河南省商丘一中2015-2022学年高一(下)期末数学试卷(文科)(解析版

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2015-2016学年河南省商丘一中

高一（下）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．商丘一高某社团为了了解“早餐与健康的关系”，选取某班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60．选取的这6名学生的编号可能是（）

A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56

C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54

2．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）

A．P（M）=，P（N）=B．P（M）=，P（N）=C．P（M）=，

P（N）=D．P（M）=，P（N）=

4．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）

A．B．C．D．

5．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）

A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2

6．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

7．如果函数y=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=﹣对称，那么a 等于（）

A ．

B ．1

C ．

D ．﹣1

8．若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）

A ．2

B ．5

C ．2或5

D ．

或

9．为了得到函数y=sin （2x ﹣）的图象，可以将函数y=cos2x 的图象（）

A ．向右平移个单位长度

B ．向右平移个单位长度

C ．向左平移

个单位长度

D ．向左平移

个单位长度

10．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3+b 3=c 3，那么△ABC 的形状为（） A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．直角三角形

D ．以上均有可能

11．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y 与x 负相关且=2.347x ﹣6.423； ②y 与x 负相关且=﹣3.476x+5.648； ③y 与x 正相关且=5.437x+8.493； ④y 与x 正相关且=﹣4.326x ﹣4.578．其中一定不正确的结论的序号是（） A ．①② B ．②③

C ．③④

D ．①④

12．设向量

，满足

，

，＜

＞=60°，则||的最

大值等于（）

A ．2

B ．

C ．

D ．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数f （x ）=asin （πx +α）+bcos （πx +β），且f （3）=3，则f （2 016）= ． 14．某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是．

15．已知sin （3π+α）=2sin （+α），则= ．

16．O 是面α上一定点，A ，B ，C 是面α上△ABC 的三个顶点，∠B ，∠C 分别是边AC ，AB 的对角．以下命题正确的是．（把你认为正确的序号全部写上）

①动点P 满足=+

，则△ABC 的外心一定在满足条件的P 点集合中；

②动点P 满足=

+λ（

+）（λ＞0），则△ABC 的内心一定在满足条件的P

点集合中；

③动点P 满足

+λ（

）（λ＞0），则△ABC 的重心一定在满足

条件的P 点集合中；

④动点P 满足

+λ（

）（λ＞0），则△ABC 的垂心一定在满足

条件的P 点集合中．

⑤动点P 满足

+λ（

）（λ＞0），则△ABC 的外心一定

在满足条件的P 点集合中．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量=（a ，b ），=（sinB ，sinA ），=（b ﹣2，a ﹣2）．

（1）若∥，试判断△ABC 的形状并证明；

（2）若⊥，边长c=2，∠C=，求△ABC 的面积．

18．已知函数f （x ）=2cos 2x+

sin2x ，x ∈R ．

（Ⅰ）求函数f （x ）的单调递增区间；

（Ⅱ）将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h （x ）的图象，再将函数h （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，求函

数g （x ）的解析式，并求在[0，π]上的值域．

19．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C 和BD ；

（2）求四边形ABCD 的面积．

20．前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后，商丘市近期加大环境治理力度，如表提

供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．

x 3 4 56

y 2.5 3 44.5

（Ⅰ）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）已知该企业技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？

（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）参考公式：=，=﹣

．

21．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

（2）计算甲班的样本方差；

（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

22．某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），数学成绩分组及各组频数如下：[40，50），2；[50，60），3；[60，70），14；[70，80），15；[80，90），12；[90，100]，4．

（Ⅰ）列出样本的频率分布表；

（Ⅱ）估计成绩在85分以上学生的比例；

（Ⅲ）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90，

100]中选两位同学，共同帮助[40，50）中的某一位同学，已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．

2015-2016学年河南省商丘一中高一（下）期末数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56

C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54

【考点】系统抽样方法．

【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．

【解答】解：根据系统抽样的定义，从60名学生中抽取6名学生，编号的间隔为=10，

∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列，

故选：B．

【点评】本题主要考查系统抽样的应用，求出号码间隔是解决本题的关键．

2．执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）

A．[﹣3，4] B．[﹣5，2] C．[﹣4，3] D．[﹣2，5]

【考点】程序框图；分段函数的解析式求法及其图象的作法．

【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．

【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：

函数分为两段，即t＜1与t≥1，

又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；

不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2

故分段函数的解析式为：s=，

如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，

则输出的s属于[﹣3，4]．

故选A．

【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；

③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．

3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）

A．P（M）=，P（N）=B．P（M）=，P（N）=C．P（M）=，

P（N）=D．P（M）=，P（N）=

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】分别列举出满足条件的所有的事件总数，再列出事件M的所有的基本事件，和事件N的所有基本事件，分别代入古典概型公式即可得到答案．

【解答】解：记掷一枚均匀的硬币两次，所得的结果为事件I，则

I={（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）}，

则事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；

∴M={（正，反）、（反，正）}，

事件N：至少一次正面朝上，

∴N={（正，正）、（正，反）、（反，正）}，

∴P（M）=，P（N）=．

故选D

【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，其中根列举出基本事件总数，及事件M，N的基本事件个数，是解答本题的关键．

4．连掷两次骰子分别得到点数m，n，则向量（m，n与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的概率是（）

A．B．C．D．

【考点】几何概型．

【分析】掷两次骰子分别得到的点数m，n，组成的向量（m，n）个数为36个，与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的这个事件包含的基本事件数须将其满足的条件进行转化，再进行研究．

【解答】解：后连掷两次骰子分别得到点数m，n，所组成的向量（m，n）的个数共有36种

由于向量（m，n）与向量（﹣1，1）的夹角θ＞90°的

∴（m，n）（﹣1，1）＜0，即m﹣n＞0，满足题意的情况如下

当m=2时，n=1；

当m=3时，n=1，2；

当m=4时，n=1，2，3；

当m=5时，n=1，2，3，4；

当m=6时，n=1，2，3，4，5；

共有15种

故所求事件的概率是=，

故选：A

【点评】本题考查等可能事件的概率，考查了概率与向量相结合，以及分类计数的技巧，有一定的综合性．

5．函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）

A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2

【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．

【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．

【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），

∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，

∵ω=2，∴T=π．

故选A

【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．

6．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）

A．B．C．D．

【考点】平行向量与共线向量；单位向量．

【分析】由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为

求得结果．

【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），

||==5，

则与向量同方向的单位向量为=，

故选A．

【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．

7．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）

A．B．1 C．D．﹣1

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．

【分析】将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案．

【解答】解：由题意知

y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）

当时函数y=sin2x+acos2x取到最值±

将代入可得：sin[2×（）]+acos[2×（）]=

解得a=﹣1

故选D．

【点评】本题的考点是正弦型三角函数，主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题，考查学生分析解决问题的能力．属基础题．

8．若向量，，两两所成的角相等，且||=1，||=1，||=3，则|++|等于（）

A．2 B．5 C．2或5 D．或

【考点】向量的模．

【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由

，由此分别求得、、的值，再根据

==，运算求得结果

【解答】解：由于平面向量两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，

再由，

①若平面向量两两所成的角相等，且都等于120°，

∴=1×1×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣，=1×3×cos120°=﹣．

==2．

②平面向量两两所成的角相等，且都等于0°，

则=1×1=1，=1×3=3，=1×3=3，

====5．

综上可得，则=2或5，

故选C．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

9．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象（）

A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【分析】先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣

）到y=cos2x的路线，确定选项．

【解答】解：∵y=sin（2x﹣）=cos[﹣（2x﹣）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=

cos[2（x﹣）]，

∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．

故选B．

【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．

10．△ABC中，三边长a，b，c满足a3+b3=c3，那么△ABC的形状为（）

A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．以上均有可能

【考点】三角形的形状判断．

【分析】依题意可知∠C为△ABC中的最大角，且+=1；利用指数函数的单调

性可证得＞，＞，利用不等式的性质与余弦定理即可判断出答案．【解答】解：∵a3+b3=c3，

∴∠C为△ABC中的最大角，且+=1；

∴0＜a＜c，0＜b＜c，

∴0＜＜1，0＜＜1，

∴＞，

＞，

∴+＞+=1，

∴c2＜a2+b2，由余弦定理得：cosC=＞0，

∴∠C为锐角．

∴△ABC为锐角三角形．

故选A．

【点评】本题考查三角形形状的判定，得到+＞+=1是关键，也是难点，考查转化思想与创新思维能力，属于难题．

11．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；

②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648；

③y与x正相关且=5.437x+8.493；

④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578．

其中一定不正确的结论的序号是（）

A．①②B．②③C．③④D．①④

【考点】线性回归方程．

【分析】由题意，可根据回归方程的一次项系数的正负与正相关或负相关的对应对四个结论作出判断，得出一定不正确的结论来，从而选出正确选项．

【解答】解：①y与x负相关且=2.347x﹣6.423；此结论误，由线性回归方程知，此两变量的关系是正相关；

②y与x负相关且；此结论正确，线性回归方程符合负相关的特征；

③y与x正相关且；此结论正确，线性回归方程符合正相关的特征；

④y与x正相关且．此结论不正确，线性回归方程符合负相关的特征．

综上判断知，①④是一定不正确的

故选D

【点评】本题考查线性回归方程，正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应是解题的关键，本题是记忆性的基础知识考查题，较易

12．设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最

大值等于（）

A．2 B．C．D．1

【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．

【分析】利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断

出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值．

【解答】解：∵，

∴的夹角为120°，

设，则；=

如图所示

则∠AOB=120°；∠ACB=60°

∴∠AOB+∠ACB=180°

∴A，O，B，C四点共圆

∵

∴

由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=

当OC为直径时，模最大，最大为2

故选A

【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β），且f（3）=3，则f（2 016）=﹣3．

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】利用f（3）=3，以及诱导公式化简求出asinα+bcosβ=﹣3，然后化简整理f（2016），即可求出结果．

【解答】解：f（3）=asin（3π+α）+bcos（3π+β）

=asin（π+α）+bcos（π+β）

=﹣asinα﹣bcosβ=3．

∴asinα+bcosβ=﹣3．

∴f（2016）=asin（2016π+α）+bcos（2016π+β）

=asinα+bcosβ=﹣3．

故答案为：﹣3．

【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简与求值，诱导公式的应用，整体思想的应用，必得分题目．

14．某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是200．

【考点】分层抽样方法．

【分析】根据学校的总人数和要抽取的样本容量，做出每个个体被抽到的概率，根据学生要抽取150人，做出教师要抽取的人数是10，除以概率得到教师的人数．

【解答】解：∵学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，

∴每个个体被抽到的概率是=，

∴=，

∴学校的教师人数为10×20=200．

故答案是：200．

【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，且在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．

15．已知sin（3π+α）=2sin（+α），则=﹣．

【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．

【分析】运用诱导公式和同角的商数关系，可得tanα=2，再对所求式子分子分母同除以cosα，代入数据即可得到．

【解答】解：sin（3π+α）=2sin（+α），即为

﹣sinα=﹣2cosα，即有tanα=2，

则=

==﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查诱导公式和同角的商数关系的运用，考查运算能力，属于基础题．

16．O是面α上一定点，A，B，C是面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．以下命题正确的是②③④⑤．（把你认为正确的序号全部写上）

①动点P满足=++，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；

②动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的内心一定在满足条件的P 点集合中；

③动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；

④动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．

⑤动点P满足=+λ（+）（λ＞0），则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】由=++，得出++=，P是△ABC的重心，判断①错误；

由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），与∠BAC的平

分线所在向量共线，判断②正确；

由=+λ（+）（λ＞0），得出=λ（+），

=（+），判断③正确；

由

+λ（

）（λ＞0），得出

=λ（

+），

=0，判断④正确；

由=

+λ（+）（λ＞0），得出E 为BC 的中点，且=λ

（

），

⊥

，判断⑤正确．

【解答】解：对于①，动点P 满足=

+，∴

，

∴

=，∴P 是△ABC 的重心，

∴△ABC 的外心不一定在P 点的集合中，①错误；

对于②，动点P 满足

+λ（

）（λ＞0），

∴=λ（+），

又向量+在∠BAC 的平分线上，∴与∠BAC 的平分线所在向量共线，

∴△ABC 的内心在满足条件的P 点集合中，②正确；

对于③，动点P 满足

+λ（

）（λ＞0），

∴=λ（+）；

过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则||sinB=|

sinC=AD ，

∴

（

），向量

与BC 边的中线共线，

因此△ABC 的重心一定在满足条件的P 点集合中，③正确；

对于④，动点P 满足

+λ（

）（λ＞0），

∴=λ（+

），∴=λ（+

）=λ（||﹣|

|）=0，

∴

⊥

，∴△ABC 的垂心一定在满足条件的P 点集合中，④正确；

对于⑤，动点P 满足

+λ（

）（λ＞0），

设=，则E为BC的中点，则=λ（+），

由④知（+）=0，得=0，∴⊥；

∴P点的轨迹为过E的BC的垂线，即BC的中垂线；

∴△ABC的外心一定在满足条件的P点集合，⑤正确．

故正确的命题是②③④⑤．

故答案为：②③④⑤．

【点评】本题综合考查了向量形式的三角形的外心、重心、内心、垂心的性质及其向量运算和数量积运算，考查了数形结合的思想方法，属于难题．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量=（a，b），=（sinB，sinA），=（b﹣2，a﹣2）．

（1）若∥，试判断△ABC的形状并证明；

（2）若⊥，边长c=2，∠C=，求△ABC的面积．

【考点】三角形的形状判断；正弦定理；余弦定理．

【分析】（1）由∥可得asinA=bsinB，再利用正弦定理即可证明结论；

（2）由⊥可得a+b=ab，再利用余弦定理可得到（ab）2﹣3ab﹣4=0，解此方程即可求得ab的值，从而可求得△ABC的面积．

【解答】解：（1）ABC为等腰三角形；

证明：∵=（a，b），=（sinB，sinA），∥，

∴asinA=bsinB，

即a=b，其中R是△ABC外接圆半径，

∴a=b﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴△ABC为等腰三角形﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）∵=（b﹣2，a﹣2），由题意可知⊥，

∴a（b﹣2）+b（a﹣2）=0，

∴a+b=ab﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

由余弦定理可知，4=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab

即（ab）2﹣3ab﹣4=0，

∴ab=4或ab=﹣1（舍去）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴S=absinC=×4×sin=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查解方程的能力，属于中档题．

18．已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，x∈R．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h （x）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求在[0，π]上的值域．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．

【分析】（Ⅰ）先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式asinx+bcosx=

sin（x+θ）化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．利用正弦函数的单调增区间求出函数的单调增区间即可．

（Ⅱ）求出函数横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式，再把所得函数的图象向右平移

个单位后得到函数g（x）的图象，写出解析式，然后求解定义域是的函数的值域．

【解答】解：（Ⅰ）y=2cos2x+sin2x

=1+cos2x+sin2x

=1+2（cos2x+sin2x）

=1+2sin（2x+），

由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+k∈Z，

∴函数的单调增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数h

（x）=1+2sin（x+）的图象，再将函数h（x）的图象向右平移个单位后得到函数g

（x）=1+2sin（x﹣+）=1+2sin（x）的图象，

∴函数g（x）的解析式，g（x）=1+2sin（x）．

∵x∈[0，π]，x∈，当x=时函数取得最小值：1+2×

=0，

当x=时函数取得最大值：1+2=3，

∴g（x）∈[0，3]，

即函数g（x）在[0，π]上的值域[0，3]．

【点评】本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握y=Asin（ωx+φ）的图象变换中振幅变换、平移变换及周期变换的法则及方法是解答本题的关键．注意基本函数的基本性质，是解好题目的前提．

19．四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．

（1）求C和BD；

（2）求四边形ABCD的面积．

【考点】余弦定理；正弦定理．

【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出BD2，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出BD2，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；（2）由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积．

【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，

由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC=13﹣12cosC①，

在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，

由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2ABADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，

由①②得：cosC=，

则C=60°，BD=；

（2）∵cosC=，cosA=﹣，

∴sinC=sinA=，

则S=ABDAsinA+BCCDsinC=×1×2×+×3×2×=2．

【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

20．前不久商丘市因环境污染严重被环保部约谈后，商丘市近期加大环境治理力度，如表提供了商丘某企业节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．

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