10把钥匙中有3把能打开门

练习一

1、10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解:

设事件A={能打开门}, 则A为不能打开门

22n?Cn?C7, 10, 有利于A的基本事件数A基本事件总数

2C77?61?27P(A)?2????0.467C101?210?915

1

因此, P(A)?1?P(A)?1?0.467?0.533. 2、100个产品中有3个次品（隐含条件？）,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率.

解: 设Ai为取到i个次品, i=0,1,2,3,

i5?i5n?C,2,3 n?C3C97,i?0,1100, 有利于Ai的基本事件数为i基本事件总数

则

5n0C9797?96?95?94?9319?47?31P(A0)??5???0.856nC100100?99?98?97?9620?49?334n13?C971?2?3?4?53?97?96?95?94P(A1)????5n100?99?98?97?961?2?3?4C10095?94?0.13820?33?983n2C32C971?2?3?4?53?97?96?95P(A2)????5n100?99?98?97?961?2?3C100?95?0.0065?33?982n3C971?2?3?4?597?96P(A3)??5???nC100100?99?98?97?961?2??1?0.000065?33?98

3、 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.

解: 设A为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,

1113n?CC3C2, n?CA510则基本事件总数, 有利于A的基本事件数为

111C3C2nAC51?2?31P(A)????5?3?2??0.253n10?9?84C10则

4、两封信随机地投入四个邮筒, 求（1）前两个邮筒内没有信的概率（2）第一个邮筒内只有一封信的概率.

解: （1）设A为前两个邮筒没有信的事件, （2）B为第一个邮筒内只有一封信的事件,

则基本事件总数n?4?4?16,

有利于A的基本事件数nA?2?2?4, 有利于B的基本事件数nB?2?3?6,

n41P(A)?A???0.25n164则

2

P（B）=

5、 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格

解: 设事件A1为一等品, A2为二等品, B为合格品, 则 P(A1)=0.8, P(A2)=0.16,

B=A1+A2, 且A1与A2互不相容, 根据加法法则有 P(B)=P(A1)+P(A2)=0.8+0.16=0.96

6、袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币（隐含条件？）, 任意取出5个, 求总数大于一角的概率.

解: 假设B为总数大于一角（分析：（1）至少有一个是5分；（2）当仅有1个5分时，必须至少有2个2分））

设：A1为5个中有两个5分,

A2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则

B=A1+A2+A3, 而A1,A2,A3互不相容,

10?9?8?7?65n?C10??3?2?6?7?2521?2?3?4?5基本事件总数

设有利于A1, A2 , A3的基本事件数为n1, n2, n3, 则

8?7?623n1?C2C8??56,1?2?3131n2?C2C3C5?2?5?10,5?4?60,1?256?10?60126P(B)???0.5252252

7、 求习题2中次品数不超过一个的概率（.100个产品中有3个次品（隐含条件？）,任取5个, …）

解: 设Ai为取到i个次品, i=0,1,2,3, B为次品数不超过一个,

则B=A0+A1, A0与A1互不相容, 则根据第2题的计算结果有

P(B)=P(A0)+P(A1)=0.856+0.138=0.994

122n3?C2C3C5?2?3? 3

8、 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15, 刮风(用B表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P(A|B), P(B|A), P(A+B).

解: 根据题意有P(A)=4/15, P(B)=7/15, P(AB)=1/10, 则

P(AB)1/103P(A|B)????0.214P(B)7/1514PAB)1/103P(B|A)????0.275P(A)4/15874114?8?319P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)??????0.6331515103030

9、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有效的概率系统A为0.92, 系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求

(1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B失灵的条件下, A有效的概率

解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则根据题意有 P(A)=0.92, P(B)=0.93, P(B|A)?0.85

(1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效, 即A?B?AB, 而P(B|A)?1?P(B|A)?1?0.85?0.15, 则

P(AB)?P(A)P(B|A)?(1?0.92)?0.15?0.08?0.15?0.012P(A?B)?1?P(AB)?1?0.012?0.988(2) B失灵条件下A有效的概率为P(A|B), 则 P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(AB)0.012?1??0.829P(B)1?0.93

10、 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签考试, 不重复地抽取, 每人一次, 甲先, 乙次, 丙最后, 证明3人抽到难签的概率相等.

证: 设事件A,B,C表示甲,乙,丙各抽到难签, 显然P(A)=4/10, 而由

4312P(AB)?P(A)P(B|A)???109906424P(AB)?P(A)P(B|A)???109904624P(AB)?P(A)P(B|A)???109906530P(AB)?P(A)P(B|A)???10990

由于A与A互不相容,且构成完备事件组, 因此B?AB?AB可分解为两个互不

4

相容事件的并, 则有

P(B)?P(AB)?P(AB)?12?24364??909010

又因AB,AB,AB,AB之间两两互不相容且构成完备事件组, 因此有

C?ABC?ABC?ABC?ABC分解为四个互不相容的事件的并, 且

12224??90872024372P(ABC)?P(AB)P(C|AB)???90872024372P(ABC)?P(AB)P(C|AB)???908720304120P(ABC)?P(AB)P(C|AB)???908720

P(C)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABCP(ABC)?P(AB)P(C|AB)?24?72?72?1202884??72072010则

因此有P(A)=P(B)=P(C), 证毕.

11、 用3台机床加工同一种零件, 零件由各机床加工的概率分别为0.5, 0.3, 0.2, 各机床加工的零件为合格品的概率分别等于0.94, 0.9, 0.95, 求全部产品中的合格率.

解: 设A1,A2,A3零件由第1,2,3个机床加工, B为产品合格, A1,A2,A3构成完备事件组. 则根据题意有

P(A1)=0.5, P(A2)=0.3, P(A3)=0.2,

P(B|A1)=0.94, P(B|A2)=0.9, P(B|A3)=0.95

?

5

由全概率公式得全部产品的合格率P(B)为

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.5?0.94?0.3?0.9?0.2?0.95?0.93i?1

12、12个乒乓球中有9个新的3个旧的, 第一次比赛取出了3个, 用完后放回去, 第二次比赛又取出3个, 求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

解: 设A0,A1,A2,A3为第一次比赛取到了0,1,2,3个新球, A0,A1,A2,A3构成完备事件组.

设B为第二次取到的3个球中有2个新球. 则有

3 6

3C31?2?31P(A0)?3??,C1212?11?102201C92C31?2?39?827P(B|A0)????3?,312?11?101?255C1212C9C31?2?3?9?327P(A1)???,312?11?10220C121C82C41?2?38?728P(B|A1)????4?,312?11?101?255C121C92C31?2?3?9?8?327P(A2)???,312?11?10?255C121C72C51?2?37?621P(B|A2)????5?,312?11?101?244C123C91?2?3?9?8?721P(A3)?3??,C1212?11?10?2?3551C62C61?2?36?59P(B|A3)????6?312?11?101?222 C12根据全概率公式有

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)i?03 13、某商店收进甲厂生产的产品30箱, 乙厂生产的同种产品20箱（隐含条件？）, 甲厂每箱100个, 废品率为0.06, 乙厂每箱装120个, 废品率是0.05, 求: (1)任取一箱, 从中任取一个为废品的概率;

(2)若将所有产品开箱混放, 求任取一个为废品的概率. 解: (1) 设B为任取一箱, 从中任取一个为废品的事件.

设A为取到甲厂的箱, A为乙厂的箱，则A与A构成完备事件组

3020P(A)??0.6,P(A)??0.45050P(B|A)?0.06,P(B|A)?0.0512727282721219???????220552205555445522?0.0022?0.0625?0.2341?0.1562?0.455 ?P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.6?0.06?0.4?0.05?0.056

(2) 设B为开箱混放后任取一个为废品的事件.

则甲厂产品的总数为30×100=3000个, 其中废品总数为3000×0.06=180个, 乙厂产品的总数为20×120=2400个, 其中废品总数为2400×0.05=120个, 因此

7

P(B)?

14、有两个口袋, 甲袋中盛有两个白球, 一个黑球,（隐含条件？） 乙袋中盛有一个白球两个黑球（隐含条件？）. 由甲袋中任取一个球放入乙袋, 再从乙袋中取出一个球, 求取到白球的概率.

解: 设事件A为从甲袋中取出的是白球, 则A为从甲袋中取出的是黑球, A与A构成完备事件组. 设事件B为从乙袋中取到的是白球. 则P(A)=2/3, P(A)=1/3, P(B|A)=2/4=1/2, P(B|A)=1/4, 则根据全概率公式有

P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??5?0.417122111???3234180?120300??0.055555555...3000?24005400

15、 上题中若发现从乙袋中取出的是白球, 问从甲袋中取出放入乙袋的球, 黑白哪种颜色可能性大?

解: 事件假设如上题, 而现在要求的是在事件B已经发生条件下, 事件A和A发生的条件概率P(A|B)和P(A|B)哪个大, 可以套用贝叶斯公式进行计算, 而计算时分母为P(B)已上题算出为0.417, 因此

21?P(A)P(B|A)32P(A|B)???0.8P(B)0.41711?P(A)P(B|A)34P(A|B)???0.2P(B)0.417 P(A|B)>P(A|B), 因此在乙袋取出的是白球的情况下, 甲袋放入乙袋的球是白球

的可能性大.

16、甲, 乙两部门处理日常性事务, 根据长期资料总结, 甲部门办事评优的概率为1%, 乙部门办事评优的概率为2%,。现抽查两个部门的办事档案, 由乙部门处理的事务量比甲部门处理的事务量大一倍,。今从档案的事务中任意取出一件, 经检查恰好评优的案档, 试由此检查结果恰为甲部门所处理的概率.

8

解: 设A为零件由甲机器制造, 则A为零件由乙机器制造, A与A构成完备事件组. （注：要善于利用A与A的关系）。 由P(A+A)=P(A)+P(A)=1并由题意知P(A)=2P(A), 得P(A)=1/3, P(A)=2/3.

设B为零件为废品, 则由题意知 P(B|A)=0.01, P(B|A)=0.02,

则根据贝叶斯公式, 任抽一件检查为废品条件下零件由甲机器制造的概率为

P(A)P(B|A)P(A|B)??P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)1?0.010.013???0.2120.05?0.01??0.0233

17、 假设有3箱同种型号的零件, 里面分别装有50件, 30件和40件, 而一等品分别有20件, 12件及24件. 现在任选一箱（隐含条件？）从中随机地先后各抽取一个零件(第一次取到的零件不放回). 试求先取出的零件是一等品的概率; 并计算两次都取出一等品的概率.

解: 称这三箱分别为甲,乙,丙箱, 假设A1, A2, A3分别为取到甲,乙,丙箱的事件, 则A1, A2, A3构成完备事件组. 易知P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3.

设B为先取出的是一等品的事件.

201224P(B|A1)??0.4,P(B|A2)??0.4,P(B|A3)??0.6503040则

根据全概率公式有

30.4?0.4?0.6P(B)??P(Ai)P(B|Ai)??0.4673i?1

设C为两次都取到一等品的事件, 则

2C2020?19P(C|A1)?2??0.1551C5050?492C1212?11P(C|A2)?2??0.1517C3030?292C2424?23P(C|A3)?2??0.38C4040?39根据全概率公式有

P(C)??P(Ai)P(C|Ai)?i?13

0.1551?0.1517?0.3538?0.223

9

18、甲,乙两人射击, 甲击中的概率为0.6, 乙击中的概率为0.7, 两人同时射击, 并假定中靶与否是独立的. 求(1)两人都中靶的概率; (2) 甲中乙不中的概率;

解: 设事件A为甲击中, 事件B为乙击中, 则A与B相互独立,

P(A)=0.6, P(B)=0.7 (1) 两人都中靶的概率 P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42

(2) 甲中乙不中的概率

P(AB)?P(A)[1?P(B)]?0.6?0.3?0.18 (3) 甲不中乙中的概率

P(AB)?[1?P(A)]P(B)?0.4?0.7?0.28 19、加工一个产品要经过三道工序, 第一,二,三道工序不出废品的概率分别为0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品为独立的, 求经过三道工序而不出废品的概率.

解: 设事件A,B,C为经过第一,二,三道工序不出废品, 则A,B,C相互独立, 且有 P(A)=0.9, P(B)=0.95, P(C)=0.8

经过三道工序而不出废品的概率为

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.95×0.8=0.684

20、一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成, 两部分有任何一个失灵, 这个报警器失灵, 若使用100小时后, 雷达部分失灵的概率为0.1, 计算机失灵的概率为0.3, 若两部分失灵与否为独立的, 求这个报警器使用100小时而不失灵的概率.

解: 设A为雷达失灵, B为计算机失灵, 则A与B相互独立, 且有 P(A)=0.1, P(B)=0.3

因此, 这个报警器使用100小时不失灵的概率为

P(AB)?P(A)P(B)?[1?P(A)][1?P(B)]?(1?0.1)(1?0.3)?0.9?0.7?0.63

21、制造一种零件可采用两种工艺, 第一种工艺有三道工序, 每道工序的废品率分别为0.1, 0.2, 0.3; 第二种工艺有两道工序, 每道工序的废品率都是0.3; 如果使用第一种工艺, 在合格零件中, 一级品率为0.9, 而用第二种工艺, 合格品中的一级品率只有0.8, 试问哪一种工艺能保证得到一级品的概率较大? 解: (1) 计算第一种工艺的一级品率

设A1,A2,A3为经过第一,二,三道工序时出废品, B为产品合格, C为产品为一级品 则A1,A2,A3相互独立, B?A1A2A3, 并有 P(A1)=0.1, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(C|B)=0.9

10

P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)?[1?P(A1)][1?P(A2)][1?P(A3)]?(1?0.1)(1?0.2)(1?0.3)?0.9?0.8?0.7?0.504因B?C, 因此BC=C, 则

P(C|B)?P(BC)P(C)?P(B)P(B),

则第一种工艺的一级品率为P(C)?P(B)P(C|B)?0.504?0.9?0.4536

(2) 计算第二种工艺的一级品率

设设A1,A2为经过第一,二道工序时出废品, B为产品合格, C为产品为一级品 则A1,A2相互独立, B?A1A2, 并有 P(A1)=P(A2)=0.3 P(C|B)=0.8

P(B)?P(A1)P(A2)?[1?P(A1)][1?P(A2)]?(1?0.3)(1?0.3)?0.7?0.7?0.49

因B?C, 因此BC=C, 则

P(C|B)?P(BC)P(C)?P(B)P(B),

因此第二种工艺的一级品率为P(C)?P(B)P(C|B)?0.49?0.8?0.392

因此, 第一种工艺的一级品率0.4536要大于第二种工艺的一级品率0.392.

22、3人独立地去破译一个密码, 他们能译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4, 问能将此密码译出的概率是多少（与任何一人译出是等价的）? 解: 设A,B,C为各个人译出密码, 则A,B,C相互独立, 且有 P(A)=1/5, P(B)=1/3, P(C)=1/4, 因此, 将密码译出的概率为

P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?[1?P(A)][1?P(B)][1?P(C)]?1?(1?1/5)(1?1/3)((1?1/4)4232?1????1??0.65345

24、 电灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2, 求3个灯泡在使用1000小时后, 最多只有一个坏了的概率.

解: 在此贝努里试验概型中, 设事件A为灯泡损坏, 则事件A发生的概率p=1-0.2=0.8, 试验次数n=3, 设事件B为最多只有一个坏, 因此

P(B)?p3(0)?p3(1)?0.23?3?0.22?0.8?0.008?0.096?0.104

25、 某机构有一个9人组成的顾问小组, 若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7, 现在该机构对某事可行与否征求各位顾问意见, 并按2/3以上人意见做出决策, 求做出正确决策的概率.

11

解: 在此贝努里试验概型中, 设事件A为顾问贡献正确意见, 试验次数n=9, 事件B为作出正确决策, 则

P(B)??p9(k)??C9k?0.7k?0.39?k?k?5k?599 26、 某店内有4名售货员, 据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟, 问该店配置几台秤较为合理?

解: 每时刻的用秤情况构成一贝努里试验概型, A为一个售货员要用秤的事件, 其概率为p=1/4=0.25, 四个售货员代表试验四次, 设Bi为至多要用i台秤, i=0,1,2,3,4, 则

P(B0)?p4(0)?0.754?0.3164P(B1)?p4(0)?p4(1)?0.3164?4?0.25?0.753?0.73832P(B2)?p4(0)?p4(1)?p4(2)?0.7383?C4?0.252?0.7526?7?8?97?8?98?9?0.75?0.34??0.76?0.33??0.77?0.32?9?0.78?0.3?0.791?2?3?41?2?31?2?0.1715?0.2668?0.2668?0.1556?0.0404?0.9011 ?4?3?0.0625?0.5625?0.7383?0.21092?0.9492?0.95

可以看出用2台秤就可以保证以近95%的概率用秤情况不会冲突, 因此配置二台秤较为合理.

?0.7383? 12

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