2017-2018版高中数学第一章立体几何初步疑难规律方法学案北师大版必修2

第一章 立体几何初步

1 揭秘圆柱、圆锥、圆台和球的特征

我们把由一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体.这条定直线叫作旋转体的轴，常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球等.

1.圆柱有以下三个主要特征 (1)圆柱的轴垂直于底面.

(2)圆柱的所有母线都相互平行且相等，而且都与圆柱的轴平行. (3)圆柱的母线垂直于底面. 2.三类几何体的区别如下表所示

圆柱 圆锥 圆台

底面 有两个、平行且全等 只有一个 有两个、平行且相似 平行于底面的截面 与两底面全等 与底面相似 与两底面相似 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 从运动变化的角度来讲，三类几何体的内在联系如图所示.

3.球与球面

半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球.球面也可看成是空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合.球面仅仅指球的表面，而球不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间，所以球是由半圆面沿其直径旋转而成的封闭的、实心的几何体.球的截面都是圆面. 4.圆台应具备以下性质

(1)圆台的底面是两个半径不相等的圆，两圆所在的平面互相平行且和轴垂直. (2)平行于底面的截面是圆.

(3)母线都相等，各母线延长后相交于一点. 例 下列说法正确的是( )

①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成； ②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆；

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③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；

④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交. A.①② B.②③ C.①③ D.②④

解析 ①错，圆台是直角梯形绕其直角边或等腰梯形绕其底边的中线旋转形成的；②正确；由母线的定义知③错；④正确.所以应选D. 答案 D

2 学习空间几何体要“三会”

一、会辨别

例1 下列说法：①一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；②若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；③直角三角形绕其任意一条边旋转一周都可以围成圆锥.其中说法正确的个数为________. 分析 可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断.

解析 一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所以①错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点，而②中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以②错；③中如绕直角边旋转可以形成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以③错.故填0. 答案 0

评注 要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，当然掌握定义是大前提. 二、会折展

例2 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“Δ”的面的方位是________.

分析 将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可.

解析 将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“Δ”的面的方位应为北.故填北.

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答案 北

评注 将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明中经常用到，应引起重视.解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模型进行实践. 三、会割补

例3 如图所示是一个三棱台ABC－A1B1C1.

(1)试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥.

分析 (1)三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边形的公共边都相互平行；

(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形.

解 (1)作A1D∥BB1，C1E∥BB1，连接DE，则三棱柱为A1B1C1－DBE，多面体为ADECC1A1(如图所示).

(2)连接A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分，形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C1、三棱锥A1－BCC1(如图所示).

评注 正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体，从而可以利用公式求解.

3 三视图易错点剖析

一、棱锥的视图易出错

我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图.实际上，在上述几何体的三

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视图中，左视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图.

如图，对于正三棱锥P－ABC来说，它的主视图中，从前面向后面看，点B到了点D的位置，点P到了点P′的位置，故主视图为等腰三角形P′AC(包含高线P′D)，从左侧向右侧看，点A到了点D的位置，故左视图为△PBD，从上面向下面看，俯视图中，点P到了点O的位置，故俯视图为等边三角形ABC(外加三条线段OA、OB、OC).

如图，对于正四棱锥P－ABCD来说，它的主视图和左视图分别为等腰三角形PEF和等腰三角形PGH，俯视图为正方形ABCD(包含两条对角线AC和BD).对于此三视图，左视图和主视图易出错，但有了高线PO的衬托，便可降低出错率.

二、画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错

作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表示.这一点不能忽视，否则易出错. 例1 画出如图所示零件的三视图.

错解 如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示.

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剖析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线. 正解

三、不能由三视图还原正确的直观图而出错

当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影，重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图验证直观图的正确性.

例2 如图，通过三视图还原物体的直观图.

解 通过三视图可以画出直观图，如图所示：

注：其中PC为垂直于底面ABCD的直线. 变式训练 由下面的三视图还原物体的直观图.

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