2015中考圆专题复习经典全套

1 圆的基本性质

点与圆的位置关系

1. 决定圆的大小的是圆的_____;决定圆位置的是_____.

2. 在Rt △ABC 中∠C=90O ,AC=4,OC=3,E 、F 分别为AO 、AC 的中点,以O 为圆心、OC 为半径作圆,点E 在⊙O

的圆_____,点F 在⊙O 的圆_____.

3. 如图;AB 、CD 是⊙O 的两条直径,AE ∥CD,BE 与CD 相交于P 点,

则OP ∶AE=____.

4. 经过A 、B 两点的圆的圆心在________,这样的圆有______个.

5. 如图;AB 是直径,AO=2.5,AC=1.CD ⊥AB,则CD=_______.

6. 一已知点到圆周上的点的最大距离为m ,最小距离为n .则此圆的半径_____.

7. 有个长、宽分别为4和3的矩形ABCD,现以点A 为圆心,若B 、C 、D 至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则⊙A 半径r 的范围是_________.

8. ⊙O 的半径为15厘米,点O 到直线l 的距离OH=9厘米,P,Q,R 为l 上的三个点,PH=9厘米,QH=12厘米,RH=15厘米,则P,Q,R 与⊙O 的位置关系分别

为 .

9. 若点A(a,-27)在以点B(-35,-27)为圆心,37为半径的圆上,a= .

10. 在矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,以点A 为圆心作圆,若B,C,D 三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则⊙A 的半径R 的取值范围是

11. 在直角坐标系中,⊙O 的半径为5厘米,圆心O 的坐标为(-1,-4),点P(3,-1)与圆O 的位置关系是 .

12. 如图⊙O 是是等腰三角形ABC 的外接圆,AB=AC,D 是弧AC 的中点，已

知∠EAD=114O ，求∠CAD 在度数。

13. 已知⊙O 的直径为16厘米，点E 是⊙O 内任意一点，（1）作出过点E 的最短的弦；（2）若OE=4厘米，则最短弦在长度是多少？

14. 如图7-4，已知在△ABC 中，∠CAB=900 ，AB=3厘米，AC=4厘米，以点A 为圆心、AC 长为半径画弧交CB

的延长线于点D.求CD 的长。

15. 试问:任意四边形的四个内角的平分线相交的四个点在同一个圆上吗？又问：任意四边形各外角在平分线所相交在四边形在同一圆上吗？为什么？

2 16. 如图7-6，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，（1）已知CD=8厘米，AP:PB=1:4,求⊙O 的半径；（2）

如果弦AE 交CD 于点F 。求证：AC 2=AF ?AE.

17. 已知四边形ABCD 是菱形，设点E 、F 、G 、H 是各边的中点，试判断点E 、F 、G 、H 是否在同一个圆上，

为什么？又自AC 、BD 的交点O 向菱形各边作垂线，垂足分别为M 、N 、P 、Q 点，问:这四点在同一个圆上吗?为什么？

18. ⊙O 中有n 条等弦A 1B 1、A 2B 2、???A n B n ,它们的中点分别是P 1、P 2、???P n ,试问：P 1、P 2、???P n 这n 个点

在同一个圆上吗？请证明你的判断。又若⊙O 上有一点A ，自点A 引n 条弦A 1B 1、A 2B 2、???A n B n,,若它们的中点分别为Q 1、Q 2、???Q n ，试问：Q 1、Q 2、???Q n ，这n 个点在同一圆上吗？请证明你的判断。 垂径定理

19. ⊙o 中等于1200

劣弧所对的弦是123厘米,则⊙O 的半径是 厘米. 20.过⊙o 上一点A,作弦AB 、AC 、分别等于该圆的半径R ，连结BC ，则点O 到BC 的距离=_______，BC=_______。

21.如图7-7，在⊙O 中，弦AB=2a ，点C 是弧AB 的中点，CD ⊥AB,CD=b,则⊙O 的半径R=______.

22.如图7-8，ABCD 是⊙O 1的内接矩形，边AB 平行y 轴，且AB ∶BC=3∶4，已知⊙O 1 的半径为5，圆心O 1的坐标是（10，10），矩形四个顶点A 、B 、C 、D 的坐标是A______;B______;C______;D_______.

23.在⊙O 中，弦AB=40厘米，CD=48厘米，且AB ∥CD,AB 与CD 距离是22厘米，则圆的半径为_______厘米

24.四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥BC,对角线AC 、BD 相交于点E.求证：OE 平分∠BEC.

25.如图7-9，在⊙O 中，已待AC=BD.求证：（1）OC=OD; （2）??=BF AE

26. ⊙O 1与⊙O 2相交于点A 、B ，过点B 作CD ∥O 1O 2 ,分别交两圆于点C 、D.求证:CD= 2O 1O 2

27.如图7-10，⊙O 1、⊙O 2是两个等圆，点P 是O 1O 2的中点，过点P 的直线交⊙O 1、⊙O 2于点A 、B 、C 、D 。求证：AB=CD.

28.如图7-11，⊙O 的半径为5，P 是圆外一点，PO=8，∠OPA=30O ,求AB 、PB 的长。

29.如图7-12，圆管内，原有积水平面宽CD=10厘米，水深GF=1厘米，后水面上升1厘米（即EG=1厘米），问：些时水面宽AB 为多少?

30.在⊙O 的弦AB 上取AC=BD ，过点C 、D 分别作AB 的垂线CE 、DF 交圆于点E 、F ，并使E 、F 在AB

的同旁。

3

求证：CE=DF.

31.如图7-13，在⊙O 的直径MN 上任取一点P ，过点P 作弦AC 、BD ，使∠APN=∠BPN.求证：PA=PB.

32.AB 、CD 是⊙O 的两条相交于点P 的弦，且AB=CD ，又点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，求证:△PEF 是等腰三角形。

33.如图7-14，AB 是半圆O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD,BF ⊥CD,点E 、F 是垂足，若BF 交半圆于点G ，求证：（1）EC=FD;(2)?

?

=DG AC

34.如图7-15，在△ABC 中，AB=AC ，以点A 为圆心、小于AB 长的线段为半径作圆交BC 于D 、E 两点（但半径必须大于BC 边上的高）。求证:BD=EC.

35.如图7-16，已知在⊙O 中,?

?

=CD AB ,BA 、DC 延长后相交于点E ，求证：（1）OE 平分∠BED;(2)EA=EC. 36.如图7-17，AB 是⊙O 的直径，割线l 交⊙O 于点M 和N ，AC ⊥l ,且交⊙O 于点E ，BD ⊥l ,点C 、D 是垂足。（1）求证：OC=OD; (2)若AB=10厘米，AC=7厘米，BD=1厘米，求OC 的长。 37.点P 是⊙O 外一点，PAB 、PCD 分别交⊙O 于点A 、B 和点C 、D,求证:(1)若AB=CD,则PA=PC ；（2）若PA=PC ，则AB=CD.

38.如图7-18，AB 为⊙O 的弦，取AG=BH,∠DGB=∠FHA,求证：CD=EF.

39.如图7-19，⊙O 半径为10厘米，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过G 点，CD=16厘米，过点A 和点B 分别向CD 引垂线段AE 和BF.问：AE-BF 是多少？ 40.AB 为⊙O 的弦，C 、D 在AB 上，且AC=CD=DB,OC 与OD 的延长线分别交⊙O 于点E 、F.求证：（1）∠AOC=∠BOF; (2) ∠COD>∠AOC; (3)?

?

?

<=EF

BF AE

41.如图7-20，点B 、C 三等分半圆直径EF ，点A 在这个半圆上。求证：AB+AC ≤

3

10

EF.

42.如图7-21，已知⊙O 内两条弦AB 、DC 的延长相交于点P,且∠P=90O .求证：S △OAD =S △OBC .

圆心角、圆周角

43.如图7-22，设⊙O 的半径的为R,且AB=AC=R,则∠BAC=_______.

44.如图7-23，AB 为⊙O 的弦，∠OAB=75O ,则此弦所对的优弧是圆周的______。

4 45.如图7-24，（1）∠α=_______；（2）∠α=_______。

46.如图7-25，在△ABC 中，∠C 是直角，∠A=32O 18’ ，以点C 为圆心、BC 为半径作圆，交AB 于点D,交AC 于点E,则?BD 的度数是______。

47.如图7-26，点O 是△ABC 的外心，已知∠ACB=100O ,则劣弧?AB 所对的∠AOB=______度。

48.如图7-27，AB 是⊙O 的直径，CD 与AB 相交于点E, ∠ACD=60O , ∠ADC=50O ,则∠AEC=______度。

49.如图7-28，以等腰△ABC 的边AB 为直径的半圆，分别交AC 、BC 于点D 、E,若AB=10, ∠OAE=30O ,则

DE=______。

50.在锐角△ABC 中，∠A=50O ,若点O 为外心，则∠BOC=_____;若点I 为内心，则∠BIC=______；若点H 为垂心，则∠BHC=________.

51.若△ABC 内接于⊙O ，∠A=n O ,则∠BOC=_______.

52.如图7-29，已知AB 和CD 是⊙O 相交的两条直径，连AD 、CB ，那么α和β的关系是（ ）

(A)α=β (B) β>21α (C) β<2

1α (D) β=2α 53.如图7-30，在⊙O 中，弦AC 、BD 交于点E ，且???==CD BC AB ，若∠BEC=130O ,则∠ACD 的度数为（ ）

(A) 15O (B) 30O (C)80O (D)105O

54.如图7-31，AB 为半圆的直径，AD ⊥AB,点C 为半圆上一点，CD ⊥AD,若CD=2,AD=3,求AB 的长。

55.如图7-32，AO ⊥BO,AO 交⊙O 于点D ，AB 交⊙O 于点C, ∠A=27O ,试用多种方法求?DC 、?BC 的度数。

5 56.求证：如果AB 和CD 为⊙O 内互相垂直的两条弦，那么∠AOC 和∠BOD 互补。

57.如图7-33，设AB 是⊙O 的任意直径，取AO 上一点C,若以点C 为圆心，OC 为半径的圆与⊙O 相交于点D,DC 的延长线与⊙O 相交于点E,求证：?

?=AD BE 3.

58.如图7-34，AB 为⊙O 的直径，OC ⊥AB,过点C 任引弦CD 、CE 分别交AB 于点F 、G 。求证：△CED ∽△CFG.

59.如图7-35，设点P 是⊙O 的直径AB 上的一点，在AB 的同侧由点P 到圆上作两条线段PQ 、PR ，若∠APQ=∠BPR.求证：△APQ ∽△RPB.

60.如图7-36，在△ABC 的外接圆中，若∠B 、∠C 所对弧的中点分别为点P 、Q.求证：直线PQ 与AB 、AC 相交成等腰△ADE;若△ADE 为等边三角形，求证：弧?BC 的长等于该圆周长的三分之一。

61.如图7-37，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB,AD 、DB 是方程x 2-5x+4=0的两个根，求CD 的长。

62.已知A 、B 、C 为圆上三点，?AB ∶?BC ∶?CA =3∶2∶1,BC=5厘米，求弦AB 、AC 的长。

63.已知AB 是⊙O 的直径，C 为半圆上一点，连CA 、CB,M 为AB 上的点，且MB=3,过点M 作MN ⊥AB,交BC 于点N,MN=3,BC=73,求⊙O 的半径。

64.如图7-38，AB 是⊙O 的直径，D 是?AB 的中点，CD 交AB 于点E ，（！）求证：AD 2=CD ?DE; (2)若AC=6,BC=3,求BE 的长。

65.如图7-39，△ABC 的高AD 、BE 交于点M ，延长AD ，交△ABC 外接圆于点G,求证：D 为GM 的中点。

66.如图7-40，以AB 为直径的半圆上任取两点M 和C,过点M 作MN ⊥AB,交AC 延长线于点E,交BC 于点F.求证：MN 是NF 和NE 的比例中项。

67.如图7-41，△ABC 为圆内接三角形，AP 为直径，H 为垂心，求证：∠BHC= ∠BPC.

68. △ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC,垂足为H,AD 平分∠BAC ，D 在圆上，求证：AD 平分∠HAO.

69.AB 、AC 、AD 是同一圆O 的三条弦，且AC 平分∠BAD,自点C 向AB 、AD 作垂线，垂足分别为E 、F.求证：DF=BE.

70.已知AB 是⊙O 的直径，OC 是垂直于AB 的半径，过?AC 上一点P 作弦PE,分别交OC 和?BC 于点D 、E,若PO=PD,求证：∠AOP=3

1∠

BOE.

6 71.C 是⊙O 的直径AB 上的一点，过点C 作弦DE,使CD=CO.求证：??=AD BE 3.

72.已知AB 是⊙O 的直径，P 是OA 上的一点，C 是⊙O 上一点，求证：PA

73.如图7-42，在⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，过点C 任作两条弦CF 、CE,交AB 于点H 、G ，求证：GH

CG EF CF =. 74.如图7-43，在△ABC 中，∠A=90O ,AD ⊥BC,BE 平分∠ABC,由A 、D 、E 三点确定的圆，交BE 于点M,求证：BM=MD=FM.

75.如图7-44，已知⊙O 与⊙O 1相交于点A 、B ，点P 是⊙O 上的一点，引割线PAC 、PBD ，交⊙O 1 于点C 、D ，连结CD 。（1）作PE ⊥CD,求证：PE 必过⊙O 的圆心O ；（2）连结PO ，求证：PO 必垂直于CD.

76.如图7-45，两圆相交于点A 、B ，过点A 引割线ACD ，交一圆于点C,另一圆于点D,又点G 为CD 的中点，直线GB 义两圆于点E 、F.求证：四边形EDFC 是平行四边形。

77.如图7-46，设AB 是⊙O 上的两定点，且不是直径的两端点，若过点A 的任意弦AC 与过A 、B 、O 三点的圆相交于点P.求证：PB=PC.

78.设为90O 的弧，点B 、C 将三等分，连AD 与半径OB 、OC 分别交于点E 、F.求证：AE=DF=BC

79.证明下列各题：

(1)已知△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BD 于点D ，AE 是直径，求证：AB ?AC=AD ?AE;

(2)已知△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于点D,交⊙O 于点E,求证：AB ?AC=AD ?AE;

(3)已知△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，过点A 的任一弦AE 交BC 于点D,求证：

AB ?AC=AD ?AE

80.设锐角△ABC 的各顶点向对边作垂线AD 、BE 、CF ，垂足分别为点D 、E 、F,并延长AD 、BE 、CF 各△ABC 的外接圆分别交于点P 、Q 、R.求证：△ABC 的垂心是△PQR 的内心。

81.在△ABC 中，AB=AC,过A 点直线与△ABC 外接圆交于点E,与BC 的延长线交于点D 。求证：AD 2-AC 2=AD ?ED

82.如图7-47，已知⊙O 的直径AB 垂直弦CD,垂足为G,F 为CD 延长线上的一点，AF 交⊙O 于点E 。求证：AC 2=AE ?AF

83.如图7-48，AB 是⊙O 的直径，半径OC ⊥AB,D 为

上任一点，E 为BD 弦上一点，且AD=BE.求证：△CDE 为等腰直角三角形。

84.如图7-49，等边△ABC 的外接圆上任一点P ，CP 的延长和AB 的延长线交于点D ，求证：（1）∠D=∠

CBP;

7 (2)AC 2=CP ?CD

85. ⊙O 的直径BE 与弦AC 互相垂直，垂足为点F,延长AB 到点D,使BD=AB,已知BE=20厘米，AB=11厘米，求CD 的长。

86.如图7-50，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD,垂足为点E ，∶ =3∶1，

DF 交AC 于点G,且AF ?AB=AG ?AE,BE=2,ED=3,(1)求证：△AFG ≌△DFB;(2)求：S 四边形ABCD 的值；（3）求sin∠ADC 的值

87.点P 为正方形ABCD 的外接圆上的任意一点，连结PA 、PB 、PC.求证：PB

PC PA +的值为常数。 88.如图7-51，六边形AGBHCK 内接于⊙O ，⊙I 内切于△ABC ，点D 、E 、F 为⊙I 与△ABC 各边相切的切点，

若∠EDF=65O , ∠DEF=60O ,求∠G 、∠H 、∠K 的度数。

89.如图7-52，△ABC 内接于⊙O ，∠BAD=∠CAD,DE ∥AB,DE 交AC 于点P 。求证：（1）OD 垂直平分BC; (2)AC=DE;

(3)PO 平分∠APD.

90.AB 是⊙O 的直径，CD 是此圆内长度一定的动弦，自点A 、B 分别向CD 所在的直线作垂线AH 、BK 、H 、K 为垂足。（1）若点C 、D 在AB 的同旁，问：AH + BK 的值会变化吗？为什么？（2）若C 、D 在AB 的两侧，问：BK AH -的值也会变化吗？并证明你的结论。

91.已知以AB 为直径的半圆上有C 、D 两点，∠DCB=120O , ∠ADC=105O ,CD=1.试求四边形ABCD 的面积。

92.已知AB 、CD 为圆O 的两条互相垂直的直径，P 为半圆上的一点，求证：

S 四边形ADPC =2

1AP 2 圆的内接四边形

93.圆上四点，A 、B 、C 、D 分圆周为四段弧，:::=1:2:3:4,则圆内接四边形的最大内角为______。

94.在锐角△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，在该图中，四点共圆共有_______组。

95.如图7-53，四边形ABCD 是正方形，点P 是AC 上的任一点，过点P 作EF ∥BC,交AB 、CD 于点E 、F,过点P 作GH ∥AB,交BC 、AD 于点G 、H.在该图中，四点共圆共有_______组。

96.如图7-54，在梯形ABCD 中，AB ∥DC,AD=DC=BC, ∠ADC=138O,E 是梯形外一点，若点E 在梯形ABCD 的外接圆上，则∠AEB=________

97.如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点E 、F 。求证：A 、

D 、

E 、

F 四点共圆。

98.在△ABC 中，∠A=60O ，BD 、CE 是∠ABC 、∠ACB 的平分线，它们相交于点I 。求证：A 、E 、I 、D 四点共圆。

99.在梯形ABCD 中，DC ∥AB,过DC 作圆，交BC 于点E,交AD 于点F ，求证：A 、B 、E 、F 四点共圆。 100.如图7-56，在△ABC 中，AD=AE,BE 与CD 交于点P,DP=EP,求证：B 、C 、E 、D 四点共圆。

101.从圆内接四边形ABCD 的顶点C ，作对角线BD 的平行线，交AD 的延长线于点E ，求证：DE ?AB=BC ?

CD.

8 102.证明：钝角三角形三边中点与夹钝角一边上的高的垂足共圆。

103.如图7-57，在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC, ∠1=∠2=∠3,CE 交AB 于点G,连GF.求证：（1）G 、F 、C 、B 四点共圆；（2）GF ∥BE.

104.如图7-58，在△ABC 中，∠C=90O,BD 是∠CBA 的平分线，BE 为△ABD 外接圆的直径，求证：BE BD DA CD .

105.在△ABC 中，AD ⊥BC,点O 在AD 上，以点O 为圆心、OA 为半径的圆交AB 、AC 于点F 、E.求证：F 、B 、C 、E 四点共圆。

106.在四边形ABCD 中，AC ⊥BD,AC 与BD 相交于O,OM ⊥AB,ON ⊥BC,OP ⊥DC,OQ ⊥AD

求证：M 、N 、P 、Q 四点共圆。

107.如图7-59，在ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，EC ⊥BC,EF ⊥AB,又FG 交DC 的延长线于点H.求证：E 、G 、H 、D 四点在同一个圆上。

108.如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E 。

求证：E 、F 、C 、B 四点共圆。

109.如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD,点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为上任上点，连EF 交AB 于点G.求证：P 、G 、E 、D 四点共圆。

110.如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC,BM=MC,过M 、C 任作一圆，与AC 交于点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE.

111.如图7－63，在ABCD 的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、BC 的公垂

线FM 。求证：EF//GM.

112.如图7－64，P △ABC 外接圆一任意一点，点P 到△ABC 三边的垂足分别为D 、E 、F 三点成一直线。 113．如图7-65，在ABCD 中，过D 、B 两点作一圆，交平行四边形四条边(或它们的延长线)于点E 、F 、G 、H ．求证：EF//GH.

114．如图7-66，四边形ABC0是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证：EF//BC. 115．如图7-67，AB 为半圆的直径，弦AC 、BD 相交于点H ，HP ⊥AB.求证：∠1＝∠2．

116．在锐角△ABC 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ．求证：点H 是△DEF 的内心。

9 117．如图7－68，四边形ABCD 是正方形，点E 为BC 上的任一点，AE ⊥EF ，EF 交∠BCD 的外角平分线于点F ．求证：EA=EF.

118．在△ABC 中，∠BAC ＝90O ，又四边形BCDE 是正方形，它的中心为点O ，连结OA ．求证：OA 平分∠BAC ． 119．四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD ，点M 是月BC 的中点．求证：OM ＝2

1AD ． 120．圆内接四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点P ，求证：(1)PB

?AC ＝PC ?BD ；(2)点P 到AD 的距离与点P 到BC 的距离之比等于AD:BC.

121.如图7-69，已知AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，CE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AB 于点F,DG ⊥OC 于

点G 。求证：CE=GF.

122. ⊙O 中弦AB//CD ，M 为CD 中点，BM 延长相交⊙O 于点E.求证：A 、E 、M 、O 四点共圆。

123.四边形ABCD 内接于圆，AD 、BC 的延长线相交于点E ，BA 、CD 的延长线相交于点F, ∠E 、∠F 的平分线

交AB 、CD 、BC 、AD 于点G 、M 、H 、N,连结GH 、HM 、MN 、NG.求证:四边形GHMN 是菱形。

124.如图7－70，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F 。求证：（1）

A 、D 、E 、F 四点共圆；（2）A

B 2=BE ?BD-AE ?AC.

125.四边形ABCD 内接于圆O,AB=4,CD=2,且∠A ＝90O , ∠B=60O .求：（1）AD 及BC 的长；（2）四边形ABCD 的

面积。

126.如图7-71，△ABC 内接于圆O ，AB=AC, ∠A=30O 。圆O 的半径为10厘米，又弦KN//BC,交AB 、AC 于点

L 、M ，且KL=LM=MN.求弦KN 的长。

直线和圆的位置关系：

127.在直角△ABO 中，∠AOB=90O ，OC ⊥AB,垂足为点C,已知OA ＝43，OB=26,那么以点O 为圆心、4为

半径的圆与AB 这条直线的位置关系是______.

128.在Rt △ABC 中，∠C=90O ,AC=5,AB=13.

(1)以点A 为圆心、4为半径的圆A 与直线BC 的位置关系是_____;

(2)以点B 为圆心、以AB 的长为半径的圆B 与直线AC 的位置关系是_____;

(3)以点C 为圆心，当半径为______时，圆C 与直线AB 相切。

129.⊙O 的半径是6，⊙O 的一条弦AB 长为63，以3为半径的同心圆，与AB 的位置关系是_______. 130.⊙O 的直径是8，直线l 和⊙O 相交，圆心O 到直线l 的距离是d ，则d 应满足________.

131.⊙O 的半径为r ，⊙O 的一条弦AB 长也等于r ，则以O 为圆心、2

3r 为半径的圆与AB 的位置关系是______。 132.如图7－72，在△ABC 中，∠C=90O , ∠A=30O ,点O 为AB 上的一点，BO=m, ⊙O

的半径r 为2

1，当m 在什么范围内取值时，BC 与⊙O 相离？相切？相交？ 133.已知∠BAC ＝30O ，点D 是AC 边上的一点，AD=5,则以点D 为圆心，且与射线AB 相交两点的圆半径R

的

10 取值范围怎样？

134.在△ABC 中，AB=4厘米，AC=3厘米，∠BAC ＝60O ，AD 为∠BAC 的平分线，试问：以点D 为圆心、R 为半

径的圆，当R 满足什么条件时，⊙D 与AB 相交？相切？相离？此时⊙D 与边AC 又有怎样的位置关系？

135.已知⊙O 外一点P ，若⊙O 的半径为R ，PO=2R ，又过点P 作一射线PA ，且∠APO=30O ，则PA 与⊙O 的位

置关系怎样？为什么？

136.已知某圆的半径等于5厘米，圆心到三条直线的距离分别是3厘米、5厘米和7厘米，那么这三条直线

与该圆的交点一共有多少个？为什么？

圆的切线

137.如图7－73，在⊙O 中，AO 为半径，AB 为弦，BC 为切线，且OA ＝AB=BC,则弧BD 的度数为_____；弧DE

的度数为_______.

138.如图7－74，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B,BD ⊥AP,BD 交弧AB 于点C, ∠CAD=25O ,则∠P 的度数为_______. 139.如图7－75，AB 为⊙O 的直径，∠PAB=45O , ∠ABC=75O ,TC 为⊙O 的切线，则∠TCP=_____,弧AP ∶弧

PC=_______.

140.如图7-76，直线MN 切⊙O 于点T ，AB//MN,弧AT=2弧AB ，则∠MTB=_______,

∠ATB=________.

141.如图7-77，在Rt △ABC 中，∠C ＝90O ,AC=3,BC=5,以点A 为圆心、1为半径作⊙A ，又BD 切⊙A 于点D ，

则切线BD 的长是_______.

142.如图7－78，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于点A 、B 、C,若PO=13厘米，⊙O 的半径r=5厘米，则△PDE 周长

为______;若∠APB=50O ,则∠DOE=_____.

143.如图7－79，直线AB 切⊙O 于点C ，DE 是⊙O 的直径，EF ⊥AB,垂足为F ，DC 的延长线与EG 的延长线交

于点G ，若∠G ＝56O ,则∠E ＝______.

144. 在△ABC 中，∠C ＝90O ，半圆直径MN 在AB 上，半圆分别与AC 切于点D ，与BC 切于点E,已知AC ＝12

厘米，BC=16厘米，则半圆的直径MN ＝_____

145.如图7－80，在⊙O 中，过弦AB 的端点A 和B 分别作⊙O 切线AP 和BQ,在弧AB 上取一点M,作MC//AP,

交AB 于点C,MD//BQ,交AB 于点D,若AC=4厘米，BD=5厘米，则MC ＝________.

146.如图7－81，⊙O 的直径等于8，OA ⊥OB,OC 是AB 边上的高，OA=45,OB=25. 求证：AB 与⊙O 相切。 147.在△ABC 中，AD 是底边BC 上的高，且等于BC 的一半，求证：以中位线EF 为直径作半圆，必与BC 相

同。

11 148.已知A 是⊙O 外的一点，OA 交⊙O 于点C ，过⊙O 上一点P 作弦PE ⊥OA,垂足为E ，且∠EPC=∠CPA.求证：

PA 是⊙O 的切线。

149.已知AB 是⊙O 的弦，BF 与⊙O 相切于点B ，OE ⊥AB,E 是垂足，延长OE 交FB 的延长线于M 点，连结AM 。

求证：MA 是⊙O 的切线。

150.圆O 1的半径为4厘米，圆O 2的半径为3厘米，这两个圆相交于A 、B 两点，且圆心距为5厘米。求证：

过A 点与圆O 1相切的直线必经过O 2点。

151.如图7－82，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90O ，AC ＝BC ，点D 是三角形内一点，且∠ADC ＝135O .求证:AB 是

△ADC 外接圆的切线。

152.PA 切半圆于点A ，割线PBC 过圆心O,AD ⊥BC,垂足为点D.求证：CP

OP CD OB . 153. 在△ABC 中，AB=28,BC=26,CA=30,半圆O 切AC 、BC 于点D 、E,点O 在AB 上。求半圆的半径r. 154.如图7－83，DA ⊥AB,AB 是半圆的直径，E 是AD 的中点，BD 交半圆于点C 。若CE=

1323,BC=4,求OE 的长。

155.AB 是半圆O 的直径，点C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，DE ⊥AB,点E 是垂足。已知BE=51AB,AE=5

4AB,CD=2,求BC 的长。 156.如图7－84，过△ABC 的两顶点B 、C 的圆与AB 、AC 分别交于点M 、N,又EF 切△ABC 的外接圆于点A 。

求证：EF//MN.

157.如图7－85，⊙O 和⊙O 1相交于点A 、B 两点，且∠ABC ＝∠ABD ，AB 2=BC ?BD.求证：AC 是⊙O 的切线。 158.如图7－86，在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90O ，AB ＝BC,沿∠C 的平分线CF 对称，使点B 落在AC 边上

的E 点。求证：以EF 为直径的圆必与AC 相切于点E.

159.如图7－87，在Rt △AOB 中，∠AOB=90O ,AO=BO,点D 在AB 上，且BD=BO,又点M 是AB 的中点，以点O 为

圆心，OM 为半径作⊙O ，交OA 于点E.求证：AB 和DE 都是⊙O 的切线。

160.如图7－88，△ABC 内接于⊙O ，点P 为弧BC 的中点，AP 交BC 于点D,EF 切⊙O 于点A,BE//PA 1交EF 于

点E,连结ED 。求证：∠ABC=∠AED.

161.如图7－89，在△ABC 中∠A 的内、外角平分线AE 、AF 分别交直线BC 及延长于点E 、F ，又过点A 作△ABC

的外接圆O 的切线，交BC 于点D.求证：DF=DE.

162.PA 、PB 是⊙O 的切线，AC 是⊙O 的直径，OP 交AB 于点D,且AC ＝4，PD=3.求BC 的长。

163.如图7－90，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90O ,以点O 为圆心作圆，切斜边AB 于点C ，又AD 、BE 是⊙O

的切线，切⊙O 于点D 、E 。求证：D 、O 、E 三点在一条直线上。

12 164.如图7－91，AB 是⊙O 的直径，C 是圆上一点，过C 点的切线与过A 、B 两点的切线分别交于E 、F 两点，

AF 、BE 相交于P 点。求证：CP//AE.

165.如图7－92，AB 是⊙O 的直径，BP 切⊙O 于点B ，⊙O 的弦AC 平行于OP 。(1)求证：PC 是⊙O 的切线；

(2)如果切线PC 和BA 的延长线相交于点D ，且DA 等于⊙O 的半径，求证：OP

AC DP PB =. 166.如图7－93，AB 是⊙O 的直径，AB=AC,DE ⊥AC,连BE 交⊙O 于点F 。求证：(1)DE 为⊙O 的切线；

(2)AE?EC=BE?EF.

167.如图7－94，AT 切⊙O 于点T ，CB 为⊙O 直径，∠BCT=30O ,CT=3，求BC 、AC 、S △ABT .

168.如图7－95，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点E,连结CE ，过点D

作⊙O 的切线交AB 于点M.求证：(1)DM//CE; (2) DC 2=AC?BM.

169.如图7－96⊙O 的半径为5，10=OP ,PM 为⊙O 的切线，切点为M 。求(1)切点M 的坐标；（2）MA 的长。 170.O 是正方形ABCD 一边BC 的中点，AP 与以点O 为圆心、OB 为半径的半圆切于T 点，求AT ∶TP 的值。

171.在△ABC 中，∠C ＝90O ，⊙O 分别切AC 、BC 于点M 、N,圆心O 在AB 上，且AO ＝15厘米，BO=20厘米，

求⊙O 的面积。

172.如图7－97，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC,过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长于点D ，又DE ⊥AB 于点E 。求

证：CD=2BE.

173.如图7－98，AB 是⊙O 的直径，点C 是BA 延长线上的一点，CD 切⊙O 于点D ，∠BCD 的平分线交BD 于

点E ，又CA ＝1，CD 是⊙O 半径的3倍，求DE 和EB 的长。

174.如图7－99，CD 切⊙O 于点D ，CA 是过圆心O 的割线，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点E,DE=

2

1EC.求证：CA=3CD.

175.如图7-100，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是∠A 的平分线，AD 的延长线交⊙O 于点M ，过点M 作PQ//BC,分别交AB 、AC 的延长线于点P 、Q.求证：(1)PQ 是⊙O 的切线；(2)QC

QM PB PM =. 176.如图7－101，⊙O 在∠ACB 内部，且切CA 于点T ，OH ⊥CB ，点H 为垂足，又HP 切⊙O 于点P

。求证：

13 CT 2=CH 2+HP 2

177.如图7－102，PB 、PC 切⊙O 于点B 、C ，作直径BA 并延长与PC 的延长线相交于点D ，若弧BC 为120O ，

求证：(1)AC=AD; (2)PO 等于⊙O 的直径。

178.AB 为半圆O 的直径，DA ⊥AB,CB ⊥AB,垂足为点A 、B ，DC 切⊙O 于点E,又点F 是DC 的中点，如果AD ＝

13厘米，BC=25厘米，求EF 和ABR 长度。

179.如图7－103，BD 、CE 分别是△ABC 两边AC 、AB 上的高，O 是△ABC 的外心，求证：OA ⊥DE.

180.如图7－104，弦CD 平行于直径AB ，BE 切⊙O 于点B ，交AD 的延长线于点E ，EF ⊥AC,F 为垂足。求证：

FC=AC.

181.如图：7－105，直线AF 切△ABC 外接圆O 于点A ，交△ABC 的高CE 的延长线于点F ，BD ⊥AC.求证：

AD ∶DC=EF ∶EC.

182.如图7－106，由正方形ABCD 的顶点A 引一条直线，与BD 、CD 及BC 的延长线分别交于点E 、F 、G 。求

证：CE 和△CGF 的外接圆O 相切。

183.如图7－107，直线DF 平分△ABC 中∠A 的外角，交△ABC 外接圆于点E ，FB 为△ABC 外接圆的切线。求

证：AD ?EF=BF ?DC.

184.如图7－108，AB 为⊙O 的直径，AD 是切线，FB 和DB 是割线。求证:BE?BF=CB?DB

185.如图7－109，C 是⊙O 直径AB 上一点，D 在⊙O 上，DC ⊥AB,DF 切⊙O 于点D ，CE ⊥DF 于点E ，求证：

AB ?CE=AC ?BC + DC 2 .

186.在Rt △ABC 中，∠A ＝90O ，以AB 为直径作半圆交BC 于点D,过点D 作半圆的切线交AC 于点E 。求证：

(1)AE=CE; (2) CD?CB=4DE 2 .

187.PA 为⊙O 的切线，A 是切点，PBC 为割线，E 是AB 的中点，PE 的延长线交AC 于点F.求证：FC

AF PC PA 22 188.如图7－110，直线L 在⊙O 外，过圆心作OA ⊥L ，A 为垂足，过点A 作割线交⊙O 于点B 、C ，过B 、C

两点作⊙O 的切线，交L 于点E 、F 。求证：AE=AF.

189.如图7－111，CD 为半圆O 的直径，P 为半圆外一点，PA 、PB 切半圆O 于点A 、B ，AC 与BD 相交于点E ，

PC 交半圆于点F 。求证：(1) △BPE∽△BOC; (2)PE 2=PF?PC .

190.如图7－112，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线交于点C,过点C 作

AB 的垂线交AD 的延长线于点E ，已知AB=5厘米，AD=4厘米。（1）求BD 的长；（2）求证：△CDE

是等

14 腰三角形；（3）求△CDE 的面积。

191.如图7－113，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD(AB>CD),AD=BC,以AD 为直径的⊙O 交AB 于点E ，⊙O 的切

线EF 交BC 于点F ，且cosA=53。(1)求证：△ADE ∽△BEF; (2)当7

3 AB DC 时，求证△BEF 的面积与△ADE 的面积的比值；(3)当DC 与AB 两底长满足什么关系时，DF 与⊙O 相切？

192.已知OA 、OB 是⊙O 的两条互相垂直的半径，过弧AB 上的任一点M 作⊙O 的切线，分别交OA 、OB 的延

长线于点S 、T ；又MP ⊥OS,P 为垂足，求证：△AOB 的面积是△MOP 的面积与△SOT 面积的比例中项。 三角形的内切圆

193.一个直角三角形的斜边为10厘米，内切圆半径为1厘米，则这个三角形的周长是_______。 194.如图7－114，⊙O 是△ABC 内切圆，⊙O 1与BC 相切且与AB 、AC 的延长线分别切于P 、Q 两点，若∠APQ

＝70O ，则∠A ＝_____; ∠BOC=_______; 若BC=7厘米，AC ＝8厘米，AB ＝5厘米，则AP=_____.

195.等腰梯形ABCD 外切于⊙O ，AD ＝3厘米，BC ＝7厘米，则⊙O 的直径为____厘米。

196.如图7－115，在⊙O 的外切四边形ABCD 中，若AB ＝4，BC=5,CD=3,则S △BOC :S △COD : S △AOD :S △AOB =_______

197.半径是r 的圆外切正三角形的边长与它的内接正方形边长的比值是______.

198.在△ABC 中，AB=AC=39,BC=30,则内切的直径为______.

199.已知圆的半径为R ，那么这个圆的内接正三角形的内切圆半径为______.

200.在圆的外切四边形ABCD 中，AB=(m+n),CD=(m-n)2,则AD+BC 用m 、n 可表示为______.

201.已知直角三角形的斜边和一条直角边的比为25 ：7，它的内切圆的半径r=1.2厘米，则这个直角三角

形各边长分别为______.

202.已知半圆的圆心O 在Rt △ABC 的斜边BC 上，且半圆分别与AB 、AC 切于D 、E,AB=4，AC=5，则半圆半径

R ＝_______.

203.如图7－116，在△ABC 中，AB ＝20厘米，BC ＝22厘米，AC ＝14厘米，⊙O 为△ABC 内切圆，切各边于

点F 、D 、E ，又直线MN 切⊙O 于点G ，分别交AB 和BC 于点M 、N ，则△BMN 的周长为_____厘米。 204.三角形内切圆与三边的切点分圆为10:9:5的三条弧，则这个三角形最小角的余切等于_______。 205．△ABC 的内切圆切各边于点D 、E 、F,则△ABC 必定是_________三角形。

206.三角形的内心是以各边与内切圆的切点为顶点的三角形的______（填:外心、内心、重心、垂心） 207.三角形的垂心是这个三角形三条高的垂足所成三角形的_______(填：外心、内心、重心、垂心

)

15 208. △ABC 的内切圆被三个切点分成三段弧，在每段弧上取一点，分别过这些点作内切圆的切线，截原三

角形得三个小三角形，设这三个小三角形的周长分别为p 1、p 2、p 3 ，则△ABC 的周长为________.

209.在△ABC 中，∠A ＝60O ，内切圆I 在BC 边上的切点分BC 为2和5两段，则AB 和AC 的长分别为________. 210.如果O 是△ABC 内一点，且△OAB 、△OBC 、△OCA 的面积比为AB:BC:CA,那么O 是△ABC 的______（填：

外心、内心、重心、垂心)

211.在△ABC 中，∠A ＝60O ，内切圆I 在BC 边上的切点为D,若BD=2,DC=5，则AB 和AC 的长分别为________ 212.直角三角形两条直角边为m 和n ，它的外接圆直径为P ，内切圆直径为q ，则m 、n 、p 、q 之间的关系

为 .

213如图7－117，在⊙O 的外切直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠A ＝90，E 、F 、G 、H 分别为各边上的切点，

若CD ＝4厘米，AB ＝8厘米，则内切圆直径是( )．

214.如图7－118，⊙O 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆，EF 切①O 于P 点，交AB 、BC 于点E 、F ，则△

BEF 的周长是 ．

215.等腰三角形的腰被内切圆的切点分为7：5(由顶点开始)两部分，求腰与底边之比．

216.已知点P 为⊙O 外的一点，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，OP 与AB 交于点C ，⊙O 的半径为3厘米，∠APB

＝60O ，求OP 、PA 、AB 、AC 、OC 和CP 的长.又设PO 交⊙O 于点E ，问：点E 是△ABC 的什么“心”?

217.已知等腰梯形两底之和为10厘米，两底之差为6厘米，且有内切圆，用两种方法求内切圆的半径． 218.在Rt △ABC 中，C=90，内切圆I 切AB 于点D ．求证:S △ABC =AD ·BD ．

219.四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，AD//BC ，⊙O 切AD 、BC 于点M 、N ．求证：AM ·BN=DN ·CN ． 220.在△ABC 中，AB=AC ，点I 是内心．求证：AB 、AC 都与△IBC 的外接圆相切．

221.如图7－119，点I 是△ABC 的内心，过点I 且垂直于AI 的直线交AB 、AC 于点D 、E.求证：BID ＝C ． 222．等腰△ABC ，腰长为10厘米，底边长为12厘米，求三角形内切圆的半径．

223.如图7-120，已知一等腰直角三角形的外接圆和内切圆半径分别为R 和r ，求斜边AB 和直角边AC 的长． 224.⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C=9O ，三边分别为a 、b 、c ，求(1)内切圆半r ；(2)外接圆半径R(3)若三边分别为6、8、10，则r 、R 各等于多少?

225.圆的半径为5厘米，它的外切四边形的面积为120cm 2并且四边形的三边依次为1：2：3，求这四边形各

边的长．

226．⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，⊙O 的面积是3π厘米，梯形ABCD 的中位线长

是3.8厘米，且∠B ＝60，求梯形ABCD 的两腰AB 、CD 的长．

227．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，⊙O 内切于梯形ABCD ，AD ＝12-,

BC ＝2+1，求(1)AB 的长；(2)内切圆半径r ．

228．在△ABC 中，∠C ＝90O

，内切圆I 与AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F ，若⊙I 的半径为r ，BE=n ，试用

r 和n 表示△ABC 的面积得____．

229．已知△ABC 三边长为6、8、10，则它的内心、外心间的距离为___；若三边长为5、5、8，则内心、外

心间的距离为_____;内心、重心间的距离为___，外心与重心

间的距离为______．

16 230．△ABC 的外心在AB 上，且△ABC 是直角三角形，△ABC 的周长为30厘米，重心G 离C 点的距离为44

1

厘米，求△ABC 重心G 到AB 边的距离．

231．若斜边为13的直角三角形的两条直角边分别是一元二次方程x 2－(m －1)x+3(m+2)＝0的两根，求(1)m

的值； (2)直角三角形内切圆的面积．

232．如图7-121，△ABC 的面积是103，∠A ＝60O

，AB ∶ AC ＝5∶2，求这个三角形内切圆半径r (用最简根式表示)．

233．已知等腰三角形的顶角为120O ，它的内切圆的周长为12π，求这三角形的周长与面积．

234．如图7-122，等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝5，内切圆的两腰上两切点间的距离EF 为2.4，求(1)BC 的

长；(2)S △ABC ．

235．△ABC 的内切圆切AC 于点E ，且AE ＝2厘米，EC=5厘米，已知∠B ＝2

1(∠A+∠C)，求(1)AB 与BC 的长；(2)内切圆面积.

236.如图7-123，⊙I 为△ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，∠A ＝62O ，求(1)∠BIC (2)∠DIE ；(3)若BG 、

CG 分别为∠B 、∠C 的外角平分线，求∠BGC ．

237．如图7-124，△ABC 的内切圆O ，切各边于点D 、E 、F ，MN 切⊙O 于点P ，且MN ∥BC ，AB ＝15，BC=14，

AC=13，求(1)△AMN 周长；(2)MN 之长．

238．⊙O 是任意三角形ABC 的内切圆，三边分别为a 、b 、c ，且三角形面积为S ，求(1)内切圆半径r ；(2)

外接圆半径R ；(3)若a ＝17，b ＝21,c ＝10，S ＝84，问：r 、R 各等于多少？

239．已知⊙O 的半径是r ，作⊙O 的外切三角形ABC ，使BC>AC>AB ，⊙O 分别与AB 、BC 、AC 相切于点D 、E 、

F ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，(1)用a 、b 、c 表示AD 的长；(2)求证：如果△ABC 是直角三角形，那么r ＝2

a c

b -+；(3)如果△ABC 是钝角三角形，那么b+c-a 的值应在什么范围内变化?(只要求写出结论，不要求说明理由，也不要求给出证明)

240．如图7-125，在△ABC 中，∠C ＝90O ，内切圆I 切AB 于点E ，已知⊙I 的半径为5，且IA=13，求BE 的

长．

241．在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1:2:3，点O 是△ABC 的内心，求S △BOC :S △AOC :S △AOB ．

242．已知圆外切直角梯形的周长为18厘米，其中不垂直于底边的腰长为5厘米，求圆的半径．

243．如图7-126，△ABC 的内切圆I 分别切BC 和AC 于点D 、E ，ED 的延长线交∠A 的平分线于点F ．求证：

BF ⊥AF ．

244．如图7-127，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，△ABC 的内切圆交AD 于点E ，过点E 作MN ∥BC 分

别交AB 、AC 于点M 、N ．求证：(1)OM ⊥OB ；(2)DE 2=BC ?MN ．

245．在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于点D ．求证：CD 等于△ABC 、△BCD 和

△ACD 的内切圆半径之和．

17 246．如图7-128，△ABC 的三边AB 、AC 、BC 与其内切圆分别切于D 、E 、F 点，FG ⊥

DE ，G 是垂足．求证：CF

BF EG DG = 247．如图7-129，Rt △ABC 的内切圆O 与斜边AB 切于点D ，与BC 、AC 切于点E 、G ，DE 与AC 的延长线交于

点F ．(1)求证：BD=CF ；(2)若AD ＝10，BD=3，求⊙O 的半径r 及S △BDE :S △CEF 的值．

248．如图7-130，已知Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长为15、17、8，其内切圆O 在

各边上的切点为F 、D 、E ，另外，在内切圆的弧EF 的两边CA 、AB 之间再作一个与

它们相切的⊙O 1、，求⊙O 及⊙O 1的半径．

249．如图7-13Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=5，BC=12，在三角形内作两个互相外切的等圆⊙O 1与⊙O 2，并且

⊙O 1切边AB 、BC ，⊙O 2切边AB 、CA ，求这两个等圆的半径之长。

250．在下列各图7-132中，设AC ⊥CB ，BC=a ，CA ＝b ，AB=c ，求⊙O 的半径R 。

251．在△ABC 中，中线BE 、CF 相交于点G ，并且△BGF 与△CGE 的内切圆相等．试

证：△ABC 是等腰三角形．

252．如图7-133，在△ABC 中，∠C ＝90°，内切圆I 分别切边AB 、AC 、BC 于点D 、F 、E ，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，AF ＝m ，BE ＝n ，内切圆半径为r ．(1)求证：△ABC 的面积为mn ；(2)证明:m 、n 是关于x 的方程2x-2cx+ab=0的两个根；(3)若AB 边上的中线为1，△ABC 的周长为2+6，求△ABC 的内心I 与外心间的距离；(4)证明：tan 2tan 2B A +=ab

rc 2 253．如图7-134，在边长为a 的等边△ABC 中，半圆O 的直径在BC 上，又分别与

AB 、AC 相切于点Q 、R ，点P 是弧QR 上(不包括Q 、R 点)任意一点，过点P 的切线

分别与AB 、AC 相交于点D 、E ．(1)求△ADE 的周长；(2)求∠DOE 的大小；(3)求证：△BOD ∽△CEO ；(4)

当DE ＝a 2

15-时，求BD 、EC 的长．` 254．如图7-135，在△ABC 中，⊙I 是它的内切圆，切AB 、BC 、CA 于点F 、D 、E 。

△ABC 的周长为2m ．又GH ∥BC ，G 、H 分别在AB 、AC 上，且GH 切⊙I 于点 K ．问：GH 的最大值是多少? 弦切角

18

255．如图7-136，在⊙O 中，AC 是弦，AD 是切线，CB ⊥AD ，垂足为B ，CB 与圆相交 于点E ，如果AE 平分∠BAC ，则∠ACB=____

256．如图7-137，⊙O 的两条直径AB 与CD ，BT 是过B 点的切点，且弧BD ＝45°，则 ∠BAD ＝____；∠CBT=____

257．如图7-138，MN 切⊙O 于点p ，AB ∥MN ，PA 交⊙O 于点C ，PB 交⊙O 于点D ．求证：C 、D 、B 、A 四点共

圆．

258．如图7-139，AB 是⊙O 的弦，C 是弧AB 的中点，BD 是切线，CD ∥AB ．求证：DC=DB ．

259．如图7-140，PA 、PC 分别切⊙O 于点A 、C ，D 为弧AC 上任一点，连结CD 交AP 于点E ，∠P ＝30°，

则∠ADE ＝____

260．如图7-141，CD 为⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，∠DBE=62°，则∠A ＝_度． 261．如图7-142，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，CE 切⊙O 于点C ，BE ⊥AC ，则∠E ＝_____ 度. 262．如图7-143，AD 是切线，点D 是切点，BC 是半圆O 的直径，AB=BC ＝2，则AD=___ DC:DB ＝____ ；DB=____，DC ＝____，S △ABD ＝____．

263．如图7-144，∠ACB ＝90°，MN 切△ABC 的外接圆于点C ，AE ⊥MN ，BF ⊥MN ，垂足分别是点E 、F ，AC ＝3，BC ＝4，则四边形AEFB 的面积等于____.

264．如图7-145，PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，CE ⊥AD ，垂足为点E ，交BD 于点C ，且CE 过圆心O ，则图中与∠D 相等的角共有( )．

(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

19 265．如图7-146，PA 切⊙O 于点A ，C 为弧AB 上任一点，∠PAB=42°，则∠C 的度数

为( )．

(A)116° (B)132° (C)138° (D)159°

266．如图7-147，割线PAB 过⊙O 的圆心，交⊙O 于A 、B 两点，PC 切⊙O 于C 点,且PC=BC

CD ⊥PB ，垂足为D ，求CD ：BC ．

267．如图7-148，BC 切⊙O 于C 点，DF ∥BC ，延长BD 交⊙O 于点A ，AC 交DF 于

点E ．求证：BD:CE ＝BC:CF.

268．如图7-149，已知△ABC 是⊙O 内接三角形，BM 、CN 是圆的切线，AD ∥CN ，AE//BM,求证：AD 2=BE ?CD

269．半圆O 的直径AB ＝2，C 是半圆上的一点，且弧AC ：弧CB ＝1：2，过点B 、C 的切线交于点P ，PA 交

⊙O 于点E ，求PE 的长．

270．AB 是⊙O 的直径，延长AB 至点C ，使BC ＝2

1AB ，自点C 作CD 切⊙O 于点 D ，连结AD ．求证：△DAC 是等腰三角形．

271．已知在⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠A=73°，∠B=92°，且弧DC=弧BC ，过各顶点作⊙O 的切线，围

成的四边形为PQMN ，求⊙O 外切四边形PQMN 各内角的度数．

172．设⊙O l 与⊙O 2。相交于A 、B 两点，⊙O 1的弦CA 切⊙O 2于点A ，且∠CAB=60°若⊙O 2的半径为33，

求AB 的长．

173．BC 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C ，AB 交⊙O 于点D ．已知AD ：AB=2：5，且AC ＝10厘米，求(1)BC

的长；(2)tanB 的值．

274．如图7-150，在△ABC 中，∠CAB 及它的外角的平分线与BC 及其延长线分别交于点D 、E ，若外接圆过

点A 的切线AF 与CE 的交点为点F ．求证：DF ＝EF ．

275．如图7-151，圆内相交两弦AB 、CD 的交点为点P ，作△APC 外接圆的切线PT ，求证；PT ∥BD ． 276．如图7-152，AB 、AC 切⊙O 于点B 、C ，BC 与AO 相交于点D ，过点C 作弦CE ，又自点A 向EC 引垂线，

垂足为点H ．求证：△ADH ∽△CBE ．

277．如图7-153，在⊙O 中，弦AE 和CF 相交于点B ，AD ∥CB ，DC ∥AB ，MN 切⊙O 于点D ．求证：MN ∥EF ．

20 278．P 为两同心圆的大圆上的一点，过点P 作大圆的弦PA 、PB ，且都与小圆相切，又CD 切大圆于点P ．试

用两种方法证明；CD ∥AB ．

279．如图7-154，△ABC 内接于⊙O ，过点C 的切线与AB 的延长线相交于点D ，且DC=DE ．求证：CE 平分∠

ACB ．

280．如图7-155，若AF 是△ABC 外接圆的切线，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，求证：AF ∥EC ．

281．如图7-156，AB 为⊙O 的直径，DC 切⊙O 于点C ，过点D 作DE ⊥AB ，交AC 于点F ，E 是垂足，试用两

种方法证明：△DFC 是等腰三角形。

282．如图7-157，△ABC 内接于⊙O ，DE ∥BC ，点D 在AB 上，点E 在AC 上，且DE 的延长线交过点A 的切

线于点P ．求证：PA 2＝PD ?PE ．

283．如图7-158，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 过点C ，且切AB 的中点于点D ，交

AC 于点E ，F 为弧EC 上任意一点．求证：∠CFD=2∠DFE ．

284．△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，又MN 切⊙O 于点A ．求证：MN ∥ ED ．

285．如图7-159，PA 是△ABC 外接⊙O 的切线，DE ∥AC ，PD ＝PE ，若AB ＝7厘米，AD ＝2厘米，求DE 的长． 286．如图7-160，AB 、AC 分别切⊙O 于点B 、C ，P 是⊙O 上一点，PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC

于点F ．求证：PD 2＝PE ?PF ．

287．如图7－161，设∠A(A 为锐角)为等腰△ABC 的顶角，过点C 作三角形外接圆的切线，交AB 的延长线

于点D ，又过点D 作AC 的垂线，E 为垂足．求证：(1)BD ＝2CE ：(2)若顶角A 为钝角时，试证之(如图7-162)．

288．如图7-163，在梯形ABCD 中，已知CD ＝a ，AD ＝b ，AB ＝c ，AD ⊥AB ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点E ，

切AD 于点F ，连BF 、CF ，设∠ABF ＝α，求证；关于x 的方程ax 2-bx+c ＝o 有两个相等的实数根，且

这两个等根都等于cot α.

289．⊙O 直径AB 垂直弦CD 于点E ，EF ⊥AC ，求证：AC ?FC ＝AE ?BE ．

290．已知AB 为⊙O 直径，EF 切⊙O 于C 点，AE ⊥EF ，BF ⊥EF ，E 、F 为垂足．求证：EF 2＝4AE ?BF ．

291．如图7-164，在直角坐标系中，⊙M 的圆心M 在y 轴上，⊙M 与x 轴交于点T 、R,与y 轴交于点A 、B

，

21 过点T 作⊙M 的切线TP 交y 轴于点P ，若⊙M 的半径为5，点T 的坐标为(-4，0)，求(1)点M 的坐标；

(2)tan ∠PTA 的值；(3)直线PT 的解析式．

292．如图7-165，△ABC 内接于⊙O ，过点B 、C 分别作⊙O 的切线L 1、L 2、，又作AD ∥L 2，交BC 于点D ，作

AE ∥L 1，交BC 于点E ．求证：=CD BE 22

AC

AB 293．如图7-166，设正△ABC 的内切圆与三边BC 、AB 、CA 的切点分别为点D 、E 、F ，若弧EF 上任一点P 到

三边AB 、BC 、CA 的距离分别为P 、q 、r ．求证：q r p =+

294．如图7-167，⊙O l 与⊙02相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点D ，过点A 作⊙O 2的切线

交⊙O 1于点C ，如果⊙O l 的半径为r ，⊙O 2的半径为R ，求

△ABC 与△ABD 的面积之比．

与圆有关的比例线段

295．如图7-168，⊙O 中半径OC 与弦AB 相交于点P ，AP ＝3，BP=5，CP ＝1，则⊙O 的半径为___；如果另

一条弦CD 平分AB ，C 到AB 中点的距离为2，则CD=____.

296．如图7-169，已知△ABC 内接于⊙O ，过A 点作⊙O 的切线AE ，并作BD ∥AE 交AC 于点D ，且AC ＝6，

AD ＝4，则AB ＝____.

297．如图7-170，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC 切①O 于点D ，割线CFG 过圆心，已知①O 的直径EB=6厘

米，AD ＝4厘米，则AE ＝____ ；CO ＝_____

298．如图7-171，在⊙O 中，弦AB 和直径CD 相交于点P ，M 是DC 延长线上的一点，MN 是⊙O 切线，N 是切

点，若AP ＝8，PB=6，PD ＝4，MC=6，则MN=____.

299．如图7-172，在⊙O 中，半径R ＝6，OM ⊥CD ，CD=6，BM=9，则AM=_____; AB=___; ____;=BD

AC O 到AB 的距离OH ＝____· 300．△ABC 内接于⊙O ，过A 点作圆的切线，交BC 的延长线于P 点，∠APB 的平分线与AB 、AC 分别相交于

点E 、F ，则( )等式成立．

(A)AE ?AF ＝BE ?CF (B)AE ?CF ＝AF ?BE

(C)AE ?BE ＝AF ?CF (D)AE ?AB ＝AF ?AC

301．如图7-173，已知⊙01交⊙02于点C 、F ，EF 切⊙02于点F ，交⊙O 1于点E ，AD 过点，交两圆于点A 、D

，

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