3.1.3概率的基本性质(好)

概率的基本性质

3.1.3 概率的基本性质事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质

概率的基本性质

一.创设情境，引入新课

上一节课我们学习了随机事件的概率，举了生 活中与概率知识有关的许多实例。今天我们来研究 概率的基本性质。在研究性质之前，我们先来研究 一下事件之间有什么关系。

比如在掷骰子这个试验中：“出现的点数小于 或等于3”这个事件中包含了哪些结果呢？ ①“出现的点数为1” ②“出现的点数为2” ③“出现的点数为3”这三个结果 你能写出在掷骰子的试验中出现的其它事件吗？

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一.创设情境，引入新课 C1 ={出现1点};C2={出现2点}; C3={出现3点}; C4 ={出现4点};C5={出现5点}; C6={出现6点}; D1={出现的点数不大于1}; D2={出现的点数大于3}; D3={出现的点数小于5}; E={出现的点数小于7}; F={出现的点数大于6}; G={出现的点数为偶数}; H={出现的点数为奇数};……

1.上述事件中有必然事件或不可能事件吗？有的 4.上述事件中，哪些事件发生当且仅当事件D2且事 话，哪些是？ 件D3同时发生? 2. 若事件C1发生，则还有哪些事件也一定会发生？ 5.若只掷一次骰子，则事件C1和事件C2有可能同 反过来可以吗？ 时发生么？ 3.上述事件中，哪些事件发生会使得 K={出现1 6.在掷骰子实验中事件G和事件H是否一定有一个 点或5点}也发生？ 会发生？

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二.剖析概念，夯实基础

(一)事件的关系和运算：(1)包含关系一般地，对于事件A与事件B,如果事件A发生，则 事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事 件A包含于事件B),记作 B A (或A B) 如图：

B

A

例.事件C1 ={出现1点 }发生，则事件 H ={出现的 点数为奇数}也一定会发生，所以 H C1 注：不可能事件记作

,任何事件都包括不可能事件。

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二.剖析概念，夯实基础

(2)相等关系 一般地，对事件A与事件B,若 B A且A B , 那么称事件A与事件B相等，记作A=B 。 如图：B A

例.事件C1={出现1点}发生，则事件D1={出现的 点数不大于1}就一定会发生，反过来也一样， 所以C1=D1。

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二.剖析概念，夯实基础

(3)并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发 生，则称此事件为事件A和事件B的并事件 A ( ) (或和事件),记作B 或A B 。 如图：B A B A

例.若事件K={出现1点或5点} 发生，则事件C1 = {出现1点}与事件C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会 发生，则 K C1 C5

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二.剖析概念，夯实基础

(4)交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生， 则称此事件为事件A和事件B的交事件(或积事 A B 或AB ( ) 件)记作 如图：B A B A

例.若事件 M={出现1点且5点}发生，则事 件C1 ={出

现1点}与事件C5 ={出现5点}同 时发生，则 M C1 C5

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二.剖析概念，夯实基础

(5)互斥事件若 A B 为不可能事件( A B ),那么称事件A 与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中都不会同时发生。

如图：

A

B

例.因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点} 不可能同时发生，故这两个事件互斥。

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二.剖析概念，夯实基础

(6)互为对立事件若 A B 为不可能事件， B 为必然事件，那么称事 A 件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在 任何一次试验中有且仅有一个发生。

如图：

A

B

例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件 H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。

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①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系， 而对立事件只针对两个事件而言。 ②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生， 也可能有一个发生，也就是不可能同时发生； 而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外， 还要求这二者之间必须要有一个发生，因此， 对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况， 但互斥事件不一定是对立事件。

③从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这几个 事件所包含的结果组成的集合的交集为空集；而事件 A的对立事件A所包含的结果组成的集合是全集中由 事件A所包含的结果组成的集合的补集。

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符号

概率论

集合论

必然事件 不可能事件 试验的可能结果 事件

全集 空集 中的元素 的子集

AA B = =

CUA

事件A的对立事件 事件B包含事件A 事件A与事件B相等 事件A与事件B的并 事件A与事件B的交 事件A与事件B互斥

集合A的补集 集合B包含集合A 集合A与集合B相等 集合A与集合B的并 集合A与集合B的交 集合A与集合B的交为空集

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二.剖析概念，夯实基础

(二)概率的基本性质1.概率P(A)的取值范围 (1)0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率是1.(3)不可能事件的概率是0. (4)若A 则 P(A) ≤P(B) B,

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二.剖析概念，夯实基础

思考：掷一枚骰子,事件C1={出现1点},事件 C3={出现3点}则事件C1 C3 发生的频率 与事件C1和事件C3发生的频率之间有什 么关系?

结论：当事件A与事件B互斥时

f (A B) f (A) f (B)n n n

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二.剖析概念，夯实基础

2.概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则P (A B)= P (A) + P (B)

3.对立事件的概率公式若事件A,B为对立事件,则

P(B)=1-P(A)

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如果事件A与事件B互斥，则P (A B)= P (A) + P (B) 注意：1.利用上述公式求概率是，首先要确定 两事件是否互斥，如果没有这一条件，该公式 不能运用。即当两事件不互斥时，应有： P (A B)= P (A) + P (B) - P(

) 2.上述公式可推广，即如果随机事件A1,A2, ……,An中任何两个都是互斥事件，那么有 P (A1 A2 … An)= P (A1) + P (A2)+…+P( n)一般地，在解决比较复杂的事件的概率问题时，常常把 复杂事件分解为几个互斥事件，借助该推广公式解决。

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三.迁移运用，巩固提高

(一)独立思考后回答 1、判断下列每对事件是否为互斥事件 (1)将一枚硬币抛掷两次，事件A:两次出现正 面，事件B:只有一次出现正面. (2)某人射击一次，事件A:中靶，事件 B:射中9环. (3)某人射击一次，事件A:射中环数大于5, 事件B:射中环数小于5. (1),(3)为互斥事件

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三.迁移运用，巩固提高

2、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名 同学参加演讲比赛.判断下列每对事件是不 是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对 立事件. (1)恰有一名男生与恰有2名男生；互斥不对立 (2)至少有1名男生与全是男生； 不互斥 (3)至少有1名男生与全是女生； 互斥且对立 (4)至少有1名男生与至少有1名女生.不互斥

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三.迁移运用，巩固提高

3、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个， 是对立事件的为( B ) ①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球. A.① B.② C.③ D.④

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三.迁移运用，巩固提高

4.从一批产品中取出三件产品， 设A={三件产品全不是次品} B={三件产品全是次品} C={三件产品不全是次品} 则下列结论正确的是( C) A.只有A和C互斥 B.只有B与C互斥 C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥

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