现代数字信号处理习题

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现代数字信号处理及其应用推荐度：
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1.设u?n?是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱S?w??0。

证明：将u?n?通过冲激响应为h?n?的LTI离散时间系统，设其频率响应H?w?为 ?1,?H?w?????0,2w-0w??w 输出随机过程y?n?的功率谱为Sy?w??H?w?S?w?

w-0w??w2?1输出随机过程y?n?的平均功率为ry?0??2?1w0??w?0Sy?w?dw?2??w0??wS?w?dw

1?0时，上式可表示为ry?0??S?w0???w??0 当频率宽度?w???由于频率w0是任意的，所以有S?w??0

3、已知：状态方程 x(n)?F(n,n?1)x(n?1)??(n,n?1)?1(n)观测方程

z(n)?C(n)x(n)??2(n) E[?1(n)?1(n)]?Q1(n) E[?2(n)?2(n)]?Q2(n)

HH?Hx(0|?)?E[x(0)]P(0)?E{[x(0)?E[x(0)]][x(0)?E[x(0)]]} 0滤波初值

请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。解：步骤1 状态一步预测，即

步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即

N*1?(n|?)?F(n,n?1)x(n?1|?)?Cn?1n?1x?

?(n|?n?1)?CM*1?(n|?n?1)?z(n)?C(n)x?(n)?z(n)?z

步骤3 一步预测误差自相关矩阵

P(n,n?1)?F(n,n?1)P(n?1)FH(n,n?1)HN*N??(n,n?1)Q(n?1)?(n,n?1)?C1

HM*MA(n)?C(n)P(n,n?1)C(n)?Q(n)?C2步骤4 新息过程自相关矩阵 H?1N*MK(n)?P(n,n?1)C(n)A(n)?C步骤5 卡尔曼增益

H 或K(n)?P(n)C(n)Q2(n)

?1?(n|?n)?x?(n|?n?1)?K(n)?(n)?CN*1x步骤6 状态估计

N*NP(n)?[I?K(n)C(n)]P(n,n?1)?C步骤7 状态估计自相关矩阵 HHP(n)?[I?K(n)C(n)]P(n,n?1)[I?K(n)C(n)]?K(n)Q(n)K(n) 2或

步骤8 重复步骤1-7，进行递推滤波计算 4、经典谱估计方法：

直接法：又称为周期图法，它把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅里叶变换，得到X(k), 然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)的真实功率普估计

自相关法：1949年，Tukey根据Wiener—Khintchine定理提出了对有限长数据进行谱估计的自相关法，即利用有限长数据估计自相关函数，再对该自相关函数球傅立叶变换，从而得到谱的估计。1958年，Blackman和Tukey在出版的有关经典谱估计的专著中讨论了自相关谱估计法，所以自相关法又叫BT法。

5、假定输入信号{x(t)}是一个零均值的高斯白噪声，其功率谱为Px(f)?N0，且线性系统

e?t,t?0 的冲激响应为 h(t)????0,else求输出y(t)=x(t)*h(t)的功率谱及协方差函数。

解：由题知，系统的传递函数为

??H(f)??h(t)e?j2?ftdt??e?te?j2?ftdt???01

1?j2?f有此得H(f)2?H(f)H(?f)?111 ?1?j2?f1?j2?f1?4?2f2由输出功率谱与输入功率谱、系统函数之间的关系，得

Py(f)?H(f)Px(f)?2N0 221?4?f输出的协方差函数为功率谱的傅里叶反变换，故有

?Cy(?)????Px(f)ej2?f?df?N0N0??j2?f?edf?e 22?2??1?j4?f?6、BT谱估计的理论根据是什么？请写出此方法的具体步骤。

答：（1）相关图法又称BT法，BT谱估计的理论根据是：通过改善对相关函数的估计方法，来对周期图进行平滑处理以改善周期图谱估计的方差性能。（2）此方法的具体步骤是：

①给出观察序列x(0),x(1),...,x(N?1)，估计出自相关函数：

?(m)?1RNN?1?m?x(n)x(n?m)，?N?1?m?N?1n?0?j?m

②对自相关函数在（-M，M）内作Fourier变换，得到功率谱：

?(?)?Sm??M?(m)?(m)e?RM

式中，一般取

m?N?1?(m)，为一个窗函数，通常可取矩形窗。

可见，该窗函数的选择会影响到谱估计的分辨率。

7、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。

答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

1?j??S(?)ed?Sx(?)??Rx(?)ed??F(Rx(?))x???2???

(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：

离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

??j??Rx(?)?Sx(e)?j?m????R(m)ex??j?m

Rx(m)?12?????Sx(ej?)ej?md?

8、举例说明卡尔曼滤波的应用场景。

答：假设要研究的对象是一个房间的温度。根据经验判断，这个房间的温度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于现在这一分钟的温度（假设用一分钟来做时间单位）。假设经验不是100%的可信，可能会有上下偏差几度。我们把这些偏差看成是高斯白噪声（White Gaussian Noise），也就是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。另外，我们在房间里放一个温度计，但是这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把这些偏差看成是高斯白噪声。

现在对于某一分钟我们有两个有关于该房间的温度值：根据经验的预测值（系统的预测值）和温度计的值（测量值）。下面我们用这两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。

假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先要根据k-1时刻的温度值，来预测k时刻的温度。因为假定温度是恒定的，所以k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度（5是这样得到的：如果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，预测的不确定度是4度，二者平方相加再开方，就是5）。然后，从温度计那里得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。究竟相信谁多一点，我们可以用他们的covariance来判断。因为Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg=0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是：23+0.78*(25-23)=24.56度。可以看出，因为温度计的covariance比较小（比较相信温度计），所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。

现在我们已经得到k时刻的最优温度值，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5=2.35。这里的5就是上面的k时刻预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差（对应于上面的3）。

|k|R(k)?a,0?a?1，两观测s(n)9、离散时间信号是一个一阶的AR过程，其相关函数s?数据为x(n)?s(n)?v(n)，其中s(n)和v(n)不相关，且v(n)是一个均值是0，方差为v的

白噪声，设计维纳滤波器H(z)。解：由题意，可写出维纳霍夫方程：

2?Rx(0)Rx(1)??w(0)??Rsx(0)???????R(1)?R(1)R(0)w(1)??sx? x?x??由于s(n)和v(n)不相关，故

Rx(k)?Rs(k)?Rv(k)?a|k|??v2?(k)

Rsx(k)?E{s(n)x(n?k)}?E{s(n)[s(n?k)?v(n?k)]}?E{s(n)s(n?k)}?Rs(k)

|k|R(k)?R(k)?asxs因此有，代入得：

?1??v2a??w(0)??1??????2??w(1)a1????a? v???解方程得：

1??v2?a2w(0)?(1??v2)2?a2a?v2w(1)?(1??v2)2?a2

?1H(z)?w(0)?w(1)z所以，维纳滤波器的传递函数，其中w(0)和w(1)由上式给出。

sin2?t，系统中理想带通滤波器的频率响应如图(b)所求，2?t其相频特性?(?)?0，请分别画出y(t)和r(t)的频谱图，并注明坐标值。

11、如图(a)所示系统，其中e(t)?

答案：

12、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？

答：（1）AR谱估计的基本原理是：p阶的AR模型表示为：x(n)?? 其自相关函数满足以下YW方程：

取m?0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：

??x(n?i)?u(n)

ii?1pRx(1)?Rx(0)?R(1)Rx(0)?x?????Rx(p)Rx(p?1)?(m)，再利用以上矩在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx阵方程，直接求出参数?1,?2,...,?p及?，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。

Rx(p)??1???2???????Rx(p?1)???1???0????????????????Rx(0)???0????p????13、已知信号模型为s（n）=s(n-1)+w(n),测量模型为x(n)=s(n)+v(n),这里w(n)和v(n)都是均

值为零的白噪声，其方差分别为0.5和1，v(n)与s(n)和w(n)都不相关。现设计一因果IIR维纳滤波器处理x(n)，以得到对s(n)的最佳估计。求该滤波器的传输函数和差分方程。解：根据信号模型和测量模型方程可看出下列参数值：a=1，c=1，Q=0.5，R=1。将它们代入Ricatti方程Q=P－a2RP/(R+c2P) 得 0.5=P－P/(1+P)

解此方程得P=1或P=-0.5，取正解P=1。

再计算维纳增益G和参数f:G=cp/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 f=Ra/(R+c2P) =1/ (1+1) =0.5 故得因果IIR维纳滤波器的传输函数和差分方程分别如下： Hc(z)=G/(1－fz-1)=0.5/(1－0.5z-1) （n）=0.5

(n-1)+0.5x(n)

^14、简述AR模型功率谱估计步骤。

步骤1：根据N点的观测数据uN（n）估计自相关函数，得ru(m)，m=0,1,2,?,p, 即

1N?1ru(m)??uN(n)u*N(n?m)Nn?0

^步骤2：用p+1个自相关函数的估计值，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如Levinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程式，得到p阶AR模型参数的估计值

a1,a2,?ap 和?^^^^2p

步骤3：将上述参数代入AR（p）的功率表达式中，得到功率谱估计

SAR(w) ，即

SAR(w)?^?p^2^p|1??ake?jwk|2k?1

一．填空

1. 在随机信号处理中，当满足（样本数量足够大或者样本数量趋于无穷大）的条件时，时间平均和统计平均趋于一致。 2. 在信号检测常用的四种准则中，（Bayes最小风险准则）主要是考虑发生错误给判决造成的代价最小，因此该准则必须需要知道（先验概率）和（代价函数）这两个应用条件。 3. Cramer-Rao不等式是用于描述估计量有效性下限的重要公式，对一个估计量进行估计

???db??1????d????2???????xE??lnf??????????）的最小方差是（?。该不等式可借用Fisher信息量加以描述，请给出Fisher

??2???2????2??????xx??E??lnfJ????Elnf??2??????????????）????信息量的数学表达式（。

????4. 一般采用（协方差函数或者自相关函数）和（偏相关函数）这两个统计量对

AR/MA/ARMA三种模型进行识别：如果（偏相关函数）是截尾的，则说明该时间序列适于用AR模型建模。

5. 在小波分析中，高小波尺度反映的是信号（低）（高还是低？）频段频率。二．推演题 1. 某独立观测序列

x1,x2,?,xN,其均值为m，方差为?2。现有两种估计算法：

1N1N?1??xn?2?mmxn?NN?1n?1n?1算法A：均值估计为，算法B：均值估计为

请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）

1N?1??xnmNn?1，则答：算法A：均值估计为

1N1?1)??m?mD(m?1)?2E(mNn?1N，

^2?D(Xn)?n?1N12??1N， ?均值估计m是无偏估计

1N2?E(?)??EXn?m2??2?m2?m2??2Nn?1

1N?2?mxn?N?1n?1算法B：均值估计为，则

^N21NN???D(m)?Em?m??22??2?2)?E(mm?m2???N?1??N?1N?1n?1，

?1??D?m?2??均值估计m2是有偏估计 ?D?m

^ 所以，算法A比算法B更有效。

2. 对于平稳Poisson随机过程X(t)，已知在任一区间?中发生n个事件的概率为

Pn????P?X???s??X?s??n??????e???n!n,n?0,1,?。求?的最大似然估计?，

?并讨论该估计量的无偏性。（10分）

L(?)?答：(1) 函数

?ni?ne???ini!

dlnL(?)?ln?niln????L(?)?ni!d?

^?ni?ni?1ni??N??0

????ni?1NiN? （2）

E(?)?^?Eni?1NiN??N????N?，所以该估计量是无偏估计。

3. 设脉冲信号s(t)如下图所示，求其匹配滤波器的传输函数与输出信号。（8分）

解：先求s(t)的频谱

S?????s(t)e?j?.tdt?A?e?j?.tdt???0?TA(1?e?j?T)j?

再取观测时刻t0=T，则可得匹配滤波器的传输函数为：

H(?)?KS*(?)e?j?T0??KA(1?ej?T)e?j?T0j?

H(?)?KA(1?e?j?T)j?

因为抽样时间，为使延时最小，即T0=T 此H(w)为匹配滤波器的传输函数，其中K为常数。

匹配滤波器的冲击响应为

h(t)?Ks(T?t)?KA,0?t?Th(t)???0,??else

匹配滤波器的输出信号为：

s0?t???s(?)h(t??)d?????tAKAd?,o?t?T??0?T???AKAd?,T?t?2Tt?T?0,t?0,t?2T???KA2t,,o?t?T???KA2(2T?t),T?t?2T?0,t?0,t?2T?

三．问答题（共50分）

1. 现代信号处理与传统的数字信号处理相比，一个最大的区别在于处理的信号是统计性的随机信号而不再是确定性信号，请回答下述问题：

（1）当研究宽平稳信号时，需要有各态历经性的理论基础来支撑，请对该性质加以论述。答：若独立同分布的随机变量序列

?Xn,n?1,2,??为一个随机过程，m?E?Xn?，

其均值为

2??D?Xn?,?n?1,2,??，则由大数定律可知

方差为

?1N?limP??Xk?m????1N???Nk?1?

大数定律表明，随时间n的无限增长，随机过程的样本函数按时间平均以越来越大的概率近似于过程的统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长，则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各种可能状态。随机过程的这种特性叫做各态历经性。

（2）白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。

答：设?X?t?,???t???为实值平稳过程，若它的均值为零，

在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；

在频域中，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。

（3）为了便于分析和设计，白化滤波器被提了出来，请从其作用和应用两个方面对其加以阐述。

答：白化滤波器的作用是将一个有色噪声转化为白噪声。

其应用举例可从广义匹配滤波器或者 ARMA模型出发来举。

（4）滤波器设计中的恒Q特性是什么？在信号处理分析中有什么特点？

Q?答：Q 值（品质因数）定义：

???0＝带宽/中心频率

在小波变换中，小波基函数ψ(t) 的 Q 值：

Q???/?0；ψ(t/a) 的 Q 值保持不变：

??/a???/?0?Q?0/a

不论 a 为何值 (a>0)， ψ(t/a) 始终和ψ(t) 具有相同的品质因数 Q。

由于恒 Q 性质，因此在不同尺度下，小波变换可以提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。

（5）对频率随时间变化的信号，如果采用传统的DFT变换进行分析，将无法反映出频变特性。请给出一种合理的方法对其进行处理，并评价该方法的优劣。

答：只要能提出一种时频联合分析的方法即可。如STFT、Gabor变换、小波变换等。 2. 与传统的数字信号处理相比，现代信号处理另一个最大的区别在于更多的关注信号之间的关系，如相关函数、功率谱密度函数、信噪比等，请回答下述问题：

（1）信噪比是衡量信号与噪声之间的能量差异的相对值，在通信系统、信号处理中被广泛使用，请给出至少两个实例，并加以分析讨论。

SNR信噪比或 PSNR峰值信噪比均可，但需要说明信号与噪声能量的定义，并举出相应的实例。（2）Wiener滤波器是现代信号滤波处理的经典，其核心在于考察滤波器输入输出信号之间的关系，请用恰当的数学模型对其加以描述。

滤波器的理想输出为s(t+a) 估计误差为e(t)=s(t+a)-y(t)

222e(t)?s(t??)?2s(t??)y(t)?y(t) 估计误差的平方为：

??而

代入上式，两边取数学期望，得到均方误差：

2E??e?????????h(u)h(v)Rx(v?u)dudv?2???h(u)Rs,x(??u)du?Rs(0)

???y(t)??h(u)x(t?u)du?其中，Rs s(t)的自相关函数，Rx x(t)=s(t)+n(t)的自相关函数 Rs,x s(t)和x(t)之间的互相关函数

若信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，即E[n(t)]=0，则有：

?Rx?Rs?Rn?2?Ee(t)?R?Rs,xs?最小。 ? 维纳滤波就是希望求出最优h(u)，使得?（3）自适应滤波器是利用误差信号调整滤波器的传输函数，从而达到系统最优。请从现代

信号处理的角度出发阐述自适应滤波器系统最优的含义，并举例说明。

答：从信号处理角度，自适应滤波器系统最优的含义是误差信号最小，系统的输出信号与指导信号之间的“距离”最小。举例可举信道均衡/估计，系统辨识等。

（4）功率谱密度是对时域自相关函数进行傅立叶变换得到的结果。请阐述在工程中对功率谱密度进行测量有何应用？答：（a），有些信号处理系统，需要预先知道信号的功率谱密度（或者自相关函数）。如：维纳滤波器、MMSE算法。

（b），若知道功率谱密度，可估计出线性系统的参数。用白噪声激励，通过功率谱估计FR。

2Pyy(?)???H(?)2

（c），利用功率谱密度，可从宽带信号中检测出窄带信号。（宽带噪声下的窄带通信系统） 1、证明：若相关矩阵的特征值λ1，λ2，?λ3各不相同，则特征向量q1,q2?q3相互正交。证明:设qi 和qj 分别为相关矩阵R的特征值λi 和λj 对应的特征向量（λi≠λj），则有 Rqi = λiqi

两边左乘qjH ，有 qjHRqi = λiqjHqi

又因为Rqj = λiqj ，利用R的Hermite对称性，其共轭转置为 qjHR = λjqjH 两边右乘qi ，得 qjHRqi = λiqjHqi 所以有（λi-λj）qjHqi = 0

由于λi≠λj ，故有 qjHqi = 0 i ≠ j

即当i≠ j时，特征向量q和q相互正交。

2、简述最小二乘估计和维纳滤波的区别，以及何时二者具有一致性，加以证明。

解答：维纳滤波是建立在最小均方误差的准则之上的，即通过使滤波器的估计误差信号的平均功率最小，得到权向量需要满足的维纳-霍夫方程。此准则需要输入信号的统计特性来寻找最优滤波。最小二乘估计是根据有限个观测数据来寻求滤波器的最优解。最小二乘估计使用确定思想，而维纳滤波使用统计思想。对具有遍历性的平稳随机过程，当观察样本数趋于无穷大时，两种方法得到的估计结果将趋于一致。

证明过程：维纳-霍夫方程为：

RW0?P

其中，R和P分别是输入向量的自相关矩阵和互相关向量。分别为：

H*R?E{u(n)u(n)}P?E{u(n)d(n)}

?在最小二乘估计中的确定性正则方程为：AAW?Ab

HH上式两边同时除以时间区间长度 N-M-1，则：

(11??AHA)WAHbN?M?1N?M?1

在有限个观测样本时的时间平均估计值可表示为：

N11H??RAA?u(n)uH(n)?N?M?1N?M?1n?M

??PN11HAb?u(n)d*(n)?N?M?1N?M?1n?M

因为u（n）是各态历经的平稳过程，且，当观测数样本数趋于无穷大时有：

N?M?1??

也即，当观测样本数趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳-霍夫方程。也就是说，最小二乘方法逼近维纳滤波。此时，二者具有一致性。

3、已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及数学期望响应信号d(n)的互相关向量分别为

N?M?1??lim??RR??PlimP

??21??TR??, p?[54]?12??

且已知期望相应d(n)的平均功率为E{d2(n)}=30。（1）计算维纳滤波器的权向量。（2）计算误差性能面的表达式和最小均方误差。解：（1）根据维纳霍夫方程Rω0=p 得 ω0=R-1p

（2）误差性能面的表达式为J（ω）=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω

最小均方误差值为将ω0代入上面的误差性能面表达式得 Jmin=σ2d-pHω-ωHp+ωHRω =σ2d-pHω0 =30-14=16。

4、请用C/C++语言编写一个基-2的FFT算法，要求能够输入N点的complex指针，和输出N点的complex指针。函数接口设定为FFT(complex* input,complex* output,unsigngedint N); 答案:

#include #include #include using namespace std; //求 N的位数

int bitver(unsigned int N) {

int m = 0 ; while(N != 1) {

N = N/2; m ++; }

return m; //完成位的反转数.. }

//实现反转,将 N 的位数全部翻转过来..... unsigned int RevertBit2(unsigned int N,int bit) {

unsigned int temp = 0 ; int i = 0;

for(i=0;i

temp = temp <<1; temp |= N&(0x01); N = N>>1; }

?2?????1?return temp; }

/*********************************************************** **Description: 一个自己写的 fft.

**Input : complex * x --->数据输入 ,N 数据长度 2,4,8,16,.....2的幂次长度为最佳.

**Output : complex * y 计算结果．输出.

***********************************************************/ void FFT( complex * x ,complex * y ,unsigned int N) {

int n = N;

int L = bitver(N); int m ,k,j;

complex parameter,tempa,tempb; double PI = atan(1)*4;

//**第一步: 做位数翻转和数据对调.....并且做一次基2-蝶形 FFT for(m=0 ; m < N/2 ;m++) {

k = RevertBit2(m,L); y[2*m] = x[i] + x[k]; y[2*m +1] = x[i] -x[k]; }

//如果数据只有两位，那就可以返回了，否则再接着基 4.... if(N<=2) return ; //基-4, 8 ,16,.......L

for(m=4;m<=N;m<<=1) {

int resulta= N/m; for(j=0;j

int resultb = m>>1; for(k=0;k

parameter = (cos((2*PI/m)*k),sin((2*PI/m)*k)); tempa = y[m*j + k] + parameter*y[m*j + m-1-k]; tempb = y[m*j + k] - parameter*y[m*j + m-1-k]; y[m*j + k] = tempa; y[m*j + m-1-k]=tempb; } } } }

s(n)?sin5、在测试某正弦信号

??n的过程中叠加有白噪声v(n)，即测试结果为

x(n)?sinn?v(n)4

设计一个长为N=4的有限冲激响应滤波器，对x(n)进行滤波后得到s’(n)，它与s(n)的误差

的均方值最小，求该滤波器的冲激响应和估计误差的平均功率。

?s(n)?sin解答：已知

n?2，v(n)是方程差为?v的白噪声,x(n)?s(n)?v(n).4

设h(n)?[h(0),h(1),h(2),h(3)],x(n)?[x(n),x(n?1),x(n?2),x(n?3)]

R?E[x(n)xT(n)]?E[s(n)sT(n)]?E[v(n)vT(n)]?E[s(n)sT(n)]??vI2

P?E[s(n)sT(n)]?E[s(n)s(n),s(n)s(n?1),s(n)s(n?2),s(n)s(n?3)]T

h(n)?RP??112??v2[sin(2n?(n?1)?n?1n?(n?3)?n?),sinsin,?sin,sinsin]4442244n?3，则h(n)?取

111[,,,0]22??v2221

6、因果ARMA（p，q）过程的修正Yule-Walker方程为1 + a1 R(k – 1)+…+ap R(k –p)=c(k)

式中c(k) =

?b（i）h（i?k）i?0q

而h（k）是ARMA过程的冲激响应系数。令

是产生该ARMA过程的线性系统的传递函数。试证明，MA参数可以通过求解

得到，式中

若已知一因果ARMA（2，2）过程是由一白噪声激励线性系统

产生的，并且已知其自相关函数R（0）=3，R（1）=2和R（2）=1，求传递函数H（z）的具体表达式。

答案：线性系统的传递函数的具体表达形式为

解答：由c（k）的定义及因果系统h（k）=0，k<0知c（k）=0，k>q。因此修正Yule-Walker方程可写作

式1

并且

对c（k）的定义式c(k) =

?b（i）h（i?k）i?0q

两边做Z变换，并利用h（l）=0,l<0，则有

即

从而有式2

这表明因果ARMA过程的MA参数可以通过求解上式获得。

将已知的自相关函数R（0）=3，R（1）=R（-1）=2和R（2）=R（-2）=1代入式1，有

式3

由第三个方程 1 + 2a1 = 0

得a1=-0.5，将它代入式3，由其中的前两个方程

即得c（0）=2和c（1）=0.5.需要注意

因为c（-k）?0，k=1，2…

将a1=-0.5和c（0）=2，c（1）=0.5代入式2，则

但是，由于B(z)B（z）是一个正幂次和负幂次相等，即具有对称性的多项式，故

-1

即有b0=0.396和b1=1.262

即线性系统的传递函数的具体表达形式为

7、设信号的自相关序列为观测信号为

Rss?m??0.8,m?0,?1,?2,???m

x?n??s?n????n?式中

??n?是方差为0.45的零均值白噪声，它与

s?n?s?n?相互的差

统计独立。试设计一个长为N=3的FIR滤波器来处理的均方值最小。解答：

x?n?，使其输出

s?n??

与

T??P?E?snxn?Esnsn??n,sn?1??n?1,sn?2??n?2???????????????????????????

?E??s?n?s?n?,s?n?s?n?1?,s?n?s?n?2??????R?0?,R?1?,R?2???TT

TR?E?xnx???n???s?n????n?,s?n?1????n?1?,s?n?2????n?2???????E??????s?n????n?,s?n?1????n?1?,s?n?2????n?2??? ?R?0?R?1?R?2?????200????2???R?1?R?0?R?1????0??0??R2R1R0??00?2????????????

已知

TR?m??0.8,??2?0.45,m所以

hopt?R?1p??0.5358,0.2057,0.0914?

9．证明：两个最小相位序列的卷积仍然是最小相位序列

解：设x(n),y(n)为最小相位序列，则其Z变换X（z）,Y(z)对应的所有的零点

ii Zx ，Zy都在单位圆内，其中i?1，2，??N，k?1，2，??M。令z（n）?x（n）*y（n），有Z（z）?X（z）Y（z），其零点的集合

ik2，??，N?Zyk?1，2，??，M?Zzn必有Zzn?1成立. Zz?Zxi?1，??????10．用观测数据（y(n),y(n-1)）自适应估计随机变量x(n).已知Ryy=[1 0.4;0.4 1],为保证收敛，

μ的值应限制在什么范围？若Ryy=[1 0.8;0.8 1],则自适应滤波器的收敛速度将会更快还是更慢？解：

(1)为保证收敛应使?满足0???tr[R]?1tr[R]???k?2?1k?01

即0???12(2)几何比(rmse)?rk2?(1?2??k)2由于两Ryy的?值相同，故自适应滤波器的收敛速度相同。11、已知u(n)满足AR(2)模型，即满足如下差分方程：

u(n)?a1u(n?1)?a2u(n?2)?v(n)

2其中v(n)是均值为零、方差为?v的白噪声。试用自相关函数来表示系数a1、a2。

答案：AR模型的正则方程式可以表示为ru(0)?a1ru(?1)???apru(?p)??v 和

2ru(?1)?ru(0)?r(1)ru(0)?u?????ru(p?1)ru(p?2)将p?2带入上面两式为：

?ru(?p?1)??a1???ru(1)??a????ru(?p?2)??r(2)2u????????????? ???????a?ru(0)???p????ru(p)?ru(0)?a1ru(?1)?a2ru(?2)??v2

和

?ru(0)ru(?1)??a1???ru(1)??r(1)r(0)??a????r(2)?

u?u??2??u?可以解得

a1??ru(1)?ru(0)?ru(2)? 22ru(0)?ru(1)ru(0)ru(2)?ru2(1) a2??22ru(0)?ru(1)12、对平稳随机信号，其自相关函数为Rx(?)，自协方差函数为

Cx(?)，

R(?)=Dx ，Cx(?)＝?x。

（1）当??0时，有：xR(?)=mx ，Cx(?)＝0。

（2）当???时，有：x13、1. 现代信号处理与传统的数字信号处理相比，一个最大的区别在于处理的信号是统计性的随机信号而不再是确定性信号，请回答下述问题：

（1）当研究宽平稳信号时，需要有各态历经性的理论基础来支撑，请对该性质加以论述。答：若独立同分布的随机变量序列

22?Xn,n?1,2,??为一个随机过程，其均值为m?E?Xn?，

2??D?Xn?,?n?1,2,??，则由大数定律可知

方差为

?1N?limP??Xk?m????1N???Nk?1?

（2）白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐述。

答：设?X?t?,???t???为实值平稳过程，若它的均值为零，

在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；

在频域中，谱密度在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。

（3）为了便于分析和设计，白化滤波器被提了出来，请从其作用和应用两个方面对其加以阐述。

答：白化滤波器的作用是将一个有色噪声转化为白噪声。

其应用举例可从广义匹配滤波器或者 ARMA模型出发来举。

（4）滤波器设计中的恒Q特性是什么？在信号处理分析中有什么特点？答：

Q?Q 值（品质因数）定义：

???0＝带宽/中心频率

在小波变换中，小波基函数ψ(t) 的 Q 值：

Q???/?0；ψ(t/a) 的 Q 值保持不变：

??/a???/?0?Q?0/a

不论 a 为何值 (a>0)， ψ(t/a) 始终和ψ(t) 具有相同的品质因数 Q。

由于恒 Q 性质，因此在不同尺度下，小波变换可以提供在时、频平面上长度可调的分析窗口。

答：只要能提出一种时频联合分析的方法即可。如STFT、Gabor变换、小波变换等。 14、AR谱估计的基本原理是什么？与经典谱估计方法相比，其有什么特点？答：（1）AR谱估计的基本原理是： p阶的AR模型表示为：x(n)??

其自相关函数满足以下YW方程：

取m?0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：

??x(n?i)?u(n)

ii?1pRx(1)?Rx(0)?R(1)Rx(0)?x?????Rx(p)Rx(p?1)Rx(p)??1???2???????Rx(p?1)???1???0????????????????Rx(0)???0????p?????(m)，再利用以在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx上矩阵方程，直接求出参数?1,?2,...,?p及?，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。（2）与经典谱估计方法相比，其有以下特点：

1）AR谱比经典谱平滑。

由于AR谱估计是一个有理分式，因此其估计出的谱要比经典的平滑。

2）AR谱的分辨率。经典的分辨率为2?k/N，2?对应于采样频率，N为数据长度，AR谱的分辨率比经典谱要高。

3）AR谱匹配性质。随着阶数的增加，AR谱与真实谱就越接近。

4）AR谱的方差。理论分析很困难，相对的讲，其方差反比于N和信噪比。 5）AR模的稳定性

可以证明，如果自相关矩阵是正定的，则有Yule-Walker方程求出的AR模型是稳定的。 6）AR谱估计的不足

与信号的信噪比关系较大，信噪比低，则方差大，分辨率低。如果信号x（n）是含噪声的正弦信号，其谱峰易受x（n）初相位的影响，并且可能出现“谱

线分裂”的现象。

谱的质量受p的影响大，p取值小，则过于平滑，精度不够，p太大，则可能会产生虚假的谱峰。

15、令未知的随机变量服从均匀分布，其概率分布为

在无其他信息的情况下，用以常数做随即变量x的线性均方估计，求该均方估计。解：有题可知，随机变量x线性均方估计等于其均值，故

???x?E?x???xf?x?dx???x?1f?x??{1,00,其他

1?1xdx =1/2

所以x的线性均方估计为1/2。

16、对于连续时间信号和离散时间信号，试写出相应的维纳－辛欣定理的主要内容。答：(1)连续时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容：

连续时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：

Sx(?)??Rx(?)e?j??d??F(Rx(?))

???1?Sx(?)ej??d? ?2???(2)离散时间信号相应的维纳－辛欣定理主要内容： Rx(?)? 离散时间信号的功率谱密度与其自相关函数满足如下关系：Sx(e)?j?m????R(m)ex??j?m

1Rx(m)?2???S??x(ej?)ej?md?

17、一随机信号的功率谱密度为

1.25?cos?Ｐ（ω）＝1.0625?0.5cos?

若将这一功率谱看作是被具有单位功率谱的白噪声所激励的线性因果、最小相位系统Ｈ（ｚ）的输出的功率谱，求该线性系统Ｈ（ｚ）．答：首先，已知的功率谱可以改写为

(ej??0.5)(e?j??0.5)j??j?(e?0.25)(e?0.25) Ｐ（ω）＝

ｚ＝ej?，则

(z?0.5)(z?1?0.5)?1Ｐ（ω）＝(z?0.25)(z?0.25)

式右的ｚ多项式可以分解为以下四种形式：

z?0.5z?0.5z?1?0.5z?1?0.5H1(z)?H2(z)??1H4(z)??1H3(z)?z?0.25z?0.25z?0.25 z?0.25

在这四种线性系统中，只有线性系统

H1(z)的零、极点全部在单位圆内，是一个因果、最小

H(z)?z?0.5z?0.25

相位系统。所以线性因果、最小相位系统Ｈ（ｚ）为

18、什么叫线性时不变系统？什么叫因果系统？

答案：(1)具有线性性和时不变性的系统叫线性时不变系统。

(2)对于线性时不变系统，如果它在任意时刻的输出只取决于现在时刻和过去时刻的输入，而与将来时刻的输入无关，则该系统称为因果系统。 19、令???t??和???t??是满足下列差分方程的随机过程：

??t??~?0,?2 y?t???y?t?1??x?t??u?t?，?u?t??~?0,?2 ??t?????t?1????t?，?式中

??????1，且???t??和???t??互不相关，求???t??的功率谱。

解：计算???t??的功率谱：

?x?w???21??z?12z?

jw取y?t?的延迟形式： y?t?????y?t?1????x?t????u?t???

?y?t???y?t?1????????t????u?t??? 于是有：?????t??u?t??????t????u?t???? =??由于w?t?和u?t?不相关，所以??t?和u?t?也互不相关，展开上式得：

??y?t?y?t????????y?t?1?y?t????????y?t?y?t???1?? ????y?t?1?y?t???1???????t???t???????u?t?u?t????

2?1???R??????R???1??R???1???R?????????

即：

22yyyx上式两边同乘e?jw?d?后，再积分，则有：

?jw?1??????????e

2y?ejw?y?????x?????2?

从而有：

?y????1?x?????221???2?cos?

??1?2?2?????22??jw1???2?cos??1??e???

20、一零均值MA(2)过程满足下面的方程：

b02?b12?b22?3 b0b1?b1b?22 b0b2?1

试求MA参数

b0,b1和b2。

b02?b12???bq2?R(0)

解：由于对于零均值MA(q)过程而言

b0b1?bb12???bq?1bq?R(1)bb?R(q) ? 0q

故由题意知，MA(2)过程的自相关函数为

R(0)?3,R(1)?R(?1)?2,R(2)?R(?2)?1,R(k)?0,?k?2

P(z)?因此不难求得MA(2)过程的功率谱

k??2?R(k)z2?k?z2?2z?3?2z?1?z?2

?1?22P(z)?(1?z?z)(1?z?z) 其因式分解为

?1?1?2P(z)?B(z)B(z)B(z)?1?z?z将这一结果与比较可知

即

b0?1,b1?1,b2?1

21、简述最小二乘法估计和维纳滤波的区别，并说明何时二者具有一致性。

维纳滤波是建立在最小均方误差准则之上的，滤波器权向量所满足的条件为维纳-霍夫方程。最小二乘是在最小二乘意义下的，应满足确定性正则方程。 1.二者的代价函数不同：

在维纳滤波中，代价函数是均方误差信号

J(w)?E{e(n)}2

误差信号e(n)是一个随机过程，而代价函数则是误差信号的平均功率。

在最小二乘估计中，代价函数定义为误差信号有限个样本的模的平方和，即

J(w)?n?M?e(n)N2

将代价函数除以时间区间长度N-M+1，并不会影响滤波器权向量的求解。于是得到新的代

N12J(w)?e(n)?N?M?1n?M价函数（误差信号样本数据的平均功率）

~ 如果e(n)是各态历经的的平稳随机过程，二者的代价函数相同。 2.维纳-霍夫方程与确定性正则方程维纳-霍夫方程

Rw0?p

H最小二乘估计中的确定性正则方程为 AAw?Ab

H?两边除以时间区间长度N-M+1，则有

?11H(AA)w?AHbN?M?1N?M?1，

在有限个观测样本时的时间评均估计值可表示为

N11HR?AA?u(n)uH(n)?N?M?1N?M?1n?M ?N11Hp?Ab?u(n)d*(n)?N?M?1N?M?1n?M和

?如果随机过程u(n)是各态历经的平稳随机过程，那么，当观测样本数趋于无穷大时，有

也即当观测根本趋于无穷大时，确定性正则方程逼近维纳-霍夫方程，或者最小二乘方法逼近维纳滤波。

因此，可以认为，最小二乘方法是维纳滤波在有限个观测值时的时间平均近似；或者，当观测样本数趋于无穷大时，最小二乘方法将逼近维纳滤波。

22、简要说明功率谱密度的4个性质并选择证明其中的两个。答案：功率谱密度4个性质如下：

1、功率谱密度S(w)是以2?为周期的周期函数，S(w)= S(w+2k?)，k是任意整数。 2、离散时间随机过程的功率谱密度是实函数。证明：

N?M?1??N?M?1??limR?R,lim?p?p?S?w??m????r?m?e?1m??????jmwS?w??r?0???r?m?e??jmw??r?m?e?jmwm?1?将第二项中的m换成-m，并利用r??m??r??m?,得?jmw?jmw?S?w??r?0????rme?rme??????m?1?jmw?S?w??r?0??2?Re?rme????m?1?所以S?w?是w的实函数。

3、对于实随机过程，r(m)是实对称序列，功率谱密度函数满足对称性，即S(w)= S(-w)。

4、离散时间随机过程的功率谱密度是非负的，即S(w)>=0。证明：

将u?n?通过冲激响应h?n?的LTI离散时间系统，设，|w?w0|??wH?w???10，|w?w0|??w输出随机过程y?n?的功率谱为Sy?w??|H?w?|2S?w?则平均功率为12?1ry?0??Swdw???y2??02?当频率宽度?w?0时，1ry?0??S?w0???w???0w0??w?w0??wS?w?dw?由于频率w0是任意的，所以S?w???0。23、一随机信号的功率谱密度为

1.4?0.4cwosS?w??1.2?5cwos

把此功率谱看作是被均值为零,方差为1的高斯白噪声所激励的线性因果,最小相位系统的输出的功率谱,求该线性系统

解:由题意,把已知的功率谱分解为

H?z?H?z?.

e?S?w??e?

jwjw?0.2??e?jw?0.2??0.5??e?jw?0.5?

?1z?0.2z????0.2?jwz?e令,则有

S?z???z?0.5??z?1?0.5?z?ejw

将关于z的多项式分解为以下四种形式:

?1z?0.2z?0.2z?1?0.2z?0.2H2?z???1H1?z??H3?z??H4?z???1z?0.5z?0.5z?0.5z?0.5

在这四种线性系统中,只有线性系统

H1?z?的零、极点全在单位元内,是一个因果、最小相位

系统.

24、简述经典功率谱估计方法并简单比较其性能。答：经典功率谱估计式给予传统傅里叶变换思想的估计方法，其中的典型代表有自相关谱估计法（BT法）和周期图法。

u(n)直接进行傅里叶变换

周期图法：对随机过程u(n)的N个观测值NUN(?)??uN(n)e?j?nn?0N?1

根据傅里叶变换的帕斯瓦尔关系，上式的模的平方是确定信号以持续时间N，其结果应是

uN(n)的能量谱，对能量谱除

uN(n)的功率谱估计，将其作为随机信号u(n)的功率谱的估计，

SPER(?)?表示为

^12UN(?)N

BT法：用时间平均估计u(n)的自相关函数r(m)

1N?1r(m)??uN(n)u*N(n?m),m?N?1Nn?0

^根据维纳-辛钦定理，对由上式估计得到的自相关函数r(m)求傅里叶变换，可得功率谱的估

^SBT(?)?计为

^m????r(m)e^?^?j?m?m??N?1?N?1r(m)e?j?m

^考虑到自相关函数r(m)在

m?N?1时为零，且在m接近N?1时性能较差，上式经常表

SBT(?)?示为

^m??M?r(m)eM^?j?m,0?M?N?1

以此结果作为对理论功率谱的估计，因为这种估计方法估计出的的功率谱是通过自相关函数间接得到的，所以此方法又称为间接法。

当M?N?1时，周期图法和BT法是相同的，而当M??N?1时，BT法是对周期图法的平滑。

25、经典功率谱估计的方法：（ BT法）和（周期图法）。 26、设u(n)是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱 S（?)≥0

证明：将u(n)通过冲击响应为h(n)的LTI离散时间系统，设其频率响应H（?）为 1, | ?-?0 |< ?? H（?）=

0, | ?-?0 | > ??

输出随机过程y(n）的功率谱为Sy(?)= | H(?)|2 S（?）

1r(0)2?输出随机过程y(n) 的平均功率为y=

?2?01Sy(?)d(?)2?= 1S(?0)(??)???0???0???S（?）d(?)

当频率宽度???0时，上式可表示为

ry(0)??

由于频率?0是任意的，所以有 S（?）≥0

27、试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为

?K0e?jwt???HH(?)??其他 ?0解由上式得

2H(?)?K0,???H2 。输出功率谱密度为

nP0(?H(?)2Pi(?)?K02?,???H2

可见，输出噪声的功率谱密度在

???H 内是均匀的，在此范围外则为零，如图所

示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为

R0(?)?P0(w)ejwrdw 2???

fHn

?K020ej2?f?df?fH 2

sinwH??k02n0fH

qH?Po(?)Ro(??)

2n02 K0n0 fHK02

11￡2fH2fH

￡fHOfHfO

图带限白噪声的功率谱和自相关函数

???带限白噪声的自相关函数

R0(?)在??0处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:

2R(0)?k0n0fH 028、

题目：?1x是一正态或高斯随机变量，其概率密度函数为：f(x)?e?2??和?2分别是x的均值和方差。(x??)22?2

首先，概率密度函数f(x)是一关于x??对称的函数，表明，E(x)??,即?确实是正态随机变量x的均值，由于任一个概率密度函数的面积都等于1，即?求上式两边关于?的导数，得：????(x??)22?2f(x)dx?1,故?e????dx??2??(x??)2???3e?(x??)22?2dx?2? 由方差的定义易知：E{(x??)2}def?(x??)2f(x)dx??(x??)2??????1e?2??(x??)22?2dx将上式代入下式得：E（{x??)2}??2因此，随机变量x的均值为?，方差是?2。29、设uN(0), uN(1),?,uN(N-1)为广义平稳随机过程u(n)的N个观测值，且设uN(n)其他时刻

?u?n?,0?n?N?1uN?n???0,其他?的值为零，则uN(n)可表示为

对u(n)的自相关函数r(m)有两种估计算法：

1N?1??m???uN?n?u*r，m?N?1N?n?m?Nn?0算法A：

算法B：

1??m??rN?mm?N?1?u?n?u?n?m?，N*Nn?0N?1

请对这两种估计算法的估计性能进行讨论。

答：算法A：当时延m?0时，r?m?均值估计可以表示为

??1N?1???m???E??uN?n?u*??E?rn?m?NN?n?0?1N?1N?m??r?m??r?m?N Nn?m

??m???Er??m?E?r??m???var?r? r?m?的方差为

?2??E?r??m???E?r??m??

22N?1?m?m?l?21?var?r?m????1??r?l??r?l?m?r?l?m??NNl???N?1?m????最后可得r?m?的方差为

??对于固定时延

m，r?m?是有偏估计，但当N→∞时，r?m?是对r?m?的渐近无偏估计；对

??于固定的N，当

m越接近于N时，估计的偏差越大。由于自相关函数r?m?是有限的，显然

当N→∞时，r?m?的方差将趋近于零。所以，对于固定的延时

?m，r?m?是r?m?的渐近一

?致估计。

算法B：其均值为E?r?m???r?m?

?若信号u?n?是零均值的实高斯随机信号，则r?m?的方差为

?1??m???var?rN-m?l?2?1??r?l??r?l?m?r?l?m??N?ml???N?1?m?????

N?1?m??由此，可以看出，算法B给出的自相关函数的估计r?m?为无偏估计，当

?m接近于N时，

由算法B给出的估计方差很大，但当N＞＞

m时，r?m?是r(m)的渐近一致估计。

?30、白噪声是现代信号处理中常用的一种随机信号，请从时域和频域两个角度对其加以阐

述。

答：设?X?t?,??＜t＜??为实值平稳过程，若它的均值为零，

在时域中，其自相关函数仅在0点有一个冲击函数，在其他点均为0；

在频域中，谱函数在所有频率范围内为非零的常数，则称X(t)为白噪声过程。 31、若已知DFT[x(n)]=X(k)，求

解：

32、已知网络的输入和单位脉冲响应分别为

x(n)?anu(n),h(n)?bnu(n),0?a?1,0?b?1，

试用卷积法求网络输出y(n); 解：用卷积法求y(n)

y(n)?h(n)?x(n)?nnm????bn?mu(m)an?mu(n?m)，n?0,

y(n)??am?0n?mm1?a?n?1bn?1an?1?bn?1，n?0，y(n)?0 b?a?ab?a??11?aba?bm?0n?mman?1?bn?1u(n) 最后得到y(n)?a?b33、一个差分滤波器的输出为：y(n)=x(n)+x(n-1), n=1,2??

令x(n)的功率谱为1/(1+f2)，试求差分滤波器输出y(n)的功率谱密度。解：由题意知，系统的传递函数H(z)=1+z-1,故

H(f)=H(z)|z?ej2?f?1?e?j2?fPy(f)?|H(f)|*Px(f)?|1?e2?j2?f1 |1?f22所以系统输出y(t)的功率谱密度为：

Py(f)?|H2(f)|*Px(f)?|1?e?j2?f|21

1?f234、设系统输入随机过程X(t),t?[0,?),输入Y(t)，t?[0,?)，它们之间有下列关系：

Y(t)??X(u)du??X(u?T)du????tt，其中T为常数，

试求：当输入功率谱密度为解：（1）求传递函数H(f)

SX(f)?q的白噪声时，求输出Y(t)的平均功率。

当输入函数为冲击函数时，即X(t)??(t)，输出函数为冲击响应

H(t)?Y(t)???(u)du???(u?T)du?u(t)?u(t?T)????tt

对上式做傅里叶变换得 H(f)?TSa(?Tf)exp(j?Tf)

H(f)?TSa(?Tf)exp(j?Tf)?TSa(?Tf)

（2）求输出功率谱

输出功率谱密度输出功率谱

SY(f)?H(f)SX(f)?qT2Sa(?Tf)22

PY??SY(f)df?2?SY(f)df?2qT??0??2??Sa(?Tf)?df???T??02?22qT2?0sin2(?Tf)2q?df??T?qTf2?22

35、一零均值MA(2)满足如下正则方程：

22b0?b12?b2?3 b0b1?b1b?22 b0b2?1

试求MA参数解：由

b0 b1 和 b2 。

q?m?2q?2????bkbk?m???bkbk?mR?m???k?mk?0?0?m?0,1,...,qm?q其中?=1。

2得出MA(2)的自相关函数为R(0)=3，R(1)=R(-1)=2，R(2)=R(-2)=1，R(k)=0，|k|>2。由此不难求出MA(2)过程的功率谱

P(z)?

k??2?k2?1?2R(k)z?z?2z?3?2z?z?2

?1?22P(z)?(1?z?z)(1?z?z)

其因式分解为

?1?2?1B(z)?1?z?zP(z)?B(z)B(z)将这一结果和比较，立即知

即

b0=1，b1=1，b2=1 。

所以MA(2)过程的MA参数为

36、维纳滤波的设计思想是什么？它与最小二乘估计有什么区别，并间述两者何时具有一

致性。

答：维纳滤波的思想是，假定横向滤波器的输入和期望响应均为广义平稳随机过程，且已知其二阶统计特性，根据最小均方误差准则，求得最优滤波器的参数。维纳滤波器是建立在最小均方误差准则之上的，即通过使滤波器的估计误差信号的平均功率最小，得到权向量需满足的维纳霍夫方程。这个准则需要输入信号的统计特性来寻求最优滤波。但在实际工程中，通常只能获得有限个观测数据来寻求滤波器的最优解。最小二乘估计就是讨论怎样根据有限个的观测数据来寻找滤波器的最优解。最小二乘估计使用确定性思想，而维纳滤波使用统计思想。

对具有遍历性的平稳随机过程，当观察样本数趋于无穷大时，两种方法得到的估计结果将趋于一致。

37、已知r(0)=1,r(1)=0.5, r(2)=0.5, r(3)=0.25,试用Schur递归的简化算法求?1，?2。解：

00.50.50.25G 首先构造矩阵0=（10.50.50.25）

第二行右移一位的：

00.50.50.25G0.5） 0=（010.5得：?1=-0.5。根据

G0构造矩阵：

1?0.500.50.50.25000.250G1=（?0.51）0.5）=（00.750.250.375）（010.5第二行右移一位的：

000.250 G1=（000.750.25）

~得： ?2=-1/3。

38、设对信号x(n)进行预测建模时是用一种特殊的预测模型：

?(n)???ap(k)x(n?N?k)xk?1p，为确定系数

ap(k)p，试推导出使均方预测误差

?p?E{e(n)}2最小的正则方程，其中

e(n)?x(n)??ap(l)x(n?l?N)l?1，并给出最小均

方预测误差的表达式。

??e*(n)?*?Ee(n)??Ee(n)x(n?k?N)??0?0??*??*?ap(k)??a(k)??解：取p，即?

??p代入

e(n)?x(n)??ap(l)x(n?l?N)l?1p，得到

p????E??x(n)??ap(l)x(n?l?N)?x*(n?k?N)??0l?1????

则：

?al?1pp**??(l)E?x(n?l?N)x(n?k?N)??Ex(n)x(n?k?N)?????,k?1,?,p????

所以正则方程为：

?al?1pp(l)rx(k?l)??rx(k?N),k?1,?,p

?rx(0)rx*(1)?rx(0)?rx(1)?????r(p?1)rx(p?2)即：?x最小均方误差表达式是：

?rx*(p?1)??ap(1)??rx(N?1)?????r(N?2)??rx*(p?2)??ap(2)?????x??????????????a(p)r(N?p)?rx(0)????x? ???p???pmin*p???????E?e(n)?x(n)??ap(l)x(n?l?N)??l?1????????p??*???E?e(n)x(n)?Ee(n)a(l)x(n?l?N)?Ee(n)x(n)????p???????l?1???*p?????E??x(n)??ap(l)x(n?l?N)?x*(n)?l?1???????*??E?x(n)x(n)?a(l)Ex(n?l?N)x(n)??p????l?1?n?0?*p?rx(0)??ap(l)rx*(l?N)l?1p

39、已知输入信号向量u(n)的相关矩阵及与期望响应信号d(n)的互相关向量分别为

?21?R???T2?12?，p?[54]且已知期望响应d(n)的平均功率为E{d(n)}?30。

（1）计算维纳滤波器的权向量。

（2）计算误差性能面的表达式和最小均方误差。

1?2?1??5??2?w0?R?1p?????????1243?????1? 解：

J(w)??d2?pHw?wHp?wHRwJmin??d2?pHw0?30?[5

?2?4]???1??16

40、离散时间的二阶AR过程由差分方程

x(n)?a1x(n?1)?a2x(n?2)?w(n)

2?描述，式中w(n)是一零均值、方差为w的白噪声。证明x(n)的功率谱为

Px(f)?解：

?w21?a12?a22?2a1(1?a2)cos(2?f)?2a2cos(4?f)

Px(f)?由AR过程的功率谱公式知式中

2?w21?a1e?j2?f?a2e?j4?f2（式1）

1?a1e?j2?f?a2e?j4?f

?j2?f?j4?f?j2?f?j4?f(1?ae?ae)(1?ae?ae) 1212=

22?j4?fj4?fj2?f?j2?f?j2?fj2?f1?a?a?a(e?e)?aae?aae?a(e?e) 12212121=

221?a?a?2a1(1?a2)cos(2?f)?2a2cos(4?f)（式2） 12 =

将（式2）代入（式1）中可得：

Px(f)??w21?a12?a22?2a1(1?a2)cos(2?f)?2a2cos(4?f)

证毕。

41、举例说明卡尔曼滤波在信号处理中的应用答：1.卡尔曼滤波在维纳滤波中的应用。 2．卡尔曼滤波在雷达目标跟踪中的应用。 3．卡尔曼滤波在交互多模型算法中的应用。 4．卡尔曼滤波在数据融合中的应用。 42、某独立观测序列

x1,x2,?,xN,其均值为m，方差为?2。现有两种估计算法：

1N1N?1??xn?2?mmxn?Nn?1，算法B：均值估计为N?1n?1 算法A：均值估计为

请对这两种估计算法的无偏性和有效性进行讨论。（12分）

答：

1N?1??xnmNn?1，则算法A：均值估计为

1N1?1)??m?mD(m?1)?2E(mNn?1N，

^2?D(Xn)?n?1N12??1N， ?均值估计m是无偏估计

1N2?E(?)??EXn?m2??2?m2?m2??2Nn?1

1N?2?mxn?N?1n?1，则算法B：均值估计为

^N21NN???D(m)?Em?m??22??2?2)?E(mm?m2???N?1??N?1N?1n?1，

?1??D?m?2??均值估计m2是有偏估计 ?D?m

所以，算法A比算法B更有效。

^??f(n)?cos(?0n)的希尔伯特变换f(n)，

43、求信号并验证解析信号z(n)?f(n)?jf(n)是

单边频谱。

?1?(?1)n1?1?(?1)kf(n)?f(n)*??cos(?0(n?k))n??k???k解：

解析信号频谱

?Z(?)?F(?)?jF(?)?F(?)?jF(?)H(?)

= F(?)?jF(?)(?j)sgn(?)?F(?)?F(?)sgn(?)?2F(?) 其中0???? 显然，解析信号是单边频谱

44、考虑有如下差分方程描述的二阶AR（2）过程u（n）： u（n）=u（n-1）-0.5u（n-2）+v（n）

其中，v(n)是零均值、方差为0.5的白噪声。（1）写出该随机过程的Yule-Walker方程。（2）求u（n）的方差。（3）u（n）的功率谱解：（1）改写方程格式为：u（n）-u（n-1）+0.5u（n-2）=v（n）

?ru(0)ru(1)???1???ru(1)??r(1)r(0)??0.5????r(2)?u????u? Yule-Walker方程为：?u2?v1?0.5??r（0）=（）u221?0.5（1+0.5）???（-1）??2u（2）=1.2

SAR(?)?（3）

?u21??ake?j?kk?1p2

1.2=

1?e?j??0.5e?j?24.822

?j?2?(e?1)?1?? =?45、设随机序列?X(n),n?0,?1,?2,??，其中X(n)是两两互不相关的随机变量且 E(X(n))?0 D(X(n))??2，序列{X(n)}被称作白噪声。验证白噪声序列是平稳序列。解：显然均值函数为常数，当m?0时，因为X(n)不相关，所以

RX(n,n?m)?E(X(n)X(n?m))?E(X(n))E(X(n?m))?0 当m?0RX(n,n)?E(X(n)X(n))?D(X(n))?[E(X(n))]2??2 所以，RX(n,n?m)只是时间差m的函数，序列是平稳的

46、若序列x(n)为实因果序列，h(0)=1，其傅氏变换的虚部为H1(ejω)=—sinω，求序列h(n)及其傅氏变换H(ejω)。

?1h?2jjωjω-jω

解：因为H1(e)=—sinω=—( e—e)=n???0(n) e-jω

h0(n)=

??1/2??0?1/2?n??1n?011n?1 =-2δ(n+1)+2δ(n-1), n?1n?0n?1?1??1?0?n?0n?1其他n?0??h(n)?2h(n)h(n)= ?0 =

所以 h(n)=δ(n)+δ(n-1); H(ejω)=1+ e-jω

s(n)?sin47、在测试正弦信号

?n4的过程中叠加有白噪声v(n),即测试结果为

s(n)?sin?

?n?v(n)4设计一个长为N=4的有限冲激相应滤波器，对x(n)进行滤波后得到

s(n)，它与s(n)的误差的均方值最小。求该滤波器的冲激相应。

s(n)?sin解：已知

?n42?v，v(n)是方差为的白噪声，x(n)=s(n)+v(n)

设h(n)=[h(0),h(1),h(2),h(3)],x(n)=[x(n),x(n-1),x(n-2),x(n-3)]

R?E[x(n)xT(n)]?E[s(n)sT(n)]?E[v(n)vT(n)]?E[s(n)sT(n)]??v2 P?E[s(n)sT(n)]?E[s(n)s(n),s(n)s(n?1),s(n)s(n?2),s(n)s(n?3)]T

h(n)?R?1P?1(n?1)?n?1n?(n?3)?n?2n?[sin(),sinsin,?sin,sinsin]2??v24442244

h(n)?取n=3,则

1111[,,,0]2??v2222

48、已知输入信号向量的相关矩阵u(n)及期望响应信号d(n)的互相关向量分别为

?21?R(n)????12?p??54?且已知期望响应的平均功率为

E?d2(n)??30

(1) 计算维纳滤波器的权向量.

(2) 计算误差性能面的表达式和最小均方误差. 解:维纳滤波器的权向量满足维纳-霍夫方程因此

wo?R?1p??21?T

误差性能面的表达式为:

J(w)??d2?pHw?wHp?wHRw

Jmin?J(wo)??d2?pHwo?woHp?woHRwo??d2?pHwo?5?Jmin??d2?pHwo?30????21??30?14?16?4?因此

49、简述AR模型功率谱估计的方法

?u(m),m?0,1,2,?,p，即答：（1）根据N点的观测数据uN(n)估计自相关函数，得r1N?1?ru(m)??uN(n)u*(n?m) NNi?0?(m)，通过直接矩阵求逆或者按阶数递推的方法（如（2）用p?1个自相关函数的估计值ruLevinson-Durbin算法），求解Yule-Walker方程

ru(?1)?ru(0)?ru(0)?ru(?1)?????ru(?p)ru(?p?1)ru(?p)??1???2???????ru(?p?1)??a1??0??? ?????????????0????a?ru(0)???p????2?p。 ?1,a?2,?,a?p和? 得到p阶AR模型的参数估计值a?(w)，即（3）将上述参数带入AR（p）的功率谱表达式中，得到功率谱估计式SAR?AR(w)?S?2?p?ke?jwk|2|1??ak?1p

50、简述LMS算法

?(0)?0 估计误差：e(0)?d(0)?d?(0)?d(0) 答：（1）初始化，n?0 权向量：w

输入向量：u(0)??u(0)u(?1)?u(?M?1)???u(0)0?0?

T?(n?1)?w?(n)??u(n)e*(n) （2）对n?0,1,? 权向量的更新：w?(n?1)?w?(n?1)u(n?1) 期望信号的估计：dH

?(n?1) 估计误差：e(n?1)?d(n?1)?d （3）令n?n+1，转到（2）

51、设u(n)是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱密度S(w)?0

证明:将u(n)通过冲击响应为h(n)的LTI的离散时间系统，设其频率响应为H(w)为

?1,|w?w0|??w H(w)???0,|w?w0|??w输出随机过程y(n)的功率谱为Sy(w)?S(w)|H(w)|2

12?1S(w)dw?输出随机过程y(n)的平均功率为ry(0)?y2??02?1当频率?w?0时，上式可表示为ry(0)?S(w0)(?w)?0

?w0??ww0??wS(w)dw

?由于频率w0是任意的，所以有S(w)?0

52、自适应滤波器的性能：

（1）失调量（2）计算复杂性（3）对时变统计量的跟踪能力（4）结构上：高模块性、并行性等（是否适合硬件实现）（5）收敛速度（6）数值特性：数值稳定性（对字长效应不敏感），数值精确性（7）鲁棒性：对噪声干扰不敏感，小能量干扰只能造成小估计误差 53、 LMS自适应横向滤波器的基本原理：

（1）自适应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)受误差信号e(n)控制

（2）根据e(n)的值而自动调节，使之适合下一时刻(n+1)的输入x(n+1)，以使输出y(n+1)更接近于期望的响应d(n+1)，直至均方误差E[|e(n)|]达到最小值

（3）y(n)最佳地逼近d(n)，系统完全适应了所加入的两个外来信号，即外界环境。

54、设M=10%（一般M=10%可以满足大多数工程设计的要求）并设N=10，问应该取多少次迭代数？

2101*4?mse 得：?mse=25

解： 0.1=

按经验实际迭代次数应取100（=10*滤波器长度N）或取4

?mse。

55、（1）什么是平稳随机信号？

答:概率分布不随时间推移而变化的信号，即平稳随机信号的统计特性与起始时间无关，只与时间间隔有关。

（2）判断随机信号是广义平稳的条件？

答：1、x(t)的均值是与时间无关的常数：m（x（t））=C （C为常数）；

2、x（t）的自相关函数与起始时间无关； 3、信号的瞬时功率有限；

56、已知信号的功率谱为，测量该信号时混入了加性噪声

，测量数据为且

与

，式中，是均值等于零、方差等于1的白噪声，

进行处理，以得到对

不相关。试设计一因果IIR维纳滤波器，由它对

的线性最佳估计。

解：（1）求测量数据序列的功率谱并进行谱分解

令

得联立方程

解之得f=2或0.5，取f=0.5，则得

故分解为

由此得出（2）对

进行因果和逆因果分解

将上式写成部分分式

因果部分为

（3）计算因果IIR维纳滤波器的传输函数

（4）计算该滤波器的冲击响应

（5）计算最小均方误差

若不用维纳滤波器进行处理，直接用

作为

的估计，则估计误差为

其均方值为

可见用维纳滤波器后均方误差约减小为原来的2.7倍或4.3db。 57、ARMA(p,q)的模型表达式为？答：u(n)???aku(n?k)??blv(n?l)

k?1l?0pq58、Burg算法有什么特点？

?(n),而是从数据x(n)直接求解；答：(1)不需要估计自相关函数Rm(2)比自相关函数法有更好的分辨率，但会出现“谱线分裂”的现象，对于高阶模型可能产生虚假的峰值；(3)对于短序列（N较小），Burg算法的性能不亚于LD算法的性能，N较大时，两者性能相当；(4)Burg算法估计的参数满足?i?1，i?1，2，...，p，即求出的AR模型总是稳定的；(5)对于有噪声的正弦信号，Burg算法存在着对正弦初相位的敏感问题，尤其当数据长度比较短时，随着频率偏差的增加，这种敏感性就越来越明显，从而会导致与相位有关的频率偏差。

59、AR谱估计的基本原理是什么？答：AR谱估计的基本原理是：

p阶的AR模型表示为：x(n)????x(n?i)?u(n)

ii?1p 其自相关函数满足以下YW方程：

取m?0,1,2,...,p，可得到如下矩阵方程：

Rx(1)?Rx(0)?R(1)Rx(0)?x?????Rx(p)Rx(p?1)?(m)，再利用在实际计算中，已知长度为N的序列x(n)，可以估计其自相关函数Rx以上矩阵方程，直接求出参数?1,?2,...,?p及?，于是可求出x(n)的功率谱的估计值。

60、求一个MA(q)过程的最佳线性预测器的系数

Rx(p)??1???2???????Rx(p?1)???1???0????????????????Rx(0)???0????p?????k,该预测器用无限多个过去预测当前值，

x?n???bku(n?k)k?0q即：

x?n?????ku(n?k)k?0q。并证明：该预测器等效于。

解：求MA(q)的Yual-Walk方程

qx?n???bku(n?k)k?0q

Rxx(m)?E[x(n)x(m?n)]?E{x(n)[?u(m?n?k)]}k?1?????E{[?h(l)u(n?l)]u(m?n?k)}k?1ql?0q??b?h(l)E[u(n?l)u(m?n?k)]kk?1ql?0???bkk?1qkk?1?h(l)?l?022?(m?l?k)?b?h(m?k),m?0,1,??,q

即为MA(q)模型的Yual-Walk方程。

设有MA(q)过程，现在根据它的p个已知数据{x(n-1),x(n-2), …x(n-p)}的线性组合

x?n???bku(n?k)k?0q来预测x(n)。

预测系数

2bk按预测误差功率最小准则来选取，即

???E[e(n)]?E[(x(n)?x(n))2]?min

R(k)??bl?2h(k?l)k?0,1,??,q由正交原理，

ql?1E[xiei]?0 可得R(k)?0M??q?1

这与MA(q)模型的Yual-Walk方程相同，若二者是有同样的自相关值，他们的解必相同，即

bl?bk，即最佳线性预测系数恰等于MA模型参数，根据Word分解定理推证，任何MA

x(n)???akx(n?k)k?1??过程可以用一个无限阶的AR过程表示。即这个无限阶的AR过程可

以表示成