数值分析原理习题答案

数值分析原理习题答案

【篇一：数值分析习题】

学号 班级

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）

4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算） **

5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知 ?5

|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差

限。（误差限的计算）

6 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 1 2

8 设in?e ?1

nxx?edx，求证： 0

（1）in?1?nin?1(n?0,1,2?)

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计 算方法的比较选择） 第二章 插值法 姓名 学号 班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知y?

x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点，且有 lj(x)? 试证明

(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn) ?xl j?0 n kjj

（拉格朗日插值基函数的性质） (x)?xk(k?0,1,...n)。

,sin0.34?0.333487,sin0.36?0.3522744 已知sin0.32?0.314567，用抛物线插值计

算sin0.3367的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数cosx在x0?0，x1?多项式, 并近似计算cos日二次插值） 6 已知函数值f(0)?6,f(1)?10,f(3)?46,f(4)?82,f(6)?212，求函数的四阶均差 ? 4

，x2? ? 2

三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 ? 6

及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 f[0,1,3,4,6]和二阶均差f[4,1,3]。（均差的计算）

7 设f(x)?(x?x0)(x?x1)?(x?xn)求f[x0,x1?xp]之值，其中p?n?1，而节点

xi(i?0,1,?n?1)互异。（均差的计算） 8 如下函数值表

建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式p(x)，满足如下插值条件：p(1)?2，p(2)?4，

p?(2)?3，p(3)?12。（插值多项式的构造） 10 构造一个三次多项式h(x)，使它满足条件

h(0)?1,h(1)?0,h(2)?1,h?(1)?1（埃尔米特插值）。

11 设f(x)?x,x0?1/4,x1?1,x2?9/4。(1)试求f(x)在?1/4,9/4?上的三次埃尔米特插值多项式h(x)，使得h(xj)?f(xj),j?0,1,2,h?(x1)?f?(x1)，h(x)以升幂形式给出。(2)写出余项r(x)?f(x)?h(x)的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。 12 若f(x)?c2[a,b],f(a)?f(b)?0，试证明： 32

max|f (x)|? a?x?b 1

?b?a?2max|f?? (x)|（插值余项的应用） a?x?b8

13 设f(?2)??1,f(0)?1,f(2)?2,求p(x)使p(xi)?f(xi)(i?0,1,2)； 又设 |f???(x)|?m ，则估计余项r(x)?f(x)?p(x)的大小。（插值误差的估计）

姓名 学号 班级

习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。 1 设f(x)?sin?x，求f(x)于[0,1]上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 2 令f(x)?ex,?1?x?1，且设p(x)?a0?a1x,求a0,a1使得p(x)为f(x)于[?1,1] 上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近） 3证明：切比雪夫多项式序列 tk(x)?cos(karccosx)

在区间??1,1?上带权?(x)? 1?x 2

正交。（正交多项式的证明） ?x1?x2?3?

4求矛盾方程组：?x1?2x2?4的最小二乘解。（最小二乘法） ?x?x?2 2?1

5 已知一组试验数据

试用直线拟合这组数据. (计算过程保留3位小数)。（最小二乘线性逼近） 6 用最小二乘原理求一个形如y?a?bx2的经验公式,使与下列数据相拟合。

（最小二乘二次逼近）

姓名 学号 班级

习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式（梯形，辛甫生公式），复化求积的计算，高斯公式的构造。 1给定求积公式 ? h ?h

f(x)dx?af(?h)?bf(0)?cf(h)试确定a,b,c使它的代数精度尽可能 高。（代数精度的应用和计算） 2 求积公式 ? 1

f(x)dx?a0f(0)?a1f(1)?b0f?(0)，试确定系数a0,a1及b0，使该求积

公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。（代数精度的应用和计算） 3数值积分公式 ? 30 3

f(x)dx?[f(1)?f(2)]，是否为插值型求积公式，为什么？又该公式 2 b

的代数精确度为多少？（插值型求积公式特征） 4如果f??(x)?0，证明用梯形公式计算积分几何意义。（梯形求积） 5用n?4的复化梯形公式计算积分 ? a

f(x)dx所得到的结果比准确值大，并说明其 ? 2 1 1

dx，并估计误差。（复化梯形求积） x

6设f(?1)?1,f(?0.5)?4,f(0)?6,f(0.5)?9,f(1)?2,则用复化辛甫生公式计算 ? 1 ?1

f(x)dx，若有常数m使 |f(4)|?m，则估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。（复 化辛甫生公式） 1

7已知高斯求积公式 ?1

?f(x)dx?f(0.57735)?f(?0.57735) 将区间[0,1]二等分，用复 1

化高斯求积法求定积分 ?

xdx的近似值。（高斯公式）

8 试确定常数a，b，c和a，使得数值积分公式 ? 2 ?2

f(x)dx?af(?a)?bf(0)?cf(a)有尽

可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？（代数精度的应用和计算，高斯点的特征）

9设?pn(x)?是[0,1]区间上带权?(x)?x的最高次幂项系数为1的正交多项式系 （1）求p2(x)。

（2）构造如下的高斯型求积公式 ? 1

xf(x)dx?a0f(x0)?a1f(x1)。（高斯求积）

【篇二：数值分析简单习题】

章：

基本概念 第二章：

gauss消去法，lu分解法 第三章：

题型：具体题＋证明，误差分析

三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明 第四章：

掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数 第五章：

最小二乘法计算 第六章：

梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。

高斯求积公式的构造 第七章：

几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。 第九章：

基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章 误差

1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。

2. 用taylor展开近似计算函数f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)，这里产生是什么误差？

3. 0.7499作3的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几4

位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字.

4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）

（3） 11?x?,1?2x1?x|x|?1 （2）

|x|?1 1?cosx,xx?0,|x|?1. （4） sin??sin?,??? 5.

采用下列各式计算1)6时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） 6（2） （3） （4

99?(3?6. 已知近似数x*有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： xk

x1、利用taylor 展开公式计算 e??，编一段小程序，上机用单精度计算e的函数 k?0k!x?

值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法.

2、已知定积分in??

in??110xndx,n?0,1,2,?,20,有如下的递推关系 x?6 0n?11xxn(x?6)?6xn?11dx??dx?in?1 0x?6x?6n ?6

可建立两种等价的计算公式 (1) in?11?6in?1,取i0?0.154；1?nin),取i20?0.(2) in?1?n6n

来计算i1,i2,i3,i4,?,i19，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

第二章 插值法

1. 已知f(0)?2,f(1)??1，那么差商f[1,0]?_________.

2. n阶差商与导数的关系是f[x0,x1,?,xn]?__________________. 3. 由导数和差商的关系知，f[xi,xi]=__________________。

4. 已知函数f(x)在x?3,1,4的值分别是4，6，9，试构造lagrange插值多项式。

5.取节点x0?0,x1?1,x2?2, 对应的函数值和导数值分别为f(x0)?1, f(x1)?2,f(x1)?2，试建立不超过二次的插值多项式。(如果将最后一个条件改为f(x2)?2，插值多项式如何计算？)

6．已知f(0)?1,f(1)?2,f(1)?3,f(2)?9，试建立不超过3次的插值多项式，并写出插值余项.

7. 设f(x)?c4[a,b],求三次多项式p3(x),使之满足插值条件 ?p(xi)?f(xi),??p(x1)?f(x1)i?0,1,2

28. 设p1(x)是过x0,x1的一次插值多项式，f(x)?c[a,b],其中[a,b]是包含x0,x1的任一区

间。试证明：对任一给定的x?[a,b]，在（a,b）上总存在一点?，使得r(x)?f(x)?p1(x)?f??(?)(x?x0)(x?x)1。 2!

n9.证明关于互异节点{xi}in?0的lagrange插值基函数{li(x)}满足恒等式i?0

l0(x)?l1(x)???ln(x)?1 上机习题：

1. 绘制4题的lagrange的插值函数的图像。 第三章 数据拟合

1. 数据拟合与插值的区别是什么？

2. 最小二乘原理是使偏差?i的___________达到最小 3. 求过点（2,3），（0,1），（3,5）的线性拟合函数。

4. 用最小二乘法求一形如y?a?bx2的多项式，使与下列数据相拟合 第四章 线性方程组的直接解法

1. 线性方程组的解法大致可分为_____________，________________。

2. 平方根法和ldlt分解法要求系数矩阵a满足______________。 3. 上三角和下三角方程组的解法分别称为___________，____________。

4. 严格对角占优矩阵的定义是什么？ 5. 试求下面矩阵的杜利特尔分解 ?62?（1） ?。 ??3?4?

?213??。 457（2） ??????285??

?15?2??x1??1???x???13?。 0436. 用列主元高斯消去法求解方程组 ????2??????206????x3????3??

?211??x1??1???x???1?。 6?167. 用lu分解法解方程组 ????2?????1027????x3????2?? 上机实验题：

1. 编程实现列主元的高斯消去法 2. 编程实现lu分解法

第五章 线性方程组的迭代解法

?1. 向量x?(3,2,?1,?7)t，计算||x||1，||x||2，||x||?. ?31?2??，计算||a||，||a||，||a||. 0102. a=? 2?1????126??

?20?3. a???, 分别计算a的谱半径?(a), 条件数cond?(a)，||a||1 03??

4. 矩阵a的范数与谱半径的关系为__________________________。 5. 求解ax=b的迭代格式x(k?1)?bx(k)?g收敛的充分必要条件____________________。

6. sor迭代法收敛的一个必要条件是松驰因子______________。 7. 写出下面方程的jacobi迭代格式

?10x1?x2?2x3?7???x1?10x2?2x3?8 ??x?x?5x?43?12

8. 给定下列方程组，判断对它们构造的jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式是否收敛

?5x1?5x2?x3?2?5x1?2x3?7?（1）?

（2） ??5x1?12x2?8 ?2x1?x2?8?x?x?5?13

9. 对下列方程组建立收敛的简单迭代公式（提示：先调整方程组） ?16?2??x1??1??3?26??x???2? ???2?????41?1????x3????4??

10. 给定方程组

?12?2??x1??1??111??x???2?， ???2?????221????x3????1??

（1）分别写出jacobi迭代公式和gauss-seidel迭代公式。 （2）证明jacobi迭代法收敛，而gauss-seidel迭代法发散。 上机实验题：

【篇三：数值分析题库】

lass=txt>1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 a0.001523 b0.15230 c0.01523d1.52300 2． 设方阵a可逆，且其n个特征值满足：?1 a 1

?10?5，则该数是（ ） 2 c

??2?...??n，则a?1的主特征值是（ ） 11 b ?1?n 11

?1或?nd或 ?1?n ?(k?1)

3． 设有迭代公式 x?bx ?(k) ?f ?

。若||b|| 1，则该迭代公式（ ）

a必收敛 b必发散 c可能收敛也可能发散

4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）

a解函数 b近似解函数 c解函数值 d近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） a追赶法 blu分解法 c雅可比迭代法 d高斯—塞德尔迭代法 二． 填空题（每小题4分，共20分） 1． 设有方程组 ?x2?x3?4?

?x1?2x2?3x3?1?2x?x?x?0 23?1

，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?

????

??101???2． 设a??21?1，则a???? ???111?? 2

3． 设y?x?2y,y(0)?1，则相应的显尤拉公式为yn?1? 4． 设

f(x)?ax?1,g(x)?x2。若要使f(x)与g(x)在[0，1]上正交，则a= ?

5． 设

x?(2,?2,?1)t，若有平面旋转阵p，使px的第3个分量为0，则p = ?

?????? ? ???

三． 计算题（每小题10分，共50分） 1． 求

27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？ 2． 设

f(x)?x?2x4,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。 3． 设有方程组

4． 试确定常数a，b，c及?，使求积公式 ?x1?2x2?2x3?1?

?x1?x2?x3?1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 ?2x?2x?x?1 23?1 1

??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?) 为高斯求积公式。 ?

5．设有向量 x?(2,1,2) t

，试构造初等反射阵h，使h ?

x?(3,0,0)t。

2阶收敛的，并求

四． 证明题（每小题10分，共20分） 1．设有迭代公式 xk?1 2xk?4*

，试证明该公式在x?4邻近是? 2xk?3

xk?1?4k??(x?4)2 klim ?? 。 ?

2.设x,y是n 维列向量，q为n阶正交矩阵，且 模拟二 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） y?qx ?? 。

1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 1

?10?5，则该数是（ ）。 2

a0.00217 b0.02170 c0.21700 d2.17000

2． 已知?是a的特征值，p是给定参数，则b=a-pe的特征值是（ ）。 ac ?+p b?-p ?+2pd?-2p ?(k?1)

3． 设有迭代公式 x?bx ?(k) ?f ?

，则||b|| 1 是该迭代公式收敛的（ ）。 a充分条件b必要条件 c充分必要条件

4． 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。

a雅可比迭代 b高斯-塞德尔迭代 c平方根法d追赶法 5． 若尤拉公式的局部截断误差是o(h 2

)，则该公式是（ ）方法。 a1阶 b2阶

c3阶 d无法确定

二、 填空题（每小题4分，共20分） a) b)

??21?1???设a??12?2，则a?。 1??

??10?3?? ?2x2?x3?1?

设有方程组?2x1?x3?1 ，则可构 ?x?x?x??1 23?1? ???? 。

造高斯—塞德尔迭代公式为 c) 设

y?xy?2，则相应的显尤拉公式为yn?1? ?

d) 设

x?(1,2,?3)t，若有平面旋转阵p，使px的第3个分量为0，则p = ?

?????? ?。 ??? e) 设

f(x)?ax?2,g(x)?2x2.若要使f(x)与g(x)在[-1，0]上正交，则a= 三．计算题（每小题10分，共50分） 1． 设

f(x)?x3?2x

,若在[0，1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。 2．求的近似值。若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？

3．设有方程组

4．试确定常数a，b，c及?，使求积公式

?2x1?x2?x3?0?

?x1?x2?x3?1，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 ?x?x?2x??1 23?1 1

??1f(x)dx?af(??)?bf(0)?cf(?)

有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。 212,,?)t5．设有向量x?( 333 ?

，试构造初等反射阵h，使h ?

x?(1,0,0)t

四．证明题（共20分） 2

(xk?2)*

1．设有迭代公式xk?1?xk?，试证明该公式。在x?2附近是平方收敛的，并 2xk 求lim

xk?1?2k??(x?2)2 k 。

2． 设l1(x)是

f(x)的一次拉格朗日插值，试证： 1

f(x)?l1(x)?(x1?x0)2maxf(x) x0?x?x18 模拟三

一、 单项选择题（每小题2分，共10分）

1、 若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（ ）。 11

?10?7 b. ?10?6 2211 ?10?5d. ?10?4 c. 22

2、 若已知迭代过程xk?1??(xk)是3阶收敛， c是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是 a. （ ）。

a．lim k?? k?1?* kk?1k *

x?x

?c．lim x?x k?? *

?3b．lim k?? *

(x?x)

??cd．lim (x?x) kk?1k k?? k?1?* *3* ?3 *3 ?c

3、 4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有（ ）次代数精度。 a. 4 b. 5c. 8 d. 9

4、 三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（ ）。

a. lu分解法 b.追赶法 c.高斯消去法 d.平方根法 5、 设a的特征值满足|?1 a.

。 |?|?r?1|?????|?n|，则相应幂法的速比ra?（ ） ?2 ?1 b.

?r?1?1 c.

?2?n d.

?2?n

二、 填空题（每小题4分，共20分） 1、过节点

x0??1，x1?0，x2?1做近似f(x)?x3?2的二次拉格朗日插值，其表达式

是。 2、若

?x30?x?1?s(x)?? 32

(x?1)?a(x?1)?b(x?1)?c1?x?3??是三次样条函数，则a?,b? ,c? 。 ?10?

3、设a???，则cond?(a)?。 21??

4、设c=pa,其中p是三阶平面旋转阵， ?2?11?? ?? ，若使

a??03?1=0，则p?c31??? ??2????31? ?

?。 ??? 5、设

y?2xy2?1，则相应的隐尤拉公式为 。

三、 计算题（每小题10分，共50分）。

1、 利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组 ?x1?x2?1?

?x1?x2?2的近似解。 ?2x?x?1 2?1

?2?11?

?a??111?? ??11?2?? ?? ?

2、 设， ?? ???

b???2? ???1????

。若线性方程组 ax?b ????

仅有右端有扰动

x

??10?4 。试估计由此引起的解的相对误差 1 ?? ?? ? b 。 x ?

3、 确定求积公式 ?1

?f(x)dx?a

f(?1)?a1f(0)?a2f(1)，并指明其代数精度。 ?x1?2x2?x3?1?

4、 设有方程组?x1?x2?x3?0，试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。 ?2x?2x?x??1 23?1 2

5、 设有方程x?2x?3?0 。试确定迭代函数?(x)，使迭代公式xk?1??(xk)在

x*=3附近收敛，并指出其收敛阶。

四、 证明题（每小题10分，共20分）

1、 设u是n阶正交矩阵，a是n阶方阵。试证明|| （提示：||a||2?2、设有差分公式 au||2?||ua||2?||a||2 。 yn?1

?(ata) ） h

?yn?(3yn?yn?1) 。试证明该公式是二阶公式。 2

模拟四

一、 单项选择题（每小题2分，共10分）

1、 按四舍五入原则，数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是（ ）。 a. –7.0004 b.-7.000 c. –7 d.-7.0003

2、 若行列式|e?a|=0，其中e是n阶单位阵，a是n阶方阵，则a的范数满足（ ）。 ||a||?1b. ||a||?1

c. ||a||?1d. ||a||?1 3、 条件数cond(a)=（ ）。 a. a.|a||a?1| b.||a?a?1||

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