样本容量的确定

样本容量的确定 分类：Statistics

在参数区间估计的讨论中，估计值和总体的参数之间存在着一定的差异，这种差异是由样本的随机性产生的。在样本容量不变的情况下，若要增加估计的可靠度，置信区间就会扩大，估计的精度就降低了。若要在不降低可靠性的前提下，增加估计的精确度，就只有扩大样本容量。当然，增大样本容量要受到人力、物力和时间等条件的限制，所以需要在满足一定精确度的条件下，尽可能恰当地确定样本容量。

一、影响样本容量的因素

（一）总体的变异程度(总体方差)

在其它条件相同的情况下，有较大方差的总体，样本的容量应该大一些，反之则应该小一些。例如：在正态总体均值的估计中，抽样平均误差为它反映了样本均值相对于总体均值的离散程度。所以，当总体方差较大时，样本的容量也相应要大，这样才会使较（二）允许误差的大小

允许误差指允许的抽样误差，记为允许误差可以表示为

能范围，所以又称为误差。

，例如，样本均值与总体均值之间的

小，以保证估计的精确度。

，允许误差以绝对值的形式表现了抽样误差的可

允许误差说明了估计的精度，所以，在其他条件不变的情况下，如果要求估计的精度高，允许误差就小，那么样本容量就要大一些；如要求的精确度不高，允许误差可以大些，则样本容量可以小一些。 （三）概率保证度1－α的大小

概率保证度说明了估计的可靠程度。所以，在其他条件不变的情况下，如果要求较高的可靠度，就要增大样本容量；反之，可以相应减少样本容量。 （四）抽样方法不同

在相同的条件下，重复抽样的抽样平均误差比不重复抽样的抽样平均误差大，所需要的样本容量也就不同。重复抽样需要更大的样本容量，而不重复抽样的样本容量则可小一些。

此外，必要的抽样数目还要受抽样组织方式的影响，这也是因为不同的抽样组织方式有不同的抽样平均误差。

二、样本容量的确定

(一) 估计总体均值的样本容量

在总体均值的区间估计里，置信区间是由下式确定的：

例如，对于正态总体以及非正态总体大样本时，都是以它为置信区间。

从图6–1中可以看到，从估计量x的取值到点的距离实际上为置信区间长

度的。这段距离表示在一定置信水平1－α下，用样本均值估计总体均值时所允许的最大绝对误差即允许误差Δ。显然，若以x的取值为原点，则允许误差Δ可以表示为：

（6–15）

x=0

图6–1 允许误差示意图

公式（6–15）反映了允许误差Δ、可靠性系数、总体标准差与样本容量之间的相互制约关系。只要这四个因素中的任意三个因素确定后，另一个因素也就确定了。

在重复抽样条件下，把允许误差Δ的计算公式容量的计算公式：

变形整理，则得到样本

（6–16）

在不重复抽样的条件下，抽样允许误差为

形后得到不重复抽样条件下的样本容量公式为

, 因此变

n=（6–17）

例6–14 某食品厂要检验本月生产的10 000袋某产品的重量，根据以往的资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。如果要求在95.45%的置信度下，平均每袋重量的误差不超过5克，应抽查多少袋产品? 解由题意可知N=10 000（原作者误为20 000），1–α=95.45%，有

=2。在重复抽样的条件下

=25克，

=5克，根据置信度

n=（袋）

注：Excel中的计算方法：

利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2； 题中要求平均每袋重量的误差不超过5，即表明SD*z小于或者等于5；

那么倒推标准偏差应该不超过2.5；在总体标准差为25克的前提下，那么取样量应该为99.96，当然，取样量应该是整数，即100。 在不重复抽样条件下

n==99（袋）

由计算结果可知：在其它条件相同的情况下，重复抽样所需要的样本容量大于不重复抽样所需要的样本容量。

在计算样本容量时，必须知道总体的方差，而在实际抽样调查前，往往总体的方差是未知的。在实际操作时，可以用过去的资料，若过去曾有若干个方差，应该选择最大的，以保证抽样估计的精确度；也可以进行一次小规模的调查，用调查所得的样本方差来替代总体的方差。 (二)估计总体成数时的样本容量

估计总体成数时样本容量的确定方法与估计总体均值是一样的，设允许误差，在1—a的置信度下，重复抽样条件下有

为

解上面的方程可得重复抽样条件下样本容量的公式为

同理可得不重复抽样条件下的样本容量公式为

（6–19）

在估计成数时，计算样本容量时需要总体的成数，但是总体的成数通常是未知的，在实际的抽样调查时，可先进行小规模的试调查求得样本的成数来代替。也可用历史的资料，如果有若干个成数可供选择，则应选择最靠近50%的成数，使样本成数的方差最大，以保证估计的精确度。

例6–15 为了检查某企业生产的10 000个显像管的合格率，需要确定样本的容量。根据以往经验合格率为90%、91.7%。如果要求估计的允许误差不超过0.0275，置信水平为95.45%。求应该取多少只显像管?

解根据资料，我们应该选择P=0.9计算样本容量，根据置信水平0.9545，有

重复抽样条件下，样本容量

=2，

不重复抽样条件样本容量

从计算的结果可以看出，重复抽样应该抽477件件检验，而不重复抽样应该抽455件，可见，在相同条件下，重复抽样需要的样本容量更大。 注：Excel中的计算方法：

利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2.

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