高中数学竞赛专题二 数列

高中数学竞赛专题讲座之 数列

一、选择题部分

1．（2006年江苏）已知数列 an 的通项公式an

A a1

B a2

2

，则 an 的最大项是（ B ） 2

n 4n 5

C a3 D a4

23

2．（2006安徽初赛）正数列满足a1 1,a2 10,anan 2 10an t n 3 ，则lg(a100) （ ）

A、98 B、99 C、100 D、101

3. （2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2， ，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、 sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+ pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2， ，p2006)的“蔡查罗和”为 （ A ）

A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004

4．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1

的最小整数n是 （ ） 125

B．6

C．7

D．8

A．5

解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-

1

的等比数列， 3

1

8[1 ( )n]

1n1n1n-13∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+ +(an-1)==6-6×(-)，∴|Sn-n-6|=6×()<，得：3>250，

1331251 3

∴满足条件的最小整数n=7，故选C。

5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=

A．1

B．-1

xn 13 xn

2005

，则

x

n 1

n

= （ ）

C．2+3 D．-2+3

解：xn+1=

xn 1

xn3

，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-3, x4=-1,

6

2005

x5=-2+, x6=2-3, x7=1， ，∴有

x

n 1

n

x1 1。故选A。

6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{an}的前n项和分别为An，Bn记、b{n}

Cn an Bn bn An an bn(n 1)则数列{Cn}的前10项和为 ( C )

A B10

A .A10 B10 B. 10 C.A10

B102

7．（2006年浙江省预赛）设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如

则f2006(2006)＝ f(123) 12 22 32 14。记f1(n) f(n)，fk 1(n) f(fk(n))，k 1,2,3, ，

(A) 20 (B) 4 (C) 42 (D) 145. （ D ）

) 40记做2006 40，于是有 解： 将f(2006

2006 40 16 37 58 89 145 42 20 4 16

从16开始，fn是周期为8的周期数列。故f2006(2006) f2004(16) f4 250 8(16) f4(16) 145.

正确答案为D。 二、填空题部分

11

(an ),则a

n2an

d a 90，2．（200 6天津）已知a,b,c,d都是偶数，且0 a b c d，1

1.数列 an 的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn

若a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则a b c d的值等于 194 ．

3. （2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10， ，记这

n3

个数列前n项和为S(n)，则lim=___________。

n S(n)

4．（2006年江苏）等比数列 an 的首项为a1 2020，公比q 项的积，则当n 12 时，f n 有最大值．

5. 在x轴的正方向上，从左向右依次取点列 Aj,j 1,2, ，以及在第一象限内的抛物线y

1

．设f n 表示这个数列的前n2

2

上从左向右依次取点列 Bk ,k 1,2, ，使 Ak 1BkAk（k 1,2, ）都是等边三角形，其中A0是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是 2005。

【解】：设第n个等边三角形的边长为an。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点Bn的坐标为（a1 a2 an 1

3

x2

an

， 2

a 3

。 a1 a2 an 1 n ）

2 2

再从第n个等边三角形上，我们可得Bn的纵坐标为

1 2

an an an。从而有

2 2

2

an12a 3

。 an a1 a2 an 1 n ，即有 an a1 a2 an 1

22 2 22

由此可得a1 a2 an （1）－（2）即得 an

an12a12

an （1） , 以及 a1 a2 an 1 n 1 an 1 （2）

2222

11

(an an 1) (an an 1)(an an 1). 22

变形可得 (an an 1 1)(an an 1) 0.

由于an an 1 0，所以 an an 1 1。在（1）式中取n ＝ 1，可得 因此第2005个等边三角形的边长为 a2005 2005。

6.(2005年浙江)已知数列xn，满足(n 1)xn 1 xn n, 且x1 2， 则x2005= 【解】：由 (n 1)xn 1 xn n，推出 xn 1 1

112

，而a1 0，故a1 1。 a1 a1

22

2005! 1

。

2005!

即有 xn 1

xn 1

。因此有 n 1

x 1xn 1 1xn 2 1x1 11

xn 1 1 n .

n 1(n 1)n(n 1)n(n 1)(n 1)n(n 1) 2(n 1)!

2005! 11

1。 从而可得 x2005 。 (n 1)!2005!

a1a2a3a4

|ai T,i 1,2,3,4},将M中的元素7727374

按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）

5563556211041103A． 2 3 4 B． 2 3 4 C． 2 3 4 D． 2 3 4

7777777777777777

4

解：用[a1a2 ak]p表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以7，得

7. (2005全国)记集合T {0,1,2,3,4,5,6},M {

M {a1 73 a2 72 a3 7 a4|ai T,i 1,2,3,4} {[a1a2a3a4]7|ai T,i 1,2,3,4}. M 中的最大数为[6666]7 [2400]10。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个

1104

数是2400-2004=396。而[396]10 [1104]7将此数除以74，便得M中的数 2 3 4.故选C。

7777

8．（2004 全国）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式(3 an 1)(6 an) 18,且a0 3，则的值是_________________________。

1

i oai

n

111

即,n 0,1,2,...,则(3 )(6 ) 18,

anbn 1bn

1111

3bn 1 6bn 1 0. bn 1 2bn ,bn 1 2(bn ) 故数列{bn }是公比为2的等比数列，

3333

111111

bn 2n(b0 ) 2n( ) 2n 1 bn (2n 1 1)。

33a0333

解：设bn

nn

1n 211i 11 2(2n 1 1)

bi (2 1) (n 1) 2 n 3 。 3 2 1i oaii 0i 03 3n

9．（2005四川）设r,s,t为整数，集合{a|a 2r 2s 2t,0 t s r}中的数由小到大组成数列

{an}：7,11,13,14, ，则a36

2

解：∵r,s,t为整数且0 t s r，∴r最小取2，此时符合条件的数有C2 1

2r 3，s,t可在0,1,2中取，符合条件有的数有C3 3 2同理，r 4时，符合条件有的数有C4 6

2r 5时，符合条件有的数有C5 10 2r 6时，符合条件有的数有C6 15 2r 7时，符合条件有的数有C7 21

因此，a36是r 7中的最小值，即a36 20 21 27 131

三、解答题部分

1．（200 6天津）已知数列{an}满足a1 p，a2 p 1，an 2 2an 1 an n 20，其中p是给定的实数，n是正整数，试求n的值，使得an的值最小．

【解】令bn an 1 an，n 1,2, 由题设an 2 2an 1 an n 20，有bn 1 bn n 20，且

n 1i 1

n 1i 1

b1 1 5分 于是 (bi 1 bi) (i 20)，即bn b1 [1 2 (n 1)] 2n(n 1)．

∴bn

(n 1)(n 40)

1． （※） 10分

2

又a1 p，a2 p 1，则a3 2a2 a1 1 20 p 17 a1 a2． ∴当an的值最小时，应有n 3，an an 1，且an an 1．

即bn an 1 an 0，bn 1 an an 1 0． 15分

(n 1)(n 40) 2 n 40*

由（※）式，得 由于n 3，且n N，解得 ，

(n 2)(n 41) 2n 40

∴当n 40时，a40的值最小． 20分

2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知sin(2 ) 3sin ,设tan x,tan y,记y f(x)。 (1)求f(x) 的表达式; f(x)

x

1 2x2

122n 2*

(2)定义正数数列{an};a1 ,an 1 2an f(an)(n N)。试求数列{an}的通项公式。an . n 1

22 1

3．（2006安徽初赛）已知数列 an n 0 满足a0 0，对于所有n N ，有

an 1 ，求5an的通项公式． 1 1a1n

4. （2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使

2004

得a2006=0。 （ 2+1）

5．（2006年南昌市）将等差数列{an}:an 4n 1 (n N*)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2006的值.

解:由于an 15 an 60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an 15是3或5的倍数.

现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+ )＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪ ,注意第一个区间段中含有{an}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项8个,为:b1 7,b2 11,b3 19,b4 23,b5 31,b6 43,b7 47,b8 59,于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k r br 60k,k∈N,1≤r≤8.

由于2006＝8×250+6,而b6 43所以b2006 60 250 b6 60 250 43 15043.

,6．（2004湖南）设数列{an}满足条件：a1 1,a2 2，且an 2 an 1 an(n 1,2,3, ) 求证：对于任何正整数n，都有 an 1 1

1

an

证明：令 a0 1,则有 ak 1 ak ak 1，且 1

n

n

aka

k 1(k 1,2, )， 于是 ak 1ak 1

ak

n

ak 1k 1

ak 1aaaaaa

由算术-几何平均值不等式，可得1 n1 2 n+0 1 n 1

a2a3an 1a2a3an 1k 1ak 1

注意到 a0 a1 1，可知 1

1

an 1

1

anan 1

，即 an 1 1

1

an

an 1,当n为偶数时，

2

7．（2006年上海） 数列 an 定义如下：a1 1，且当n 2时，an

1

,当n为奇数时． a n 1

30

，求正整数n． 19

解 由题设易知，an 0,n 1,2, ．又由a1 1，可得，当n为偶数时，an 1；当n( 1)是奇

1

数时，an 1． （4分）

an 1

已知an

30n3011 1，所以n为偶数，于是an 1 1，所以，是奇数． 19219192

nn 219819

于是依次可得：an 是奇数， 1， 1是偶数，an 2 1 1，

12411111142

n 6n 611113

是偶数，an 6 是奇数， an 2 1， 1 1，

14888848

n 14n 14885

是偶数，an 14 1 1，是偶数， an 6 1，

1816333816

n 1452

是奇数， （9分） an 14 1 1，

323332

n 46n 46331

是偶数，an 46 1 1，是奇数， an 14 1，

132642223264

n 110

是偶数， an 110 2 1 1， an 46 2 1，

16464128

n 110

1，解得，n＝238． （14分） 所以，

128

由an

13. (2005全国)数列{an}满足：a0 1,an 1

2

7an 45an 36

2

证明：（1）对任意n N,an为正整数；(2)对任意n N,anan 1 1为完全平方数。

证明：（1）由题设得a1 5,且{an}严格单调递增.将条件式变形得2an 1 7an

22平方整理得an 1 7anan 1 an 9 0 ①

22

an 7an 1an an 1 9 0 ②

①-②得(an 1 an 1)(an 1 an 1 7an) 0, an 1 an, an 1 an 1 7an 0 an 1 7an ab 1. ③

由③式及a0 1,a1 5可知，对任意n N,an为正整数. 10分

aa22

（2）将①两边配方，得(an 1 an) 9(anan 1 1), anan 1 1 (n 1n).④

3

由③an 1 an 9an (an 1 an)≡ (an an 1) mod3

a ann

∴an 1 an≡( 1) a1 a0 ≡0（mod3）∴n 1为正整数

3

④式成立. anan 1 1是完全平方数. 20分

245an 36,两边

,n N.

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