2022-2022学年数学人教A版选修4-4优化练习：第二讲 一 第三课时

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．参数方程为?????

x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(0≤t ≤5)的曲线为( ) A ．线段

B ．双曲线的一支

C ．圆弧

D ．射线

解析：化为普通方程为x ＝3(y ＋1)＋2，

即x －3y －5＝0，

由于x ＝3t 2＋2∈[2,77]，

故曲线为线段．故选A.

答案：A 2．参数方程?????

x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线

B ．圆

C ．线段

D ．射线

解析：x ＝cos 2θ∈[0,1]， y ＝sin 2θ∈[0,1]，∴x ＋y ＝1，(x ∈[0,1])为线段．

答案：C

3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )

A.?

???? x ＝t 2y ＝2t 2＋1 B.????? x ＝2t －1y ＝4t ＋1 C.????? x ＝t －1y ＝2t －1 D.?????

x ＝sin θy ＝2sin θ＋1 解析：由y ＝2x ＋1知x ，y 可取全体实数，故排除A 、D ，在B 、C 中消去参数t ，知C 正确．

答案：C

4．下列各组方程中，表示同一曲线的是( )

A.????? x ＝tan θ，y ＝1tan θ

????θ为参数且θ∈????0，π2与xy ＝1 B.????? x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)与????? x ＝－a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)

C.?

???? x ＝a sin θ，y ＝b sin θ(θ为参数且a ≠0)与y ＝b a x D.?????

x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞0，b ＞0，θ为参数且0≤θ＜π)与x 2a 2＋y 2

b 2＝1 解析：A 中前者x ＞0，y ＞0，后者x ，y ∈R ，xy ≠0；C 中前者x ∈[－|a |，|a |]，y ∈[－|b |，|b |]，后者无此要求；D 中若0≤θ＜2π，则二者相同．

答案：B

5．参数方程?????

x ＝2t ＋21－t ，y ＝2t －1＋2－t (t 为参数且t ∈R)代表的曲线是( ) A ．直线

B ．射线

C ．椭圆

D ．双曲线

解析：∵x ＝2t ＋21－t ＝2－t (22t ＋2)，y ＝2t －1＋2－t ＝2－t (22t －1＋1)＝12×2－t (22t ＋2)，∴y ＝12

x ，且

x ≥22，y ≥2，故方程表示的是一条射线．

答案：B

6．方程?????

x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)的普通方程是________，与x 轴交点的直角坐标是________．

解析：由y ＝t 2－1，得t 2＝y ＋1，

代入x ＝3t 2＋2，可得x －3y －5＝0，

又x ＝3t 2＋2，所以x ≥2，

当y ＝0时，t 2＝1，x ＝3t 2＋2＝5，

所以与x 轴交点的坐标是(5,0)．

答案：x －3y －5＝0(x ≥2) (5,0)

7．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________．

解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0，

得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2，

所以参数方程为?????

x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)． 答案：??? x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t 21＋t 2(t 为参数)

8．将参数方程?

???? x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，转化为普通方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．

解析：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.

答案：(x －1)2＋y 2＝1 5－1

9．化普通方程x 2＋y 2－2x ＝0为参数方程．

解析：曲线过(0,0)点，可选择(0,0)为定点，可设过这个定点的直线为y ＝kx ，选择直线的斜率k 为参数，不同的k 值，对应着不同的点(异于原点)，

所以?????

x 2＋y 2－2x ＝0，

y ＝kx ， 故(1＋k 2)x 2－2x ＝0，得x ＝0或x ＝21＋k 2. 将x ＝21＋k 2代入y ＝kx 中，得y ＝2k 1＋k 2

. 所以????? x ＝21＋k 2，y ＝2k 1＋k 2(k 为参数)是原曲线的参数方程．

10．参数方程?????

x ＝cos θ(sin θ＋cos θ)，y ＝sin θ(sin θ＋cos θ)(θ为参数)表示什么曲线？ 解析：显然y x ＝tan θ，则y 2x 2＋1＝1cos 2θ，cos 2θ＝1y 2x 2＋1，

x ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝12sin 2θ＋cos 2θ＝12×2tan θ1＋tan 2θ＋cos 2θ，即x ＝12×2

y x 1＋y 2x 2＋11＋y 2

x 2， x ????1＋y 2x 2＝y x ＋1，得x ＋y 2x ＝x ＋y x ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.该参数方程表示圆． [B 组 能力提升]

1．参数方程????? x ＝3t 21＋t 2，y ＝5－t 21＋t 2(t 为参数)表示的图形为( ) A ．直线 B ．圆

C ．线段(但不包括右端点)

D ．椭圆

解析：从x ＝3t 21＋t 2中解得t 2＝x 3－x ，代入y ＝5－t 21＋t 2中，整理得到2x ＋y －5＝0.但由t 2＝x 3－x

≥0解得0≤x <3.所以化为普通方程为2x ＋y －5＝0(0≤x <3)，表示一条线段，但不包括右端点．

答案：C

2．参数方程????? x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，y ＝cos t ＋sin t

(t 为参数)表示的曲线( ) A ．关于x 轴对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于原点对称

D ．关于直线y ＝x 对称 解析：方程?????

x ＝12cos 2t ＋sin 2t ，

y ＝cos t ＋sin t ?

??? x ＝12(1－2sin 2t )＋sin 2t ＝12，

y ＝2sin ????t ＋π4?????? x ＝12，－2≤y ≤ 2，

它表示以点????12，－2和点???

?12，2为端点的线段，故关于x 轴对称． 答案：A

3．已知两曲线参数方程分别为??? x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和????? x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R)，它们的

交点坐标为________．

解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x 25

＋y 2＝1(0≤y ≤1，－5＜x ≤ 5)和y 2＝45x ，联立解得交点坐标为?

???1，255. 答案：?

???1，255 4．若直线l 1：????? x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：?????

x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.

解析：直线l 1化为普通方程是y －2＝－k 2(x －1)，该直线的斜率为－k 2

. 直线l 2化为普通方程是y ＝－2x ＋1，该直线的斜率为－2，

则由两直线垂直的充要条件，得????－k 2·(－2)＝－1，即k ＝－1.

答案：－1

5．已知方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2 θ＋8cos θ＋9＝0(0≤θ＜2π)．

(1)试证：不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；

(2)θ为何值时，该抛物线在直线x ＝14上截得的弦最长，并求出此弦长．

解析：(1)证明：方程y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0可配方为(y －3sin θ)2＝2(x －4cos θ)，

∴图象为抛物线．

设其顶点为(x ，y )，则有?????

x ＝4cos θ，

y ＝3sin θ，

消去θ，得顶点轨迹是椭圆x 216＋y 29

＝1. ∴不论θ如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆x 216＋y 2

9＝1上的抛物线． (2)联立????? x ＝14，

y 2－6y sin θ－2x －9cos 2θ＋8cos θ＋9＝0，

消去x ，得y 2－6y sin θ＋9sin 2θ＋8cos θ－28＝0，

弦长|AB |＝|y 1－y 2|＝47－2cos θ ，

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