三角函数公式总结与推导--很全很实用

三角函数公式总结与推导

1. ①与 （0°≤ ＜360°）终边相同的角的集合（角 与角 的终边重合）： | k 360 ,k Z

②终边在x轴上的角的集合： | k 180,k Z

③终边在y轴上的角的集合： | k 180 90 ,k Z ④终边在坐标轴上的角的集合： | k 90 ,k Z ⑤终边在y=x轴上的角的集合： | k 180 45 ,k Z ⑥终边在y

x

SIN\COS三角函数值大小关系图

轴上的角的集合： | k 180 45 ,k Z

1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域

⑦若角 与角 的终边关于x轴对称，则角 与角 的关系： 360 k ⑧若角 与角 的终边关于y轴对称，则角 与角 的关系： 360 k 180 ⑨若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系： 180 k ⑩角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系： 360 k 90 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝

180

≈0.01745（rad）

3、弧长公式：l | | r. 扇形面积公式：s扇形

12

lr

12

| | r

2

4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 sin

yr

； cos

xr

； tan

yx

； cot

xy

； sec

rx

；. csc

ry

.

5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）

正弦、余割

余弦、正割

正切、余切

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：

16. 几个重要结论:(3) 若 o<x<,则sinx<x<tanx

2

cos

tan

8、同角三角函数的基本关系式：sin

tan cot 1 csc sin 1

2

2

2

cos sin

cot

2

sec cos 1

2

2

sin cos 1 sec tan 1 csc cot 1

9、诱导公式：

把k 2

的三角函数化为 的三角函数，概括为：

“奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系

公式组一公式组二 公式组三

sinx·cscx=1cosx·secx=1tanx·cotx=1

tanx=

x=

sinxcosx

sinx+cosx=11+tanx=secx

2

2

22

sin2(k x) sinxcos2(k x) cosxtan2(k x) tanxcot2(k x) cotx

sin (x) sinx

cos x 2 2

sinx

c

os (x) cosxtan (x) ta

nxcot (x) cotx

1+cotx=cscx

公式组四 公式组五 公式组六

sin( x) sinxcos( x) cosxtan( x) tanxcot( x) cotx

sin2( x) sinx

sin ( x) sinx

cos2( x) cosxtan2( x) tanxcot2( x) cotx

cos ( x) cosxtan ( x) tanxcot ( x) cotx

（二）角与角之间的互换

公式组一 公式组二

cos cos( ) cos cos sin sin sin2 2sin

2222

cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin

tan2

2tan 1 tan 1 cos

2

2

sin( ) sin cos cos sin si

2

tan( )

tan tan 1 tan tan tan tan 1 tan tan

co

2

1 cos

2

sin 1 cos

1 cos sin

tan( )

tan

11212

2

1 cos 1 cos

公式组三 公式组四 公式组五

2tan

sin

1 tan

2

2

sin cos

2

sin sin cos

sin sin

cos(

121212

) sin ) cos ) cot

2

cos sin

sin(tan(

cos cos

cos

1 tan

cos

1 tan

2

2

2

2

sin sin

12

cos cos

sin sin 2sinsin sin 2cos

2

2

cossin

2 2

cos(tan(sin(

121212

) sin

2tan

tan

1 tan

2

2

) cot ) cos

2

6 4

cos

cos 2cos

cos cos 2sin

2

2 2

cossin

2

2

sin15

cos75

,sin

75

cos15

6 4

2,tan15

cot75 2

3,tan75 cot15 2

3

.

y sinxy sinxy cosxy cos

，则y f(x)在[a,b]上递减（增）. y f(x)在[a,b]上递增（减）②y

x

x

与y

cosx

的周期是 .

cos( x )

③y sin( x )或y

y tan

x2

（ 0）的周期T

2

.

的周期为2 （T

T 2

，如图，翻折无效）.

2

④y sin( x )的对称轴方程是x

x k

k

12

（k Z），对称中心（k ,0）；

y (nat

y (soc x )

的对称轴方程是

（k Z），对称中心（k

原点对称

； ,0）

x )的对称中心（

k 2

,0）.

y cos2x y cos( 2x) cos2x

tan ⑤当tan ·

1, k

2

(k Z)；tan tan ·

1, k

2

(k Z).

⑥y

cosx

与y sin 2k 是同一函数,而y ( x )是偶函数，则 x

2

12

y ( x ) sin( x k

) cos( x).

⑦函数y tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y tanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x)

f(x)，奇函数：f( x) f(x)）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y tanx是奇函数，y tan(x 对称）

奇函数特有性质：若0 x的定义域，则f(x)一定有

f(0) 0.（0

13

)是非奇非偶.（定义域不关于原点

x的定义域，则无此性质）

⑨y sin

y cosx

；

x不是周期函数；y sinx为周期函数（T ）是周期函数（如图）；y cosx为周期函数（T y=cos|x|图象

y cos2x

12

的周期为 （如图）

，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

y=|cos2x+1/2|图象

y f(x) 5 f(x k),k R.

⑩y

acos bsin a b

22

sin( ) cos

ba

有a2 b2 y.

11、三角函数图象的作法： １）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T

2 | |

，频率f

1T

| |2

，相位 x ;初相 （即当x＝0

时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来

的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。 4、反三角函数：

函数y＝sinx，记作y＝arcsinx，它的定义域是［－1，1］，值域是 － ． 的反函数叫做反正弦函数， x

2

2

|

2

2

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx， ， 的反函数叫做反正切函数，记作y＝arctanx，它的定义域是（－∞，＋∞） x

2 2

值域是 ．

22

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数： 反正弦函数y arcsinx是奇函数，故arcsin( x) arcsinx，x 1,1 （一定要注明定义域，若x , ，没有x与y一一对应，故y sinx无反函数） 注：sin(arcsinx) x，x 1,1 ，arcsinx , .

2

2

反余弦函数y arccosx非奇非偶，但有arccos( x) arccos(x) 2k ，x 1,1 .

注：①cos(arccosx) x，x 1,1 ，arccosx 0, .

②y cosx是偶函数，y arccosx非奇非偶，而y sinx和y arcsinx为奇函数. 反正切函数：y arctanx，定义域( , )，值域（ ( , ). 注：tan(arctanx) x，x ( , ).

arctan( x) arctanx，x

2,2

），y natcrax是奇函数，

反余切函数：y arccotx，定义域( , )，值域（

arccot( x) arccot(x) 2k ，x ( , ).

2,2

），y cratocx是非奇非偶.

注：①cot(arccotx) x，x ( , ).

②y arcsinx与y arcsin(1 x)互为奇函数，足arccos(

y arctanx

同理为奇而y

arccosx

与y

arccotx

非奇非偶但满

x) arccosx 2k ,x [ 1,1]arccotx arccot( x) 2k ,x [ 1,1].

正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

a的取值范围 解集 ①sin

a

a

的取值范围 解集

x a

的解集 ②cosx a的解集

＞1

arcsina,k Z

k

a

＞1

a

=1 x|x 2k ＜1

a

=1 x|x 2k arccosa,k Z

a

x|x k 1

arcsina,k Z

arctana,k Z

a

＜1 x|x k arccos

a

a,k Z

③tan

x a的解集： x|x k

③cotx的解集： x|x k arccota,k Z

3

二、三角恒等式. 组一

组二

n

cos cos2 cos4 ...cos2

n

sin22

n 1

n 1

sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos

3

sin

2

sin

2

2

sin sin

2

sin

cos cos

k 1

cos

2

k

cos

2

cos

4

cos

8

cos

2

n

sin 2sin

n

2

n

n

k 0n

cos(x kd) cosx cos(x d) cos(x nd)

sin((n 1)d)cos(x nd)

sind

sin(x kd) sinx sin(x d) sin(x nd)

k 0

sin((n 1)d)sin(x nd)

sind

tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan

tan( )

组三 三角函数不等式

sinx

＜x＜tan

x,x (0,

2

)

f(x)

sinxx

在(0, )上是减函数

若A B C

，则x2 y2 z2 2yzcosA 2xzcosB 2xycosC

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