第3.3节+向量组的秩

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第3.3节3. 节3向量的秩组一向、组量极的大无关 二、向量组组秩 的三、向量组的秩矩与秩的关阵系

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一向量组的、极大无组关.基1概本 1念.本概念基 有设向组量的A分部 组定义设有向量组 的部分组1αα2,,,Lrα满足 (Li )α,α21,Lαr,线 无关性 ； 线性L关； (i无)iA任中向量一 α可由 α以1α,2,L,αr 性线示表 ，中任一量向L 线性表 示，则称α 1α2,,Lα,为向r量 组的个一极大线无性组，关简称极大的一 极大线性无关个 组L为 向量A的组一极个大性无关组，简线极称 大无组关 .无关 组是任何否量向都组极大有无关呢组？果如，有是 否何任量组向都极大有关无组？呢果有，是如否唯 先看个例子一. 一？先看一个例.子

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1例考察下 列向组量的大无极关组(1) α1 (=0,,0)0

存不在(2 )1α= ( 00,,),0α2= ( 10,0,),α3 =0,1(,0 )3) α( 1 (1=0,0,,α2 ) =(0,1,)0α3,= (0,,10)(4) 1 α =(,0,10),α 2=(0 ,,1)0,3 = α1,(1,)0不难纳

归α 2,α 3 1,α2αα3,α,1α; α2,13;α2α,α3(1)只零 量 组 向 极 无存组 向含的 不 在 大量 关 ； 2)(含非 向 的 量 必在 大 ; 有 关零量 组 存 极 无 向组( 3) 线 向无 组 极 组无 其 身 性关量 的 大关 本是； (4)线 相组 极 组无含 量数于 性 关 的大 关 所 向 少个 向组 含 量 原数 量 向 所 个；(5)向 组 极无 组 唯 .能量 的 关 可 大 不一

例2

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证明(1n) 基 单向 组 ,1ε ,2L,εn是 的 n 大 关 ;R极 无组维 位 本 量 ε2)Rn( 意中个 性 关 向都 nR 的 关 大 任 n. 线 的无量 是 极 无组证 (1)ε 1 , ε 2, ,L ε n显线性无关;然 又 α= a( 1 ,2 aL , ,an) ∈ Rn, 有 α (=1 ,aa2 , , La n =)a ε11 + aε22 +L + anε n依定义ε 1 ,,ε 2 ,L , ε nR是n的 一个大无关极.组依 定义，(2设)1αα2,L,,n αRn是任中意个线 无性的向量关，因 设 中任意个n性无线关的量向， 线性个关的向无量 线性L关，相 α Rn∈,α,1α2 ,,Lαn, α线性相，故 α关 由α1,α可,L,αn2L 唯 地线性表一示.唯 一线地表示性因此， 的一个极大无关. 因组此，α,α1,2,αn是RnL一个极的大无组关

L2

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.有关论结 2有关结. 定理论1向 组与量的它极大无组关价.等 理1 定量组与它向的极无关组大价 等极由大无关组定的义,知量组可由向它的极大关无组线性 由证大无关极组定的义 向量组可由知的它大极关组无性线 示;表其而极大无关组亦可该向量组线性表由示 向即量组 表与示而其极 大关组亦无可由向量该组性表示线即.量向与 而组极其大关无组亦可该由向组量性线示表 它极的无大组关可互以相线性示,因表二者等此 它价的极大无关组以可互线相表示 因此二者性等价 因此.者二价 等论1推向 组量任的意个极大无两组关价等. 论推 1

向量的组任两意个极无大组等关价推 2 向论组等量价当仅当且它的们极无关大组价等 .推论2 量向等价当组且当它仅的极们大无组关价等理2 定同一向组的两量极个大无组关含所向量个相同.数 定2理 一同向组量两个极的无大组所关含向个数相量同

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、向二量的秩组量向组的大极无关所组含量个向数称向为量的组 向秩组量秩,的 定义 向量组极的大无关所组含量向个称数向量组的秩为记 r作( 记作 1,αα,2,Ls α. L ) 含仅零向的量向量不组存极大在关无组,规秩定为 仅含零向量的零向组量不在存大无极关组规 秩为零定; 定规秩零 为 任意非含零量的向向量组的秩于等大 任于含非意向零的量向量组秩大的于于1;等 线 无关向性组的量秩等向量于组所向量含个 数线性无向关量的组秩于向等量所含向量组个; 数 秩在 为的量向中组 任意 个性无线关向量都这是向量个在秩 r为的量组向中任 r个线意无性向量关是都这个向量的 向量中,组任意 组极大的关组无.组的 大极关组无

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求下向列量的组秩.例 3求 列下量组的向秩(1)α 1= (0 0,, 0T)(2 )α1 =(,00, 0T,α2 = (),10, )T0α, = 3(01,,0) T(3 α1 )= 1, 0, 0)T(,2 α=(0 ,,1 )0,Tα3 = (0, ,0)1 T(4 α1 )= (1,0, 0),α2 = T(,12, 0),αT3= (,1 ,23)T

解()r1α() =10 ;

2(r)α(1,2,αα ) =32 ; 3(r)(1,α2αα,3 )=3 (4;r)(α1 ,α 2, α 3 )=3.

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有关论 (1)若向量组 结α1α,2,L α,s 可向量由 组向若组量I() :向量组 L 可由向量组若II(:)β,1β2, L,β L 线t性示表 线，表示，性r则(α1,2,L,αs α) r(β1,β≤ ,L2,βt )L≤ L( )2价等的向量组有相同的秩 等价具向的组量具有相的同秩 .等价向量的具有组相同的 设向量组秩 证((1 )向设组(I)量(II与的秩)分为别 ,12 r,取自各的极大 设量向组 )的秩分)为r别无关组I 0: α 1 ,pα p2 L,, α pr 与 I0 : β qI1, β q2 , L β qr ,,12 等价， II) 等价 可，(由II性)示表， I0与因(I)价，等II)(II0与价等，且I)(由可(I)性表I示

故，而r1 ≤r 2. (2略 )2()略.

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的秩为r 4例已 向量知 组 α1, α ,L2, s α( s> 1 ) 秩为 的且, 1β= α 2+ α 3 + L α + s β2 =α + 1 α3 +L + sα, 试 证 r(β 1, β 2, L, s β)= r LLLL L β = αs +2 α 3+ L +α s

1线表示，性 条件， 证由 条件由，知β 1 ,β 2 L , ,βs 可 α 由1, α 2,L , αs性线表，示

且β1 + β 2 + L + β s = s( 1) α +1α +2 L+ α s) 即,), ( 1β(1 + 2 +β+ βsL) β 于i有 是i = s α 1 性线示表 故向量组等，, 即价α 1,α ,L2 α,s 可由β 1 , β 2 L ,,β 线s表示， 故性向量组等价有相同，的秩， 相同有的，秩 r即( β1 ,β 2,L β ,s =)r . 1 αi+ β =i( 1 + α 2++Lα ) s α (=β1 β+ 2L+ β+s) s 1

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三 向量组的秩与矩阵的、秩的关向系量

组的秩.定 2 理阵矩A秩等于它 的列的(定 2理矩 阵的等于它 秩的列行)(量向组的秩 证A仅的列 向组的秩=量(rA)设r.A() =,r而 的A列量向组 证仅 证的列向量组的秩 设而 的为s,秩A有s故列个向量线性无 记关这s构列矩成 s阵 , 的便秩为 ， 有 个列量向性线关无, 这记列构 成矩A 便阵 个列量线向无关性 列成构阵矩

r 有=r( A ) ≥( rA) =. s另s一方面 ，有个r一阶式 子阶子式D , 一另面方，由r(A= )知，rA 有个 一子阶式r ≠0, 故 Dr知 所在 A的 的个向量列线无性 关列个量线性向关无, 在所的 的个r列向量线无关 性因 A此的 列量组的秩为 ≥向r 的列 量向组秩为s的 综所上述 ，上所述， 综r = .s|| 借可于矩助求阵出量组向的.秩可 助借矩于阵求向量出组秩的

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5 例下求向量列的秩

组α = (31,1 6, ,)4T, 2 α =2(,, 23, 5 T,)α =3( , 15 , 6 8)T ,解 . 构矩 A (α1,α2=α,3) 求只 r A(即 . ) 造阵， 需 出 可

1 2 5 1 2 5 1 3 2 1 行变 换0 4 6 1 变换 0行 A → →→ 2 12 0 3 1 2 0 4 5 8 0 312 0 25 41 0 0 0 0 见 可r A) (=2 则 (α,12,αα3 ) 2= ,.r 课堂

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练习 求向量的秩

组1 α=( ,11, 0 1,) Tα 2 , =1,(0 ,,1 )1T,α 3= (1 ,1, 1, )T0 1 1解 造构矩阵A =(α ,1 α2 α 3 ,) = 0 1 1 1 1 1 0 10 A→0 01 1 → 0 0 0 1 0 1 011 11 1 0 0 1 00

0 0 1 0

可 r得A)=(3故r(α,, α21 α3),= 3. =故 可

得

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关于量向组线的性系， 关于向关组量的性线关，有系下结如论定理3 如果 矩阵mAn ×经限有次等初行变化为B换mn×, 则mAn 定理3 ×果如矩 阵 经有限×初次等变换行为 × 化 的×向列组与量B× 的 向量组列有相同的具性线系. 的关向量列与 m组n×的列量向具组相同的线有性关系定理义含(1向)组 :α 1,,αL中n分 A : αi 1L,αi, 线 s 量无A 组0部 关性量 B 向组 β:,L1 βn中,分 0 : βiB 1,, βiL s 线 无; 部组 性 关() A2有中αi = k1α 1+ L+ki 1α 1 + ki +i1α i + + 1L k+α n n 中有B i β k= 1 β 1+ L + k i1 i 1 β +ki 1+β i 1 + + + Ln kβn ; 3) (A 的部 分组 α 1i , L α ,ri是 A的 极 无 大关组 的B 部分 组 β i1 ,L ,β ir 是 B的 极 大 关 无组 .

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求如下量向组秩和的一极个大关组无 例6 求,下向量如的秩组和一极个大关组,无将其并向余用量该极大无 组关性表线.示该 大无极关组性表线示

.α1 (=1,0, ,0 1)T, 2α (=0 ,1 0, ,1T) α3 = (0,,0 ,1, 1)T,α4 = ( 2 , 1 3, 2,T ).解令A= α1,α(2 α,3 α4 ),, 用行等换 A 化行 形简 初变 为 最1 0 = A 0 12 1 1 01 0 0→ 13 0 1 1 2 00 02 1 1 10 0 →0 1 3 0 1 1 4 00 02 1 01 0 1 3 0 00 00 向 组 秩,3 故 量 为 的1αα, ,23是 量α的 个 大关 ,向 一组极 无 组且α 4= 2 α 1 α 2 + α33 .

求

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如向量下的组一个大极无组, 关课堂练习求如 向量下的一组极个无大关组,将其并余量 用向该极无大组线性关示.表 用极大该无关线性组表.示

α 1=( , 20 1,,1T ,) 2α= (,1 1, , 10 )Tα =3( ,1 1, ,01 ) Tα4,= ( 2 , 1 ,1,1) .T解 令= (1,α2 α,α 3,4α ), 用等 变 化 为 最形 A初 换 A行行 简 2 1 12 10 1 0 1 11 0 1 1 A= → 1 1 0 1 0 0 0 10 1 1 0 0 0 0 0 10

此α 因 ，1,α2 , α是4量 A 最无 组且 向组 的大 关 ， α 3 α= 1α2 +04α= α 1 α .2

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例7 向设量组A :α = (1,1 1 ,0 ,)T 0α,2 = (,1 0 1, 1,) TB β: 1= 2, 1, 3,( 3T),β 2= (, 0,1 1 , 1 T 证明向量组A与向量) 等组 价证向明量 与组向量组等价 与B向组量等价 方法. 1证 方法考虑向量组

α = (1, 11 0,, 0T) ,α 2 =1(, 0,1, 1)T C : β1 =( 2 , , 1, 33)T,β 2 (=, 01 , 1, 1) 构T造阵矩 1 1C = (1α ,α 2 , β , β 1 2) = 0 0 1

0 0 1 1 13 1 13 1 2

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对矩阵施行初等行变换,得对矩 施阵行初行等换变 得 1 1 02 1 0 1 31 0 C → → 0 1 3 1 0 01 3 1 0 1 2

0 1 13 0 0 0 0 0 0

见可量组C向秩的等 易于知量向组:A 见向量可 组的秩等2; 易于向量知 组α1α,2 与量 向的等于 组秩 :Bβ 1,β2都 是量向C组的大最关组 故向无组A与量向量 都组是量组 的向最无关大组,故向组 与向量组量B 最的无关大组故向量 组与向量组 等. 价等价

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可以相线性互表示可. 方即法 验证2量组向A 可以相与互性表示线即可方 法 2验向证组 量与可B相互线性表示即以 继续可等初变行，换继续 等行变换，得初 112 0 1 01 1 01 3 1 01 3 1 C = ( α 1, α 2 , β , 1 β 2)→ → 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 得 1β= 1α +3α ,β 2 = 2α1 2 1α 1 1 02 0 1 1 22 1 1 01 → 0 1 31 ( β 1 , β2 , 1 , α α2) = 2 2 3 1 0 1 0 0 00 3 011 00 0 0 1 1 13得 α1= 1β +β 2 , 2 α β= +1β 2 . 2 2 22 向故组量A与量向 可组互相线性以表示,等即价 与向

量组B可以相线互表性 示即等. 故向量组 价向与组量 以互相线性可表示即 等价可

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借助以向组讨量矩论阵)例 8(可借以助向量组论矩讨)

设阵阵A矩m× , Bs×s ,n么r那( AB ) min{≤ r (A), r B (})易知，矩阵A=CB的列行 向)组量以由可的 列向组量 的列行( 向组可量由以向 量组以由A可的向列量组 证易 知矩阵， 列 的B(的行向量组 性线表示 即的 行量向组)线表性示的 行量向 线性表示,组 即 b11b1 2L b1n 21 bb2 2 Lbn2 C= ( γ1 ,γ ,L2, nγ) = (α 1α, 2L,,αs) M M M b La b s n s1s 2

c 1 a11 2c = a21 及 C= M M c a m m1a1 a22 M a2m 2 a1 Ls b 1 L a2s b 2M M L mas b s

故r(

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