西安中学高三第三次年级统考数学答案

西安中学高三第三次年级统考数学（理）参考答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D A B B D B D A B C B 二、填空题

13．2 14. 31 15. 14? 16. 2. 三、解答题

17．解：（Ⅰ）?f(x)?sinx2?3(1?2sin2x4)?sinx2?3cosx?xπ?2?2sin?2??3?． ??f(x)的最小正周期T?2π1?4π．

2（Ⅱ）由2k????2?x2?3?2k???2(k?Z)解得

4k??5?3?x?4k???3

∴ f(x)的单调递增区间为[4k??5??3,4k??3](k?Z)。

18．（I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为A.这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p. 所以，P(A)?(1?p)2， 从而，P(A)?1?(1?p)2. 令1?(1?p)2?0.51,解得p?0.3. （II）解：ξ的可取值为0，1，2.

P(??0)?(1?0.3)2?0.49,

P(??1)?2?0.3?(1?0.3)?0.42,P(??2)?0.32?0.09.

所以ξ的分布列为

ξ 0 1 2 P 0.49 0.42 0.09 ξ的数学期望E??0?P(??0)?1?P(??1)?2?P(??2)?0.6. 19．（Ⅰ）取DC的中点E.

∵ABCD是边长为a的菱形,?DAB?60?，∴BE⊥CD. ∵PD?平面ABCD, BE?平面ABCD，∴PD? BE.

1

由题意，

∴BE⊥平面PDC.∠BPE为求直线PB与平面PDC所成的角. ∵BE=

32a，PE=

52a,∴tan?BPE=

BEPE=

155.

（Ⅱ）连接AC、BD交于点O，因为ABCD是菱形，所以AO⊥BD.

∵PD?平面ABCD, AO?平面ABCD， ∴AO? PD. ∴AO⊥平面PDB.

作OF⊥PB于F，连接AF，则AF⊥PB. 故∠AFO就是二面角A－PB－D的平面角.

∵AO=

32a，OF=

24a，∴tan?AFO?axAOOF=6.

20．解: （Ⅰ）?f??x??2x?所以a?2x2,?a?2. 又g??x??1?a2x?0在x??1,2?恒成立,

?0在x??0,1?恒成立,

所以 a?2x,?a?2. 从而有a?2.

故f?x??x2?2lnx,g?x??x?2x. （Ⅱ）令F(x)?f(x)?g(x)?2,

2x1x(x?1)(2xx?2x?xx?2) 则F'(x)?2x??1??

所以F?x?在?0,1?上是减函数,在?1,???上是增函数, 从而当x?0时,F?x?min?F?1??0.

所以方程f(x)?g(x)?2在?0,???只有一个解x?1.

2221．证明：由an,an?1是关于x的方程x?2bnx?anbnbn?1?0的两根得

an?an?1?2bn,22anan?1?anbnbn?1。

?2bn?bn?1bn?bnbn?1,

?bn?0，?2bn?bn?1?bn?1(n?1) ?{bn}是等差数列。

（2）由（1）知2b1?a1?a2?8,?b1?2,

2 2

?a2?b1b2,?b2?3,?bn?n?1,?b1?n。 an?bn?1bn?n(n?1)(n?1)。

又a1?2符合上式，?an?n(n?1) 。 （3）sn?12sn?222?3232?122?4423???n?1n23???122n?12n?1 ①

②

?124①—②得

sn?1?2?123???12n?n?12n?1。

1?1?4(1?1?121n?1)?n?12n?1?1?12(1?12)?n?1n?12n?1

2?sn?3?n?32n。

qx?2lnx,

22．解：（1）由题意g(x)?px?qe又g(e)?pe??2,?pe?1eqe?2?qe?qe?2,?(p?q)e?(p?q)而e?1e?0,?(p?q)(e?1e)?0,

?0,?p?q.px2 （2）由（1）知：g(x)?px?g?(x)?p?px2?2lnx（x>0）

,

?2x?px?2x?px2令h(x)=px2－2x+p.要使g(x)在（0，+∞）为增函数，只需h(x)在（0，+∞）满足：h(x)≥0恒成立。

即px2－2x+p≥0。

p?2xx?12在(0,??)上恒成立

又?0?2xx?12?2x?1x?22x?1x?1(x?0)

所以p?1

（3）证明：①即证 lnx－x+1≤0 (x>0)，

设k(x)?lnx?x?1,则k?(x)?1x?1?1?xx.

当x∈（0，1）时，k′(x)>0，∴k(x)为单调递增函数； 当x∈（1，∞）时，k′(x)<0，∴k(x)为单调递减函数； ∴x=1为k(x)的极大值点，

3

∴k(x)≤k(1)=0.

即lnx－x+1≤0，∴lnx≤x－1. ②由①知lnx≤x－1,又x>0，??n?N*,n?2,令x?n,得?lnnn22lnxx2?x?1x?1?1x

lnnn2?1?1n2.?12(1?1n2),

?????ln221212122?ln332???122lnn23132?12(1?1n122?1?12132???1?11n2)13?4???1n(n?1))][(n?1)]?([n?1?([n?1?(2??112????14)]?21n?[(n?1)?(1)]2?3?1212??13???n?1

n?1)]2n?n?14(n?1) 4

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