2013线代概率指导

线性代数

第一章 行列式 §1.1 行列式的定义

定义 删去n阶行列式D的第i行和第j列后所得的n-1阶行列式称为D中元素aij的余子式, 记为Mij, Aij=(-1)i+jMij称为D中元素aij的代数余子式．

?3例1 行列式50043中元素2的代数余子式为 ．

21例2 D?2?216598，D中元素aij的余子式记为Mij， 代数余子式

347Aij?(?1)i?jMij，M31+A23= ( )．

(A）17 (B）-17 (C）11 (D）-11 答：例1 0 ；例2 A．

§1.2行列式的性质

Laplace定理

?D按行展开?aikAjk??k?1?0,nj?ij?i；按列展开

?DaA???kikjk?1?0,nj?ij?i．

ab例1 设行列式D?ccdaaccdd111?0．（第2列和第4列成比例）

，则A14?A24?A34?A44=______．

cdbdbabdaA14?A24?A34?A44?cdabbbb解 填0． 由代数余子式定义，可知

c1行列式的性质：

性质1 行列式转置，其值不变． 即DT=D； 性质2 交换行列式两行(列),行列式的值变号；

性质3 用数k乘行列式D的某一行(列), 等于数k乘这个行列式； 推论 有一行(列)为零的行列式等于零； 性质4 有两行(列)成比例的行列式等于零； 性质5 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而

1

这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样，按列也有类似性质；

性质6 将行列式的某一行(列)的k倍加到另一行(列), 行列式的值不变．

a11a12a13a332a115a11?2a12a13a33例2 D?a21a22a23?m?0，2a215a21?2a22a23?( )．

2a315a31?2a32a31a32(A) -20m (B) 20m (C) -4m (D) 10m

答 C

例3 计算行列式

31D1=

1113112001020212；D2?2?3541002230??57?9?6121272；D3=

1110110110110111；D4=

1112131361410．

11131111?1431141020解 D1=6

000?48．

1D2??00?521?11000?512?1212230?1000?51001121?331230310=?3． 0?1??9．

?16?160111001111111D3=1101=1011=31011=30?1010111101110100?10111111231259111013919?100011001213111013310?1000110001210013310D4=000?1．

例4 计算下列行列式

??10?2??10?1??2?22??1?2；D2=0??45；D3=?2??54． D1=0?2?2??10?2??324??5 2

111D2=(??1)00?20?210?2解 D1=(??3)1??1?2=(??3)0??10=(λ+3) (λ–1) (λ–3)； ??10?2??3?15=(λ–1)[(λ–4)(λ+3)+10] =(λ–1)(λ–4)(λ+1)．

??4?202??3对D3，第二行加上第三行后在第二行提取公因式，可得 D3=(??1)(??10)．

例5 计算行列式

1234D1?2341341241231解 D1?；D2?abb34124123=10b?ba?bb?a1=101； D3?a1b1c． c24?31

????1234134114121123a2b221131?32341234000?1?1?11=1011111?3113101?4010=?80． 2?31=10111311=100对D2各列加到第一列，再在第一列提取公因式，然后自第二列开始各列减去第

一列的b倍，得

1D2?[a?(n?1)b]11bab??bb?[a?(n?1)b]11?10?0??00?；

a?b??????aD3为范德蒙行列式，D3=(a?b)(b?c)(c?a)．

?a?bn例6 计算行列式D1?111111?1?1?1???1x00?0yyx0?000?y?x???000?x0000?yxn

1n?1??1n?2?1；D2=

0?0?解 D1的第n列乘以-1加到其他各列，得D1?(n?1)!；

3

对D2按第一列展开得 D?x?xn?1?(?1)n?1y?yn?1?xn?(?1)n?1yn．

第二章 矩阵

§2.2 矩阵运算

1． 矩阵乘法 设 A=(aik )m×s , B=(bkj )s×n ，定义矩阵C=(cij )m×n , 其中

cij=ai1b1j+ ai2b2 j+…+ ainbnj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)

为矩阵A左乘矩阵B之积，记作C=AB．

注 1) 当且仅当A的列数与B的行数相等时,AB才有意义； 2) 一般不满足交换律，即一般AB≠BA．

例1 举反列说明下列命题是错误的．(1) 若A2=0, 则A=0； (2) 若A2= A, 则A=0或A=E；(3)若AX=AY, 且A≠ 0, 则X=Y．

?01?2?11?2

解 (1) 取A?? 2)取A??． ?00??, A=0, 但A≠ 0．?00??, A= A , 但A≠ 0且A≠ E．

????(3) 取A????10??11????X?,, Y????00???11??11????01??, AX=AY,且A≠ 0, 但X≠ Y． ??例2设A????12??10???, B???12??，问： 13????1)AB=BA吗? 2) (A+B)2= A2+2AB+B2吗? 3) (A+B)(A–B)= A2–B2吗? 解 (1) A???13??,B???12??, 则AB???4?????2?12??10??12??34????BA?, AB≠BA．． ???6??38?1016??22??22??814?22????????(2) (A?B)??，但A+2AB+B=?25??25??1429??1527??．

????????故(A+B)2?A2+2AB+B2．(3) (A?B)(A?B)????22??02?????????25??01??06???09??，而??A2–B2=???28??，故(A+B)(A–B)?A2–B2． ??17?2． 矩阵的转置 把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，称为A的转置矩阵， 记作A(或A?)．

矩阵的转置满足以下运算规律（假设运算都是可行的）： 1）(A)?A； 2）(A?B)?A?B； 3）(kA)?kA； 4）(AB)?BA．

TTTTTTTTTTT 4

3． 对称矩阵 设A为n阶方阵， 如果AT?A，则称A为对称矩阵． 方阵A是对称矩阵的充要条件是：A的元素关于主对角线对称，即

aij?aji,i,j?1,2,?,n.

4． 方阵的行列式

定义 由方阵A的元素构成的行列式称为方阵的行列式． 记为|A|或detA． 注： 方阵A是数表, |A|是按一定的运算法则确定的一个数． 方阵的行列式的性质

性质 设A, B为n阶方阵，

1) |AT|=|A|； 2) |kA|=kn|A|； 3) |AB|=|A||B|=|BA|．

§2.3 可逆矩阵

1． 方阵可逆的充要条件

?A11a?a?111n????A12*定义2 对A??????, 称 A?????a???n1?ann??A?1nA21?A22?A2nAn1???An2?为A的伴随?????Ann??1*A． |A|矩阵． 其中Aij (i=1,2,…,n,j =1,2, …,n)称为A中元素aij的代数余子式．

定理 n阶矩阵A可逆阵的充要条件是|A|≠0，且 AA*?AE,A?1?4． 性质 1) (A-1)-1=A；2) (kA)-1=(1/k) A-1 (k?0)；

*?1?1**?13) (AB)-1=B-1A-1； 4) 若A?0，则(A)?(A),或(A)?1A； |A|5) |A|?|A|； 6) |A*|=|A|n–1． 8) 若A,B为同阶可逆方阵，则(AB)*?B*A*． 例1 选择题

1． 设A、B是n阶方阵，则( )．

(A) |A+B|=|A|+|B| (B) AB=BA (C) |AB|?|BA| (D) (A+B)–1=A–1+B–1 2． 设A、B是n阶方阵，则( )．

(A) (A B) T= A T B T (B) (AB)–1=A–1B–1 (C) (AB)2=A2B2 (D) (A+B)T=AT+ BT

3． 设A、B是n阶方阵，且AB=0则( )．

(A) A= 0 or B= 0 (B) A= 0 and B= 0 (C) |A|= 0 or |B|= 0 (D) BA=0

4． 设A、B是n阶方阵，则( )． (A) (A–B)–1=A–1–B–1 (B) (A–B)T=AT–BT

(C) (A+B)2= A2+2AB+B2 (D) (A+B)(A–B)= A2–B2

5． 设A、B是n阶方阵，则( )．

5

?1?1

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