数学建模，复合肥料的问题

复合肥料生产问题

摘要：本文研究为使公司获得最大利润，对基础肥料的采购和加工应如何采取合理的方案，建立线性规划模型，并就基础肥料市场价格的波动对利润的影响作出全面计划。

模型一：对问题一建立线性规划模型，并用lindo软件求解，获得最大利润。

目标函数：z?2250??bij???pijaij?75??cij

i?1j?ii?1j?1i?1j?1656665模型二：对问题二建立模型，考虑如下的价格变化方式：2月份基础磷肥价格上升x%，基础氮肥价格上升2x%；3月份基础磷肥上升2x%，基础氮肥上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对不同的值x（直到20），采用matlab编程法计算出变动后的价格矩阵，再将计算出的价格矩阵代入到模型一中求出相应的最大利润；并对不同x值和相应的最大利润进行拟合，从而得到总利润和不同基础肥料之间的关系。最终公司可以依据此函数对采购和加工做出合理的方案。

关键字：复合肥生产 采购和加工 线性规划模型 lindo软件 matlab软件 拟合函数

1

一 问题的提出

1．1问题的概况

某复合肥料由几种基本肥料组合而成，基础肥料有5种，其中氮肥3种：N1,N2,N3，磷肥2种P1,P2,各种基础肥料由其它化工厂购进，未来半年中各种基础肥料的价格如下：

月份\\肥料 一 二 三 四 五 六 P1 1650 1950 1650 1800 1500 1350 P2 1800 1950 2100 1650 1800 1500 N1 N2 N3 1950 1650 1950 1800 2250 2100 1650 1350 1500 1800 1650 1200 1725 1725 1425 1875 1575 2025 对几种基础肥料加工，然后混合为复合肥。复合肥售价为2250元/吨。氮肥和磷肥在不同生产线加工，每个月最多可以加工磷肥200吨，氮肥250吨。加工过程没有重量损失，费用不考虑。每种基础肥料最多可以存储1000吨备用，存储费用为每吨每月75元。成品复合肥和加工过的基础肥料不能存储。对复合肥的杂质指标限制在3－6%个单位之间，假设杂质是线性混合的。各种基础肥料的杂质含量见下表 基础肥料 P1 P2 N1 N2 N3 杂质（%） 8.8 6.1 2.0 4.2 5.0 1．2需要解决的问题 问题一：为使公司获得最大利润，应采取什么样的采购和加工方案。现存有5种基础肥料每种500吨，要求在6月底仍然有这样多存货。

问题二：研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：2月份基础磷肥价格上升x%，基础氮肥价格上升2x%；3月份基础磷肥上升2x%，基础氮肥上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对不同的值x（直到20），就方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面计划。

二 问题的分析

公司要想获得最大利润，就需要制定一个合理的方案来采购和加工基础肥料，本文对此展开详细的分析。

对于问题一：我们需要将六个月作为一个整体来看，对每个月加工，采购和存储的基础肥料设出相应的变量，假设每个月所加工成的复合肥全部销售完，那么可以依据线性规划模型，列出相应的目标函数，并依据问题中给出的限制条件得到目标函数的约束条件；最后用lindo软件求解此线性方程。

对于问题二：价格呈线性上升变化并且有一定的浮动范围，对于这个问题，我们需要求得每个月变化后的价格，可以用matlab编程法计算出变动后的价格矩阵；将变动的价格带入到模型一，求出相应的最大利润，然后用matlab求出拟合函数，最终得到x和最大利润之间的关系。

2

综合模型一和模型二，公司可以对不同价格，在采购和加工方案上作出相应的改变，从而使公司获得最大的效益。

三 符号说明与名词解释

符号 符号说明 表示第i个月第j种基础肥料的采购量 表示第i个月第j种基础肥料的加工量 表示第i个月第j种基础肥料的存储量 表示第i个月第j种基础肥料的价格 表示基础肥料价格的浮动 表示最大的利润 表示价格浮动为x%时拟合公司获得的最大利润 aij bij cij pij x z Q(x) 可决系数：测定多个变量间相关关系密切程度的统计分析指标,它也是反映多个自变量对因变量的影响程度。可决系数越大,自变量对因变量的解释程度越高,自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点在回归直线附近越密集。可决系数的取值范围在0到1之间，它是一个非负统计量。随着抽样的不同而不同，既是随样本而变动的统计量。

可决系数计算公式：R^2=Σ（^Yi-Y）^2/Σ（Yi-Y）^2=Σ^yi^2/Σy^2。

四 模型假设

4．1 假设每月产的复合肥全部销售完。 4．2 假设复合肥中的杂质是线性混合。 4．3 将六个月看做一个整体建立模型。

4．4 假设在加工过程中重量不考虑，且不计算费用。 4．5 市场价格是呈线性上升变化。

4．6 题目中所给说句来源真实，可靠。

五 模型的建立与求解

5．1 模型一

3

根据四中的各项假设以及题中的数据，建立线性规划模型，应用符号aij，bij，cij，

pij，z建立目标函数如下： z?2250??bij???pijaij?75??cij

i?1j?ii?1j?1i?1j?1656665约束条件：

bi1?bi2??200(i?1,2,3,4,5,6)bi3?bi4?bi5??250(i?1,2,3,4,5,6)8.8bi1?6.1bi2?2.0bi3?4.2bi4?5.0bi53????6(i?1,2,3,4,5,6)bi1?bi2?bi3?bi4?bi5

c1j?500?a1j?b1j(j?1,2,3,4,5)cij?ci?1j?aij?bij(i?2,3,4,5,6j?1,2,3,4,5)cij??1000(i?1,2,3,4,5j?1,2,3,4,5)c6j?500(j?1,2,3,4,5)

模型建立完毕，此为线性规划方程，用lindo软件求解较为便捷，求解详细过程见

附录9.1。求得的结果见下表：

采购量（吨） 取值 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 37.500000 0.000000 加工量（吨） 取值 85.185188 114.814812 0.000000 0.000000 250.000000 159.259262 40.740742 0.000000 250.000000 0.000000 a11 b11 a12 b12 a13 a14 b13 b14 a15 a21 a22 b15 b21 b22 a23 a24 b23 b24 a25 b25 4

a31 a32 a33 a34 a35 a41 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 712.500000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 659.259277 540.740723 0.000000 750.000000 0.000000 b31 b32 b33 b34 b35 b41 96.296295 103.703705 0.000000 37.500000 212.500000 159.259262 40.740742 0.000000 250.000000 0.000000 0.000000 200.000000 0.000000 0.000000 250.000000 159.259262 40.740742 0.000000 250.000000 0.000000 a42 b42 a43 a44 b43 b44 a45 a51 a52 a53 a54 a55 a61 a62 a63 a64 a65

b45 b51 b52 b53 b54 b55 b61 b62 b63 b64 b65 由上表可知，当采购量和加工量分别取表中各值时，公司可以获得最大的利润，最大利润为： z? 6680139（元）

5

5．2 模型二

题目中价格有如下变化：2月份基础磷肥价格上升x%，基础氮肥价格上升2x%；3月份基础磷肥上升2x%，基础氮肥上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对不同的值x（直到20），就方案的必要的变化及对利润的影响，作出全面计划。

分析价格波动x与最大利润z的函数关系得出：第i个月磷肥增长的价格为第i个月氮肥的增长价格为pij??1?2(i?1)x%?，其中i=1,2,3,4,5,6。pij??1?(i?1)x%?，

采用matlab编程法计算出变动后的价格矩阵，详细过程见附录9.2, 再将计算出的价格

矩阵代入到模型一中求出相应的最大利润，得出对应关系如下表所示：

x z

1 6484834

2 6289528

3 6094222

4 5898916

5 5707361

6 5537694

7 5369228

8 5236272

9 5139618

10 5059861

11 5022861

12 4985861

13 4956639

14 4931889

15 4925139

16 4918389

17 4911639

18 4904889

19 4898139

20 4891389

6

这样得出了价格浮动x与最大值z之间的关系，通过此关系可以拟合出二次函数，详见附录9.3，得到：

Q(x)?7300x2?232300 x?6693100用matlab画出原来的图形和拟合后的函数图形，作比较，详细做法见附录9.4，图形如下：

通过以上分析可知，基础肥料的市场价格上涨，公司获得的最大利润呈下降趋势，而公司的意图在于获得最大利润，其必定会对复合肥的价格做相应调整。复合肥价格增加的幅度过大，势必会影响销售，导致每月的复合肥无法全部售完而亏损，增加幅度过小又无法保证利润。综上所述，当未来市场价格按照题目给出的方式浮动时，我们可知市场价格波动x=0时，厂商可以获得最大利润为：z?6680139(元)

六 模型的检验

模型建立是否正确，需要对模型进行检验，这里我们用可决系数检验拟合成的二次函数，可决系数越大,自变量对因变量的解释程度越高,自变量引起的变动占总变动的百分比高，因此拟合成的二次函数就越符合实际情况。依据可决系数的计算公式，应用matlab软件求出可决系数Y,过程详见附录9.5。

7

Y?0.9914

求得的可决系数比较大，所以针对本问题所建立模型是符合实际情况的，可以指导公司应对不同价格的基础肥料而做出合理的采购和加工方案。

七 模型的评价与推广

7．1 模型的评价

（1）本文就有关数据研究基础肥料在价格变化时，其最大利润和价格浮动之间的关系；在建立线性模型的基础上，拟合出价格浮动z与x之间的函数关系，公司可以依据此函数关系，对采购和加工采取合理的方案。

（2）对于实际的问题，通过数学的手段来研究，使问题更加的直观，更好的预测未来的变化，这样再做计划时，可以更加的灵活，合理和可靠。

（3）可决系数的使用，是得模型更加的有说服力，并且更接近实际情况。 （4）本模型是复杂的实际问题简单化，模块化，层次化。

（5）模型没有给出参数线性规划的解答过程，仅提供了利用单纯形法和对偶分析来解题的思路。

7.2 模型的推广

本模型经过验证，可以指导公司选取合理的采购和加工方案，在商业活动中有较强的适应性。本模型是针对基础肥料的采购和加工所做出的，同样可以推广到其他的采购和加工行业，如：食品加工业，原油加工业等等。模型可以帮助商家应对在短期内原料价格浮动所带来的影响，做出全面的计划，从而是利润最大化。

八 参考文献

[1]杨启帆，谈之奕，何勇，数学建模，杭州：浙江大学出版社，1999年，128页至143页。

[2]杜建卫，王若鹏，数学建模基础案例，北京：化学工业出版社，2009年，61页至82页。

[3]许洪范，数学建模教程，北京：国防工业出版社，2007年，74页至88页。 [4]徐建华，lindo求解线性规划问题，

http://geoc.awardspace.com/geocomput/lxt/jldl/14.pdf

[5]张志勇，掌握和精通MATLAB，北京：北京航空航天大学出版社，1997年。

九 附录

9.1 lindo求解线性规划方程 max

2250b11+2250b12+2250b13+2250b14+2250b15+2250b21+2250b22+2250b23+22500b24+2250b25+2250b31+2250b32+2250b33+2250b34+2250b35+2250b41+2250b42+2250b43+2250b44+2250b45+2250b51+2250b52+2250b53+2250b54+2250b55+2250b61+2250b62+2250b63+2250b64+2250b65-1650a11-1800a12-1950a13-1650a14-1725a15-1950a21-1950a22-165

8

0a23-1350a24-1725a25-1650a31-2100a32-1950a33-1500a34-1425a35-1800a41-1650a42-1800a43-1800a44-1875a45-1500a51-1800a52-2250a53-1650a54-1575a55-1350a61-1500a62-2100a63-1200a64-2025a65-75c11-75c12-75c13-75c14-75c15-75c21-75c22-75c23-75c24-75c25-75c31-75c32-75c33-75c34-75c35-75c41-75c42-75c43-75c44-75c45-75c51-75c52-75c53-75c54-75c55-75c61-75c62-75c63-75c64-75c65 st

b11+b12<=200 b21+b22<=200 b41+b42<=200 b31+b32<=200 b51+b52<=200 b61+b62<=200

b13+b14+b15<=250 b23+b24+b25<=250 b33+b34+b35<=250 b43+b44+b45<=250 b53+b54+b55<=250 b63+b64+b65<=250 c11-a11+b11=500 c12-a12+b12=500 c13-a13+b13=500 c14-a14+b14=500 c15-a15+b15=500 c11+a21-b21-s21=0 c12+a22-b22-c22=0 c13+a23-b23-c23=0 c14+a24-b24-c24=0 c15+a25-b25-c25=0 c21+a31-b31-c31=0 c22+a32-b32-c32=0 c23+a33-b33-c33=0 c24+a34-b34-c34=0 c25+a35-b35-c35=0 c31+a41-b41-c41=0 c32+a42-b42-c42=0 c33+a43-b43-c43=0 c34+a44-b44-c44=0 c35+a45-b45-c45=0 c41+a51-b51-c51=0 c42+a52-b52-c52=0 c43+a53-b53-c53=0 c44+a54-b54-c54=0 c45+a55-b55-c55=0 c51+a61-b61-c61=0

9

c52+a62-b62-c62=0 c53+a63-b63-c63=0 c54+a64-b64-c64=0 c55+a65-b65-c65=0 c11<=1000 c12<=1000 c13<=1000 c14<=1000 c15<=1000 c21<=1000 c22<=1000 c23<=1000 c24<=1000 c25<=1000 c31<=1000 c32<=1000 c33<=1000 c34<=1000 c35<=1000 c41<=1000 c42<=1000 c43<=1000 c44<=1000 c45<=1000 c51<=1000 c52<=1000 c53<=1000 c54<=1000 c55<=1000 c61=500 c62=500 c63=500 c64=500 c65=500

2.8b11+0.1b12-4b13-1.8b14-b15<=0 2.8b21+0.1b22-4b23-1.8b24-b25<=0 2.8b31+0.1b32-4b33-1.8b34-b35<=0 2.8b41+0.1b42-4b43-1.8b44-b45<=0 2.8b51+0.1b52-4b53-1.8b54-b55<=0 2.8b61+0.1b62-4b63-1.8b64-b65<=0 5.8b11+3.1b12-b13+1.2b14+2b15>=0 5.8b21+3.1b22-b23+1.2b24+2b25>=0 5.8b31+3.1b32-b33+1.2b34+2b35>=0 5.8b41+3.1b42-b43+1.2b44+2b45>=0

10

5.8b51+3.1b52-b53+1.2b54+2b55>=0 5.8b61+3.1b62-b63+1.2b64+2b65>=0 end

9.2 价格变化矩阵求解

a=[1650 1800 1950 1650 1725 1950 1950 1650 1350 1725 1650 2100 1950 1500 1425 1800 1650 1800 1800 1875 1500 1800 2250 1650 1575 1350 1500 2100 1200 2025]; for x=1:20

b=[1,1+x/100,1+2*x/100,1+3*x/100,1+4*x/100,1+5*x/100]'; b1=b*ones(1,2);

c=[1,1+2*x/100,1+4*x/100,1+6*x/100,1+8*x/100,1+10*x/100]'; c1=c*ones(1,3); d=[b1,c1]; a.*d end

9.3 求拟合函数 x=1:20;

a=[6484834,6289528,6094222, 5898916, 5707361, 5537694, 5369228, 5236272, 5139618, 5059861, 5022861, 4985861, 4956639, 4931889, 4925139, 4918389, 4911639, 4904889, 4898139, 4891389]; [p,s]=polyfit(x,a,2); P

9.4 求拟合函数图形和原函数图形 x=1:20;

a=[6484834,6289528,6094222, 5898916, 5707361, 5537694, 5369228, 5236272, 5139618, 5059861, 5022861, 4985861, 4956639, 4931889, 4925139, 4918389, 4911639, 4904889, 4898139, 4891389]; h=polyfit(x,a,2);

Q(x)=7300*x.^2 -232300*x+6693100; plot(x,Q,'-*',x,a,'*') shading flat

xlabel('x');ylabel('y');

9.5 求可决系数 x=[1: 20];

Q(x)=7300*x.^2-232300*x+6693100;

a=[6484834,6289528,6094222, 5898916, 5707361, 5537694, 5369228, 5236272, 5139618, 5059861, 5022861, 4985861, 4956639, 4931889, 4925139, 4918389, 4911639,

11

4904889, 4898139, 4891389];

Y=1-sum((a-Q).^2)/sum((a-mean(a)).^2)

9.6 价格变化矩阵结果 ans =

1.0e+003 *

1.6500 1.8000 1.9500 1.6500 1.7250 1.9695 1.6830 1.8540 1.5600 1.4175

ans =

1.0e+003 *

1.6500 1.9890 1.7160 1.9080 1.6200 1.4850

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.0085 1.7490 1.9620 1.6800 1.5525

ans =

1.0e+003 *

1.9695 1.6830 2.1420 2.0280 1.6995 1.9080 1.8720 2.4300 1.5750 2.3100 1.8000 1.9500 1.9890 1.7160 2.1840 2.1060 1.7490 2.0160 1.9440 2.6100 1.6500 2.5200 1.8000 1.9500 2.0085 1.7490 2.2260 2.1840 1.7985 2.1240 2.0160 2.7900 1.7250 2.7300 1.3770 1.5600 1.9080 1.7820 1.3200 1.6500 1.4040 1.6200 2.0160 1.9140 1.4400 1.6500 1.4310 1.6800 2.1240 2.0460 1.5600 12

1.7595 1.4820 1.9875 1.7010 2.2275 1.7250 1.7940 1.5390 2.1000 1.8270 2.4300 1.7250 1.8285 1.5960 2.2125 1.9530 2.6325 1.6500 1.8000 1.9500 1.6500 1.7250 2.0280 2.0280 1.7820 1.4580 1.8630 1.7820 2.2680 2.2620 1.7400 1.6530 2.0160 1.8480 2.2320 2.2320 2.3250 1.7400 2.0880 2.9700 2.1780 2.0790 1.6200 1.8000 2.9400 1.6800 2.8350

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.0475 1.8150 2.0700 1.8000 1.6875

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.0670 1.8480 2.1240 1.8600 1.7550

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.0865 1.8810 2.1780 1.9200 1.8225

1.8000 1.9500 2.0475 1.8150 2.3100 2.3400 1.8975 2.3400 2.1600 3.1500 1.8750 3.1500 1.8000 1.9500 2.0670 1.8480 2.3520 2.4180 1.9470 2.4480 2.2320 3.3300 1.9500 3.3600 1.8000 1.9500 2.0865 1.8810 2.3940 2.4960 1.9965 2.5560 2.3040 3.5100 2.0250 3.5700 1.6500 1.4850 1.8000 2.3400 2.3100 1.8000 1.6500 1.5120 1.8600 2.4480 2.4420 1.9200 1.6500 1.5390 1.9200 2.5560 2.5740 2.0400 13

1.7250 1.8975 1.7100 2.4375 2.2050 3.0375 1.7250 1.9320 1.7670 2.5500 2.3310 3.2400 1.7250 1.9665 1.8240 2.6625 2.4570 3.4425 ans =

1.0e+003 *

1.6500 1.8000 1.9500 1.6500 1.7250 2.1060 2.1060 1.9140 1.5660 2.0010 1.9140 2.4360 2.5740 1.9800 1.8810 2.2320 2.0460 2.6640 2.6640 2.7750 1.9800 2.3760 3.6900 2.7060 2.5830 1.8900

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.1255 1.9470 2.2860 2.0400 1.9575

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.1450 1.9800 2.3400 2.1000 2.0250

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.1645 2.0130 2.3940

2.1000 3.7800 1.8000 1.9500 2.1255 1.9470 2.4780 2.6520 2.0955 2.7720 2.4480 3.8700 2.1750 3.9900 1.8000 1.9500 2.1450 1.9800 2.5200 2.7300 2.1450 2.8800 2.5200 4.0500 2.2500 4.2000 1.8000 1.9500 2.1645 2.0130 2.5620 2.8080 2.1945 2.9880 2.1600 1.6500 1.5930 2.0400 2.7720 2.8380 2.2800 1.6500 1.6200 2.1000 2.8800 2.9700 2.4000 1.6500 1.6470 2.1600 2.9880 14

3.6450 1.7250 2.0355 1.9380 2.8875 2.7090 3.8475 1.7250 2.0700 1.9950 3.0000 2.8350 4.0500 1.7250 2.1045 2.0520 3.1125

2.1600 2.5920 4.2300 3.1020 2.9610 2.0925 2.3250 4.4100 2.5200 4.2525

ans =

1.0e+003 *

1650 1800 1950 1650 1725 2184 2046 2448 2220 2160

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.2035 2.0790 2.5020 2.2800 2.2275

ans =

1.0e+003 *

1.6500 2.2230 2.1120 2.5560 2.3400 2.2950

ans =

1.0e+003 *

2184 2046 2604 2886 2244 3096 2664 4410 2400 4620 1.8000 1.9500 2.2035 2.0790 2.6460 2.9640 2.2935 3.2040 2.7360 4.5900 2.4750 4.8300 1.8000 1.9500 2.2230 2.1120 2.6880 3.0420 2.3430 3.3120 2.8080 4.7700 2.5500 5.0400 1674 2220 3096 3234 2640 1.6500 1.7010 2.2800 3.2040 3.3660 2.7600 1.6500 1.7280 2.3400 3.3120 3.4980 2.8800 15

2139 2109 3225 3087 4455 1.7250 2.1735 2.1660 3.3375 3.2130 4.6575 1.7250 2.2080 2.2230 3.4500 3.3390 4.8600

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