2018中考数学压轴题专题03 函数的几何综合问题（原卷版）

玩转压轴题，争取满分之备战2018年中考数学选填题高端精品 专题三、函数的几何综合问题

【考法综述】

1.对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．

注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上． 2.一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．学科网

由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0?y=kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0?y=kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0?y=kx+b的图象在二、三、四象限． 3. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）

③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数．

△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，

抛物线与x轴没有交点．

二次函数的解析式有三种常见形式：

①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；

②顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；

③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 4. 反比例函数的性质 （1）反比例函数y?

k

（k≠0）的图象是双曲线；x

[来源学科网ZXXK]

（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 反比例函数y?

k

（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， x

①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

【典例剖析】

考点一、一次函数的综合问题

例1如图，已知直线l：

，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交

y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为（ ）

A．（0，128）

B．（0，256）

C．（0，512）

D．（0，1024）

&变式训练&

变式1.1如图，直线l：y=x+1交y轴于点A1，在x轴正方向上取点B1，使OB1=OA1；过点B1作A2B1⊥x轴，交l于点A2，在x轴正方向上取点B2，使B1B2=B1A2；过点B2作A3B2⊥x轴，交l于点A3，在x轴正方向上取点B3，使B2B3=B2A3；…记△OA1B1面积为S1，△B1A2B2面积为S2，△B2A3B3面积为S3，…则S2017等于（ ）

A．2

4030

B．2

4031

C．2

4032

D．2

4033

x﹣

与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形

变式1.2如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=

A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是 ．

变式1.3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点B，交y轴于点A，过点A作AB1⊥AB

交x轴于点B1，过点B1作B1A1⊥x轴交直线l于点A2…依次作下去，则点Bn的横坐标为 ．

考点二、一次函数的实际应用问题

例2高速公路上依次有3个标志点A、B、C，甲、乙两车分别从A、C两点同时出发，匀速行驶，甲车从A→B→C，乙车从C→B→A，甲、乙两车离B的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象如图所示．观察图象，给出下列结论：①A、C之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点E的坐标为（7，180），其中正确的有 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．

&变式训练&

变式2.1甲、乙两辆汽车沿同一路线从A地前往B地，甲车以a千米/时的速度匀速行驶，途中出现故障后停车维修，修好后以2a千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发2小时后匀速前往B地，比甲车早30分钟到达．到达B地后，乙车按原速度返回A地，甲车以2a千米/时的速度返回A地．设甲、乙两车与A地相距s（千米），甲车离开A地的时间为t（小时），s与t之间的函数图象如图所示．下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为1小时；③两车在途中第二次相遇时t的值为5.25；④当t=3时，两车相距40千米，其中不正确的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

变式2.2甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．则下列结论： （1）a=40，m=1； （2）乙的速度是80km/h； （3）甲比乙迟h到达B地； （4）乙车行驶小时或正确的个数是（ ）

小时，两车恰好相距50km．

A．1

B．2

C．3

D．4

变式2.3甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象．则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a=750；③乙在途中等候甲100秒；④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米．其中正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点三、反比例函数的几何问题

例3如图，已知动点P在函数y=

（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、

PN分别与直线AB：y=﹣x+1交于点E，F，则AF?BE的值为（ ）

A．4

B．2

C．1

D．

&变式训练&

变式3.1如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，点C在线段AB上，点D在AB的右侧，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，∠OAB=∠BCD=90°，若函数y=（x＞0）的图象经过点D，则△OAB与△BCD的面积之差为（ ）

A．12 B．6

C．3

D．2

的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象

变式3.2如图，在反比例函数y=

限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=的图象上运动，若tan∠CAB=2，则k的值为（ ）

A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12

变式3.3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k＞0）分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BD⊥x轴于点D，交y=的图象于点C，连结AC．若△ABC是等腰三角形，则k的值是 ．

考点四、一次函数与反比例函数的交点综合问题

例4如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，6）与点B，且与y轴交于点C，若点P是反比例函数y=图象上的一个动点，作直线AP与x轴、y轴分别交于点M、N，连结BN、CM．若S

△ACM

=S△ABN，则的值为 _______ ．

&变式训练&

变式4.1一次函数

（k是自然数的常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为Sk，则

S1+S2+S3+…S100的值是（ ） A．50 B．101 C．

D．

变式4.2当≤x≤2时，函数y=﹣2x+b的图象上至少有一点在函数y=的图象下方，则b的取值范围为（ ） A．b

B．b＜ C．b＜3 D．2

2

的图象交点的横坐标，那么用此方法可

变式4.3方程x+3x﹣1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数推断出方程x+2x﹣1=0的实数根x0所在的范围是（ ） A．﹣1＜x0＜0

B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜2 D．2＜x0＜3

2

考点五、二次函数的性质问题

例5抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点是点A（3，0），其部分图象如图，则下列结论：学=科网 ①2a+b=0； ②b﹣4ac＜0；

③一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的另一个解是x=﹣1； ④点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，若x1＜0＜x2，则y1＜y2． 其中正确的结论是 ____ （把所有正确结论的序号都填在横线上）

2

2

2

&变式训练&

变式5.1关于二次函数y=ax+bx+c图象有下列命题： （1）当c=0时，函数的图象经过原点；

（2）当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax+bx+c=0必有两个不等实根； （3）当b=0时，函数图象关于原点对称． 其中正确的个数有（ ）

2

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