相似三角形的存在性问题

相似三角形的存在性问题 288y??y??y??例1.如图，双曲线 和 在第二象限中的图像，A点在 的xxx图像上，点 2y??A的横坐标为m（m＜0），AC∥y轴交 x图像于点AB,DC均平行于x轴，分别交 82、的图像于点B、D. y ??y??xx （1）用m表示A、B、C、D的坐标. （2）若⊿ABC与⊿ACD相似，求m的值. 分析：△ABC与△ACD保持直角三角形的性质不变 第一步 寻找分类标准 分两种情况： ABCAABCD ? ? ① ② ACCDACCA 第二步 无须画图——罗列线段的长 82 y??xxC?xA?m,yC?yD??????xD?4mm?BA???C?D28m y??xyB?yA?????x??Bm4 8??m8??A?m,??,B?,??,m??4m??2??2??C?m,??,D?4m,??m??m??3m46mAB??AC??CD??3m注：数形结合，当心负号 ① CAAB?CDACAC2?AB?CD?6??3m??????????3m?m4?16m??2m??2?m??4?2AB?CD 这是不可能的 ?② ABACCDCA小结 ——分类讨论，数形结合：思路清晰，运算易错 分类标准：夹直角相等，两直角边对应成比例 数形结合：先求点的坐标，再求线段的长， ?AOB?45?,OP?42,rP?3，Q是直线OB上的动点，如果例2．如图，已知 以O、C、E为顶点的三角形与△OPQ相似，试确定Q点的位置 ． 分析： 第一步 寻找分类标准——画阴影三角形 一组公共角∠O=∠O，∠OPQ=2∠C ，因此只存在∠OPQ=∠OEC 的情况，△OPQ ∽△OEC 第二步 比比画画——不求准确，但求思路 按照对应角∠C=∠Q比画 ，①Q在OB，②Q在OB的反向延长线上 第三步 计算——几何法、代数法同时 3n?45?180①Q在OB， OQ?2OP?8n?45 ②Q在OB的反向延长线，3 n?45,n?15，怎样求OQ? cot15??2?3 如果知道 ，就好办了 QH?PHcot15??4(2?3)?8?43OQ?QH?OH?4?43 cot15??2?3 如果不知道 ，就难办了 OF?FH?OH?43?4QF?PF?8OQ?OF?QF?4?43小结：这是一道非常规的相似三角形的存在性问题 第一次讨论：只存在△OPQ ∽△OEC一种情况 第二次讨论：点Q的位置存在两种情况 三角形相似→特殊角度→→解直角三角形

练习：

1、如图，已知抛物线经过A（－2，0），B（－3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶

点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．是否

存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

y

备用图

B A C O x y B A C O x 2、如图1，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点

的抛物线

2

y＝x ＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为

等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC

相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； （4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．

（图2、图3供画图探究） y C A B O x P 图1 y C A B O x P 图2

y C A B O x P

图3

A O P 备用图 y C B x

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jcb5.html