2014数学一轮复习阶段测试：集合与常用逻辑用语

阶段性测试题一(集合与常用逻辑用语)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．(文)(2011·巢湖市质检)设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )

A．A?B C．A∪B＝{1,2,3,4,5} [答案] D

(理)(2011·安徽百校联考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则集合M与集合N的关系是( )

A．M＝N C．NM [答案] C

[解析] ∵a、b∈M且a≠b，∴a＝－1时，b＝0或1，x＝0或－1；a＝0时，无论b取何值，都有x＝0；a＝1时，b＝－1或0，x＝－1或0.综上知N＝{0，－1}，∴NM.

2．(2011·合肥质检)“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的( ) A．充分必要条件 C．充分不必要条件 [答案] C

[解析] a＝1时，f(x)＝lg(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增；若f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增，∵y＝lgx是增函数，∴y＝ax＋1在(0，＋∞)上单调递增，

?a>0∴?，∴a>0，故选C. ?a×0＋1>0

B．A∩B＝{2} D．A∩(?UB)＝{1}

B．MN D．M∩N＝?

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．(2011·福州期末)已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则綈p是綈q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 [答案] A

[解析] ∵p：－2

→→→→→→4．(2011·福州期末)在△ABC中，“AB·AC＝BA·BC”是“|AC|＝|BC|”的( )

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B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．充分不必要条件 C．充要条件 [答案] C

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

→→→→

[解析] 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，则|AD|＝|AC|·cos∠CAB，|BD|＝|BC|·cos∠CBA，

→→→→→→→→→→AB·AC＝BA·BC?|AB|·|AC|·cos∠CAB＝|BA|·|BC|·cos∠CBA?|AC|·cos∠CAB＝|BC→→→→|·cos∠CBA?|AD|＝|BD|?|AC|＝|BC|，故选C.

5．(文)(2011·山东日照调研)设α、β是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若α∥β，l?α，m?β则l∥m；命题q：l∥α，m⊥l，m?β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是( )

A．p或q C．綈p或q [答案] C

[解析] p为假命题，q为假命题，故p或q，p且q，p且綈q均为假命题，选C. (理)(2011·辽宁省丹东四校联考)已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题p：若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；命题q：若α上不共线的三点到β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )

A．命题“p且q”为真 C．命题“p或q”为假 [答案] C

[解析] 如图(1)，正方体中，相邻三个面满足β⊥α，β⊥γ，但α⊥γ，故p为假命题；如图(2)，α∩β＝l，直线AB，CD是α内与l平行且与l距离相等的两条直线，则直线AB，CD上任意一点到平面β的距离都相等，三点A、B、C不共线，且到平面β的距离相等，故命题q为假命题，

∴“p或q”为假命题．

B．命题“p或綈q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假 B．p且q D．p且綈q

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6．(2011·宁夏银川一中检测)下列结论错误的是( ) ．．．A．命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题

B．命题p：?x∈[0,1]，e≥1，命题q：?x∈R，x＋x＋1<0，则p∨q为真 C．“若am2

[解析] 根据四种命题的构成规律，选项A中的结论是正确的；选项B中的命题p是真命题，命题q是假命题，故p∨q为真命题，选项B中的结论正确；当m＝0时，a

7．(文)(2011·福州期末)已知集合M＝{y|y＝x＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N等于( )

A．(0,1)，(1,2) C．{y|y＝1或y＝2} [答案] D

[解析] 由集合M、N的代表元素知M、N都是数集，排除A、B；又M＝{y|y≥1}，N＝R，∴选D.

(理)(2011·陕西宝鸡质检)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈Z}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则A∩B为( )

A．? C．[0，＋∞) [答案] B

[解析] 由1－x2≥0得，－1≤x≤1，∵x∈Z，∴A＝{－1，0,1}，当x∈A时，y＝x2＋1∈{2,1}，即B＝{1,2}，∴A∩B＝{1}．

8．(2011·天津河西区质检)命题p：?x∈[0，＋∞)，(log32)≤1，则( ) A．p是假命题，綈p：?x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1 B．p是假命题，綈p：?x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1 C．p是真命题，綈p：?x0∈[0，＋∞)，(log32)x0>1

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x

2

2

2

x

2

B．{(0,1)，(1,2)} D．{y|y≥1}

B．{1} D．{(0,1)}

D．p是真命题，綈p：?x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1 [答案] C

[解析] ∵0”，故选C.

9．(2010·广东湛江模拟)“若x≠a且x≠b，则x－(a＋b)x＋ab≠0”的否命题是( ) A．若x＝a且x＝b，则x－(a＋b)x＋ab＝0. B．若x＝a或x＝b，则x－(a＋b)x＋ab≠0. C．若x＝a且x＝b，则x2－(a＋b)x＋ab≠0. D．若x＝a或x＝b，则x－(a＋b)x＋ab＝0. [答案] D

10．(2011·四川资阳市模拟)“cosθ<0且tanθ>0”是“θ为第三角限角”的( ) A．充要条件 C．充分不必要条件 [答案] A

[解析] ∵cosθ<0，∴θ为第二或三象限角或终边落在x轴负半轴上，∵tanθ>0，∴θ为第一或三象限角，∴θ为第三象限角，故选A.

111．(文)(2011·湖南长沙一中月考)设命题p：?x∈R，|x|≥x；q：?x∈R，＝0.则下列

x判断正确的是( )

A．p假q真 C．p真q真 [答案] B

11

[解析] ∵|x|≥x对任意x∈R都成立，∴p真，∵＝0无解，∴不存在x∈R，使＝0，

xx∴q假，故选B.

(理)(2011·福建厦门市期末)下列命题中，假命题是( ) A．?x∈R,2x－1>0 C．?x∈R，x2－x＋1>0 [答案] B

[解析] 对任意x∈R，总有|sinx|≤1，∴sinx＝2无解，故选B.

12．(2011·辽宁大连期末)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}与B＝{x|x＝2n，n∈N}，则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是( )

B．?x∈R，sinx＝2 D．?x∈N，lgx＝2 B．p真q假 D．p假q假 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

222

2

4 / 11

[答案] A

[解析] n＝0时，2＝1∈A，但1?B,2×0＝0∈B，但0?A，又当n＝1时，2∈A且2∈B，故选A.

[点评] 自然数集N中含有元素0要特别注意，本题极易因忽视0∈N导致错选C.

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件． [答案] 既不充分也不必要

[解析] 当a＋b≠4时，可选取a＝1，b＝5，故此时a≠1且b≠3不成立(∵a＝1)．同样，a≠1且b≠3时，可选取a＝2，b＝2，此时a＋b＝4，因此，甲是乙的既不充分也不必要条件．

[点评] 也可通过逆否法判断非乙是非甲的什么条件． x2y214．方程＋＝1表示曲线C，给出以下命题：

4－tt－1①曲线C不可能为圆； ②若14； 5

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1

其中真命题的序号是______(写出所有正确命题的序号)． [答案] ③④

535

[解析] 显然当t＝时，曲线为x2＋y2＝，方程表示一个圆；而当1

2225

方程表示椭圆；当t<1或t>4时，方程表示双曲线，而当1t－1>0，方程表示

2焦点在x轴上的椭圆，故选项为③④.

15．(文)函数f(x)＝logax－x＋2(a>0且a≠1)有且仅有两个零点的充要条件是________． [答案] a>1

[解析] 若函数f(x)＝logax－x＋2(a>0，且a≠1)有两个零点，即函数y＝logax的图象与直线y＝x－2有两个交点，结合图象易知，此时a>1；当a>1时，函数f(x)＝logax－x＋2(a>0，

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0

且a≠1)有两个零点，∴函数f(x)＝logax－x＋2(a>0，且a≠1)有两个零点的充要条件是a>1.

4x＋3y－12≥0??

(理)(2010·济南模拟)设p：?3－x≥0

??x＋3y≤12

，q：x2＋y2>r2(x，y∈R，r>0)，若p是q

的充分不必要条件，则r的取值范围是________．

12?

[答案] ?0，?5?

4x＋3y－12≥0?

?

[解析] 设A＝{(x，y)|?3－x≥0

??x＋3y≤12

}，B＝{(x，y)|x2＋y2>r2，x，y∈R，r>0}，则

集合A表示的区域为图中阴影部分，集合B表示以原点为圆心，以r为半径的圆的外部，|4×0＋3×0－12|12

设原点到直线4x＋3y－12＝0的距离为d，则d＝＝，∵p是q的充分不必

55要条件，∴AB，则0

12

. 5

16．(2011·河南豫南九校联考)下列正确结论的序号是________． ①命题?x∈R，x2＋x＋1>0的否定是：?x∈R，x2＋x＋1<0.

②命题“若ab＝0，则a＝0，或b＝0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”． ^

③已知线性回归方程是y＝3＋2x，则当自变量的值为2时，因变量的精确值为7. 1π

④若a，b∈[0,1]，则不等式a2＋b2<成立的概率是. 44[答案] ②

[解析] ?x∈R，x＋x＋1>0的否定应为?x∈R，x＋x＋1≤0，故①错；对于线性回归方^221

程y＝3＋2x，当x＝2时，y的估计值为7，故③错；对于0≤a≤1,0≤b≤1，满足a＋b<的概411?2×π×??2?π4

率为p＝＝，故④错，只有②正确．

1×116

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(文)(2011·重庆南开中学期末)已知函数f(x)＝集合A，函数g(x)＝lg[x2－(2a＋1)x＋a2＋a]的定义域是集合B.

(1)分别求集合A、B；

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2

2

x＋1

的定义域是x－2

(2)若A∪B＝B，求实数a的取值范围． [解析] (1)A＝{x|x≤－1或x>2} B＝{x|xa＋1}． (2)由A∪B＝B得A?B，因此?

?a>－1???a＋1≤2

所以－1

(1)当m＝3时，求A∩(?RB)；

(2)若A∩B＝{x|－1

[解析] 由－1≥0知，0

x＋1∴－1

(2)A＝{x|－1

18．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

[解析] (1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题． 用反证法证明：

设a＋b<0，则a<－b，b<－a， ∵f(x)是R上的增函数， ∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真． ∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a， 又∵f(x)在R上是增函数，

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2

62

－1的定义域为集合A，函数g(x)＝lg(－x＋2x＋m)的定义域x＋1

∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，∴原命题真，故逆否命题为真．

(理)(2011·厦门双十中学月考)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．

→→(1)求证：“如果直线l过点(3,0)，那么OA·OB＝3”是真命题．

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设l：x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6， →→OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2 ＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2 ＝－6t＋3t·2t＋9－6＝3. →→∴OA·OB＝3，故为真命题．

→→(2)(1)中命题的逆命题是：“若OA·OB＝3，则直线l过点(3,0)”它是假命题． 设l：x＝ty＋b，代入抛物线y＝2x，消去x得y－2ty－2b＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b. →→∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2

＝ty1y2＋bt(y1＋y2)＋b＋y1y2＝－2bt＋bt·2t＋b－2b＝b－2b， 令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1，

此时直线l过点(3,0)或(－1,0)．故逆命题为假命题．

19．(本小题满分12分)(文)(2011·华安、连城、永安、漳平龙海，泉港六校联考)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值； (2)若A??RB，求实数m的取值范围． [解析] A＝{x|－1≤x≤3} B＝{x|m－2≤x≤m＋2}． (1)∵A∩B＝[0,3]， ∴?

?m－2＝0???m＋2≥3

2

2

2

2

2

2

2

2

，?

?m＝2?m≥1

，∴m＝2.

故所求实数m的值为2. (2)?RB＝{x|xm＋2} A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1. ∴m>5或m<－3.

因此实数m的取值范围是m>5或m<－3.

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x－2x－a2－2

(理)(2011·山东潍坊模拟)已知全集U＝R，非空集合A＝{x|<0}，B＝{x|x－3a＋1?x－a<0}．

1

(1)当a＝时，求(?UB)∩A；

2

(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围． 9x－

x－215419

[解析] (1)当a＝时，A＝{x|<0}＝{x|2

252124

x－x－22195

∴(?UB)∩A＝{x|x≤或x≥}∩{x|2

＝{x|≤x<}．

42

(2)若q是p的必要条件，即p?q，可知A?B， 由a＋2>a，得B＝{x|a当3a＋1>2，即a>时，

3A＝{x|2

?a≤23－51?2，解得

32?a＋2≥3a＋1

2

2

1

当3a＋1＝2，即a＝时，

3A＝?，符合题意； 1

当3a＋1<2，即a<时，

3A＝{x|3a＋1

??a≤3a＋111?2，解得－≤a<；

23?a＋2≥2?

13－5综上，a∈[－，]．

22

20．(本小题满分12分)(2010·常德模拟)已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q：?x0∈R，使得x20＋(a－1)x0＋1<0.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

[解析] 由条件知，a≤x2对?x∈[1,2]成立，∴a≤1； ∵?x0∈R，使x0＋(a－1)x0＋1<0成立，

∴不等式x2＋(a－1)x＋1<0有解，∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1； ∵p或q为真，p且q为假， ∴p与q一真一假．

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2

①p真q假时，－1≤a≤1； ②p假q真时，a>3.

∴实数a的取值范围是a>3或－1≤a≤1.

21．(本小题满分12分)(文)已知函数f(x)＝x2－2x＋5，若存在一个实数x0，使不等式f(x0)－m>0成立，求实数m的取值范围．

[解析] 不等式f(x0)－m>0可化为m

又∵f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4， ∴f(x)min＝4，∴m<4.

故所求实数m的取值范围是(－∞，4)．

(理)(2011·雅安中学期末)设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

[解析] 令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，则 g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a， 令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1. (1)当a≤1时，对所有x>0，g′(x)>0. 所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数． 又g(0)＝0，所以对x≥0，有g(x)≥g(0)， 即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax. (2)当a>1时，对于0

a－1

－1)上是减函数．

又g(0)＝0，所以对0所以当a>1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上所述a的取值范围是(－∞，1]．

22．(本小题满分12分)若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{ai1，ai2，…，ain}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2in－1，则

(1){a1，a3}是E的第几个子集？ (2)求E的第211个子集．

[解析] (1)由k的定义可知k＝21－1＋23－1＝5. 因此{a1，a3}是E的第5个子集． (2)∵2

1－1

＝1,2

2－1

＝2,2

3－1

＝4,2

4－1

＝8，…k＝211，且211＝128＋64＋16＋2＋1，∴i1＝1，

i2＝2，i3＝5，i4＝7，i5＝8，故E的第211个子集是{a1，a2，a5，a7，a8}．

[点评] 本题是新定义题型，构思新颖，视角独特，亮点明显，对考生在新情境下灵活

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运用所学知识分析，解决问题的能力要求较高，有较高的区分度．

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