近十年全国高中数学联赛试题一试（解析几何）

十年全国高中数学联赛试题一试

解析几何圆锥曲线部分

一、选择题

2000、已知点A为双曲线x2?y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 【答】（ ） (A)

333 (B) (C) 33 (D) 63 32答案：C 。解析：如图所示，设BD=t，则OD=3t-1，从而B（3t-1，t）满足方程x2?y2?1，可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC的面积是33.

xyx2y2

2002．直线+=1与椭圆+=1相交于A、B两点，该椭圆上点P，使得ΔPAB面积等于3．这

43169样的点P共有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x+4y－12=0．

12|cosθ+sinθ－1|

设点P(4cosθ，3sinθ)． 点P与直线的距离d=，

5

π12

当0≤θ≤时，d≤(2－1)，SABC≤6(2－1)<3．即此时没有三角形面积=3；

25π12

当<θ<2π时，d≤(2+1)，SABC≤6(2+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B． 252003. 2设a,b?R,ab?0,那么直线ax?y?b?0和曲线bx?ay?ab的图形是【答】（ ）

22

x2y2??1,观察图形可知； 题设方程可化为y?ax?b和ab2003.3 过抛物线y2?8?x?2?的焦点F作倾斜角为60的直线. 若此直线与抛物线交于A，B

?两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于 【答】（ ） （A）

168163 (D) 83 (B) (C)3332易知直线AB的方程为y?3x,因此A,B两点的横坐标满足方程3x?8x?16?0,从而弦AB中点的横坐标为x0?44,纵坐标y0?,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横33坐标即PF=

16； 32(x,y)|x2004、已知M=??2y2?3，N=?(x,y)|y?mx?b?，若对于所有的m?R，均

?有M?N??,则b的取值范围是

A．[

?666623232323,?,?,?,22] B。223333] （）C。（） D。[

答：[ ]

22x?2y?3上或它的内部M?N??解：相当于点（0，b）在椭圆

2b266??1,???b?322。 故选A。

x2y22005. 方程??1表示的曲线是

sin2?sin3cos2?cos3A. 焦点在x轴上的椭圆 C. 焦点在y轴上的椭圆

解：?2?3??,?0?B. 焦点在x轴上的双曲线 D. 焦点在y轴上的双曲线

?2?2?3??2??2,?cos(?2?2)?cos(3??2),即

sin2?sin3.

又0?2???22,?3??,?cos2?0,cos3?0,?cos2?cos3?0,方程表

示的曲线是椭圆。

?(sin2?sin3)?(cos2?cos3)?22sin2?32?3?sin(?)??(?)2242?32?3??0,?sin?0,?22222?3??sin(?)?0,?(?)式?0.24???2?33?3??,??2442?3????.24

即sin2?sin3?cos2?cos3.?曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。 2007. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是

（ ）

解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是

2c2c和的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨迹的r1?r2|r1?r2|一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。

当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1?r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。 二、填空题

x2y22000、在椭圆2?2?1(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若

ab该椭圆的离心率是

5?1，则∠ABF=_________. 2答案：90° 如图所示，由

c5?1??c2+ac-a2=0， a2

?acos?ABF?2?b2?a2??c?a?2?a?a?b22?2=0

. ?则∠ABF=90°

x2y2??1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1:PF2?2:1，则2003．设F1,F2是椭圆94?PF1F2的面积等于_____________.

?PF1F2是直角三角形，故?PF1F2的面积为S?11|PF1|?|PF2|??2?4?4; 222005.若正方形ABCD的一条边在直线y?2x?17上，另外两个顶点在抛物线y?x2上.则该正方形面积的最小值为 80 .

解：设正方形的边AB在直线y?2x?17上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为

C(x1,y1)、D(x2,y2)，则CD所在直线l的方程y?2x?b,将直线l的方程与抛物线方程联

立，得x2?2x?b?x1,2?1?b?1.

令正方形边长为a,则a2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?5(x1?x2)2?20(b?1).① 在y?2x?17上任取一点（6，,5），它到直线y?2x?b的距离为a,?a?|17?b|5②.

①、②联立解得b1?3,b2?63.?a?80,或a?1280.?amin?80.

222x2y2??1的左右焦点分别为F1与F2，2006. 已知椭圆点P在直线l：x?3y?8?23?0164上. 当?F1PF2取最大值时，比

PF1PF2的值为 .

【解】 由平面几何知，要使?F则过F1,F2，P三点的圆必定和直线l相切于P点。1PF2最大，

设直线l交x轴于A(?8?23,0)，则?APF1??AF2P，即?APF1??AF2P，即

PF1PF2?APAF2（1），

2又由圆幂定理，AP?AF1?AF2（2），而F1(?23,0)，F2(23,0)，A(?8?23,0)，从而有AF1?8，AF2?8?43。

PF1?代入（1），（2）得

PF22009.椭圆

x2a2AF18??4?23?3?1。 AF28?43+y2b2=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP^OQ，则乘积OP×OQ的最小值

为_____________．

三、解答题

x2y22000、已知C0:x+y=1和C1:2?2?1(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对

abC1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

2

2

答案：所求条件为

11+=1. a2b2证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.

假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C1内接,与Co外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为

xy+=1,即bx+ay=ab.由于菱形与CO外切, ab

故必有

aba2?b2=1,整理得

11+=1. 必要性得证. a2b211+=1,P是C1上任意一点,过P、O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦a2b2QS，则PQRS为与C1内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点O的坐标为(r1cos?, r1sin?),点Q的

充分性:设坐标为(r2cos(?+

??),r2sin(?+)),代入椭圆方程,得 22

?r1cos??a22+

?r1sin??b22[r2cos(??)]2[r2sin(??)]22+2=1, =1, 22ab22?

?cos2(??)sin2(??)1cos?sin?1112] 2+?于是,+==()+[?22222222OPabR1R2OQba=

??11+=1. a2b2111=+=1,故得h=1 hOP2OQ2又在Rt△POQ中，设点O到PQ的距离为h，则

同理，点O到QR，RS，SP的距离也为1，故菱形PQRS与C0外切.充分性得证. [注]对于给出a?b?ab ，

2222aba?b22=1等条件者，应同样给分.

2002．已知点A(0，2)和抛物线y2=x＋4上两点B，C，使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围．

解：设B(y02－4，y0)，C(y12－4，y1)．则

y0－21y1－y01kAB=2=．kBC=22=．

y0－4y0+2y1－y0y1+y0由kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1．

∴ y02+(y1+2)y0+(2y1+1)=0．

∴ △=(y1+2)2－4(2y1+1)=y12－4y1≥0， ∴ y1≤0，y1≥4．

当y1=0时，得B(－3，－1)，当y1=4时，得B(5，－3)均满足要求，故点C的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．

2005.过抛物线y?x2上的一点A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足

AEBF??1;点F在线段BC上，满足??2，且ECFC?1??2?1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.

解一：过抛物线上点A的切线斜率为：y??2x|x?1?2,?切线AB的方程为

1y?2x?1.?B、D的坐标为B(0,?1),D(,0),?D是线段AB的中点. ………………5分

2AE2??1知， 设P(x,y)、C(x0,x0)、E(x1,y1)、F(x2,y2)，则由EC221??1x01??1x0?2x0?1??2x0BE??2,得x2?x1?,y1?;,y2?.

1??11??1FC1??21??221??1x01??1x0y?x?1??11??1∴EF所在直线方程为：?, 22?1??2x01??1x0?2x01??1x0??1??21??11??21??122化简得[(?2??1)x0?(1??2)]y?[(?2??1)x0?3]x?1?x0??2x0.…①…………10分 222x0x?x01当x0?时，直线CD的方程为：y?…②

22x0?1x0?1?x??1?3y?(3x?1)2.………15联立①、②解得?，消去，得P点轨迹方程为：x023?y?x0?3?分

当x0?1311311时，EF方程为：?y?(?2??1?3)x???2,CD方程为：x?，22442421??x?,??2?2?x?1,?x?. 联立解得?也在P点轨迹上.因C与A不能重合，∴?013?y?.??12???∴所求轨迹方程为y?分

解二：由解一知，AB的方程为y?2x?1,B(0,?1),D(,0),故D是AB的中点. ……5分 令??12(3x?1)2(x?).………………………………………………203312CDCACB,t1??1??1,t2??1??2,则t1?t2?3.因为CD为?ABC的中线， CPCECF?S?CAB?2S?CAD?2S?CBD.

而

SSt?t1CE?CFS?CEF11133????CEP??CFP?(?)?12?,???,t1t2CA?CBS?CAB2S?CAD2S?CBD2t1?t2?2t1t2?2t1t2?2?P是?ABC的重心. ………………………………………………………………………10分

2设P(x,y),C(x0,x0),因点C异于A，则x0?1,故重心P的坐标为

220?1?x01?x0?1?1?x0x012x??,(x?),y??,消去x0,得y?(3x?1)2.

333333故所求轨迹方程为y?12(3x?1)2(x?).………………………………………………20分 3322006. 给定整数n?2，设 M0(x0,y0)是抛物线y?nx?1与直线y?x的一个交点. 试证

2明对于任意正整数m，必存在整数k?2，使(x0,y0)为抛物线y?kx?1与直线

mmy?x的一个交点.

n?n2?4【证明】 因为y?nx?1与y?x的交点为x0?y0?.

22显然有x0?1?n。…（5分） x01. mx0m2若(x0,y0)为抛物线y?kx?1与直线y?x的一个交点，则k?x0?mm …（10分）

记km?x0?（13.1）

m11，则 k?k(x?)?km?1?nkm?km?，m?1m01 (m?2) mx0x0由于k1?n是整数，k2?x0?21122?(x?)?2?n?2也是整数，所以根据数学归纳法，02x0x0m通过（13.1）式可证明对于一切正整数m，km?x0?1是正整数. 现在对于任意正整数m，x0m取k?x0?m1mm2y?x，使得与的交点为 y?kx?1(x,y00). …………… （20分）

x0m2008．如图，P是抛物线y2?2x上的动点，点B,C在y轴上，圆(x?1)2?y2?1内切于?PBC，求?PBC面积的最小值．

[解] 设P(x0,y0),B(0,b),C(0,c)，不妨设b?c．

直线PB的方程:y?b?y0?b，

xx0化简得 (y0?b)x?x0y?x0b?0．

又圆心(1,0)到PB的距离为1，

y0?b?x0b(y0?b)?x220?1 ， …5分

222故(y0?b)2?x0?(y0?b)2?2x0b(y0?b)?x0b，

易知x0?2，上式化简得(x0?2)b2?2y0b?x0?0，

同理有(x0?2)c2?2y0c?x0?0． …10分

所以b?c??x0，则 ?2y0，bc?x0?2x0?22224x0?4y0?8x0．

(b?c)?(x0?2)22因P(x0,y0)是抛物线上的点，有y0?2x0，则

22x0． …15分 4x0，b?c?(b?c)?x0?2(x0?2)22x所以S?PBC?1(b?c)?x0?0?x0?(x0?2)?4?4

2x0?2x0?2 ?24?4?．8

当(x0?2)2?4时，上式取等号，此时x0?4,y0??22．

因此S?PBC的最小值为8． …20分

x2y22009.（本小题满分14分）设直线l：y=kx+m（其中k，m为整数）与椭圆+=1交于

1612x2y2不同两点A，B，与双曲线-=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量412??????????AC+BD=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

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