大学物理答案第1～2章

第一章 质点的运动

1－1已知质点运动方程为x??Rsin?t，y?R(1?cos?t)，式中R，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。

解：

?vx?dxdy??Rwcoswt,vy???Rwsinwtdtdt

22?v?vx?vy?Rw?ax?dvydvx?Rw2sinwt,ay??Rw2coswtdtdt

22?a?ax?ay?Rw2?x?Rsinwt,y?R(1?coswt)

?轨迹方程为x2?(y?R)2?R2

质点轨迹方程以R为半径，圆心位于（0，R）点的圆的方程，即质点作匀速率圆

周运动，角速度为ω；速度v = Rω；加速度 a = Rω2

1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h处所需时间为t1，自抛出经最高点再回到同一高度h处所需时间为t2，求证：h =gt1 t2/2

解：设抛出点的速度为v0，从高度h到最高点的时间为t3，则

?v0?g(t1?t2)?0,t1?2t3?t2?v0?g(t1?t2)/2?h?v0t?(t?t)121gt?g12t1?gt12 2221?gt1t221－3一艘正以v0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a＝?kv2，k为一常数，求证船在行驶距离x时的速率为v=v0e?kx.

解：取汽艇行驶的方向为正方向，则

?a??dv??kv2,dtv?dxdtdvdv??kvdt,??kdxvvvdvx???kdx ?? v0v0vln??kxv0?v?v0e?kx1－4行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度V0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

1

22?l2?v0t?(H?h)22v0tdl??22dtv0t?(H?h)22(H?h)2v0d2l?22223/2dt??(H?h)?v0t??

所以小车移动的速度v?2v0t(H?h)?vt2(H?h)2v022220

小车移动的加速度a??(H?h)?vt223/20?

1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a0，以后加速度以a?a0?匀增加（式中b为一常数），求经t秒后，质点的速度和位移。

解：

a0t均b?a?vdv,dtta?a0?a0tb?dv?(a0?a0t)dtba0dv?(a??0?00bt)dtdx?v?,vdt?dxdtta0t2?v?a0t?2b

?a0t2???a0t??dt?dx2b??a0t2a0t3?x??26b－

x?a0t2?a0t??dt??0dx?0?2b??1－6一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m·s1的初速率罚任意球，已知球门高

为3.44m。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）

解：由运动方程x?vtcos?,y?vtsin??12gt,消去t得轨迹方程， 2g(tg2??1)x2 22v－

以x＝25.0m，v＝20.0ms1，以及3.44m?y?0代入后得

y?xtg??69.92???1?71.11?18.89??2?27.92??

1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？

解：由运动方程x?vtcos?,y?vtsin??12gt,消去t得轨迹方程 2y?xtg??g22(tg??1)x 22v－1

以x＝05.0m ，v＝25ms代入后得

2

g(1?tg2?)?50222?25?50tg??20(1?tg2?) y?50tg??5??20(tg??)2?11.254取g＝10.0，则当tg??1.25时，ymax?11.25〈13

所以他不能射中，能射中得最大高度为ymax?11.25 1－8质点做半径为R的圆周运动，其路程按规律s?ct?12bt运动，式中b、c为常2数，求:（1）t时刻质点的角速度和角加速度；（2）当切向加速度等于法向加速度时，质点运动经历的时间。

解：（1）质点做圆周运动的速率v?ds?c?bt dtcbt?角速度w?v/R??

RRd2sat?2??b 切向加速度

dtab?角加速度??t??

RRv2(c?bt)2an??（2）法向加速度

RR(c?bt)2当at?an时，??b

R?(c?bt)2?RbcRt??bb

1－9一质点作半径为R的圆周运动，初速为v0，若其加速度a与速度v之间的夹角θ

恒定不变，求质点运动的速率随时间的变化v(t)，及其切向加速度、法向加速度的大小。

解：速度沿着切向方向，加速度与速度成恒定的夹角，则

dvv2?an?asin??,at?acos??dtR1dv ?ctg?dt?2Rvt1vdvctg?dt??0R?v0v2v0R?v?；

R?v0t?ctg?v0Rv02Rv22an??()/R?RR?v0t?ctg?(R?v0t?ctg?)2anv02Rctg?at??tg?(R?v0t?ctg?)2

；

3

1－10飞机以100m·s-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？ 解：

（1）

12y?y＝gt2，t＝2g?x?v2y?452mgy?12.5? x （2）?2v＝（gt）?v20?arctgdvgt2at＝＝22dt（gt）?v0（3）?at?1.96m/s2,g?10.0(或1.88m/s2,g=9.8）

2?a?at2?an?g?an?g2?at2?9.80m/s2,g?10.0(或9.62m/s2，g＝9.8)

1－11一无风的下雨天，一列火车以v1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降，求雨滴下落的速度v2。（设下降的雨滴作匀速运动）

解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2，旅客看到雨滴下落速度V2’为相对速度，它们之间的关系为

???v2?v2'?v1

?v2?v1/tg75??5.36ms?1

1－12升降机以加速度a0=1.22m·s?2上升，当上升速度为2.44m·s?1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求：（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。

解：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a’=g+a,螺丝落到底面时，

10?h?(g?a)t22有

2ht??0.705sg?a（2）由于升降机在t时间内的高度为

则d?h?h'?0.716m

1－13飞机A相对地面以vA =1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vB =800 km/h的速率向东偏南30°方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。

解：

1h'?v0t?at22

4

?????vA?1000j,vB?400j?4003i???v?vA?vB???＝1000j－400j?4003i??

?tg??3,??40?52',方向西偏南2v?6002?4002?3?916km/h

1－14 一人能在静水中以1.10m·s-1的速度划船前进，今欲横渡一宽为1000m、水流速

－

度为0.55m·s1的大河。（1），那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？

解：如图（1）若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，则划行速度和水流速度u的合

???vv速度的方向正对着岸，设划行速度合速度的夹角为α

?v?sin??usin??u?0.55/1.1?0.5 v?2(1)

v’ v α u (2)

v’

u cos??3t?dd??1.05?103s vv?cos?dd,l?ut?u?500m v?v?如图（2）用最短的时间过河，则划行速度的方向正对着岸

?t?1－15设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为v?，而空气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l。

（1）假定空气是静止的（即u=0），求飞机来回飞行的时间； （2）假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间； （3）假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。

???v解：由相对速度的矢量关系?v'?u有

（1）空气时静止的，即u＝0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空

气的速度v’（图（1）），故飞机来回飞行的时间

t0?tAB?tBA?ll2l?? v'v'v'(2) 空气的速度向东时，当飞机向东飞行时，风速与飞机相对空气的速度同向；返回时，两者刚好相反（图（2）），故飞机来回飞行的时间为

t1?tAB?tBA???v(3) 空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由?v'?u可得为

llu2?1???t0(1?2) v'?uv'?uv'v?v'2?u2，故飞机来回飞行的时间为

ll2lt2?tAB?tBA????22vvv'?u

u2?1?t0(1?2)2

v'v'2u2?v'2v'22l/v' 5

受的最大张力为20N。试求要多大的水平冲量作用在原来静止的小球上才能将绳子打断？

?I?mv0?0解：由动量定理得

?I?v0?m，如图受力分析并由牛顿定律得，

2mv0T?mg?l2mv0T?mg??20

l?mg??I2/l?20?I?2.47Ns2－13一作斜抛运动的物体，在最高点炸裂为质量相等的两块，最高点距离地面为19.6m。爆炸1.0s后，第一块落到爆炸点正下方的地面上，此处距抛出点的水平距离为100m。问第二块落在距抛出点多远的地面上？(设空气的阻力不计)

解：取如图示坐标系，根据抛体运动规律，爆炸前，物体在最高点得速度得水平分量为

x1?x1g/2h(1)t物体爆炸后，第一块碎片竖直下落的运动方程为1y1=h-v1t-gt22当碎片落地时，y1=0,t=t1,则由上式得爆炸后第一块碎片抛出得速度为v0x?1h-gt2v1＝2t1（2）又根据动量守恒定律，在最高点处有1mv0x＝mv2x（3）2110＝－mv1?mv2y?4?22联立以上（）－（14）式得爆炸后第二块碎片抛出时的速度分量分别为v2x＝2v0x＝2x1g?100ms?12h1h-gt2v2y?v1?2?14.7ms?1t1爆炸后第二块碎片作斜抛运动，其运动方程为x2＝x1+v2xt2（5）12y2=h+v2yt2-gt2（6）2落地时y2?0,由式（5）和（6）可解得第二块碎片落地点得水平位置x2＝500m

11

2－14质量为M的人手里拿着一个质量为m的物体，此人用与水平面成θ角的速率v0

向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为u的水平速率向后抛出。问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）

解：取如图所示坐标，把人和物视为一系统，当人跳跃到最高点处，在向左抛物得过程中，满足动量守恒，故有

?m+M?v0cos??Mv?m(v?u)式中v为人抛物后相对地面的水平速率，v－u为抛出物对地面得水平速率，得mum+M人的水平速率得增量为mu?v＝v-v0 cos?＝m+M而人从最高点到地面得运动时间为vsin?t＝0gv＝v0cos?+所以人跳跃后增加的距离为mv0sin??x＝?vt＝u（m+M）g2－15铁路上有一静止的平板车，其质量为M，设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动。现有N个人从平板车的后端跳下，每个人的质量均为m，相对平板车的速度均为u。问：在下列两种情况下，（1）N个人同时跳离；（2）一个人、一个人地跳离，平板车的末速是多少?所得的结果为何不同，其物理原因是什么?

解：取平板车及N个人组成的系统，以地面为参考系，平板车的运动方向为正方向，系统在该方向上满足动量守恒。

考虑N个人同时跳车的情况，设跳车后平板车的速度为v，则由动量守恒定律得 0＝Mv+Nm（v－u）

v＝Nmu/(Nm+M) (1)

又考虑N个人一个接一个的跳车的情况。设当平板车上商有n个人时的速度为vn，跳下一个人后的车速为vn－1，在该次跳车的过程中，根据动量守恒有

（M+nm）vn=M vn－1+(n-1)m vn－1+m(vn－1-u) (2) 由式（2）得递推公式

vn－1=vn+mu/(M+nm) (3) 当车上有N个人得时（即N＝n），vN＝0；当车上N个人完全跳完时，车速为v0， 根据式（3）有， vN-1=0+mu/(Nm+M)

vN-2= vN-1+mu/((N-1)m+M) ………….

v0= v1+mu/(M+nm)

将上述各等式的两侧分别相加，整理后得，

12

v0＝?mun＝1M+nmN由于M?nm?M?Nm,n?1,2,3....N故有，v0?v即N个人一个接一个地跳车时，平板车的末速度大于N个人同时跳下车的末速度。这是因为N个人逐一跳离车时，车对地的速度逐次增加，导致跳车者相对地面的速度也逐次增加，并对平板车所作的功也相应增大，因而平板车得到的能量也大，其车速也大。2－16 A、B两船在平静的湖面上平行逆向航行，当两船擦肩相遇时，两船各自向对方平稳地传递50kg的重物，结果是A船停了下来，而B船以3.4m/s的速度继续向前驶去。A、B两船原有质量分别为500kg和1000kg，求在传递重物前两船的速度。(忽略水对船的阻力)

解：

设A、B两船原有的速度分别为vA和vB，传递重物后的速度分别为v’A和v’B,由动量守恒定律可得

（mA?m）vA+mvB=mAv?A（mB?m）vB+mvA=mBv?B－1－1?将v?＝0ms，v＝3.4ms代入上面两式，可解得 AB－mBmv?－1BvA＝＝?0.4ms（mB?m）（mA?m）－m2（mA?m）mBv?－1BvB＝＝3.6ms（mB?m）（mA?m）－m22－17一人从10m深的井中提水，起始桶中装有10kg的水，由于水桶漏水，每升高1m要漏去0.2kg的水。求水桶被匀速地从井中提到井口，人所作的功。

解：水桶在匀速上提的过程中，加速度为0，拉力和重力平衡，在图示坐标下，水桶重力随位置的变化关系为

G＝mg－αgy

其中α＝0.2kg/m,人对水桶的拉力的功为

W??(mg－?gy）dy＝882J

0102－18如本题图所示，A和B两块板用一轻弹簧连接起来，它们的质量分别为m1和m2。问在A板上需加多大的压力，方可在力停止作用后，恰能使在跳起来时B稍被提起。（设弹簧的劲度系数为k）

解：选取如图所示坐标系，取原点处为重力势能和弹性势能零点，作各种状态下物体的受力图。对A板而言，当施以外力F时，根据受力平衡有

13

F1＝G1?F(1)当外力撤除以后，由机械能守恒定律得，11ky12-mgy1=ky22?mgy222y1和y2为M、N两点对原点O的位移。因为F1＝ky1,F2=ky2,G1=m1g上式可以写为，F1-F2=2G1由（）和（12）式可得F＝G1?G2由式（3）可得F＝G1+G2=(m1+m2)g(3)(2)

习题2－18图

当A板跳到N点时，B板刚被提起，此时弹性力F2?=G2,且F2=F2?,2－19如本题图所示，质量为m、速度为v的钢球，射向质量为M的靶，靶中心有一小孔，内有劲度系数为k的弹簧，此靶最初处于静止状态，但可在水平面上作无摩擦滑动，求子弹射入靶内弹簧后，弹簧的最大压缩距离。

解：设弹簧得最大压缩量为x0。小球与靶共同运动得速度为v1。由动量守恒定律，有

mv?(m?M)v1又由机械能守恒定律，有1112mv2＝(m?M)v12?kx0222由（）式和（12）式可得x0＝mMvk（m?M)(1)（2）

习题2－19图

2－20以质量为m的弹丸，穿过如本题图所示的摆锤后，速率由v减少到v/2。已知摆

锤的质量为M，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？

解：

习题2－20图

14

由水平方向的动量守恒有，vmv＝m?Mv'(1)2为了使摆锤能在垂直平面内作圆周运动，在最高点时，摆线中的张力F=0,则，Mv'2hMg＝(2)l式中v'h为摆线在圆周最高点的运动速率。又由机械能守恒定律得11Mv'2＝2Mgl+Mv'2（3）h22解上述三个方程，可得担丸所需速率的最小值为v＝2M5glm

2－21如本题图所示，一质量为M的物块放置在斜面的最底端A处，斜面的倾角为α，高度为h，物块与斜面的滑动摩擦因数为μ，今有一质量为m的子弹以速度v0 沿水平方向射入物块并留在其中，且使物块沿斜面向上滑动，求物块滑出顶端时的速度大小。

解：

在子弹与物块的撞击过程中，在沿斜面的方向上，根据动量守恒有mv0cos??(M?m)v1(1)在物块上滑的过程中，若令物块刚滑出斜面时的速度为v2，并取A点的重力势能为0。由系统的功能原理可得h112－u(m+M)gcos??(m+M)v2?(m+M)gh-(m+M)v12sin?22由（）、（12）式可得v2＝（

(2)m2v0cos?）?2gh（ucot?+1）m+M习题2－21图

2－22如本题图所示，一个质量为m的小球，从内壁为半球形的容器边缘点A滑下。设容器质量为M，半径为R，内壁光滑，并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上，开始时小球和容器都处于静止状态。当小球沿内壁滑到容器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？

解：

15

根据水平方向动量守恒定律以及小球在下滑过程中机械能守恒定律可分别得mvm?MvM?0(1)1212mvm?mvM?mgR(2)22式中vm,vM分别表示小球、容器相对桌面得速度。由式（1）、（2）可得vm?vM?2MgRM?m习题2－22图

m2MgRMM?m由于小球相对地面运动的轨迹比较复杂，为此，可改以容器为参考系。在容器底部时，小球相对容器的运动速度为M?m)2gR(3)M在容器底部，小球所受惯性力为零，其法向方程为??vm???vM??(vm?2vmFN?mg?m(4)R由（3）、（4）式可得小球此时所受到的支持力为2mFN?mg(3?)M2－23如本题图所示，质量分别为m1=10.0kg和m2=6.0kg的两小球A和B，用质量可略去不计的刚性细杆连接，开始时它们静止在Oxy平面上，在图示的外力F1= (8.0N)i和F2 =(6.0N)j的作用下运动。试求：(1) 它们质心的坐标与时间的函数关系；（2）系统总动量与时间的函数关系。

解：（1）选如图所示坐标，则t＝0时，系统的质心坐标为

习题2－23图

16

xC0?yC0?m2x20?1.5mm1?m2m2y10?1.9mm1?m2对小球与杆整体应用质心运动定律得dvFx?F1?(m1?m2)x(1)dtdvFy?F2?(m1?m2)y(2)dt根据初始条件，分别对（）、（12）式积分得tvxFt1Fdt?(m?m)dv,v??3?112xx?0?0m1?m2??t0F2dt??(m1?m2)dvy,0vyvy?F2tm1?m2?4?根据初始条件t＝0时，x?xC0,y?yC0对（3）、（4）式再次积分可得xCxC0dxC??(0tFt1)dtm1?m22Ft1xC?xC0??1.5m?(0.25m?s?2)t22(m1?m2)及?yCyC0dyC??(0tF2t)dtm1?m2

F2t2yC?yC0??1.9m?(0.19m?s?2)t22(m1?m2)(2)利用动量定理并考虑到系统从初始状态为静止，可得???t????2?2p??p??(F1?F2)dt?(8.0kg?m?s)ti?(6.0kg?m?s)tj02－24质量为2×10?3kg的子弹以500m·s?1的速率水平飞出，射入质量为1kg静止在水平面上的木块，子弹从木块穿出后的速率为100m·s?1，而木块向前滑行了0.2m。求：(1)木块与平面间的摩擦系数 (2)子弹动能和动量的减少量。

解：

17

（）在水平方向系统动量守恒，1mv0?mv0'?Mv,?v?0.8m/s木块向前滑行了0.2m，由动能定理得1?uMgs??Mv221 ?1?0.82?u?2?0.1631?9.8?0.211?2－mv02＝2?10－3?0.5?(2)子弹动能的减少量?Ek＝mv0（1002－5002）22＝?240J?－mv0＝2?10－3?子弹动量得减少量?p＝mv0（100－500）=-0.8kgms-12－25如本题图所示，一质量为m的钢球，系在一长为l的绳一端，绳另一端固定，现

将球由水平位置静止下摆，当球到达最低点时与质量为M，静止于水平面上的钢块发生弹性碰撞，求碰撞后m和M的速率。

解：

由机械能守恒得，碰前m的速度为1mv2＝mgl，v＝2gl2由碰撞前后动能和动量守恒得111mv2＝mv?2?MvM2 222mv＝mv??MvM?v?＝m－Mm－Mv?2glm+Mm+M2mvM?2glm+M习题2－25图

2－26一质量为m的运动粒子与一质量为km的静止靶粒子作弹性对心碰撞，求靶粒子获得最大动能时的k值。

解：

18

由动量和动能守恒得，mv＝kmv??mv??111mv2＝kmv?2?mv??2222?由（）得1v??=v-kv?由（2）得Ek?(1)(2)111kmv?2?mv2－mv??22221＝mkvv??k2mv?22＝v2mkEk－kEk2mv2?Ek?1(+k)2k?当k＝1时，Ek取最大值4mME0。 2(M?m)

2－27质量为m的中子与质量为M的原子核发生弹性碰撞，若中子的初动能为E0，求证碰撞时中子可能损失的最大动能为

解：设弹性碰撞前中子的动量为P0，碰撞前中子的动量为P1，原子核的动量为P2，由动量守恒的标量式可以得

22P22?P?P10?2P1P0cos?,222P1?2mE1,P2?2ME2,P0?2mE0,E0?E1?E2?ME2?mE1?mE0?2mE0E1cos?(M?m)2E22?4m(M?m)E0E2?4m2E02?4m2E0E1cos2?4mME0E2?(M?m)2E22?4m2E0E1sin2??0 2－28如本题图示，绳上挂有质量相等的两个小球，两球碰撞时的恢复系数e=0.5。球A由静止状态释放，撞击球B，刚好使球B到达绳成水平的位置，求证球A释放前的张角? 应满足cos? = 1/9。

证明：设球A到达最低点的速率为v，根据机械能守恒有

?

?E0?E1?E2?4mME0(M?m)22L

A

B

LC

习题2－28图

19

12mv2?mg2l(1?cos?),所以，v?4gl(1?cos?)(1)设碰撞后A，B两球的速率分别为vA,vB,由题意得：e?vB?vAv?0.5即vB?vA?0.5v(2)A，B两球碰撞时水平方向动量守恒：mvB?mvA?mv(3)由(2),(3)式得v3B＝4v(4)碰撞后B球机械能守恒，故有12mv2B?mgl(5)将（），（14）代入（5）得：cos??19

20

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