线性代数课后习题答案分析

线性代数课后题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

相信自己加油

201abc（1）

1?4?1； （2）bca

?183cab111xyx?y（3）

abc； （4）

yx?yx.

a2b2c2x?yxy201解 注意看过程解答（1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8?183?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1) =?24?8?16?4 =?4

abc（2）

bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc cab?3abc?a3?b3?c3

（3）

111abc?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 a2b2c2?(a?b)(b?c)(c?a)

xyx?y（4）

yx?yx

x?yxy?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)；

（6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2.

解（1）逆序数为0

1

1

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为n(n?1)2：

3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)

(n?1)个

（6）逆序数为n(n?1)

3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …

(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)

(n?1)个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… …

(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)个

3.写出四阶行列式中含有因子

a11a23的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为

(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1?1,p2?3已固定，

p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

0?0?1?0?1或0?0?0?2?2

??a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

4.计算下列各行列式：

多练习方能成大财

??4124??211?（1）?1202??43?121???10520??； （2）??1232??； ?0117????5062????abacae???a100?（3）??bd?cdde??1b10???； （4）??bfcf?ef????0?1c1?? ?00?1d??解

41244?12?101c(1)

2022?c3120210520c4?7c31032?14

011700104?1?10=122?(?1)4?3 103?142

2

4?110c9910=

12?22?c300?2=0 10314c1?12c3171714

21412140(2)

3?121c4?c23?12212321230

5062506221402140r4?r23?122r4?r13?1221230 1230=0

21400000

?abacae?bce(3)

bd?cdde=adfb?ce

bfcf?efbc?e?111=adfbce1?11=4abcdef

11?1a10001?aba0(4)

?1b10r1?ar2?1b100?1c10?1c1

00?1d00?1d1?aba0=(?1)(?1)2?1?1c3?dc1?abaadc1

2?1c1?cd0?1d0?10=

(?1)(?1)3?21?abad?11?cd=abcd?ab?cd?ad?1

5.证明:

a2abb2(1)2aa?b2b=(a?b)3;

111ax?byay?bzaz?bxxyz(2)

ay?bzaz?bxax?by=(a3?b3)yzx;

az?bxax?byay?bzzxy3

3

a2(a?1)2(a?2)2(a?3)2b22(3)

(b?1)(b?2)2(b?3)2c2(c?1)2(c?2)2(c?3)2?0;

d2(d?1)2(d?2)2(d?3)21111(4)abcda2b2c2d2

a4b4c4d4?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)?(c?d)(a?b?c?d); x?10?000x?1?00(5)???????xn?an?11x???an?1x?an.

000?x?1anan?1an?2?a2x?a1证明

a2ab?a2b2?a2(1)

左边?c2?c1c3?c2ab?a2b?2a

11002?(?1)3?1ab?ab2?a2b?a2b?2a ?(b?a)(b?a)ab?a12?(a?b)3?右边 左边按第一列xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx(2)分开ayaz?bxax?by ?bzaz?bxax?byzax?byay?bzxax?byay?bz分别再分xay?bzzyzaz?bxa2yaz?bxx?0?0?bzxax?by

zax?byyxyay?bz分别再分xyzyzxa3yzx?b3zxy zxyxyzxyzxyz?a3yzx?b3yzx(?1)2?右边 zxyzxy4

4

a2a2?(2a?1)(a?2)2(a?3)22(3) 左边?bb2?(2b?1)(b?2)2(b?3)2c2c2?(2c?1)(c?2)2(c?3)2

d2d2?(2d?1)(d?2)2(d?3)2a22a?14a?46a?9c2?c1b22b?14b?46b?9c2c?14c?46c?9

3?c1c2c4?c1d22d?14d?46d?9a2a4a?46a?9a214a?46a?9按第二列b2b4b?46b?9b214b?46b?9分成二项2c2c4c?46c?9?c214c?46c?9d2d4d?46d?9d214d?46d?9第一项c3?4c2a2a49a214a6ac4?6c22bb49c2?b214b6b第二项3?4c2cc49c214c6c?0

c24?9c2dd49d214d6d1000(4) 左边?ab?ac?ad?aa2b2?a2c2?a2d2?a2

a4b4?a4c4?a4d4?a4b?ac?ad?a=

b2?a2c2?a2d2?a2 b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)111=(b?a)(c?a)(d?a)b?ac?ad?a

b2(b?a)c2(c?a)d2(d?a)=(b?a)(c?a)(d?a)?

100b?ac?bd?b b2(b?a)c2(c?a)?b2(b?a)d2(d?a)?b2(b?a)=(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)?

11(c2?bc?b2)?a(c?b)(d2?bd?b2)?a(d?b)

=(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)(a?b?c?d)

(5) 用数学归纳法证明

当n?2时,Dx?12?ax?a?x2?a1x?a2,命题成立.

215

5

假设对于(n

?1)阶行列式命题成立，即

Dn?1?xn?1?a1xn?2???an?2x?an?1, 则Dn按第1列展开:

?10?00D?xD)n?1x?1?00nn?1?an(?1??????xDn?1?an?右边

n11?x?1所以，对于阶行列式命题成立.

6.设

n阶行列式D?det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依

副对角线翻转，依次得

an1?anna1n?annann?a1nD1???， D2??? ，D3???，

a11?a1na11?an1an1?a11n(n?1)证明D1?D2?(?1)2D,D3?D.

证明 ?D?det(aij)

an?aa11?a1n1nn?D1????(?1)n?1an1?ann

a11?a??1na21?a2na11?a1na?(?1)n?1(?1)n?2a21?a2nn1ann?? ??a31?a3na11?a1n?(?1)n?1(?1)n?2?(?1)??

an1?annn(n?1)?(?1)1?2???(n?2)?(n?1)D?(?1)2D

n(n?1)a11?an1n(n?1)n(n?1)同理可证D2?(?1)2???(?1)2DT?(?1)2D

a1n?annn(n?1)n(n?1)n(n?1) D3?(?1)2D2?(?1)2(?1)2D?(?1)n(n?1)D?D

7.计算下列各行列式（Dk为k阶行列式）：

6

6

a1(1)Dn??,其中对角线上元素都是

a，未写出的元素都是0；

1axa?a(2)D?ax?an????;

aa?xan(a?1)n?(a?n)nan?1(a?1)n?1?(a?n)n?1(3) Dn?1?????;

aa?1?a?n11?1提示：利用范德蒙德行列式的结果．

anbn?0?Dab(4)

112n?0c0;

1d1?0?cndn(5)

Dn?det(aij),其中aij?i?j;

1?a11?1?11?a?1(6)D2n????,其中a1a2?an?0.

11?1?an解

a00?010a0?00(1)

D00a?00按最后一行展开n???????

000?a0100?0a7

7

000?01a00?00a(?1)n?10a0?00?(?1)2n?a?

??????a(n?1)(n?1)000?a0(n?1)?(n?1)(再按第一行展开)

a?(?1)n?1?(?1)n??an?an?an?2?an?2(a2?1)

a(n?2)(n?2)(2)将第一行乘(?1)分别加到其余各行，得

xaa?aa?xx?a0?0Dn?a?x0x?a?0 ?????a?x000x?a再将各列都加到第一列上，得

x?(n?1)aaa?a0x?a0?0Dn?00x?a?0 ?????0000x?a?[x?(n?1)a](x?a)n?1

(3)从第n?1行开始，第n?1行经过n次相邻对换，换到第1行，第n

行经(n?1)次对换换到第2行…，经n?(n?1)???1?n(n?1)2次行

交换，得

11?1n(n?1)Dn?1?(?1)?a?a?1?a?n2??

an?1(a?1)n?1?(a?n)n?1an(a?1)n?(a?n)n此行列式为范德蒙德行列式

n(n?1)Dn?1?(?1)2?1)?(a?j?1)]

n?1?[(a?i?i?j?18

8

n(n?1)n(n?1)?(?1)22?(?1)n?(n?1)???12?j)]

n?1?[?(i?j)]?(?1)?i?j?1n?1?[(i??i?j?1?n?1?(i?j)

?i?j?1

an0bn??a1b1(4)

D2n?0c1d

1??cn0dnan?10bn?10??按第一行0a1b1c0?展开an1d1

??cn?10dn?100?0dn0an?10bn?1??a1b1?(?1)2n?1b0nc01d1

??cn?1dn?1cn00都按最后一行展开andnD2n?2?bncnD2n?2

由此得递推公式：

D2n?(andn?bncn)D2n?2

n即 D2n??(aidi?bici)D2

i?2a1b而 D12?cd?a1d1?b1c1 11n得 D2n??(aidi?bici)

i?1(5)

aij?i?j

9

9

0123?n?11012?n?2D101?n?3n?det(aij)?23210?n?4

??????n?1n?2n?3n?4?0?1111?1?1?111?1r1?r2?1?1?11?1c2?c1,c3?c1r2?r3,??1?1?1?1?1c

4?c1,???????n?1n?2n?3n?4?0?1000?0?1?200?0?1?2?20?0?1?2?2?2?0=

(?1)n?1(n?1)2n?2

??????n?12n?32n?42n?5?n?11?a11?111?a?1c(6)D21?c2,c2?c3n?????c

3?c4,?11?1?ana100?001?a2a20?0010?a3a3?00100?a4?001按最后一列???????展开（由下往上）000??an?1an?11000?0?an1?ana100?000?a2a20?0000?a3a3?000(1?an)(a1a2?an?1)?00?a4?000???????000??an?2an?20000?00?an10

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