概率论与数理统计_知识点总复习

1

随机事件和概率 第一节 基本概念

1、排列组合初步 （1）排列组合公式

)!

(!n m m P n

m -=

从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!

(!!

n m n m C n m

-=

从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m 3n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m 3n 种方法来完成。 (4)一些常见排列

① 特殊排列 相邻 彼此隔开

顺序一定和不可分辨

② 重复排列和非重复排列（有序） ③ 对立事件 ④ 顺序问题

2、随机试验、随机事件及其运算 （1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 （2）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分，（A 发生必有事件B 发生）：

B A ?

如果同时有B A ?，A B ?，则称事件A 与事件B 等价，

或称A 等于B ：A=B 。

A 、

B 中至少有一个发生的事件：A B ，或者A +B 。

属于A 而不属于B 的部分所构成的事件，称为A 与B 的差，记为A-B ，也可表示为A-AB 或者B A ，它表示A 发生而B 不发

生的事件。

A 、

B 同时发生：A B ，或者AB 。A B=?，则表示A 与B 不可

能同时发生，称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A 称为事件A 的逆事件，或称A 的对立事件，记为A 。它

表示A 不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) (A ∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：

∞

=∞==1

1

i i

i i A

A

B

A B A =，

B A B A =

3、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A 为事件，对每一个事件

A 都有一个实

数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件

1A ，2A ，…有

∑∞=∞==???? ??11)(i i i i A P A P

常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A 的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1° {}n ωωω 21,=Ω

，

2° n

P P P n 1

)()()(21=

==ωωω 。 设任一事件

A ，它是由m ωωω 21,组成的，则有

P(A)=

{})()()(21m ωωω

=)()()(21m P P P ωωω+++

n

m =

基本事件总数所包含的基本事件数A =

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） （1）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B) （2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B ?A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)

2

当A=Ω时，P(B )=1- P(B) （3）条件概率和乘法公式

定义 设A 、B 是两个事件，且P(A)>0，则称)

()

(A P AB P 为事件A

发生条件下，事件B 发生的条件概率，记为

=

)/(A B P )

()

(A P AB P 。 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B /A)=1-P(B/A) 乘法公式：)/()()

(A B P A P AB P =

更一般地，对事件A 1，A 2，…A n ，若P(A 1A 2…A n-1)>0，则有

21(A A P …

)n A )|()|()(213121A A A P A A P A P =……21|(A A A P n …)1-n A 。

（4）全概公式

设事件n B B B ,,,21 满足

1°n B B B ,,,21 两两互不相容，),,2,1(0)(n i B P i =>，

2°

n

i i

B A 1

=?，

则有 )

|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++= 。

此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式

设事件1B ，2B ，…，n B 及A 满足

1° 1B ，2B ，…，n B 两两互不相容，)(Bi P >0，=i 1，

2，…，n ，

2° n

i i

B A 1

=?，0)

(>A P ，

则

∑==

n

j j j

i i i B A P B

P B A P B P A B P 1

)

/()()

/()()/(，i=1，2，…n 。

此公式即为贝叶斯公式。

)(i B P ，（1=i ，2，…，n ），通常叫先验概率。)/(A B P i ，

（1=i ，2，…，n ），通常称为后验概率。如果我们把A 当作观察的“结果”，而1B ，2B ，…，n B 理解为“原因”，则贝

叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

5、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性

设事件

A 、

B 满足)()()(B P A P AB P =，则称事件A 、

B 是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。

若事件

A 、

B 相互独立，且0)(>A P ，则有

)

()()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P ===

所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件

A 、

B 相互独立，则可得到A 与B 、A 与B 、A

与B 也都相互独立。（证明）

由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。（证明）

同时，?与任何事件都互斥。 （2）多个事件的独立性

设ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A 、B 、C 相互独立。 对于n 个事件类似。 两两互斥→互相互斥。 两两独立→互相独立？ （3）伯努利试验

定义 我们作了n 次试验，且满足 ◆ 每次试验只有两种可能结果，A 发生或A 不发生；

◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一

样；

◆

每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次

试验

A 发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用

p

表示每次试验

A 发生的概率，则A

发生的概率为

q

p =-1，用

)

(k P n 表示

n

重伯努利试验中

A

出现

)0(n k k ≤≤次的概率， k

n k k

n n q p k P C -=)(，n k ,,2,1,0 =。

随机变量及其分布 第一节 基本概念

在许多试验中，观察的对象常常是一个随同取值的量。例如掷一颗骰子出现的点数，它本身就是一个数值，因此P(A)这个函数可以看作是普通函数（定义域和值域都是数字，数字到数字）。但是观察硬币出现正面还是反面，就不能简单理解为普通函数。但我们可以通过下面的方法使它与数值联系起来。当出现正面时，规定其对应数为“1”；而出现反面时，规定其对应数为“0”。于是

3

==)(ωX X ??

?，当反面出现

，当正面出现01

称

X

为随机变量。又由于

X

是随着试验结果（基本事件ω）

不同而变化的，所以

X

实际上是基本事件ω的函数，即

X=X(ω)。同时事件A 包含了一定量的ω（例如古典概型中A 包含了ω1，ω2，…ωm ，共m 个基本事件），于是P(A)可以由P(X(ω))来计算，这是一个普通函数。

定义 设试验的样本空间为Ω，如果对Ω中每个事件ω都有唯一的实数值X=X(ω)与之对应，则称X=X(ω)为随机变量，简记为X

。

有了随机变量，就可以通过它来描述随机试验中的各种事件，能全面反映试验的情况。这就使得我们对随机现象的研究，从前一章事件与事件的概率的研究，扩大到对随机变量的研究，这样数学分析的方法也可用来研究随机现象了。

一个随机变量所可能取到的值只有有限个（如掷骰子出现的点数）或可列无穷多个（如电话交换台接到的呼唤次数），则称为离散型随机变量。像弹着点到目标的距离这样的随机变量，它的取值连续地充满了一个区间，这称为连续型随机变量。 1、随机变量的分布函数 （1）离散型随机变量的分布率

设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为

P(X=x k )=p k ，k=1,2,…， 则称上式为离散型随机变量X

的概率分布或分布律。有时也

用分布列的形式给出：

,,,,,,,,|

)(2121k k k p p p x x x x X P X =。

显然分布律应满足下列条件： （1）

0≥k p ， ,2,1=k ，

（2）

∑∞

==1

1

k k

p

。

（2）分布函数

对于非离散型随机变量，通常有0)(==x X P ，不可能

用分布率表达。例如日光灯管的寿命X ，0)(0==x X

P 。

所以我们考虑用

X 落在某个区间],(b a 内的概率表示。

定义 设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数

)()(x X P x F ≤=

称为随机变量X 的分布函数。

)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到

X 落入区间

],(b a 的概率。也就是说，分布函数完整地描述了随机变量X 随

机取值的统计规律性。

分布函数)(x F 是一个普通的函数，它表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

)(x F 的图形是阶梯图形， ,,21x x 是第一类间断点，随

机变量

X

在k x 处的概率就是)(x F 在k x 处的跃度。

分布函数具有如下性质： 1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；

2°

)(x F 是单调不减的函数，即

2

1x x <时，有

≤)(1x F )(2x F ；

3°

0)(l

i m

)(==-∞-∞

→x F F x ，

1)(lim )(==+∞+∞

→x F F x ；

4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的；

5° )0()()(--==x F x F x X P 。

（3）连续型随机变量的密度函数 定义 设

)(x F 是随机变量X

的分布函数，若存在非负函数

)(x f ，对任意实数x ，有

?∞

-=x

dx

x f x F )()(，

则称

X

为连续型随机变量。)(x f 称为X

的概率密度函数或密

度函数，简称概率密度。)(x f 的图形是一条曲线，称为密度（分

布）曲线。

由上式可知，连续型随机变量的分布函数)(x F 是连续函数。 所以，

()()()(1212121x P x X x P x X x P x X x P <

=<≤=≤<=≤≤

密度函数具有下面4个性质： 1° 0)(≥x f 。

2°

?

+∞

∞

-=1

)(dx x f 。

1

)()(==+∞?

+∞∞

-dx x f F 的几何意义；在横轴上面、密度曲

线下面的全部面积等于1。 如果一个函数)(x f 满足1°、2°，则它一定是某个随机变量的密

度函数。

4

3°

)(21x X x P ≤<＝)()(12x F x F -＝?2

1

)(x x dx x f 。

4° 若

)(x f 在x 处连续，则有)()(x f x F ='。

dx x f dx x X x P )()(≈+≤<

它在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P ==)(在

离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

)

(),(,独立性古典概型，五大公式，A P A E →→

Ω→ω

)()()()(x X P x F x X X ≤=→≤→ωω

对于连续型随机变量

X ，虽然有0)(==x X P ，但事件

)(x X =并非是不可能事件?。

?+=

+≤<≤=h

x x

dx x f h x X x P x X P )()()(

令

0→h ，则右端为零，而概率0)(≥=x X P ，故得

0)(==x X P 。

不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 2、常见分布 ①0－1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q ②二项分布

在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生

的次数是随机变量，设为

X

，则

X 可能取值为n ,,2,1,0 。

k

n k k

n n q p k P k X P C -===)()(， 其中

n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=，

则称随机变量

X

服从参数为

n ，p

的二项分布。记为

),(~p n B X 。

n

k n k k n

n n n n

p q p q p npq q k X P X

C C ,,,,,,|)(2221 ---=

容易验证，满足离散型分布率的条件。 当1=n

时，k k q p k X P -==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）

分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 ③泊松分布 设随机变量

X

的分布律为

λλ-=

=e k k X P k

!

)(，0>λ， 2,1,0=k ，

则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为

)(~λπX 或

者P(λ)。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。

如飞机被击中的子弹数、来到公共汽车站的乘客数、机床发生故障的次数、自动控制系统中元件损坏的个数、某商店中来到的顾客人数等，均近似地服从泊松分布。 ④超几何分布

),min(,2,1,0,)(n M l l k C C C k X P n

N

k

n M

N k M ==?==-- 随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布。 ⑤几何分布

,3,2,1,)(1===-k p q k X P k ，其中p ≥0，q=1-p 。

随机变量X 服从参数为p 的几何分布。 ⑥均匀分布

设随机变量X 的值只落在[a ，b]内，其密度函数)(x f 在[a ，

b]上为常数k ，即

??

?=,0,

)(k x f 其他，

其中k=

a

b -1

， 则称随机变量X 在[a ，b]上服从均匀分布，记为X~U(a ，b)。

分布函数为

?∞

-=

=x

dx x f x F )()(

当a ≤x 1

21,x x ）内的概率为

P(

??

-==<<2

1

2

1

1

)()21x x x x a

b dx x f x X x 0， x

x -- a ≤x ≤b

1， x>b 。

a ≤x ≤b

5

a

b x x dx --=

12。

⑦指数分布

设随机变量X 的密度函数为

其中0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的指数分布。 X 的分布函数为

记住几个积分：

,

10=?+∞

-dx xe

x

,20

2

=?+∞

-dx e x

x

)!1(0

1-=?+∞

--n dx e x

x

n

?+∞

--=Γ0

1 )(dx e x x αα， )()1(αααΓ=+Γ

⑧正态分布 设随机变量

X

的密度函数为

22)(21

)(σ

μσ

π--

=

x e

x f ， +∞<<∞-x ，

其中μ、0>σ为常数，则称随机变量X 服从参数为μ、

σ的正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为),(~2

σμN X 。

)(x f 具有如下性质：

1°

)(x f 的图形是关于μ=x 对称的；

2° 当μ=x 时，σ

πμ21)(=

f 为最大值；

3°

)(x f 以ox 轴为渐近线。

特别当σ固定、改变μ时，

)(x f 的图形形状不变，只是集体

沿ox 轴平行移动，所以μ又称为位置参数。当μ固定、改变σ时，

)(x f 的图形形状要发生变化，随σ变大，

)(x f 图形的形

状变得平坦，所以又称σ为形状参数。 若

),(~2σμN X ，则X

的分布函数为

dt

e

x F x

t ?

∞

---

=

2

22)(21

)(σ

μπσ

。。

参数

0=μ、1=σ时的正态分布称为标准正态分布，记为

)1,0(~N X ，其密度函数记为

2

2

21)(x e x -=

π

?，+∞<<∞-x ，

分布函数为

dt

e

x x

t ?

∞

--

Φ2

221)

(π

。)(x Φ是不可求积函数，其函数值，

已编制成表可供查用。

φ(x)和Φ(x)的性质如下：

1° φ(x)是偶函数，φ(x)＝φ(-x)；

2° 当x=0时，φ(x)＝

π

21为最大值；

3° Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝2

1。 如果

X ~),(2σμN ，则

σ

μ

-X ~)1,0(N 。

所以我们可以通过变换将)(x F 的计算转化为)(x Φ的计算，而

)(x Φ的值是可以通过查表得到的。

??

? ??-Φ-??? ??-Φ=≤<σμσμ1221)(x x x X x P 。

分位数的定义。 3、随机变量函数的分布 随机变量

Y 是随机变量X 的函数)(X g Y =，若X 的分布函

数)(x F X 或密度函数)(x f X 知道，则如何求出)(X g Y =的

分布函数)(y F Y 或密度函数

)(y f Y 。

（1）X 是离散型随机变量 已知X 的分布列为

,,,,,,,,)(2121n n i p p p x x x x X P X

=， 显

然

，

)

(X g Y =的取值只可能是 ),(,),(),(21n x g x g x g ，若)(i x g 互不相等，则Y

的分

布列如下：

,,,,),(,),(),()(2121n n i p p p x g x g x g y Y P Y

=，

若有某些)(i x g 相等，则应将对应的i P 相加作为)(i x g 的概率。 （2）

X

是连续型随机变量

先利用X 的概率密度f X (x)写出Y 的分布函数F Y (y)，再利用变上下限积分的求导公式求出f Y (y)。

=)(x f

,x e λλ- 0≥x

,

0, 0

=

)(x F ,1x e λ-- 0

≥x ,

,0 x<0。

6

二维随机变量及其分布 第一节 基本概念

1、二维随机变量的基本概念

（1）二维离散型随机变量联合概率分布及边缘分布

如果二维随机向量ξ（X ，Y ）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y ）时，则称ξ为离散型随机量。理解：（X=x,Y=y ）≡（X=x ∩Y=y ）

设ξ=（X ，Y ）的所有可能取值为),2,1,)(,( =j i y x j i ，

且事件{ξ=),

(j i y x }的概率为p ij,,称

),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i

为ξ=（X ，Y ）的分布律或称为X 和Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

这里p ij 具有下面两个性质： （1）p ij ≥0（i,j=1,2,…）； （2）

.1=∑∑

ij i

j

p

对于随机向量（X ，Y ），称其分量X （或Y ）的分布为（X ，Y ）的关于X （或Y ）的边缘分布。上表中的最后一列（或行）给出了X 为离散型，并且其联合分布律为

),2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i ，

则

X

的

边

缘

分

布

为

),2,1,()( ====∑?j i p x X P P ij j

i i ；

Y 的边缘分

布

为 ),2,1,()( ====∑?j i p y Y P P ij i

i i 。

（2）二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布 对于二维随机向量

)

,(Y X =ξ，如果存在非负函数

),)(,(+∞<<-∞+∞<<-∞y x y x f ，

使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D ，即D={(X,Y)|a

??=∈D

dxdy y x f D Y X P ,),(}),{(

则称ξ为连续型随机向量；并称f(x,y)为ξ=（X ，Y ）的分布密

度或称为X 和Y 的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质： （1） f(x,y)≥0; （2）

??

+∞∞-+∞

∞

-=.1),(dxdy y x f

一般来说，当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则X 和Y 的边缘分布密度为

.),()(),()(?

?+∞

∞

-+∞∞

-==dx y x f y f dy y x f x f Y X ，

注意：联合概率分布→边缘分布

（3）条件分布

当（X ，Y ）为离散型，并且其联合分布律为

),,2,1,()},(),{( ===j i p y x Y X P ij j i

在已知X=x i 的条件下，Y 取值的条件分布为

,)|(?

=

==i ij i j p p x X y Y P

其中p i ?, p ?j 分别为X ，Y 的边缘分布。

当（X ，Y ）为连续型随机向量，并且其联合分布密度为f(x,y)，则在已知Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为

)

()

,()|(y f y x f y x f Y =

在已知X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为

)

()

,()|(x f y x f x y f X =

其中

0)(,0)(>>y f x f Y X 分别为X ，Y 的边缘分布密度。

（4）常见的二维分布

①均匀分布

7

设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为

???

???

?∈

=

其他

,0),(1

),(D

y x S y x f D

其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ）服从D 上的均匀分布，记

为（X ，Y ）～U （D ）。 例如图3.1、图3.2和图3.3。 图3.1 图3.2 图3.3

②正态分布

设随机向量（X ，Y ）的分布密度函数为

121

),(2121211221))((2)1(21

2

????---???? ??----=

σσμμρσμρρ

σπσy x x e

y x f

其中1||,0,0,,2121<>>ρσσμμ，共5个参数，则称（X ，

Y ）服从二维正态分布，

（3）连续型随机变量 f(x,y)=f X (x)f Y (y)

联合分布→边缘分布→f(x,y)=f X (x)f Y (y)

直接判断，充要条件： ①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

例3．6：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3

, f Y (y)=4y-4y 3

，不独立。

例3．7：f(x,y)=?

?

?≤≤≤≤其他

,010,20,2

y x Axy

（4）二维正态分布

,121

),(22121211221))((2)1(212

???

?????---???? ??----=

σσμμρσμρρ

σπσy x x e y x f ρ=0

（5）随机变量函数的独立性

若X 与Y 独立，h,g 为连续函数，则：h （X ）和g （Y ）独立。 例如：若X 与Y 独立，则：3X+1和5Y-2独立。

3、简单函数的分布

两个随机变量的和Z=X+Y ①离散型： ②连续型

f Z (z)＝dx x z x f ?

+∞

∞

--),(

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（2

22121

,σσμμ++）。

3．17：设（X ，Y ）的联合分布密度为

??

?

?

?≤≤≤+=.

,0,

10),(),其他x y y x C y x

） 求C ；

） 求X ，Y 的边缘分布； ） 讨论X 与Y 的独立性； ） 计算P （X+Y ≤1）。

随机变量的数字特征 第一节 基本概念

）一维随机变量及其函数的期望

X 是离散型随机变量，其分布律为P(k

x X =)＝p k ，

…,n ，

∑==n

k k

k p x X 1

)

1） E(C)=C

2）

E(CX)=CE(X) 3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)

，

∑∑===n

i n

i i i i i X E C X C E 1

1

)()(

4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。 5） Y=g(X)

离散：∑==n

i k

k p x g Y E 1)()

(

连续：?+∞

∞-=

dx x xf X E )()(

?+∞

∞

-=

dx x f x g Y E )()()(

）方差

2，方差

)()X D X =，标准差

9

∑-=k

k

k p X E x X D 2)]([)(

②连续型随机变量

?+∞

∞

--=dx x f X E x X D )()]([)(2

③方差的性质

（1） D(C)=0；E(C)=C

（2） D(aX)=a 2

D(X)； E(aX)=aE(X) （3） D(aX+b)= a 2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X 2

)-E 2

(X)

（5） D(X+Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和Y 独立； 充要条件：X 和Y 不相关。 D(X ±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

类似的，n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布

),(2σμN 。

∑=i

i

i C μμ，

∑=i

i i C 222σσ

（3）常见分布的数学期望和方差

①0－1分布

E(X)=p ，D(X)=pq

②二项分布 X ~B(n,p)，k n k k n n q p C k P -=)(，（k=0,1,2…n ）

E(X)=np ，D(X)=npq

③泊松分布 P(λ) P(X=k)=!

k e x

k -λ，k=0,1,2…

E(X)= λ， D(X)= λ

④超几何分布 n

N

k n M

N k M C C C k X P --==)(

E(X)=N

nM

⑤几何分布 1)(-==k pq k X

P ，k=0,1,2…

E(X)=

p

1， D(X)=

2

p q

⑥均匀分布 X ~U[a,b]，f(x)=

a

b -1

，[a, b ] E(X)=2

b

a +， D(X)=

12)(2a b -

10

⑦指数分布 f(x)= x

e λλ-，(x>0)

E(X)=λ

1

， D(X)=

2

1

λ

⑧正态分布 X ~N(μ,σ2

)，2

22)(21)(σ

μσ

π--

=

x e

x f

E(X)= μ， D(X)= σ

2

2、二维随机变量的数字特征 （1）协方差和相关系数

对于随机变量X 与Y ，称它们的二阶混合中心矩11μ为X 与Y 的协方差或相关矩，记为),cov(Y X XY 或σ，即

))].())(([(11Y E Y X E X E XY --==μσ

与记号XY σ相对应，X 与Y 的方差D （X ）与D （Y ）也可分别记为XX

σ

与YY σ。

协方差有下面几个性质： (i) cov (X, Y)=cov (Y , X); (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);

(iii) cov(X 1+X 2, Y)=cov(X 1,Y)+cov(X 2,Y); (iv)

cov(X,Y)=E(XY)-(E(X))(E(Y)).

对于随机变量X 与Y ，如果D （X ）>0, D(Y)>0，则称

)

()(Y D X D XY

σ

为X 与Y 的相关系数，记作XY ρ（有时可简记为ρ）。 |ρ|≤1，当|ρ|=1时，称X 与Y 安全相关：

完全相关???-==时，

负相关，当时，

正相关，当11ρρ

而当0=ρ

时，称X 与Y 不相关。

与相关系数有关的几个重要结论 （i ）

若随机变量X 与Y 相互独立，则0=XY ρ；反之

不真。

（ii ） 若（X ，Y ）～N （ρσσμμ,,,,222

1

21），则X 与Y

相互独立的充要条件是0=ρ

，即X 和Y 不相关。

（iii ） 以下五个命题是等价的：

①0=XY

ρ；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).

（2）二维随机变量函数的期望

????

???=??∑∑∞+∞∞

+∞

－－为连续型。，

为离散型；，),(),(),(),(),()],([Y X dxdy y x f y x G Y X p y x G Y X G E i j ij j i

（3）原点矩和中心矩

①对于正整数k ，称随机变量X 的k 次幂的数学期望为X 的k 阶原点矩，记为v k ,即

u k =E(X k

), k=1,2, ….

于是，我们有

??????

?=?∑∞+∞

-.

,)(续型时为连当为离散型时，

当X dx x p x X p x u k i

i

k i k

②对于正整数k ，称随机变量X 与E （X ）差的k 次幂的数学期望

为X 的k 阶中心矩，记为k μ，即

.,2,1,))(( =-=k X E X E k k μ

于是，我们有

??????

?--=?∑∞+∞

-.

,)())(())((续型时为连当为离散型时，当X dx x p X E x X p X E x u k i

i

k i k

③对于随机变量X 与Y ，如果有)(l k

Y X

E 存在，则称之为X 与

Y 的k+l 阶混合原点矩，记为kl u ，即

11

))].(())([(Y E Y X E X E u k kl --=

大数定律和中心极限定理

第一节 基本概念

1、切比雪夫不等式

设随机变量X 具有数学期望E （X ）=μ，方差D （X ）=σ2

，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

2

2

)(ε

σεμ≤≥-X P

切比雪夫不等式给出了在未知X 的分布的情况下，对概率

)(εμ≥-X P

的一种估计，它在理论上有重要意义。 2、大数定律

（1）切比雪夫大数定律 （要求方差有界）

设随机变量X 1，X 2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C 所界：D （X i ）

.1)(1

1lim 11=???

? ??<-∑∑==∞→εn

i i n

i i n X E n X n P 特殊情形：若X 1，X 2，…具有相同的数学期望E （X I ）=μ，

则上式成为

.11lim 1=???

?

??<-∑=∞→εμn i i n X n P 或者简写成：

()

.1lim =<-∞

→εμX P n

切比雪夫大数定律指出，n 个相互独立，且具有有限的相同的数学期望与方差的随机变量，当n 很大时，它们的算术平均以很大的概率接近它们的数学期望。

（2）伯努利大数定律

设μ是n 次独立试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

.1lim =???

?

??<-∞→εμp n P n

伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

.0lim =???

? ??≥-∞→εμp n P n 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

（3）辛钦大数定律 （不要求存在方差）

设X 1，X 2，…，X n ，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E （X n ）=μ，则对于任意的正数ε有

.11lim 1=???

?

??<-∑=∞→εμn i i n X n P

3、中心极限定理

（1）列维－林德伯格定理

设随机变量X 1，X 2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同

的

数

学

期

望

和

方

差

：

),2,1(0)(,)(2 =≠==k X D X E k k σμ，则随机变量

σ

μ

n n X

Y n

k k

n ∑=-=

1

的分布函数F n (x )对任意的实数x ，有

?

∑∞

--

=∞

→∞→=???

?

???

???????≤-=x

t n k k n n n dt e

x n n X P x F .

21lim )(lim 2

12

πσμ

或者简写成：

)1,0(/N n

X n ??→?-∞

→σμ

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

（2）棣莫弗－拉普拉斯定理

设随机变量X 1，…X n 均为具有参数n, p(0

?

∞

--

∞

→=??

?

???????≤--=x

t n n dt e

x p np np X P .21)1(lim 2

2

π

例5．3：某车间有200台车床，在生产时间内由于需要检修、调换刀具、变换位置、调换工件等常需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1Kw ，问应供应该车间多少瓦电力，才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。

12

数理统计的基本概念 第一节 基本概念

1、总体、个体和样本 （1）总体与样本

总体

在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多

个）指标的全体称为总体（或母体）；而把总体中的每一个单元称为样品（或个体）。在以后的讨论中，我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

例如单正态总体X ，用

),(~2σμN X

来表示

我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21 称为样本。

样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。为了使抽取的样本很好地反映总体地信息，最常用的方法是“简单随机抽样”：

（1）代表性。即每一样品X i 与总体X 同分布； （2）独立性。即样品抽取互相间不影响。

此时的样本是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。

注意：在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21 表示n 个随

机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21 表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 （2）样本函数与统计量

设n x x x ,,,21 为总体的一个样本，称

??=

（n x x x ,,,21 ）

为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（n x x x ,,,21 ）为一个统计量。

2、统计量 （1）常用统计量 样本均值

.11

∑==n

i i x n x

样本方差

∑=--=n i i

x x n S 1

2

2.)(11 （与概率论中的方差定义不同）

样本标准差

.)(111

2∑=--=

n

i i x x n S 样本k 阶原点矩

∑===n i k

i k k x n M 1

.,2,1,1

样本k 阶中心矩

∑==-='n

i k i k

k x x n M 1

.,3,2,)(1 （

二阶中心矩

∑=-=n

i i X X n S 1

22

)(1*与概率论中的方差定义相同）

（2）统计量的期望和方差

μ=)(X E ，n

X D 2

)(σ=

，

22)(σ=S E ，2

21)*(σn

n S E -=

, 其中∑=-=n i i X X n S 1

2

2

)(1*，为二阶中心矩。

3、三个抽样分布（χ2

、t 、F 分布） （1）χ2

分布

设n 个随机变量n X X X ,,,21 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明：它们的平方和

∑==n

i i X W 1

2

的分布密度为

???????<≥??? ??Γ=--.

0,

0,

0221

)(2122u u e u n u f u

n n

我们称随机变量W 服从自由度为n 的2

κ分布，记为W ～2

κ(n)，

其中

.20

1

2dx e x n x n

-∞+-?=??? ??Γ 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中

13

的一个重要参数。

2κ 分布满足可加性：设

),(2i i n Y κ-

则

).(~211

2k k

i i n n n Y Z +++=∑= κ

注意两个结果：E(χ2)=n ，D(χ2

)=2n

（2）t 分布

设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，且

),(~),1,0(~2n Y N X κ

可以证明：函数

n

Y X T /=

的概率密度为

2

121221)(+-???? ??+??

? ??Γ??? ??+Γ=n n t n n n t f π ).(+∞<<-∞t

我们称随机变量T 服从自由度为n 的t 分布，记为T ～t(n)。 注意两个结果：E(T)=0，D(T)=2

-n n

(n>2)

（3）F 分布 设

)(~),(~2212n Y n X κκ，且

X 与Y 独立，可以证明：

2

1

//n Y n X F =

的概率密度函数为

???

??

????<≥???

? ??+???? ????? ??Γ??? ??Γ???

??+Γ=+--.

0,

0,

0,

1222)(2

211222

121212

11

1

y y y n n y n n n n n n y f n n n n

我们称随机变量F 服从第一个自由度为n 1，第二个自由度为n 2的F 分布，记为F ～f(n 1, n 2).

正态分布αα

μμ-=-1，

)()(1n t n t αα-=-， )

,(1

),(12211n n F n n F αα=

-

4、正态总体下统计量的分布和性质

注意一个定理：X 与2

S 独立。

（1）正态分布

设

n

x x x ,,,21 为来自正态总体

),(2σμN 的一个样本，则样本函数

).1,0(~/N n

x u

def

σμ

-

（2）t-分布 设

n

x x x ,,,21 为来自正态总体

),(2σμN 的一个样本，则样本函数

),1(~/--n t n

S x t

def

μ

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t 分布。

（3）2

κ 分布

设

n

x x x ,,,21 为来自正态总体

),(2σμN 的一个样本，则样本函数

),1(~)1(22

2

--n S n w

def

κσ

其中)1(2

-n κ

表示自由度为n-1的2κ分布。

（4）F 分布

设

n

x x x ,,,21 为来自正态总体

),(2σμN 的一个样本，而n y y y ,,,21 为来自正态总体

),(2

2σμN 的一个样本，则样本函数

14

),1,1(~//2122

22

2121--n n F S S F

def

σ

σ

其中

,)(1121

121

1

∑=--=n i i x x n S

;)(1121

222

2

∑=--=n i i y y n S )1,1(21--n n F 表示第一自由度为11-n ，第二自由度为12-n 的F 分布。

第七章 参数估计 第一节 基本概念

1、点估计的两种方法 （1）矩法

所谓矩法就是利用样本各阶原点矩与相应的总体矩，来建立估计量应满足的方程，从而求得未知参数估计量的方法。

设总体X 的分布中包含有未知数m θθθ,,,21 ，则其分布

函数可以表成

).,,,;(21m x F θθθ 显示它的

k 阶原点矩

)

,,2,1)((m k X E v k k ==中也包含了未知参数

m

θθθ,,,21 ，即

)

,,,(21m k k v v θθθ =。又设

n x x x ,,,21 为总体X 的n 个样本值，其样本的k 阶原点矩为

∑=∧

=n i k

i

k x n v 1

1

).,,2,1(m k =

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

??????

?

?

??

?

???

?===∑∑∑=∧

∧∧=∧∧∧=∧∧

∧n i m i m m n i i m n i i m x n v x n v x n v 121122121

211.1),,,(,1),,,(,

1),,,(θθθθθθθθθ 由上面的m 个方程中，解出的m 个未知参数),,,(21∧

∧∧m θθθ 即为参数（m θθθ,,,21 ）的矩估计

15

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jcfl.html