2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标
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2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
说明:
1.评阅试卷时,请依据本评分标准,填空题只设7分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中至少4分为一个档次,不要增加其他中间档次. 一、填空(共8小题,每小题7分,共56分)
x?f?f?f?x??1. 若函数f?x??且f(n)?x??f?,则f?99??1?? . ?????????????1?x2n1【答案】
101【解析】 f???x??f?x??x1?x2, xf?2??x???x??f??f?x????x21?2x2
……
1?99x1故f?99??1??.
10f?99?.
2. 已知直线L:x?y?9?0和圆M:2x2?2y2?8x?8y?1?0,点A在直线L上,B,C为
圆M上两点,在?ABC中,?BAC?45?,AB过圆心M,则点A横坐标范围为 .
【答案】 ?3,6? 【解析】 设A?a,9?a?,则圆心M到直线AC的距离d?AMsin45?,由直线AC与圆M相交,
34. 2解得3≤a≤6.
得d≤
?y≥0?3. 在坐标平面上有两个区域M和N,M为?y≤x,N是随t变化的区域,它由不等式
?y≤2?x?t≤x≤t?1所确定,t的取值范围是0≤t≤1,则M和N的公共面积是函数f?t?? .
1 2【解析】 由题意知
f?t??S阴影部分面积 【答案】 ?t2?t? ?S?AOB?S?OC?DS? B112 ?1?t2??1?t?
221 ??t2?t?
2
yACODFEBx《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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1111?????a?2007对一切正整数n都成立的最小正整数a的n?1n?22n?13值为 . 2009 【答案】
111【解析】 设f?n??.显然f?n?单调递减,则由f?n?的最大值????n?1n?22n?11f?1??a?2007,可得a?2009.
3
x2y25. 椭圆2?2?1?a?b?0?上任意两点P,Q,若OP?OQ,则乘积OP?OQ的最小值
ab为 . 2a2b2【答案】 2 2a?b【解析】 设P?OPcos?,OPsin??, 4. 使不等式
?π?π????Q?OQcos????,OQsin?????.
2?2?????由P,Q在椭圆上,有
cos2?sin2? ??2 ①22abOP1sin2?cos2? ② ?2?22abOQ1①+②得
1111??2?2. 22abOPOQ2a2b22a2b2于是当OP?OQ?2时,OPOQ达到最小值2.
a?b2a?b2
6. 若方程lgkx?2lg?x?1?仅有一个实根,那么k的取值范围是 . k?0或k?4 【答案】
?kx?0??【解析】 ?x?1?0?2??kx??x?1?当且仅当 kx?0 x?1?0 x2??2?k?x?1?0
① ② ③
对③由求根公式得
1x1,x2??k?2?k2?4k? ④
?2???k2?4k≥0?k≤0或k≥4. (ⅰ)当k?0时,由③得 ?x1?x2?k?2?0 ?xx?1?0?12《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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所以x1,x2同为负根. ?x?1?0又由④知?1
x?1?0?2所以原方程有一个解x1.
k?1?1. 2?x?x?k?2?0(ⅲ)当k?4时,由③得?12
?x1x2?1?0(ⅱ)当k?4时,原方程有一个解x?所以x1,x2同为正根,且x1?x2,不合题意,舍去. 综上可得k?0或k?4为所求.
7. 一个由若干行数字组成的数表,从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之
和,最后一行仅有一个数,第一行是前100个正整数按从小到大排成的行,则最后一行的数是 (可以用指数表示) 101?298 【答案】
【解析】 易知:
(ⅰ)该数表共有100行; (ⅱ)每一行构成一个等差数列,且公差依次为
d1?1,d2?2,d3?22,…,d99?298
(ⅲ)a100为所求.
设第n?n≥2?行的第一个数为an,则 an?an?1?an?1?2n?2?2an?1?2n?2
n?3n?2?2??2an?2?2???2
n?4n?2n?2?22??2an?3?2???2?2?2
???23an?3?3?2n?2 ……
?2n?1a1??n?1??2n?2
??n?1?2n?2
故a100?101?298.
∶00~9∶00,9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站,但到站的时刻是随机的,8. 某车站每天8且两者到站的时间是相互独立的,其规律为 8∶10 8∶30 8∶50 到站时刻 9∶10 9∶30 9∶50 111 概率 623一旅客8∶20到车站,则它候车时间的数学期望为 (精确到分). 【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为 10 30 50 70 90 候车时间(分) 11111111 ? ? ? 概率 26626336候车时间的数学期望为 1111110??30??50??70??90??27
23361218《中学数学信息网》系列资料 WWW.ZXSX.COM 版权所有@《中学数学信息网》
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二、解答题
x2y21. (本小题满分14分)设直线l:y?kx?m(其中k,m为整数)与椭圆??1交于
1612x2y2不同两点A,B,与双曲线??1交于不同两点C,D,问是否存在直线l,使得
412????????向量AC?BD?0,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. ?y?kx?m?【解析】 由?x2y2消去y化简整理得
??1??1612?3?4k?x22?8kmx?4m2?48?0
8km 23?4k
设A?x1,y1?,B?x2,y2?,则x1?x2???1??8km??4?3?4k2??4m2?48??02① ………………………………………………4分 ?y?kx?m?由?x2y2消去y化简整理得
??1??412?3?k?x22?2kmx?m2?12?0
2km 3?k2
设C?x3,y4?,D?x4,y4?,则x3?x4??2???2km??4?3?k2??m2?12??02② ………………………………………………8分
?????????0,所以?x4?x2???x3?x1??0,此时?y4?y2???y3??因为AC?BDy10?.由x1?x2?x3?x得4
8km2km. ??3?4k23?k2所以2km?0或?41.由上式解得k?0或m?0.当k?0时,由①和②得?223?4k3?k?23?m?23.因m是整数,所以m的值为?3,?2,?1,0,1,2,3.当m?0,
由①和②得?3?k?3.因k是整数,所以k??1,0,1.于是满足条件的直线共有9条.………14分
2. (本小题15分)已知p,q?q?0?是实数,方程x2?px?q?0有两个实根?,?,数
列?an?满足a1?p,a2?p2?q,an?pan?1?qan?2?n?3,4,?? (Ⅰ)求数列?an?的通项公式(用?,?表示);
1(Ⅱ)若p?1,q?,求?an?的前n项和.
4【解析】 方法一:
(Ⅰ)由韦达定理知????q?0,又????p,所以
an?pxn?1?qxn?2??????an?1???an?2,?n?3,4,5,??
整理得an??an?1???an?1??an?2?
2,??.所以?bn?是公比为?的等比数列. 令bn?an?1??an,则bn?1??bn?n?1,数列?bn?的首项为:
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b1?a2??a1?p2?q??p??????????????????2. 所以
bn??2??n??1?n?2,即
an?1??an??n?1???n?1,2,.所以
2,??. an?1??an??n?1?n?1,????0,①当??p2?4q?0时,a1?p?????2?,2,??an?1??an??n?1?n?1,变为an?1??an??n?1?n?1,2,??.整理得,
an?1?na2??a?数列?nn?成公差为1的等差数列,其首项为1??2.所以
??????an?n?1an2,??.所以,?1,?n?1,于是数列?an?的通项公式为
?n?2?1?n?1??n?1.
an??n?1??n;…………………………………………………………………5分 ②当??p2?4q?0时,???,
an?1??an??n?1
???n?1??an??
???????an??n?1??n?1?n?1,2,??.
??????整理得
??n?2?n?1?an?1????an?2,??. ?,?n?1,??????????n?1?所以,数列?an??成公比为?的等比数列,其首项为
??????2?2?2?n?1?2a1?????????n?1. .所以an?????????????????n?1??n?1于是数列?an?的通项公式为an?.…………………………………10分
???11(Ⅱ)若p?1,q?,则??p2?4q?0,此时????.由第(Ⅰ)步的结果得,数列?an?42n?1?n?1的通项公式为an??n?1????n,所以,?an?的前n项和为
2?2?234nn?1sn??2?3???n?1?n
222221234nn?1 sn?2?3?4????22222n2n?113n?3以上两式相减,整理得sn??n?1
222n?3所以sn?3?n.…………………………………………………………………15分
2方法二: (Ⅰ)由韦达定理知????q?0,又????p,所以
a1????,a2??2??2???.
特征方程?2?p??q?0的两个根为?,?.
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①当????0时,通项an??A1?A2n??n?n?1,2,??由a1?2?,a2?3?2得
???A1?A2???2? ?22???A1?2A2???3? 解得A1?A2?1.故 an??1?n??n.……………………………………………5分 ②当???时,通项an?A1?n?A2?n?n?1,由a1????,a2??2??2???得 2,??.
??A1??A2????? ? 2222A??A??????????12??? 解得A1?,A2?.故
????????n?1?n?1?n?1??n?1?? an?.………………………………………………10分 ?????????(Ⅱ)同方法一.
3. (本小题满分15分)求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值. 【解析】 函数的定义域为?0,13?.因为
y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x? ≥27?13 ?33?13
当x?0时等号成立.故y的最小值为33?13.……………………………5分 又由柯西不等式得 y2??x?x?27?13?x?2
1??1 ≤??1???2x??x?27??3?13?x???121
3??2所以y≤11. ……………………………………………………10分
由柯西不等式等号成立的条件,得4x?9?13?x??x?27,解得x?9.故当x?9时等号
成立.因此y的最大值为11.……………………………………………………15分
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①当????0时,通项an??A1?A2n??n?n?1,2,??由a1?2?,a2?3?2得
???A1?A2???2? ?22???A1?2A2???3? 解得A1?A2?1.故 an??1?n??n.……………………………………………5分 ②当???时,通项an?A1?n?A2?n?n?1,由a1????,a2??2??2???得 2,??.
??A1??A2????? ? 2222A??A??????????12??? 解得A1?,A2?.故
????????n?1?n?1?n?1??n?1?? an?.………………………………………………10分 ?????????(Ⅱ)同方法一.
3. (本小题满分15分)求函数y?x?27?13?x?x的最大和最小值. 【解析】 函数的定义域为?0,13?.因为
y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x?13?x? ≥27?13 ?33?13
当x?0时等号成立.故y的最小值为33?13.……………………………5分 又由柯西不等式得 y2??x?x?27?13?x?2
1??1 ≤??1???2x??x?27??3?13?x???121
3??2所以y≤11. ……………………………………………………10分
由柯西不等式等号成立的条件,得4x?9?13?x??x?27,解得x?9.故当x?9时等号
成立.因此y的最大值为11.……………………………………………………15分
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