（全国通用版）2018-2019版高中数学 第二章 推理与证明章末复习

花落知多少第二章 推理与证明

章末复习

学习目标 1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题．

1．合情推理

(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由特殊到特殊的推理．

(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理

(1)演绎推理：由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断． 3．直接证明和间接证明

(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：

1

花落知多少①综合法是从已知条件推出结论的证明方法； ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．

(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法． 4．数学归纳法

数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n＝n0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n＝k时结论成立，推得当n＝k＋1时结论也成立．

1．归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )

2．“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )

3．综合法是直接证明，分析法是间接证明．( × ) 4．反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × )

类型一 合情推理与演绎推理 例1 (1)观察下列等式：

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＝4×1×2； ??3?3?3????

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋?sin 4π?－2 ????5?5?5?5?????????

4

＝×2×3； 3

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 6π?－2＝4×3×4； ????????7?7?7?7?3?????sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 8π?－2＝4×4×5； ????????9?9?9?9?3????

…… 照此规律，

?sin π?－2＋?sin 2π?－2＋?sin 3π?－2＋…＋?sin 2nπ?－2＝________. ????2n＋1?2n＋1?2n＋1?2n＋1?????????

考点 归纳推理的应用

题点 归纳推理在数对(组)中的应用 4

答案 n(n＋1)

3

2

花落知多少3－13＋1

解析 第一个等式中1＝，2＝；

225－15＋1

第二个等式中，2＝，3＝；

227－17＋1

第三个等式中，3＝，4＝. 22

42n＋1－12n＋1＋14

由此可推得第n个等式等于××＝n(n＋1)．

3223(2)根据图(1)的面积关系：________.

S△PA′B′PA′PB′V三棱锥P－A′B′C′

＝·，可猜想图(2)有体积关系：＝S△PABPAPBV三棱锥P－ABC

考点 类此推理的应用

题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案

PA′PB′PC′

·· PAPBPC解析 题干两图中，与△PAB，△PA′B′相对应的是三棱锥P－ABC，P－A′B′C′；与△PA′B′两边PA′，PB′相对应的是三棱锥P－A′B′C′的三条侧棱PA′，PB′，PC′.与△PAB的两条边PA，PB相对应的是三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC.由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为

V三棱锥P－A′B′C′PA′PB′PC′

＝··.

V三棱锥P－ABCPAPBPC(3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 1和3

解析 由题意可知丙不拿2和3.

若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意； 若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意． 故甲的卡片上的数字是1和3.

反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的

3

花落知多少特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明． (2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．

(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确． 跟踪训练1 (1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．

通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 13 3n＋1

解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an，可知a4＝13. 通过观察得到递推关系式an－an－1＝3(n≥2，n∈N)， 所以an＝3n＋1.

(2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，则有性质“若Sm＝Sn(m，n∈N且m≠n)，则Sm＋n*

*

＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{bn}为等比数列时，写出一个正确的性质：

________________. 考点 类比推理的应用

题点 等差数列与等比数列之间的类比

答案 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积，若Tm＝Tn(m，n∈N，m≠n)，则Tm＋n＝1 解析 由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时， 加减运算类比推理为乘除运算． 累加类比为累乘，

由此，等差数列{an}的性质类比到等比数列{bn}中为： 数列{bn}为等比数列，Tm表示其前m项的积， 若Tm＝Tn(m，n∈N，m≠n)， 则Tm＋n＝1.

类型二 综合法与分析法

sin α例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤. 1－cos α考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 方法一 分析法

*

*

4

花落知多少sin α

要证2sin 2α≤成立，

1－cos α只需证4sin αcos α≤

sin α

，

1－cos α

∵α∈(0，π)，∴sin α>0， 1

只需证4cos α≤，

1－cos α∵1－cos α>0，

∴4cos α(1－cos α)≤1， 可变形为4cosα－4cos α＋1≥0， 只需证(2cos α－1)≥0，显然成立． 方法二 综合法 ∵

1

＋4(1－cos α)≥4，

1－cos α

2

2

1π

当且仅当cos α＝，即α＝时取等号，

231

∴4cos α≤. 1－cos α∵α∈(0，π)，∴sin α>0， sin α

∴4sin αcos α≤，

1－cos αsin α

∴2sin 2α≤. 1－cos α

反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．

跟踪训练2 设a，b是两个正实数，且a≠b，求证：a＋b>ab＋ab. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题

证明 要证a＋b>ab＋ab成立，即需证 (a＋b)(a－ab＋b)>ab(a＋b)成立， 即需证a－ab＋b>ab成立． 只需证a－2ab＋b>0成立， 即需证(a－b)>0成立．

而由已知条件可知，a≠b，所以a－b≠0，

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

3

3

2

2

5

花落知多少所以(a－b)>0显然成立． 即a＋b>ab＋ab. 类型三 反证法

1＋x1＋y例3 若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：<2与<2中至少有一个成立．

3

3

2

2

2

yx考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

1＋x1＋y证明 假设<2和<2都不成立，

yx1＋x1＋y则有≥2和≥2同时成立．

yx因为x>0且y>0，

所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，

两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2. 这与已知x＋y>2矛盾． 故

1＋x1＋y<2与<2中至少有一个成立．

yx反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法． 跟踪训练3 已知：ac≥2(b＋d)．

求证：方程x＋ax＋b＝0与方程x＋cx＋d＝0中至少有一个方程有实数根． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

证明 假设两方程都没有实数根，

则Δ1＝a－4b<0与Δ2＝c－4d<0，有a＋c<4(b＋d)，而a＋c≥2ac，从而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，与已知矛盾，故原命题成立． 类型四 数学归纳法

21

例4 已知在数列{an}中，a1＝－，其前n项和Sn满足an＝Sn＋＋2(n≥2)，计算S1，S2，

3Sn2

2

2

2

2

2

2

2

S3，S4，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．

考点 数学归纳法证明数列问题 题点 数学归纳法证明数列通项问题 1

解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Sn＋＋2.

Sn∴Sn＝－

1

(n≥2)．

Sn－1＋2

6

花落知多少2

则有S1＝a1＝－，

3

S2＝－＝－，

S1＋24S3＝－＝－， S2＋25S4＝－＝－， S3＋26

由此猜想：Sn＝－

1

5

1

4

13

n＋1*

(n∈N)． n＋2

下面用数学归纳法证明：

2

(1)当n＝1时，S1＝－＝a1，猜想成立．

3(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时猜想成立， 即Sk＝－

*

k＋1

成立， k＋2

那么当n＝k＋1时，

Sk＋1＝－＝－

Sk＋2k＋1

－＋2k＋2

＝－11

k＋2?k＋1?＋1

＝－. k＋3?k＋1?＋2

即当n＝k＋1时猜想成立．

由(1)(2)可知，对任意正整数n，猜想均成立．

反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n0是多少．

(2)由n＝k到n＝k＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n＝k时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明． 跟踪训练4 观察下列四个等式： 第一个式子 1＝1 第二个式子 2＋3＋4＝9 第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25 第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 (1)按照此规律，写出第五个等式；

(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明

7

花落知多少解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81. (2)猜想第n个等式为

n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)＝1， 猜想成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，猜想成立， 即有k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1). 那么当n＝k＋1时，

左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝(2k－1)＋(2k－1)＋3k＋(3k＋1) ＝4k－4k＋1＋8k＝(2k＋1) ＝[2(k＋1)－1]. 右边＝[2(k＋1)－1]， 即当n＝k＋1时，猜想也成立． 根据①②知，猜想对任意n∈N都成立.

*

2

2

2

2

2

2

*

2

1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于( ) A．47 C．63

考点 归纳推理的应用

题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B

解析 5＝2＋1,9＝2＋1,17＝2＋1,33＝2＋1， 归纳可得：x＝2＋1＝65.

2．在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示x，y轴上的截距分别为a，b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，b，c(abc≠0)的平面方程为( ) A.＋＋＝1 C.＋＋6

2

3

4

5

B．65 D．128

xyabxyzabcB.＋＋xyz＝1

abbccaxyyzzx＝1

abbccaD．ax＋by＋cz＝1

8

花落知多少考点 类比推理的应用

题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 A

解析 ∵在平面直角坐标系中，方程＋＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”．类比到空间直角坐标系中，在x，y，z轴上截距分别为a，

xyabxyzb，c(abc≠0)的平面方程为＋＋＝1.故选A.

abc3．若a>0，b>0，则有( )

b2

A.>2b－a ab2

C.≥2b－a a考点 综合法及应用

题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C

b2

B.<2b－a ab2

D.≤2b－a ab2b2－2ab＋a2?b－a?2b2

解析 因为－(2b－a)＝＝≥0，所以≥2b－a.

aaaa4．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实数 C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 A

解析 方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 5．用数学归纳法证明：

1111n*

＋＋＋…＋＝(n∈N)． 2×44×66×82n?2n＋2?4?n＋1?考点 用数学归纳法证明等式 题点 利用数学归纳法证明等式 解 (1)当n＝1时，左边＝

11

＝，

2×1×?2×1＋2?8

3

3

3333

3

9

花落知多少11

右边＝＝.

4×?1＋1?8左边＝右边，所以等式成立．

(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N)时等式成立， 1111k即有＋＋＋…＋＝，

2×44×66×82k?2k＋2?4?k＋1?则当n＝k＋1时，

11111＋＋＋…＋＋ 2×44×66×82k?2k＋2?2?k＋1?[2?k＋1?＋2]＝

*

k1

＋ 4?k＋1?4?k＋1??k＋2?

2

k?k＋2?＋1?k＋1?＝＝ 4?k＋1??k＋2?4?k＋1??k＋2?

＝

k＋1k＋1

＝.

4?k＋2?4[?k＋1?＋1]

所以当n＝k＋1时，等式也成立，

由(1)(2)可知，对于一切n∈N，等式都成立．

1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明．

2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．

3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．

4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时，它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)当n＝n0时，结论成立．第二步(归纳递推)假设当n＝k时，结论成立，推得当n＝k＋1时，结论也成立．数学归纳法是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．

*

一、选择题

10

花落知多少1x1．证明命题：“f(x)＝e＋x在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝

e1111xxxxe＋x，所以f′(x)＝e－x.因为x>0，所以e>1,00，即f′(x)>0.所以f(x)

eeee在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A．综合法 C．反证法 考点 综合法及应用

题点 利用综合法解决函数问题 答案 A

解析 这是从已知条件出发利用已知的定理证得结论的，是综合法，故选A. 2．若a

ab11B．a＋>b＋

baab11C．b＋>a＋ D.

aa＋1

考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 答案 C

解析 取a＝－2，b＝－1，验证可知C正确．

3．我们把1,4,9,16,25，…这些数称为“正方形点数”，这是因为这些数量的点可以排成一个正方形，如图所示，则第n个正方形点数是( )

A．n(n－1) C．(n＋1)

考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 D

解析 由题意可知第n个正方形点数为n.

4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…中，第25项为( )

11

2

2

B．n(n＋1) D．n

2

花落知多少A．25 C．6

考点 归纳推理的应用

B．7 D．8

题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 B

解析 由所给的数列规律知，第25项为7.

5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝2.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( ) A．a1a2a3…a9＝2 C．a1a2…a9＝2×9 考点 类比推理的应用

题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案 D

解析 由等差数列的性质a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5可知D正确．

6．用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值

n2

9

9

B．a1＋a2＋…＋a9＝2 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9

9

n0应取( )

A．2 C．5

考点 数学归纳法定义及原理 题点 数学归纳法第一步：归纳奠基 答案 C

解析 当n取1,2,3,4时，2>n＋1不成立，当n＝5时，2＝32>5＋1＝26，即第一个能使2>n＋1成立的n值为5，故选C.

7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( ) A．大于0 C．不小于0 考点 综合法及应用 题点 综合法的应用 答案 D

解析 因为(a＋b＋c)＝a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ca)＝0， 又因为a＋b＋c≥0，

所以2(ab＋bc＋ca)≤0，即ab＋bc＋ca≤0.

8．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

12

2

2

2

2

2

2

2

B．3 D．6

n252

n2

B．小于0 D．不大于0

花落知多少学生序号 立定跳远(单位：米) 30秒跳绳(单位：次)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 63 a 75 60 63 72 70 a－1 b 65 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )

A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B

解析 进入立定跳远决赛的有8人，根据成绩应是1号至8号． 若a>63，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意；

若61≤a≤63，则同时进入两决赛的有1,2,3,5,6,7号，符合题意； 若a＝60，则同时进入两决赛的不是6人，不符合题意； 若a≤59，则同时进入两决赛的有1,3,4,5,6,7号，符合题意． 综上可知，5号进入30秒跳绳决赛． 二、填空题

1

9．已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是

3____________________． 考点 类比推理的应用

题点 平面几何与立体几何之间的类比 1

答案 正四面体的内切球的半径是高的

4

111

解析 原问题的解法为等面积法，即正三角形的面积S＝ah1＝3×ar?r＝h1(其中a是正

223三角形的边长，h1是高，r是内切圆半径)．

13

花落知多少111

类比，用等体积法，V＝Sh2＝4×R·S?R＝h2(其中S为底面正三角形的面积，h2是高，R334是内切球的半径)． 10．已知2

2＋＝23

2，3

33＋＝38

3，8

44＋＝415

4

，…，15

6＋＝6

aba，a，bb均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________.

考点 归纳推理的应用

题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 41

解析 由题意归纳推理得∴a＋b＝6＋35＝41.

11．完成反证法证题的全过程．

题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．

证明：假设p为奇数，则________均为奇数．① 因为7个奇数之和为奇数，故有

(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为________．② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝________.③ ②与③矛盾，故p为偶数． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

答案 a1－1，a2－2，…，a7－7 奇数 0

解析 由假设p为奇数可知，(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数相矛盾． 三、解答题

12．用综合法或分析法证明： (1)如果a，b>0，则lg(2)6＋10>23＋2.

考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用

6＋＝6

aba2

，b＝6－1＝35，a＝6. ba＋blg a＋lg b2≥

2

；

14

花落知多少证明 (1)当a，b>0时，有∴lg∴lga＋b2

≥ab，

a＋b2

≥lgab，

a＋b1

lg a＋lg b≥lg(ab)＝. 222

(2)要证6＋10>23＋2， 只需证(6＋10)>(23＋2)， 即260>248，这是显然成立的， ∴原不等式成立．

11113．求证：不论x，y取何非零实数，等式＋＝总不成立．

xyx＋y考点 反证法及应用 题点 反证法的应用

111

证明 假设存在非零实数x，y使得等式＋＝成立．

xyx＋y于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy， 即x＋y＋xy＝0，

2

2

2

2

?y?232

即?x＋?＋y＝0. ?2?4

32

由y≠0，得y＞0.

4又?x＋?≥0， ?2?

?

y?2

?y?232

所以?x＋?＋y＞0.

?2?4

与x＋y＋xy＝0矛盾，故原命题成立． 四、探究与拓展

14．设S，V分别表示表面积和体积，如△ABC的面积用S△ABC表示，三棱锥O－ABC的体积用

2

2

VO－ABC表示，对于命题：如果O是线段AB上一点，则|OB|·OA＋|OA|·OB＝0.将它类比到平

→→→

面的情形时，应该有：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA＋S△OCA·OB＋S△OBA·OC＝0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A－BCD内一点，则有__________． 考点 类比推理的应用

题点 平面几何与立体几何之间的类比

→→→→

答案 VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0

→→→→

15

花落知多少15．给出下列等式：

1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，

……

(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n(n∈N)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明

(1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n个等式为1－2＋3－4＋…＋(－1)＝(－1)

n－1

2

2

2

2

*

n－12

n

·(1＋2＋3＋…＋n)．

2

0

(2)证明 ①当n＝1时，左边＝1＝1，右边＝(－1)×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，猜想成立，即1－2＋3－4＋…＋(－1)

1

*

2

2

2

2

k－12

k＝(－1)k－

·

k?k＋1?

2

，

2

2

2

2

则当n＝k＋1时，1－2＋3－4＋…＋(－1)

k－12

k＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·

k?k＋1?

2

＋(－

k??k＋1?[?k＋1?＋1]?k2kk1)(k＋1)＝(－1)(k＋1)·??k＋1?－?＝(－1)·，

2?2?

故当n＝k＋1时，猜想也成立

由①②可知，对于任意n∈N，猜想均成立．

*

16

花落知多少15．给出下列等式：

1＝1， 1－4＝－(1＋2)， 1－4＋9＝1＋2＋3， 1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，

……

(1)写出第5个和第6个等式，并猜想第n(n∈N)个等式； (2)用数学归纳法证明你猜想的等式． 考点 利用数学归纳法证明等式 题点 等式中的归纳、猜想、证明

(1)解 第5个等式为1－4＋9－16＋25＝1＋2＋3＋4＋5， 第6个等式为1－4＋9－16＋25－36＝－(1＋2＋3＋4＋5＋6)． 猜想第n个等式为1－2＋3－4＋…＋(－1)＝(－1)

n－1

2

2

2

2

*

n－12

n

·(1＋2＋3＋…＋n)．

2

0

(2)证明 ①当n＝1时，左边＝1＝1，右边＝(－1)×1＝1，左边＝右边，猜想成立． ②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，猜想成立，即1－2＋3－4＋…＋(－1)

1

*

2

2

2

2

k－12

k＝(－1)k－

·

k?k＋1?

2

，

2

2

2

2

则当n＝k＋1时，1－2＋3－4＋…＋(－1)

k－12

k＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·

k?k＋1?

2

＋(－

k??k＋1?[?k＋1?＋1]?k2kk1)(k＋1)＝(－1)(k＋1)·??k＋1?－?＝(－1)·，

2?2?

故当n＝k＋1时，猜想也成立

由①②可知，对于任意n∈N，猜想均成立．

*

16

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jdc3.html