广东省肇庆市2015届高中毕业班第二次模拟检测数学理试题 Word版

试卷类型：A

广东省肇庆市中小学教学质量评估2015届高中毕业班第二次模拟检测题

数 学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：柱体的体积公式Sh V =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设i 为虚数单位，则复数34i i

-= A ．43i -- B ．43i -+ C ．i 4+3 D ．i 4-3

2．已知向量(1,2),(1,0),(4,3)===-a b c ．若λ为实数，()λ+⊥a b c ，则λ=

A ．

14 B ．12

C ．1

D ．2 3．若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ?是真命题 D ．q ?是真命题

4．已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S =

A ．44

B ．33

C ．22

D ．11

5．下列函数为偶函数的是

A ．sin y x = B

．)ln

y x = C ．x y e = D

．y = 6．522)11)(2(-+x

x 的展开式的常数项是 A ．2 B ．3 C ．-2 D ． -3

7．若函数x y 2=图象上存在点（x ，y ）满足约束条件??

???≥≤--≤-+,,032,03m x y x y x 则实数m 的最大值为

A ．2

B ．23

C ．1

D ．2

1 8．集合M 由满足：对任意12,[1,1]x x ∈-时，都有1212|()()|4||f x f x x x -≤-的函数()f x 组

成．对于两个函数2()22,()x f x x x g x e =-+=，以下关系成立的是

A ．(),()f x M g x M ∈∈

B ．(),()f x M g x M ∈?

C ．(),()f x M g x M ?∈

D ．(),()f x M g x M ??

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．在ABC ?中，若15,,sin 43

b B A π=∠==，则a = ▲ . 10．若不等式2|4|≤-kx 的解集为}31|{≤≤x x ，

则实数=k ▲ .

11．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，R x ∈，

则)(x f 的最小值是 ▲ .

12．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体

的体积为 ▲ . 13．函数()()()()3141log 1a a x a x f x x x -+

单调函数，则实数a 的取值范围是 ▲

.

（ ）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线l 的方程为cos 5ρθ=，则点π43?? ???

，到直线l 的距离为 ▲ . 15．（几何证明选讲选做题）如图，PT 是圆O 的切线，PAB 是圆O 的

割线，若2=PT ，1=PA ，o 60=∠P ，则圆O 的半径=r ▲ . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知向量()()2,sin 1,cos a b θθ==与互相平行，其中(0,

)2πθ∈． （1）求sin θ和cos θ的值；

（2）若(

)sin 2πθ??-=

<<，求cos ?的值．

正视图 侧视图 俯视图

17．（本小题满分12分）

贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站. 其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站. 记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查.

（1）求抽取的车站中含有佛山市内车站（包括三水南站和佛山西站）的概率；

（2）设抽取的车站中含有肇庆市内车站（包括怀集站、广宁站、肇庆东站）个数为X ，求X 的分布列及其均值（即数学期望）.

18．（本小题满分14分）

如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC ，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，?=∠=∠90CBD BAC ，AB AC =，?=∠30BCD ，BC =6.

（1）证明：平面ADC 平面ADB ； （2）求二面角A —CD —B 平面角的正切值.

19．（本小题满分14分）

已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=，n N *∈. （1）证明数列{}n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；

（2）设数列1(1)n n a a ???

?-??的前n 项和为n T ，证明：13n T <.

C B D

A

20．（本小题满分14分） 若函数21321)(2+-

=x x f 在区间 [a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ].

21．（本小题满分14分） 已知函数x

kx x x f +-+=1)1ln()(，k R ∈. （1）讨论)(x f 的单调区间；

（2）当1k =时，求)(x f 在[0,)+∞上的最小值， 并证明()1111ln 12341

n n ++++<++. 肇庆市2015届高中毕业班第二次统测

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题

9．3

25 10．2 11. 12. π3

13．()110,[,1)1,73

??+∞ ??? 14． 3 15

三、解答题 16．（本小题满分12分）

解：（1）∵a 与b 互相平行，∴θθcos 2sin =， （2分） 代入1cos sin 22=+θθ得5

5cos ,552sin ±=±=θθ， （4分） 又(0,)2π

θ∈，∴5

5cos ,552sin ==θθ. （6分） （2）∵20π

?<<，20π

θ<<，∴22π

?θπ

<-<-， （7分） 由1010)sin(=-?θ，得10

103)(sin 1)cos(2=--=-?θ?θ， （9分） ∴cos ?22)sin(sin )cos(cos )](cos[=

-+-=--=?θθ?θθ?θθ （12分）

17．（本小题满分12分）

解：（1）设“抽取的车站中含有佛山市内车站”为事件A ， 则54)(36

24121422=+=C C C C C A P （4分） （2）X 的可能取值为0，1，2，3 （5分）

()0333361020

C C P X C ===，()1233369120C C P X C ===， （7分） ()2133369220C C P X C ===，()3033361320

C C P X C ===， （9分） 所以X 的分布列为

（10分） X 的数学期望()199130123202020202E X =?

+?+?+?= （12分）

E C

B D A F

18．（本小题满分14分）

（1）证明：因为,,,ABC BCD BD BC ABC

BCD BC BD BCD ⊥⊥=?面面面面面， 所以BD ABC ⊥面. （3分）

又AC ABC ?面，所以BD AC ⊥. （4分）

又AB AC ⊥，且BD AB B =，

所以AC ADB ⊥面. （5分） 又AC ADC ?面，所以ADC ADB ⊥面面.（6分） （2）取BC 的中点E ，连接AE ，则AE BC ⊥， （7分） 又,ABC BCD ⊥面面,ABC BCD BC =面面所以,AE BCD ⊥面 （8分）

所以,AE CD ⊥过E 作EF DC F ⊥于，连接AF ，则,DC AEF ⊥面则,DC AF ⊥所以

AFE ∠是二面角A CD B --的平面角. （11分） 在Rt CEF ?中，01330,22ECF EF CE ∠==

=，又3AE =， （13分） 所以tan 2AE AFE EF ∠=

=，即二面角A CD B --平面角的正切值为2.（14分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）方法一：

由()111n n n a na ++-=，得()()12211n n n a n a +++-+=， （2分） 两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+， （4分） 所以数列{}n a 是等差数列. （5分） 由???=-=1

23211a a a ，得52=a ，所以212=-=a a d ， （6分） 故12)1(1+=?-+=n d n a a n 21n a n =+. （8分）

方法二：

将1)1(1=-++n n na a n 两边同除以)1(+n n ，得1

1111+-=+-+n n n a n a n n ，（3分） 即n

a n a n n 1111-=+-+. （4分） 所以

1111-=-a n a n （5分） 所以12+=n a n （6分） 因为12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列. （8分）

（2）因为()111111(1)2(21)21(21)22121n n a a n n n n n n ??=<=- ?-+-+-+??

， （11分） 所以n

n n a a a a a a T )1(1)1(1)1(12211-++-+-= )]1

21121()7151()5131[(2161+--++-+-+≤n n 3

124131<+-=n （*N n ∈） （14分）

20．（本小题满分14分）

解：()f x 在(),0-∞上单调递增，在[0,)+∞上单调递减. （1分）

（1）当0a b <<时，假设有()()2,2f a a f b b ==， （2分） 则()2f x x =在(),0-∞上有两个不等的实根a ，b . （4分） 由()2f x x =得24130x x +-=，

因为0>ab ，所以13-≠ab ，故假设不成立. （5分）

（2）当0a b <≤时，假设有1322b =，即134b =. （6分） 当0413<≤-a 时，a f x f 2)4

13()(min ==，得6439=a 不符合； （7分） 当4

13-

（3）当0a b ≤<时，假设有???==a b f b a f 2)(2)(，即???????=+-=+-a b b a 22132

2213222 （11分） 解得13a b =??=?

. （13分） 综上所述所求区间[,]a b 为[1,3]

或1324??-???? （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）()f x 的定义域为()1,-+∞. （1分）

22

1(1)1()1(1)(1)x x x k f x k x x x +-+-'=-=+++ （3分） 当0k ≤时，()'0f x >在()1,-+∞上恒成立，所以()f x 的单调递增区间是()1,-+∞，无单调递减区间. （5分）

当0k >时，由()'0f x >得1x k >-，由()'0f x <得1x k <-，所以()f x 的单调递增区间是()1,k -+∞，单调递减区间是()1,1k --， （7分）

（2）由（1）知，当1k =时，()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在[0,)+∞上的最小值为()00f =. （9分） 所以

)1ln(1x x

x +<+（0>x ） （10分） 所以)11ln(111

n n

n +<+，即n n n ln )1ln(11-+<+（*N n ∈）. （12分） 所以)1ln()ln )1(ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 113121+=-+++-+-<++++n n n n （14分）

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