格相同但期限较长的期权构造。

8.6 宽跨式期权与跨式期权之间有何不同？

解：宽跨式与跨式期权均是由1份看涨与1份看跌期权构成。在跨式期权中，看涨期权与看跌期权具有相同的执行价格和到期日；而宽跨式期权中，看涨期权与看跌期权到期日相同，但执行价格不同。

8.7 执行价格为$50的看涨期权成本为$2，执行价格为$45的看跌期权成本为$3。解释由这两种期权如何构造宽跨式期权，宽跨式期权的损益状态是怎么样的？

解：宽跨式期权可通过同时购买看涨与看跌期权构造。其损益状态如下： 股价ST T时蝶式价差期权损益 ST<45 40－ST 45

ST>50 ST－55

8.8 仔细分析由看跌期权构造的牛式价差期权和由看涨期权构造的牛市价差期权之间的不同点。 解：由看跌期权构造的牛市价差期权和由看涨期权构造的牛市价差期权的损益图大致相同。

令P1,C1分别为执行价格为X1的看跌期权与看涨期权，P2,C2分别为执行价格为X2的看跌期权与看涨期权，由期权平价公式可得： P1?S?C1?X1e 则：P1??rT，P2?S?C2?X2e?rT

P2?C1?C2?(X2?X1)e?rT，这表明，由看跌期权构造的牛市价差期权的初始投

?rT资小于由看涨期权构造的牛市价差期权初始投资数额为(X2?X1)e。实际上，看跌期权构造的牛市价差

期权的初始投资为负值，而看涨期权构造的牛市价差期权的初始投资为正值。看涨期权构造的牛市价差收益高于看跌期权(X2?X1)e取(X2?X1)(1?e

8.9解释如何使用看跌期权怎样构造进取型的熊市价差期权？

解：进取型的熊市价差期权可由虚值看跌期权（均有相对低的执行价格），因为两份看涨期权价值接近于0，价差期权仅需很少成本构造。在大多数情形下，价差期权的价值为0。然而，为使期权在到期日处于实值状态，股价仅有很小机会快速下降。那么价差期权的价值即两执行价格之差X2?X1。

8.10假设执行价格为$30和$35的看跌期权成本分别为$4和$7，怎样用期权构造（a）牛市价差期权；(b)

27

?rT?rT。这反映了看涨策略较看跌策略多了额外无风险投资(X2?X1)e?rT，并获

)的利息。

熊市价差期权？做出表格说明这两个期权的收益与报酬状况。

解：a)牛市价差期权可通过买入执行价格为$30的看跌期权同时卖空执行价格为$35的看涨期权。此策略将有$3期初现金流入，其损益状况如下：

股价ST 价差期权损益 利润

ST>=35 0 －3 30<＝ST<35 ST－35 ST－32 ST<30 －5 －2

b)熊市价差期权可通过卖空执行价格为$30的看跌期权同时买入执行价格为$35的看跌期权构造。此策略初始成本为$3，其损益状况如下：

股价ST 价差期权损益 利润

ST>=35 0 －3 30<＝ST<35 35－ST 32－ST ST<30 5 2

8.11三种同一股票看跌期权有相同的到期日。执行价格为$55、$60和$65，市场价格分别为$3、$5和$8。解释如何构造蝶式价差期权。做出表格说明这种策略带来的赢利性。请问：股票价格在什么范围时，蝶式价差期权将导致损失呢？

解：蝶式价差期权可通过分别买入1份执行价格为$55和$65，同时卖空2份执行价格为$60的看跌期权构造。其收益状况如下：

股价ST 蝶式价差期权损益 ST>=65 －1 60<=ST<65 64－ST 55<=ST<60 ST－56 ST<55 －1

所以，当ST>64或ST<56时，蝶式价差期权将导致损失。

8.12利用看跌期权和看涨期权之间的等价关系式证明：欧式看跌期权构造的蝶式价差期权的成本与欧式看涨期权构造的蝶式价差期权的成本是相等的。

解：定义C1、C2及C3分别为执行价格为X1、X2及X3的看涨期权价格。定义P1、P2及P3分别为执行价格为X1、X2及X3的看跌期权价格。则有： C1?X1e?rT?P1?S，C2?X2e?rT?P2?S，C3?X3e?rT?rT?P3?S

因此，C1?C3?2C2?(X1?X3?2X2)e 又由于

X2?X1?X3?X2，

?P1?P3?2P2

所以有

X1?X3?2X2＝0且C1?C3?2C2?P1?P3?2P2

因此，欧式看跌期权构造的蝶式价差期权的成本与欧式看涨期权构造的蝶式价差期权的成本是相等的。

8.13 购买执行价格为X2、到期日为T2的看涨期权和出售执行价格为X1、到期日为T1（T2>T1）的看涨期权，可构造对角价差期权，画一简图说明当(a) X2>X1和(b) X2

解：如下图，该对角价差期权所需的初始投资额较高，但其利润模式与一般价差期权相同。 图8.1

28

权损益状况。请问：股票价格在什么范围内时，跨式期权将导致损失呢？

8.14 执行价格为$60的看涨期权成本为$6，相同执行价格和到期日的看跌期权成本为$4，制表说明跨式期解：可通过同时购买看涨看跌期权构造跨式期权：max（ST－60，0）+max(60－ST)－（6＋4），其损益状况为：

股价ST 跨式期权损益 ST>60 ST－70 ST＝60 －10 ST<60 50－ST

所以，当股价在50

8.15制表说明使用执行价格X1和X2（X2>X1）的看跌期权所构造的牛市价差期权的损益状态。 解：通过买入执行价格为X1的看跌期权，同时卖空执行价格为X2的看跌期权构造牛市价差期权，其收益状况如下：max(X1－ST，0)－max(X2－ST，0)

股价ST 多头损益 空头损益 总损益 ST>=X2 0 0 0

X1

8.16投资者相信股票价格将有巨大变动但方向不确定。请说明投资者能采用的六种不同策略并解释它们之间的不同点。

解：投资者能采用以下六种策略：宽跨式期权（Strangle）、跨式期权（Straddle）、落式期权（Strip）、吊式期权（Strap）、倒置日历价差期权及倒置蝶式价差期权。 当股价有巨大变动，这些策略都能有正的利润。宽跨式期权较跨式期权便宜，但要求股价有更大变动以确保正利润；落式期权及吊式期权都比跨式期权贵，当股价有大幅度下降，落式期权将有更大利润，当股价有大幅度上升，吊式期权将有更大利润。宽跨式期权、跨式期权、落式期权及吊式期权的利润都随股价变动范围增大而增加。相比而言，倒置价差期权存在潜在利润而无论股价波动幅度多大。

8.17运用期权如何构造出具有确定交割价格和交割日期的股票远期合约？

解：假定交割价格为K，交割日期为T。远期合约可由买入1份欧式看涨期权，同时卖空1份欧式看跌期权，要求两份期权有相同执行价格K及到期日T。可见，该组合的损益为ST－K，在任何情形下，其中ST为T时股票价格。假定F为远期合约价格，若K=F，则远期合约价值为0。这表明，当执行价格为K时，看涨期权与看跌期权价格相等。

8.18盒式价差期权是执行价格为X1和X2的牛市价差期权和相同执行价格的熊市看跌价差期权的组合。所有期权的到期日相同。盒式价差期权有什么样的特征？

29

解：牛市价差期权由1份执行价格为X1欧式看涨期权多头与1份执行价格为X2的欧式看涨期权空头构成（X1

股价ST 牛市价差损益 熊市价差损益 总损益

ST>=X2 X2－X1 0 X2－X1 X1

由此可见，无论哪种情形，盒式价差期权损益均为X2－X1，若不存在套利机会，盒式价差期权当前价值即为X2－X1的现值。

8.19如果宽跨式期权中看跌期权的执行价格比看涨期权的执行价格高，结果会怎样？

解：由图可知，当宽跨式期权中看跌期权的执行价格高于看涨期权的执行价格时，与一般的宽跨式期权相比，其初始投资额将更高，但利润模式二者是相同的。

8.20有如下四种有价证券组合。画出简图说明投资者收益和损失随最终股票价格的变化情况。 (a)一份股票和一份看涨期权的空头 (b)两份股票和一份看涨期权的空头 (c)一份股票和两份看涨期权的空头 (d)一份股票和四份看涨期权的空头

在每种情况中，假设看涨期权的执行价格等于目前股票价格。

解：(a)该组合等价于一份固定收益债券多头，其损益V?C，不随股票价格变化。（V为组合损益，C为期权费，下同）如图8.2：

(b)该组合等价于一份股票多头与一份固定收益债券多头，其损益V?ST?C，与股价同向同幅度变动。（ST为最终股票价格，下同）如图8.3

(c)该组合等价于一份固定收益债券多头与一份看涨期权空头，其损益为，与股价变动方向相反。（S0为期权执行价格，即股票目前价格，下同）如V?2C?maxTS(?0S,0)图8.4

(d)该组合等价于一份固定收益债券多头与三份看涨期权空头，其损益为V?4C?3max(ST?S0,0)，与股价变动方向相反。如图8.5

（a） 图8.2

30

的答案。

解：3个月后期权的价值为$5（当股价为$35时）或$0（当股价为$45时）。 考虑如下资产组合：

－Δ份股票

＋1份看跌期权 则资产组合价值为－35Δ＋5或－45Δ 当－35Δ＋5＝－45Δ，即Δ＝－0.5时，

无论股价如何变化，该资产组合价值均将为$22.5；此时组合的Δ值是无风险的。组合的现值为： －40Δ＋f 其中f为期权的价值。

（1）根据无套利理论，该资产组合必须是无风险的，因而有： (40*0.5?f)*e0.08*0.25?22.5 则有： f?2.06 即看跌期权的价值为$2.06。

（2）根据风险中性估价定理，设p为风险中性条件下股价上升的概率，有： 45p?35(1?p)?40*e0.08*0.25 即： p?0.58 在风险中性世界，期权的期望价值为：

0×0.58＋5×0.42＝2.10 其现值为：

2.10e0.08*0.25?2.06

所以，无套利原理与风险中性估价定理的计算结果一致。

9.12某个股票现价为$50。有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单步二叉树的股价或者上涨6％或者下跌5％。无风险年利率为5％（连续复利）。执行价格为$51,有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少？

解：由题意可得，u?1.06,d?0.95

erT 则风险中性概率 p??du?d?e0.25*0.05?0.951.06?0.95?0.5689

计算股价二叉树图的结果如下： 53 2.91 50 1.635 47.5 0 56.18 5.18 36

50.35 0

45.125 0 图9.3

在最高的终节点，期权的价值为56.18－61＝5.18；在其他情形期权价值均为0。因而，该期权的价值为： 5.18*0.56892*e?0.05*0.5?1.635

9.13考虑习题9.12中的情况，执行价格为$51，有效期为6个月的欧式看跌期权的价值为多少？证明欧式看涨期权和看跌期权满足看涨看跌期权平价关系。如果看跌期权是美式期权，在树图上的任何节点，提前执行期权是否会更优呢？

解：（1）如上题，u?1.06,d?0.95，p?0.5689 计算二叉树图的结果如下 53 B 0.277 50 A 1.376 47.5 C 2.866 图 9.4

如上图，当到达中间的终节点时，期权的损点时，期权的损益为51－45.125＝5.875。 因此，期权的价值为：

0.65*2*0.5689*0.4311?5.875*0.4311)e（2）因为， P?S?1.376?50?51.376 且有， C?Xe?rT2?0.05*0.556.18 0 50.35 0.65 45.125 5.875 益为51－50.35＝0.65；当到达最低的终节

?1.376

?1.635?51e?rT?0.05*0.5?51.376

因而， P?S?C?Xe

即欧式看涨期权和欧式看跌期权满足期权平价公式。

（3）为确定提前执行是否会更优，我们要计算比较每一节点处立即执行期权的损益。

在C节点处，立即执行期权的损益为51－47.5＝3.5，大于2.8664。因此，期权必须在此节点处被执行，

在A、B节点处均不执行。

9.14某个股票现价为$40。有连续2个时间步，每个时间步的步长为3个月，每个单位二叉树的股价或者上涨10％或者下跌10％。无风险年利率为12％（连续复利）。

(A)执行价格为$42的6个月期限的欧式看跌期权的价值为多少？ (B)执行价格为$42的6个月期限的美式看跌期权的价值为多少？ 解：由题意可得，u?1.10,d?0.90

37

则风险中性概率 p?erT?du?d?e0.12*0.25?0.901.10?0.90?0.6523

计算股价二叉树图的结果如下： 44 B 0.810 40 A 2.118 36 C 4.759 图9.5

32.4 9.6 39.6 2.4 48.4 0

如上图，当到达中间终节点时，期权的损益为42－39.6＝2.4；在最低的节点处，期权的损益为42－32.4＝9.6。

（1）欧式期权的价值为：

(2*2.4*0.6523*0.3477?9.6*0.34772)e?0.12*0.50?2.118

（2）在C节点处，立即执行期权的损益为42－36＝6，大于4.759（多1.205收益）。因此，美式看跌期权必须在此节点处被执行。

44 B

0

40 A

图9.6

因此，美式看跌期权的价值为：

6*0.3477*e?0.12*0.252.025 36 C 6 ?2.025

9.15用“试错法”来估算习题9.14中的期权的执行价格为多高时，立即执行期权是最佳的？ 解：（1）假设美式看跌期权的执行价格为$37，计算股价二叉树图的结果如下： 44 B 0 40 A 36 C 1.552 48.4 0.6 32.4 38 39.6 0

4.6 图9.7

在此C节点处，立即执行期权的损益为37－36＝4，小于1.552。因此，美式看跌期权不会在此节点处被执行。

（2）假设美式看跌期权的执行价格为$38，计算股价二叉树图的结果如下： 48.4 44 B 0 40 A 36 C 1.890 32.4 0 39.6 0 5.6 图9.8

在此C节点处，立即执行期权的损益为38－36＝2，比1.890多0.11收益。因此，美式看跌期权必须在此节点处被执行。

从以上分析可得，当执行价格高于或等于$38时，提前执行美式看跌期权都是更优的选择。

9.16某个股票的现价为$25。已知2个月后，股价会变为$23或$27。无风险年利率为10％（连续复利）。设

ST为2个月后的股票价格。在这时收益为ST2的衍生证券的价值为多少？

解：2个月后，衍生证券ST2的价值将为529（当股价为$23时）或729（当股价为$27时）。考虑如下资产组合：

＋Δ份股票 －1份衍生证券

2个月后，该资产组合的价值将为23Δ－529或27Δ－729。 当23Δ－529＝27Δ－729，即Δ＝50时，

无论股价如何变化，该资产组合价值均将为$621；此时组合的Δ值是无风险的。组合的现值为： 50×25－f

其中f是衍生资产的价值。因为该资产组合是无风险的，则有： (50*25?f)e 即： f?639.3

此外，也可直接利用公式（9.2）及（9.3）计算。由题意可得， u?1.08,d?0.92

e0.10*0.166670.10*0.16667?621

则有： p??0.921.08?0.92?0.6050

39

则可得： f?e?0.10*0.16667(0.6050*729?0.3950*529)?639.3

第10章 股票价格的行为模式

10.1说一个地区的气温服从马尔可夫过程，有什么含义？你认为温度确实可以服从马尔可夫过程吗？ 假设你必须从以下已知条件下预报未来气温a)当前气温，b)气温历史记录和c)季节平均气温和季节气温变化趋势方面的知识。如果气温服从一个马尔可夫过程，气温的历史记录将是不相关的。 为了回答这个问题的第二部分，你可以考虑在五月份的第一个星期的下列景象： 1） 2）

星期一到星期三天气温暖；星期五非常寒冷。 星期一到星期五都非常寒冷。

你预测这个周末的气温会是怎样的呢？如果你在第二中情形下更悲观，那么气温就不服从一个马尔可夫过程。

10.2基于股票价格过去历史的交易准则是否总是可以获得高于平均收益率的收益？请讨论这个问题。 首先要说明的是任何交易准则只能因为好运才能获得高于平均收益率的收益。关键问题是风险调整时，一个交易准则能否不断地适应市场。对于一个交易准则可能做到这点，然而，当足够多的投资者知道这个准则并按这个准则进行投资时，利润将消失。为了说明这点，考虑一个小公司影响的现象，当对风险做合适的调整，在小公司股票上的资产组合比对大公司股票的资产组合更有效。在1980年代早期相关论文发表后，公众基金被设立用来利用这种现象。有证据表明正是由于这导致了这种现象的消失。

10.3 一家公司的现金头寸，用百万美元衡量，服从一般化的维纳过程，每月的漂移率为0.1，方差率为0.16，初始现金头寸为2.0。 （a） （b）

分别说明1个月后、6个月后和1年后，现金头寸的可能的分布是什么？ 6个月后和1年后负责现金头寸的可能性为多少？

（c） 未来的什么时间负现金头寸的可能性最大？

10.4一家公司的现金头寸，用百万美元衡量，服从一般化的维纳过程，每季度的漂移率为1.5，方差率为4.0。如果要求公司在1年后负值现金流的概率小于5%，公司的初始现金流要多高？ 假设公司初始现金头寸是x.，在一年后其现金头寸的可能分布是 ?(x?4?0.5,4?在一年后一个负现金流的可能性是 N(?x?2.04x?2.04)

4)??(x?2.0,4)

这里N（x）是一个小于x的标准正态变量（0期望，标准差为1.0）的累计分布，从正态分布表可以得出： N(?当

?x?2.04??1.6449

)?0.05

例如：当x=4.5796，初始现金头寸必须是4560000美元。

10.5 变量X1和X2服从一般化的维纳过程，漂移率为 μ1和μ2。方差率为σ的过程，如果：

40

2 1

和 σ

2 2。X1+X2服从什么样

（a） X1和X2在任意小的时间间隔内的变化都是不相关的？

（b） X1和X2在任意小的时间间隔内的变化的相关系数ρ为多少？ 假设起初X1和X2等于a1和a2，经过T时间后，X1的概率分布是 ?(a1??1T,?1T)

X2的概率分布是

?(a2??2T,?2T)

根据独立正态分布的性质，X1+X2的概率分布是

?(a2??1T?a2??2T,?1T??2T) 即

?(a1?a2?(?1??2)T,(?1??2)T) 这说明X1+X2服从一个漂移率为?1??2，方差为?12??22的维纳过程。 b) X1+X2在一个短的时间间隔?t的概率分布为：

?[(?1??2)T,(?1??2?2??1?2)T]

如果?1,?2,?1,?2和?都是变化的，那么在一个长的时间T内的概率分布为：

22??(?1??2)T,(?1??2?2??1?2)T?

222222??22因此变量X1?X2服从一个漂移率为?1??2，方差为?1??2?2??1?2的一般维纳过程。

10.6 考虑变量S，服从如下过程

在头3年中?=2，?=3，在接下来的3年中?=3，?=4，如果变量的初始值为5，问在第6年末变量价值的分布概率为多少？

S在第一个三年变化的概率分布是

?(2?3,3?3)??(6,5.20) 下一个三年变化的概率分布是：

?(3?3,4?3)??(9,6.93)

在六年的变化是两个概率分布之和，因此变化的概率分布是： ?(6?9,5.202?6.932)??(15,8.66) 由于变量初始值为5，在6年末变量值的概率分布是 ?(20,8.66)

10.7 假设有一股票，其期望收益率为每年16%，波动率为每年30%，某天其股票价格为＄50，计算如下问题：

（a） 预期下一天的股票价格为多少？ （b） 下一天的股票的标准差为多少？

41

（c） 下一天该股票95%的置信区间为多少？

10.8 股票A和股票B均符合几何布郎运动，在任何短时间内两者的变化是不相关的。问由一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值是否遵循几何布郎运动？请解释原因。 10.9 等式（10.7）可以写成如下等式：

dx?a(x0?x)dt?sxdz

其中?和?均为常数。请阐述上式和下述几个式子的不同： ?S???t????t ?t ?S??S?t???

dS??Sdt??Sdz 为什么公式（10.7）比上述三种模型更符合股票价格的运动趋势？ 10.10 已知短期利率?遵循如下随机过程：

dr?(a?r)bdt?rcdz

其中a，b和c均为正常数，dz是维纳过程。试描述这一随机过程的性质。 10.11假设某个股票价格遵循几何布郎运动，其期望收益率为?，波动率为?： dS??Sdt??Sdz

变量Sn遵循什么过程？证明Sn也服从几何布朗运动。ST的期望价值即股票在T时刻的价格为Se?(T?t)。STn的期望价值是多少？

如果G(S,t)?Sn则?G?t?0,?G?S?nSn?1,?2G?S2?n(n?1)Sn?2 用Ito引理得 dG?[?nG?n12n(n?1)?G]dt??nGdz

12n(n?1)?，波动率是n?，股票价格S期望回报是?。

22这显示G?S服从几何布朗运动，期望收益为?n?ST的期望价值是S0e?T。ST的期望价值是

n[?n?12n(n?1)?]T2n S0e

10.12 假设x是在T时刻支付＄1的贴现债券按连续复利计息的到期收益率。假设x遵循如下过程： dx?a(x0?x)dt?sxdz

其中，a，x0和 s是正常数，dz是维纳过程。那么此债券的价格运动遵循何种过程？ 根据1to引理dB?[?B?za(x0?x)??B?t?1?B2?x22sx]dt?22?B?xsxdz

由于B?e?x(T?t)

42

?B?t?B?x2?xe?x(T?t)?xB

?x(T?t)??(T?t)e??(T?t)B

?B?x2?(T?t)e122?x(T?t)?(T?t)B

22所以dB?[?a(x0?x)(T?t)?sx(T?t)]Bdt?sx(T?t)Bdz

2210.13 假设x是一永久性政府债券的收益率。此债券每年分发＄1的利息。假设x是按连续复利计息的，债券的利息在不停的支付，x遵循如下过程；

dx?a(x0?x)dt?sxdz

其中，a，x0和 s是正常数，dz是维纳过程。那么此债券的价格运动遵循何种？对于债券持有者来说，瞬时收益率（包括利息和投资收益）为多少？ 方法同上

第十一章

11.1 阐述Black-Scholes股票期权定价模型中对于一年中股票价格概率分布的假设条件。

Black-Scholes股票期权定价模型假定一年中股票价格概率分布服从正态分布，同样，它假设股票的连续回报率也是服从正态分布的。

11.2 若一股票价格的波动率为每年30%，则在一个交易日内其相应的价格变化的标准差为多少？ 在本题中?=0.3，假设一年中有252个交易日，则 ?t?1252?0.004

因此?

?t?0.30.004?0.019or1.9%

11.3 阐述风险中性定价原理。

一个期权或者其他金融衍生品都是通过风险中性定价原理来定价的，期权因此在风险中性下和在真实下有一样的价值。因此我们为了估价期权而假设这个世界是风险中性的，这简化了分析。在风险中性情况下，所有证券都期望得到无风险利率的回报率。因此在一个风险中性世界，用于预计远期现金流的最合适的贴现率是无风险利率。

11.4 计算基于无红利支付股票的欧式看跌期权价格，其中执行价格为＄50，现价为＄50，有效期3个月期，无风险年收益率为10%，波动率为每年30%。 在本题中S0?50,X?50,r?0.1,??0.3,T?0.25 d1?ln(50/50)?(0.1?0.09/2)0.250.30.25?0.2417

d2?d1?0.30.25?0.0917 欧式看跌期权价格是

43

50N(?0.0.0917)e?50?0.4634e?0.1?0.25?50N(?0.2417)

?0.1?0.25?50?0.4045?2.3711.5 若在两个月后预期支付的红利为＄1.50，则习题11.4中计算会有何变化？ 在本题中我们在使用BS公式前必须从股票价格中减去红利的贴现值，因此S0应该是 S0?50?1.50e?0.1667?0.1?48.52

其他变量不变X?50,r?0.1,??0.3,T?0.25 在本题中

ln(48.52/50)?(0.1?0.09/2)0.250.30.25 d1??0.0414

d2?d1?0.30.25??0.1086 欧式看跌期权价格是

50N(?0.1086)e?50?0.5432e?0.1?0.25?48.52N(?0.0414)

?0.1?0.25?48.52?0.4045?3.03

11.6 什么是隐含波动率？如何计算？

隐含波动率是使一个期权的Black-Scholes价格等于它的市场价格的波动率，它用互换程序计算。

11.7 目前股票价格为＄50，假设该股票的期望收益率为18%,波动率为30%。两年内此种股票价格的概率分布是什么？计算该分布的均值和标准差（95%的置信区间）。 在本题中??0.18,??0.30从方程（11.7）两年内此种股票回报率的概率分布是：

0.3022 ?(0.18?,0.302)??(0.11875,0.1768)

回报期望值是11.875%。标准差是17.68%。

11.8 某个股票现价为＄40。假设其期望收益率为15%，波动率为25%。两年期间所得回报率（连续复利计息）的概率分布是什么？

在本题中??0.15,??0.25从方程（11.7）两年内此种股票回报率的概率分布是：

0.2522 ?(0.15?,0.252)??(0.11875,0.1768)

11.9 某个股票价格遵循几何布朗运动，其期望收益率为16%，波动率为35%。现价为§38。 （a） 到期。 （b） 少？

计算基于该股票的欧式看涨期权将被执行的概率分布。标的物股票的执行价格为＄40，6个月后若到期日的执行价格和到期日如上，则基于该股票的欧式看跌期权将被执行的概率分布是多

44

（a）lnST??(ln38?(0.16?lnST??(3.687,0.247)

0.3522)0.5,0.350.5)

由于ln40?3.689，所以所求的概率是 1?N(（c） 1-0.

11.10 用本章所用符号，证明ST的95%的置信区间是在 [S0e根据方程11.2 lnST??[lnS0?(??(???23.689?3.6870.247)?1?N(0.008)?1?0.5032?0.4968

在本题中所求概率是在6个月中股票价格小于40的概率

4968=0.5032

/2)T?1.96?T，S0e(???2/2)T?1.96?T]

?22)T,?T]

在95%的置信用水平上ST置信区间[lnS0?(??经转化得[S0e(???2?22T)T?1.96?T，lnS0?(???22)T?1.96?T]

/2)T?1.96?T，S0e(???2/2)T?1.96?] 11.11 一个证券组合的经理在过去的10年中平均每年的回报率为20%。这种说法在哪些方面有问题？ 这种说法造成误导，因为平均回报率有几何平均回报率和算术平均回报率，两责最后结果不同。

11.12 假设一股票。在连续15周每个周末观察一次股票价格（以美圆计算）如下：30.25，32，31.125，30.125，30.24，30.375，30.675，33.5，33，32.875，33，33.5，33.75，33.5，33.25，试估算此股票的波动率，你估算的标准误差。

11.13 假设某个无红利支付股票的期望收益率为?，波动率为?。某个具有创新意识的金融机构刚刚宣布：它将交易这样一种证券，即：该证券在T时刻以美元计的收益率等价于LnST, 其中ST,是在T时刻股票的价格。 （a） （b）

利用风险中性定价，计算在T时刻此种证券的价格，用股票价格S和时间T来表示。 证明你所计算的价格满足公式（11.15）。

11.14 若习题11.13中的证券非常成功，此金融机构计划交易这样一种证券，即：该证券在T时刻以美元

计的收益等价于ST2。 （a） （b） (a)

利用风险中性定价，计算此种证券在t时刻的价格，用股票价格S和时间t来表示。 证明你计算的价格满足公式（11.15） 在t时刻lnST的期望值是

lnS?(???22)(T?t)

在风险中性条件下lnST的期望值是

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