人教A版 必修二 第1章 1.3 1.3.2 柱体、锥体、台体的体积

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1.3.2 柱体、锥体、台体的体积

1.长方体相交于一点的三个面面积分别为 6 cm2,8 cm2,

12 cm2,则长方体体积为( A )A.24 cm3 C.40 cm3 B.6 cm3 D.48 cm3

解析：设各边边长分别为 a、b、c,由已知有：ab=6,ac

=8,bc=12,故 a=2,b=3,c=4.故 V=24.也可以三式相乘得(abc)2=242.故 V=24.

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2.轴截面(过圆锥顶点和底面中心的截面)是直角三角形的 64 π 3 圆锥的底面半径为 4,则该圆锥的体积为______. 3.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为 1 cm,2 cm, 3 cm,则此棱锥的体积为____. 1 4.将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的

3 体积是_____. 3π

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重点

柱、锥、台体的体积公式

1.柱体的体积公式是 V=Sh.

1 2.锥体的体积公式是 V=3Sh. 1 3.台体的体积公式是 V=3(S′+ S′S+S)· h.

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解决用料问题 例 1:牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合 体，尺寸如图 1,请你帮助算出要搭建这样的一个蒙古包至少需

要多少平方米的篷布(精确到 0.01 m2)?

图1

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解：上部分圆锥体的母线长为 1.22+2.52, 5 其侧面积为 S1=π×2× 1.22+2.52.下部分圆柱体的侧面积为 S1=π×5×1.8. 所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为

5 S=S1+S1=π×2× 1.22+2.52+π×5×1.8≈50.06(m2). 正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式， 解决制作壳形几何体时的用料问题. 注意区分是面积计算，还是 体积计算.

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1-1.如图 2,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 4,点 P、 Q 在棱 CC1 上，PQ=1,则三棱锥 P-QBD 的体积是(

A )

图2 A. 8 3 B. 4 3

C.8

D.与 P 点位置有关

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由三视图求几何体体积 例 2:长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何 体，其中一个几何体俯视图(正上方观察),正视图(正前方观察), 侧视图(左侧正前方观察)如图 3,则长方体的体积为________.

图3

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思维突破：依题意，如图 4,则长方体体积为：4×4×3= 48.

图4 答案：48

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2-1.(2010 年陕西)若某空间几何体的三视图如图 5,则该

几何体的体积是( B )

图5 A.2 B.1 2 C. 3 1 D. 3

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对长方体对角线的理解

例 3:一个长方体全面积是 20 cm2,所有棱长的和是 24 cm,求长方体的对角线的长.解：设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c, a+b+c=6 有 2ac+2bc+2ab=20

,

所以对角线长为 a2+b2+c2= 16=4.

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3-1.已知长方体中，有一个公共顶点的三个面面积分别为 2,3,6,求长方体的体积及对角线的长. 解：设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c,

ab=2 有 ac=3 ,有(abc)2=36,所以 V=abc=6; bc=6 c=3 b=2 ,所以对角线长为 12+22+32= 14. a=1

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例 4:已知某几何体的俯视图是如图 6 中的矩形，正视图是 一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

图6 (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

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错因剖析：对几何体的形状想象不准确，导致解答错误. 正解：由题设可知，几何体是一个高为4 的四棱锥，其底 面是长、宽分别为8 和6 的矩形，正侧面及其相对侧面均为底

边长为8,高为 h1 的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6,高为 h2 的等腰三角形如图7.

图 7

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(1)几何体的体积为

1 1 V=3· 矩形· 3×6×8×4=64. S h= (2)正侧面和相对侧面底边上的高为 h1= 42+32=5,左、 右侧面的底边上的高为 h2= 42+42=4 故几何体的侧面积为 S 1 1 =2· ×8×5+2×6×4 侧 2 2 =40+24

2.

2.

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4-1.(2010 年广东中山调研)已知一个空间几何体的三视图 及其尺寸如图 8,则该空间几何体的体积是(

A )

图8A. 14 3 B. 7 3 C.14 D.7

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jczh.html