3.4隐函数、参数方程的求导

大学高等数学(大一)

第 三章

§3.4 隐函数和参数方程求导3. 4. 1 隐函数的导数 3. 4. 2 由参数方程确定的函数的导数 3. 4. 3 相关变化率问题 3. 4. 4 高阶导数机动 目录 上页 下页 返回 结束

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3. 4.1隐函数的微分法1.隐函数的概念

F x, y x 0, x I 成立, 则称 F x, y 0 确定了区间 I 里的一个隐函数 ；称形如 y f x 表示的函数为显函数 。若从方程 F x, y 0 中能求解出函数： y y x 或 x x y 则称该隐函数可以被显化。3 y 1 x ; 就确定了一个显函数 方程 x y 1 0 例如：

设方程 F x, y 0, 若存在函数 y y x , x I 使得

3

但要提请注意的是：并非隐函数均可被显化。 再如：5 7 方程. y 2 y x 3x 0 也确定 y 是 x 的函数 ，

但此隐函数不能被显化 。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2. 隐函数的求导法则 设方程 F x, y 0 确定了一个函数 y y x or x x y , 方法Ⅰ: “视一个变量是另一变量的函数，等式两边对 自变量 求导” d d or F x y , y 0 F x, y x 0 dy dx 其结果可能仍是含导数 y , x 的方程；

方法Ⅱ: “两个变量视为同等地位， 用微分的法则对等式两边各变量微分”

d F x, y 0其结果是含微分 dx, dy即可。

dx dy or 的方程， 再从方程中解得 dy dx

机动

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例 1.

求由方程

y5 2 y x 3x7 0 确定的隐函数dy dxx 0

y y x 在 x = 0 处的导数

.

解: 方程两边对 x 求导(视 y 为 x 的函数)

得

dy dy 6 1 21 x 0 5y 2 dx dx4

d y 1 21x 6 4 dx 5 y 2因x=0时y=0, 故

dy dx

x 0

1 . 2机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例 2.

3 x2 y 2 3 处的切线方程。 1 在点 2, 求椭圆 2 16 9

解: 椭圆方程两边对 x 求导(视 y 为 x 的函数)x 2 y y 0 8 9

y

x 2 y 3 3 2

9 x 16 y

x 2 y 3 2

3 4 3

故切线方程为：

3 3 y 3 x 2 4 2

即

3x 4 y 8 3 0机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例 3. 设 y sin x cos x y 0 , 求 dy.

解: 利用一阶微分形式不变性 , 等式两边求微分得

d y sin x d cos x y 0

sin x dy + y d sin x sin x y d x y 0sin x dy +y cos cdx sin x y dx dy 0 sin x sin x y dy ycosc sin x y dx

dy

y cos x sin x y sin x y sin x

dx

y cos x sin x y dy 由此得： dx sin x y

sin x注意 目录 上页 下页 返回 结束

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sin x ( x 0) 的导数。 例4. 求 y x

解: 两边取对数 , 化为隐式：

ln y sin x ln x两边对 x 求导

1 y cos x ln x sinx y x

y x

sin x

sin x (cos x ln x ) x

机动

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说明:1) 对幂指函数

y u

v

可用对数求导法求导 :

ln y v ln u

1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u注意:dy dv v 1 du v u ln u vu dx dx dx

按指数函数求导公式

按幂函数求导公式机动 目录 上页 下页 返回 结束

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2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x yor or dx dy dx dy

or

dx dy dx dy

or

机动

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又如,

( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)两边取对数

or

dx dy or dx dy

1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导y 1 1 1 1 1 y 2 x 1 x 2 x 3 x 4

u ( ln u ) u

or

dx dy dx dy

or

1 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4机动 目录 上页 下页 返回

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3.4.2 由参数方程确定的函数的导数 x t 设参数方程 确定了变量 y 与变量x 之间的函数关系, y t

t , t 均可导， 且 t 0 时, 有： t dy dy d t dy 1 t dx d t dx d t dx dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) dy d t d y d t d y (t ) d t (此时看成 x 是 y 的函数 )机动 目录 上页

则当

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例5. 设由方程确定函数

x t 2 2t , t 2 y sin y 1

0 1

y y ( x) , 求

dy . dx

解: 方程组两边对 t 求导 , 得

dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt故

dx 2 (t 1) dt dy 2t d t 1 cos y

dy t dy d t dx (t 1)(1 cos y ) dx dt机动 目录 上页 下页 返回 结束

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x 3t 2 2t 例 6. 设 y e sin t y 1 0

dy . ,求 t 0 dx

解： 方程组两边同时对 t 求导, 得

dy dx

t 0机动 目录 上页

e . 2下页 返回 结束

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3.4.3 相关变化率问题为两可导函数 之间有联系 相关变化率问题解法: 之间也有联系

称为相关变化率

找出相关变量的关系式对 t 求导

得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率机动 目录 上页 下页 返回 结束

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例 7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率 为：140 m min , 当气球高度为 500 m 时，观察员视线的仰角 增加率是多少?

解: 设气球上升 t 分

后其高度为h , 仰角为 ,则

h tan 500两边对 t 求导

h

500

已知

dh 140 m min , h = 500m 时, tan 1 , sec 2 2 , dt d 1 1 ( rad/ min ) 140 d t 2 500机动 目录 上页 下页 返回 结束

d 1 dh sec d t 500 d t2

sec 2 1 tan 2

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例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 试求当容器内水 今以 25 cm3 s自顶部向容器内注水 , 位等于锥高的一半时水面上升的速度.

解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x ,体积为 V , 则1 3 2 r (h x) R 2h 1 3

水的

rx

h

R23h 2

[ h 3 (h x) 3 ]

r h x dV R 2 d V h 2 ( h x ) 2 dx , 而 25 (cm 3 s)R h x dt dt h dt r R 2 h dx 100 25h 故 (cm s) , 2 2 2 dt R R (h x)机动 目录 上页 下页 返回 结束

两边对 t 求导

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3.4.4. 高阶导数的概念引例：变速直线运动方程为：s s t 其瞬时为速度为： v ds

dt

即

v s

d ds 其加速度为： a dv dt dt dt

即

a s

机动

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高阶导数的定义定义 . 设函数

f x0 f x0 x f x0 (导函数的增量)

f x0 f x0 x f x0 lim 若 f x0 lim 存在(有限或无穷) x 0 x 0 x x

则称该极限为函数 f x 在点f x0 ,

x0 处的二阶导数 ， 记作：d 2 f x0 , 2 dx

y x0 ;

d2 y dx 2

;x x0

若 f x0 收敛, 则称函数 f x 在点 x0 处关于 (对) x 二阶可导， 简称 f x 在点

x0 处二阶可导；在点

若 f x0 发散， 称函数

x0 处二阶不可导；机动 目录 上页 下页 返回 结束

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若函数

在区间 I 里每一点(关于x)都可导，称函数 的 二阶导函数.,

在区间I 里二阶可导，f x , x I 称为 记作： 即

f x ;y y

d2 f x ; 2 dx or f ( x) f x

d2 y ; 2 dx

y ;

或

d 2 y d dy 2 dx dx dx

类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 , (n 1) 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 各阶导数分别记作：

y ,或

y (4) ,

, y(n) .d4 y , 4 dx

或 f x , f (4) x ,dn y , . n dx

, f (n) x ;

d3 y , 3 dx

函数的二阶以及二阶以上的各阶导数统称为高阶导数。机动 目录 上页 下页 返回 结束

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