（教师典型例题专讲）2014届高三数学一轮提能一日一讲（11月6日

【教师典型例题专讲】2014届高三数学一轮提能一日一讲（11

月6日）

一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．

2?π3π?，则cos(π－α)等于( )

1．已知sinα＝，α∈，

3?22?A．－

5 3

1B．－

9D.5 3

1C. 9

2?π3π?，

解析 ∵sinα＝，α∈，3?22?∴cosα＝－

5. 3

5

，故选D. 3

∴cos(π－α)＝－cosα＝答案 D

2．将函数y＝cos2x的图象向右平移

π

个单位，得到函数y＝f(x)·sinx的图象，则4

f(x)的表达式可以是( )

A．f(x)＝－2cosx C．f(x)＝

2

sin2x 2

B．f (x)＝2cosx D．f(x)＝

2(sin2x＋cos2x) 2

解析 函数y＝cos2x的图象向右平移cos?2x－

ππ

个单位后得到y＝cos?2?x－??＝4??4??

?

π?＝sin2x＝2sinxcosx.故f(x)可以为2cosx.选B. 2?答案 B

3．下列函数中周期为π且为偶函数的是( ) A．y＝sin?2x－

???

π? 2?

B．y＝cos?2x－

???

π? 2?

C．y＝sinx＋

π? 2?

D．y＝cosx＋

π? 2?

解析 由周期为π知ω＝2，排除C、D.由诱导公式知，A选项中，得y＝－cos2x，为偶函数．

答案 A

4．把函数y＝sinx＋

??π?1

图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象6?2

π

向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )

3

ππ

A．x＝－ B．x＝－

24C．x＝

ππ D．x＝ 84

解析 y＝sin?x＋

?

π?1

图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝6?2

sin?2x＋

?

π?πππ

的图象，再将图象向右平移个单位，得到函数y＝sin?2·?x－?＋???＝6?33?6???

sin?2x－

?

π?π

的图象，x＝－是其图象的一条对称轴方程． 2?2

答案 A

π

5．(2013·山东卷)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一

8个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )

A.3π

4

B.π 4

π 4

C．0

解析 y＝sin(2x＋φ)向左平移

D．－

ππ

个单位后得图象的解析式为y＝sin?2x＋＋φ?为8?4?

πππ

偶函数，故＋φ＝＋kπ(k∈Z)，φ＝＋kπ(k∈Z)．

424

答案 B

π

6．(2013·安徽黄山高三联考)设函数f(x)＝3cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)?|φ|

?2?且其图象关于直线x＝0对称，则( )

A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在?0，

??

π?上为增函数 2?

π?上为减函数 2?

B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在?0，

π?π?C．y＝f(x)的最小正周期为，且在0，上为增函数 2?4?ππ

D．y＝f(x)的最小正周期为，且在?0，?上为减函数

2?4?解析 f(x)＝3cos(2x＋φ)＋sin(2x＋φ)

＝2sin?2x＋

π

＋φ?， 3?

?

∵其图象关于x＝0对称，∴f(x)是偶函数． ∴

ππ

＋φ＝＋kπ，k∈Z. 32

ππ

，∴φ＝. 26

又∵|φ|<

∴f(x)＝2sin2x＋

??ππ?＋＝2cos2x. 36?易知f(x)的最小正周期为π，在0，答案 B

?

?π?上为减函数． 2?

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．若

sinθ＋cosθ?3π－θ?＝________.

＝2，则sin(θ－5π)sin

sinθ－cosθ?2?

tanθ＋1解析 由已知得＝2，∴tanθ＝3.

tanθ－13π

∴sin(θ－5π)·sin?－θ?＝sinθcosθ

?2?＝

sinθcosθtanθ3＝＝. 222

sinθ＋cosθtanθ＋110

3 10

答案

8．(2013·江西卷)函数y＝sin2x＋23sin2x的最小正周期T为________． 解析 y＝sin2x＋23sin2x＝sin2x－3cos2x＋3 ＝2sin2x－答案 π

ππ2π?9．函数y＝sin(ωx＋φ)?ω>0且|φ|

?2??63?减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为________．

π2π?解析 因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间?，上单调递减，又函数

?63?2πππ2π2π

值从1减小到－1，可知－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原式

362Tππππ

为y＝sin(2x＋φ)，又由函数过?，1?点，代入可得φ＝，因此函数y＝sin?2x＋?，

?6?6?6?

?

?π?2π＋3，所以周期T＝＝π. 3?2

1

令x＝0，可得y＝.

2

答案

1 2

三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·天津卷)已知函数f(x)＝－2sin2x＋2cosx＋1，x∈R.

(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间0，

2

?

?π?＋6sinxcosx－4?

??π?上的最大值和最小值． 2?

ππ

－2cos2x·sin＋3sin2x－cos2x＝2sin2x－44

解 (1)f(x)＝－2sin2x·cos2cos2x＝22sin2x－

?

?π?. 4?

2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2(2)因为f(x)在区间?0，

?

3π?3ππ

上是增函数，在区间?，?上是减函数，又f(0)＝－2，8??82?

f?

3π?ππ

＝22，f??＝2，故函数f(x)在区间?0，?上的最大值为22，最小值为－2. ?8??2??2?π

11．(本小题10分)(2013·安徽江南十校)将函数y＝sinx的图象向右平移个单位，

3

再将所得的图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这样得到函数f(x)的图象．若g(x)＝f(x)cosx＋3. (1)将函数g(x)化成g(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B?其中A，ω>0，φ∈?－

??

ππ??，的形式； 22??

(2)若函数g(x)在区间－

?π，θ?上的最大值为2，试求θ的最小值．

00

?12?

?

π?

， 3?

解 (1)由题意可得f (x)＝4sin?x－∴g(x)＝4sin?x－

π?cosx＋3 3?

?

?1?3＝4?sinx－cosx?cosx＋3 ?2?2

＝2(sinxcosx－3cosx)＋3 ＝2sin2x－

2

??π?. 3?

(2)∵x∈－

?π，θ0?，∴2x－π∈?－π，2θ0－π?. ?12?3?23?

π

，θ0?上的最大值为2， ?12?

要使函数g(x)在?－

ππ5

当且仅当2θ0－≥，解得θ0≥π.

32125

故θ0的最小值为π.

12

π

12．(本小题10分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，|φ|

?2?内的图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)设0

311ππ3ππ

解 (1)由图象知A＝2，T＝－＝，则T＝π，所以ω＝2，又图象过点?，2?，

41264?6?所以2×

ππ

＋φ＝. 62π

. 6

即φ＝

所以所求的函数的解析式为f(x)＝2sin?2x＋

?

π?. 6?

(2)在同一坐标系中画出y＝2sin?2x＋

?

π?

和y＝m(m∈R)的图象，如图所示，由图可知，6?

当－2

故m的取值范围为－2

3；

当1

3.

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