2012中考数学压轴题精选精析（41-50例） 1

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2012中考数学压轴题精选精析（41-50例）

（右侧加有批注）

2011安徽八、（本题满分14分）

23．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中

相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0)． (1)求证：h1＝h2；

(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h1 l1 3

(3)若2h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况． l2 l3 【解】

l4 （1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，

证△ABE≌△CDG即可.

（2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S?4?A B DC 12222h1?h1?h2??h2?2h1?2h1h2?h2?(h1?h2)2?h1. 2(3)由题意，得h2?1?3 所以 2h13?52?2S??h1?1?h1??h1?h1?h1?12?4??5?2?4h???1?4?5?522

?h1?02?又?3 解得0＜h1＜

31?h1?0??22时，S随h1的增大而减小； 524 当h1=时，S取得最小值；

5522当＜h1＜时，S随h1的增大而增大. 532011芜湖24．(本小题满分14分)

平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(?1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形A'B'OC'。

(1)若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式；

(2)求平行四边形ABOC和平行四边形A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；

∴当0＜h1＜

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(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△AMA'的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标

24．(本小题满分l4分)

解：(1)∵?A'B'OC'由?ABOC旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，点A'的坐标为(3，0)。

所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)，A' (3，0)设抛物线的解析式为y?ax2?bx?c(a?0)，可得

?a?b?c?0?a??1?? ?c?3解得?b?2

?9a?3b?c?0?c?3?? ∴过点C，A，A'的抛物线的解析式为y??x2?2x?3。 (2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。

∴OB?OA2?AB2?10,又?OC'D??OCA??B.

?C'OD??BOA,∴?C'OD??BOA 又OC'?OC?1,

∴

?C'OD的周长OC'1,又△ABO的周长为4?10。 =??BOA的周长OB10∴?C'OD的周长为4?10210。 =1?510（3）连接OM，设M点的坐标为(m，n)， ∵点M在抛物线上，∴n??m2?2m?3。 ∴S?AMA'?S?AMO?S?OMA'?S?AOA'

111393=OA?m?OA'?n?OA?OA'?(m?n)??(m?n?3) 22222233327=??(m2?3m)??(m?)2?

2228315因为0?m?3，所以当m?时，n?。△AMA’的面积有最大值

2431527所以当点M的坐标为(，)时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。

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（2011上海）25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，

12sin?EMP?．

13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

图1 图2 备用图

25. (本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各5分)

12 (1) 由AE=40，BC=30，AB=50，?CP=24，又sin?EMP=?CM=26.

13 (2) 在Rt△AEP与Rt△ABC中，∵ ?EAP=?BAC，∴ Rt△AEP ~ Rt△ABC，

3EPBCEP30 ∴ ，即，∴ EP=x， ??4x40APAC

3x1212EP1245 又sin?EMP=?tg?EMP==?=，∴ MP=x=PN，学科王

135MP5MP16521x=50?x (0

13x=EN， 16511x=x， 1616 又AM=AP?MP=x?

1113xxAMME 由題設△AME ~ △ENB，∴ ，?16=16，解得?1321ENNBx50?x1616x=22=AP.

? 當E在線段BC上時，由題設△AME ~ △ENB，∴?AEM=?EBN.

由外角定理，?AEC=?EAB??EBN=?EAB??AEM=?EMP，

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3x5040ACEP4 ∴ Rt△ACE ~ Rt△EPM，?，即，?CE=??. ??CE5x3CEPM16 设AP=z，∴PB=50?z，由Rt△BEP ~ Rt△BAC，?

505BEBABE，即=，?BE=(50?z)， ?350?z30PBBC5 ∴CE=BC?BE=30?(50?z)??.

3505 由?，?，解=30?(50?z)，得z=42=AP.

332011泉州26. （14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA = 3，AB = 5．点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）求直线AB的解析式；

（2）在点P从O向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t之间的函数关系式（不必写出t的取值范围）； y（3）在点E从B向O运动的过程中，完成下面问题： B①四边形QBED能否成为直角梯形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

②当DE经过点O时，请你直接写出t的值．

22解：解：（1）在Rt△AOB中，OA = 3，AB = 5，由勾股定理得OB?AB?OA?4. E∴A（3，0），B（0，4）．设直线AB的解析式为y=kx?b.

yBQDOPAx?3k?b?0,?b?4.∴? 解得

∴直线AB的解析式为y=-4??k??,3???b?4.

4x?4．????2分 3EQ（2）如图，过点Q作QF⊥AO于点F. ∵ AQ = OP= t，∴AP?3?t．由△AQF∽△ABO，得∴

QFAQ?． BOAB yOBEDPFAxQFt4?．∴QF?t． ????2分 455∴S?(3?t)?t，

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∴S??t2?t．?????????4分（3）四边形QBED能成为直角梯形． ①如图，当DE∥QB时， ∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABO，得∴?t33?t． 59． ???????????6分 82565AQAP?. AOAB解得t?yB②如图，当PQ∥BO时， ∵DE⊥PQ， ∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABO，得即?t53?t． 315． ?????????10分 8QEOPDAxAQAP?. ABAO解得t?（4）

2011广州25. （14分）如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。（1）证明：B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=2OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转?（00

t?545t?2或14． ?????????14分

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（1）证明：∵ AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=90° ∵ ∠DCE=90°

∴∠ACB＋∠DCE=180° ∴ B、C、E三点共线。

(2)证明：连接ON、AE、BD，延长BD交AE于点F ∵ ∠ABC=45°，∠ACB=90°

∴ BC=AC，又∠ACB=∠DCE=90°，DC=EC ∴ △BCD≌△ACE

∴ BD=AE，∠DBC=∠CAE

∴∠DBC＋∠AEC=∠CAE＋∠AEC=90° ∴ BF⊥AE

∵ AO=OB，AN=ND

1 ∴ ON=BD，ON∥BD

2∵ AO=OB，EM=MB

∴ OM=

AN1DBM1CE1AE，OM∥AE 2OM MNOF ∴ OM=ON，OM⊥ON

∴ ∠OMN=45°，又 cos∠OMN= ∴ MN?2OM

(3) M1N1?2OM1成立，证明同（2）。

2011广东22．如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC

上，DF=2。动点M、N分别

从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），

当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动。连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，

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可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的

时间为x秒。试解答下列问题：（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

F D C F D C

W P P W

M Q A B N A B N M Q

第22题图（1）

第22题图（2）

（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF ∴∠QPW =∠MNF

同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM ∴△FMN∽△QWP 4（2）当x?或x?4时，△PQW为直角三角形；

344当0≤x<，

⑴求b的值． ⑵求x1?x2的值

⑶分别过M、N作直线l：y=－1的垂线，垂足分别是M1、N1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．

⑷对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

12x4y F M O l M1 F1 第22题

N ?x?x1?x?x2解：⑴b=1⑵显然?和?是方程组

y?yy?y?1?2?y?kx?1??12的两组解，解方程组消元得y?x??412x?kx?1?0，依据“根与系数关系”得x1?x2=－4 4全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

x N1 全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

⑶△M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：

由题知M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设M1N1交y轴于F1，则F1M1?F1N1=－x1?x2=4，而FF1=2，所以F1M1?F1N1=F1F2，另有∠M1F1F=∠FF1N1=90°，易证Rt△M1FF1∽Rt△N1FF1，得∠M1FF1=∠FN1F1，故∠M1FN1=∠M1FF1＋∠F1FN1=∠FN1F1＋∠F1FN1=90°，所以△M1FN1是直角三角形． ⑷存在，该直线为y=－1．理由如下：直线y=－1即为直线M1N1．

y F P M O l M1 F1 Q 第22题解答用图

N x N1 如图，设N点横坐标为m，则

（黄石市2011年）24.（本小题满分9分）已知⊙O1与⊙O2相

交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D。

（1）如图（8），若AC是⊙O2的直径，求证：AC?CD；（2）如图(9)，若C是⊙O1外一点，求证：O1C?AD；

（3）如图（10），若C是⊙O1内一点，判断（2）中的结论是否成立。

证明：（1）如图（一），连接AB，CO1

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∵AC为⊙O2的直径 ∴DB?AB ∴AD为⊙O1的直径 ∴O1在AD上又CO1?AD，O1为AD的中点

∴△ACD是以AD为底边的等腰三角形 ∴AC?CD ································································· （3分）（2）如图（二），连接AO1，并延长AO1交⊙O1与点E，连ED

∵四边形AEDB内接于⊙O1 ∴?ABC??E 又∵?AC??AC ∴?E??AO1C ∴CO1//ED

又AE为⊙O1的直径 ∴ED?AD

∴CO1?AD ································································ （3分）（3）如图（三），连接AO1，并延长AO1交⊙O1与点E，连ED

?E??B ∵?B??EOC1 又

∴?EO1C??E

∴CO1//ED 又ED?AD

∴CO1?AD ··································································· （3分

（黄石市2011年）25.（本小题满分10分）已知二次函数y?x2?2mx?4m?8

（1）当x?2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。

（2）以抛物线y?x2?2mx?4m?8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角

形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定

值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

（3）若抛物线y?x2?2mx?4m?8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。

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解：（1）∵y?(x?m)2?4m?8?m2

A ∴由题意得，m?2 ··············································································································· （3分）

（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN?y轴，设抛物线的

对称轴与MN交于点B，则AB?3BM。设M(a,b) ∴BM?a?m(m?a)

又AB?yB?yA?b?(4m?8?m2)

y 0 x ?a2?2ma?4m?8?(4m?8?m2)

?a2?2ma?m2?(a?m)2

∴(a?m)2?3(a?m) ∴a?m?3 ∴BM?3，AB?3 ∴S?AMN?

（3）令y?0，

11AB?2BM??3?2?3?33定值 ········ （3分） 22y M B N 0 A x 即

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x2?2mx?4m?8?0时，有

2m?2m2?4m?8x??m?(m?2)2?4 2由题意，(m?2)2?4为完全平方数，令(m?2)2?4?n2 即(n?m?2)(n?m?2)?4

∵m,n为整数， ∴n?m?2,n?m?2的奇偶性相同 ∴??n?m?2?2?n?m?2??2或?

?n?m?2?2?n?m?2??2?m?2?m?2解得?或?

n?2n??2??综合得m?2

（2011年广东茂名市）如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于

点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．

（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；（４分）

（2）若AC=a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点

是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆

上，记这个圆的圆心为O1，函数y?y

k的图象经过点x第24题图O1，求k的值（用含a的代数式表示）．（４分）解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，

在Rt△AOC中，OC?OA2?AC2?25?9?4，1分

在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△

ABO，····························2分 ∴

ACAO?，即COOB35?， ····················3分 4OB2020 ∴OB? ， ∴B(0,)····················4

33分

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解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°

在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ············1分

过C作CE⊥OA于点E，则：即：

11?OA?CE??CA?OC， 2211?5?CE??3?4，∴2212，·························2分 51216∴OE?OC2?CE2?42?()2? ∴

551612C(,)，·········3分 55设经过A、C两点的直线解析式为：y?kx?b．

1612 把点A（5，0）、C(,)代入上式得：

554?k???5k?b?0???3， ?1612 ，解得：?20k?b???b?5?5?3?20420 ∴y??x? ， ∴点B(O,) ．·4

333CE?分

（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：

连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴

CD?1OB?OD， 2∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，

∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，

∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； ·······6分由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心O1(由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴

中，

OPOD,)， 2225ACOA?，求得：AB=，在Rt△ABO

aOAABOA51525?a2525?a2OP?? ，OD=OB?，OB?AB?OA?2222aak5525?a2∴O1(,)，点O1在函数y?的图象上，

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525?a24k∴， ∴?4a52525?a2． ················8分 k?16a

（2011年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，

4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．

（1）求抛物线的解析式和对称轴；（3分）

（2）设点P为抛物线（x?5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边

的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（2．．．．分）

（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最

大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由．（3分）解：

25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为

y?a(x?1)(x?5)，············1分

把点A（0，4）代入上式得：a?

44224416第25题图 2x?4?(x?3)?， ∴y?(x?1)(x?5)?x?···········2

55555分

x?3． ∴抛物线的对称轴是：······································3

分

（2）由已知，可求得P（6，4）． ···································5

分提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，

4， 5

AM?OA2?OM2?42?32?5，因为抛物线对称

轴过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对

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称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，

4）．···································5分

（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，

解答过程分析合理可酌情给1分）

⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．

设N点的横坐标为t，此时点N(t,t2?4524t?4)5（0?t?5)，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：

44y??x?4；把x?t代入得：y??t?4，则

554G(t,?t?4)，

544224t?4），此时：NG=?t?4-（t?5554220t．=?t? ······································７

55分

11420525NG?OC?(?t2?t)?5??2t2?10t??2(t?)2? 225522525∴当t?时，△CAN面积的最大值为，

22554224t?4??3，∴N由t?，得：y?t?（， -3）． ········ 8

2255∴S?ACN?分

法二：提示：过点N作x轴的平行线交y轴于点E，作CF⊥EN于点F，则

S?ANC?S梯形AEFC?S?AEN?S?NFC

（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）

（2011年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，

与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x2?4x?12?0的两个根。

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；

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（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。

y 228．（1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。

∴A(?2,0)，B(6,0)。····················1分

又∵抛物线过点A、B、C，

故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)，

A N O M B x 1。 3124 ∴抛物线的解析式为y?x?x?4。········3

33将点C的坐标代入，求得a?C 28题图

分

（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。 ∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6,0) ∴AB?8，

AM?m?2。···························4分

∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。

NHAMNHm?2??，∴，∴COAB48m?2NH?。·················5分

211CO?AM?NH ∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?221m?21?(m?2)(4?)??m2?m?3 ······6224∴

分

y 1??(m?2)2?4。

4∴当m?2时，S△CMN有最大值4。

此时，点M的坐标为（2，0）。··············7

分

（3）∵点D（4，k）在抛物线y?F1 A E O F2 B x D 图（2）

124x?x?4上， 33∴当x?4时，k??4，

∴点D的坐标是（4，?4）。

如图（2），当AF为平行四边形的边时，AFy DE，

E? A E? F3 O D 图（3）

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F4 x

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∵D（4，?4），∴E（0，?4），DE?4。 ∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 ··········9分 ① 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F(n,0)，则平行四边形的对称中心为

n?2，0）。·················10分 2∴E?的坐标为（n?6，4）。

14把E?（n?6，4）代入y?x2?x?4，得n2?16n?36?0。

33（

解得 n?8?27。

F3(8?27,0)，F4(8?27,0)。····

（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和

同学们一起研究某条抛物线y?ax2(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；

（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作

BF?x轴于点F，测得OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；．．．（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的

连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

yOxABEOyFBx

图1 图24.解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， A? OA?OB?22，?AOB?90?， ?AC?OC?BC?2，?B(2，?2) ??? 2

分

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将B(2，?2)代入抛物线y?ax2(a?0)得，a??分

（2）解法一：过点A作AE?x轴于点E，

1. ??? 321?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4

2分

1. 又? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF，又?AEO??OFB?90?， 2AEOF1?△AEO∽△OFB，????2 ?AE?2OE ??? 5yOEBF12?BF?分 EOFx121212B设点A（?m，?m）（m?0），则OE?m，AE?m，?m?2m 222?m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分解法二：过点A作AE?x轴于点E，

1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分

A2OF1?tan?OBF???2

BF1 2? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF， AE?tan?AOE?tan?OBF?2，?AE?2OE ??? 5分 ?OE121212设点A（-m，?m）（m?0），则OE?m，AE?m，?m?2m

222?m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分解法三：过点A作AE?x轴于点E，

1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分

212设A（-m，?m）（m?0），则

215111OB2?12?()2?，OA2?m2?m4，AB2?(1?m)2?(??m2)2，

24422? ?AOB?90??AB2?OA2?OB2，

1111?(1?m)2?(??m2)2?(1?m)2?(??m2)2，

2222解得：m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分

1212（3）解法一：设A（?m，?m）（m?0），B（n，?n）（n?0），

22全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

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12??mk?b??m (1) ??2设直线AB的解析式为：y?kx?b，则?，??? 7分

?nk?b??1n2 (2) ??211(1)?n?(2)?m得，(m?n)b??(m2n?mn2)??mn(m?n)，

221 ?b??mn ??? 8分

2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，?，?，?mn?4??? 9分 OFBFn0.5n21?b???4??2.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，?2）???10分

2（说明：写出定点C的坐标就给2分）

1212解法二：设A（?m，?m）（m?0），B（n，?n）（n?0），

22直线AB与y轴的交点为C，根据S?AOB?S梯形ABFE?S?AOE?S?B0F?S?AOC?S?BOC，可

得

11212111111?(n?m)(m?n)??m?m2??n?n2??OC?m??OC?n， 2222222221化简，得OC?mn. ??? 8分

2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，?，?，?mn?4??? 9分2OFBFn0.5n?OC?2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,?2）??? 10分说明：mn的值也可以通过以下方法求得.

141412122222222由前可知，OA?m?m，OB?n?n，AB?(m?n)?(?m?n)，

4422141412122222由OA2?OB2?AB2，得：(m?m)?(n?n)?(m?n)?(?m?n)，

4422化简，得mn?4.

本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准

123（2011年桂林市）26．（本题满分12分）已知二次函数y??x?x的图象如图.

42（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断

直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.

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26．（本题满分12分）解: （1）由y??123bx?x得 x???3 ????1分 422a∴Ｄ（３，０）????2分

（2）方法一:

如图1, 设平移后的抛物线的解析式为

13y??x2?x?k ????3分

42则C(0,k) OC=k 令y?0 即 ?123x?x?k?0 42得 x1?3?4k?9 x2?3?4k?9 ????4分 ∴A(3?4k?9,0)，B(3?4k?9,0)

∴AB2?(4k?9?3?3?4k?9)2?16k?36???5分

AC2?BC2?k2?(3?4k?9)2?k2?(3?4k?9)2

?2k2?8k?36????????6分

∵AC2?BC2?AB2 即: 2k2?8k?36?16k?36

得 k1?4 k2?0(舍去) ?????7分

∴抛物线的解析式为y??

方法二: ∵ y??123x?x?4 ?????8分 42123?9?x?x ∴顶点坐标?3,? 42?4?全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com

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设抛物线向上平移h个单位,则得到C?0,h?,顶点坐标M?3,分

??9??h?????34?192?x?3???h????????4分 44192当y?0时, ??x?3???h?0, 得 x1?3?4h?9 x1?3?44∴平移后的抛物线: y??∴ A(3?4h?9,0) B(3?4h?9,0)????????5分 ∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ∴OC2?OA·OB????????6分

4h?9h2??4h?9?3??4h?9?3 得 h1?4,h2?0?舍去?????7分

1912522?x?3???4???x?3??????8分 4444?∴平移后的抛物线: y??

（3）方法一:

如图2, 由抛物线的解析式y??123x?x?4可得 4225A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M(3,) ????9分

4过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H, 则MH?3

2∴DM?(252625)? 416CM2?MH2?CH2?32?(25225?4)2? 416在Rt△COD中,CD=32?42?5=AD ∴点C在⊙D上 ???????10分

2∵DM?(252625)? 416225252625CD2?CM2?52??()? ??11分

16416∴DM2?CM2?CD2

∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM

∴直线CM与⊙D相切 ????12分

方法二:

如图3, 由抛物线的解析式可得