江苏省南通市通州区2017-2018学年高二下学期期末学业质量监测数学（文）试题含答案

2017~2018学年（下）高二期末质量监测

文科数学

一、填空题：本大题共14小题，每题5分，满分70分，请将答案填在答题卡相应位置. ．．．．．．．1.某高中有高一学生320人，高二学生400人，高三学生360人.现采用分层抽样调查学生的视力情况.已知从高一学生中抽取了8人，则三个年级一共抽取了 人。 2.已知命题“?x?R，e?a?0”为假命题，则a的取值范围是 .

3.若从甲乙丙丁4位同学中选出3位同学参加某个活动，则甲被选中的概率为 ． 4.下图是一个算法流程图，若输入值x???1,2?，则输出值为2的概率为 ．

x

5.某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为 ．

6．下图所示的伪代码，最后输出的S值为 ．

7.若复数z?(a?i)是纯虚数(i是虚数单位)，a为实数，则复数z的模为 ． 8.直线l1：(3?m)x?4y?5?3m，l2：2x?(5?m)y?8.则“m??7”是“l1与l2相交”的 条件. (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)

29.将函数f(x)?2sin(2x??6)的图象向左平移?(??0)个单位，若所得到图象关于原点对

称，则?的最小值为 ．

10.类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a的正四面体的内切球半径为 ．

11.设向量m?(sin?,2)，n?(1,?cos?)，且m?n,则tan(??12.已知函数f(x)???4)的值为 ． 1a?1有三个零点，则实2 x?1?log2x 2??x?x?1 x?1，若函数g(x)?f(x)?数a的取值范围是 ．

13.设函数f(x)?ln(x?k)?1，g(x)?ex. 若f(x1)?g(x2)， 且x1?x2的最小值为-1，则实数k的值为 ．

14.在平面直角坐标系xOy中，原点O在圆C：(x?1)2?(y?a)2?4内，过点O的直线与圆C交于点A，B.若?ABC面积的最大值小于2,则实数a的取值范围是 . 二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别为棱A1C1和AB的中点. (1)求证:MN//平面BCC1B1;

(2)若平面ACC1A1?平面A1B1C1，且A1B1?B1C1，求证:平面B1MN?平面ACC1A1.

16. 在?ABC中，已知3sinA?cosA?1,cosB?(1)求内角A的大小; (2)求边BC的长.

17. 如图，圆O的半径为2，点P是圆O的一条半径OA的中点，BC是圆O过点P的动弦. (1)当P是BC的中点时，求OB?OC的值;

(2)若OP??OB??OC，?,??R,且BP?2PC.

4,AB?4?3. 5 ①?,?的值; ②求cos?BOC的值.

18.如图，l1,l2是经过小城O的东西方向与南北方向的两条公路，小城P位于小城O的东北方向，直线距离OP?52km.现规划经过小城P修建公路AB(A,B分别在l1与l2上)，与

l1,l2围成三角形区域AOB.

(1)设?BAO??，0????2,求三角形区域AOB周长的函数解析式L(?);

(2)现计划开发周长最短的三角形区域AOB，求该开发区域的面积.

x2y219.如图，点A,B,D,F分别为椭圆C:2?2?1(a?b?0)的左、右顶点，下顶点和

ab右焦点，直线l过点F，与椭圆C交于点P，Q已知当直线l?x轴时，PQ? (1)求椭圆C的离心率;

(2)若当点P与D重合时，点Q到椭圆C的右准线的距离为上. ①求椭圆C的方程; ②求?APQ面积的最大值.

3AB. 4

20.设a?R,函数f(x)?e?x12ax,f?(x)是函数f(x)的导函数, e是自然对数的底数. 2 (1)当a?2时,求导函数f?(x)的最小值;

(2)若不等式f(x)?2对任意x?1恒成立,求实数a的最大值;

(3)若函数f(x)存在极大值与极小值，求实数a的取值范围.

试卷答案

一、填空题

1. 27 2. ?0,??? 3.

32 4. 5. 25 6. 21 7. 2 438.必要不充分 9. 二、解答题

?161 10. a 11. 12. (?2,2) 13. 2 14. (?1,1) 1231215.解：（1）如图1，设BC的中点为H，连结NH，HC1.在?ABC中，因为N为AB的中点，所以NH//AC，且NH?1AC，在三棱柱ABC?A1B1C1中，因为AC//A1C1，且21AC?A1C1,M为A1C1的中点，所以MC1//AC,且MC1?AC，所以NH//MC1，且

2NH?MC1,所以四边形MC1HN为平行四边形，所以. MN//C1H

又MN?平面BCC1B1，C1H?平面BCC1B1，所以MN//平面BCC1B1.

(法二)

如图2，在侧面ACC1A1中，连结AM并延长交直线CC1于点Q，连结BQ.在三棱柱

ABC?A1B1C1中，AA1//CC1 所以

AMA1M,因为M为AC的中点，所以M为AQ中?MQMC1点.又因为N为AB中点，所以MN//BQ,又MN?面BCC1B1，BQ?面BCC1B1 所以

MN//平面BCC1B1

(法三)如图3，取A1B1的中点O,连结OM、ON. 在?A1B1C1中，因为O、M分别为A1B1、

A1C1的中点，所以OM//B1C1. 因为OM?面BCC1B1，B1C1?面BCC1B1 所以OM//平面BCC1B1.在三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1//AB且A1B1?AB，又因为O、N分别为

A1B1、AB的中点，所以OB1//NB，OB1?NB，所以四边形OB1BN为平行四边形，所以ON//B1B,又ON?面BCC1B1，B1B?面BCC1B1，所以ON//面BCC1B1

因为OM//面BCC1B1，ON//面BCC1B1，OM?ON?O，OM?面OMN，ON?面

OMN，所以面OMN//面BCC1B1,又MN?面OMN,所以MN//平面BCC1B1

(2)因为A1B1?B1C1， M为A1C1的中点，所以B1M?A1C1，因为面ACC1A1?面A1B1C1，面ACC1A1?面A1B1C1?A1C1，B1M?面A1B1C1，所以B1M面ACC1A1，又B1M?面

B1MN，所以面B1MN?面ACC1A1

16.解：（1）因为3sinA?cosA?1 所以2sin(A??6)?1，即sin(A??6)?1 2因为0?A??，所以?所以A??6?A??6?5? 6?6??6，所以A??3

22(2)因为sinB?cosB?1，cosB?24?,B?(0,) 52所以sinB?1?cosB?3 5所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB

?341343?3 ????252510BCAB? sinAsinC在?ABC中，

所以

BC4?3，得BC?5 ?343?321017.解：（1）因为P为圆O的弦的中点，所以OP?BC 因为P为的OA中点，所以OP?1OA?1 2在Rt?BPO中, OP?1,OB?2 所以?BOP?60?,所以?BOC?120?

所以OB?OC?OB?OC?cos?BOC?2?2?(?)??2 （2）① 因为BP?2PC 所以OP?OB?2OC?2OP 所以OP?1212OB?OC 33又OP??OB??OC，且OB与OC不共线

12，?? 3312② 因为OP?OB?OC

33所以??2?1?所以OP??OB?OC?

3?3?22即OP?222144OB?OC?OB?OC 999因为OP?1,OA?OB?2 所以1?144?4??4?OB?OC 999所以OB?OC??11 418.解：（方法一）

（1）如图，过P分别作l1、l2的垂线，垂足分别为M、N，因为小城P位于小城O的东北方向，且OP?52，所以PM?PN?5，在Rt?PMA和Rt?PNB中，易得MA?5，AP?5sin? BN?5tan?，BP?5cos? 所以L(?)?5tan??5tan??5sin??5cos??10 ?5sin?55cos??5cos?sin??sin??cos??10 ?5(sin??1cos??1cos??sin?)?10

L?(?)?5??cos2??(sin??1)sin??sin2??(cos??1)cos???cos2??sin2?? ??5(1?sin?1?cos?cos2??sin2?)

?5(111?sin??1?cos?)

?5(sin??cos?)(1?sin?)(1?cos?)

当0????4时，L?(?)?0，L(?)单调递减 当

?4????2时，L?(?)?0，L(?)单调递增

所以???4时，L(?)取得最小值.

此时，OA?5?5?10，OB?5?5tan?10

tan?4?4?AOB的面积S?AOB?1OA?OB?1?10?10?50(km222) 答：开发区域?AOB的面积为50km2 （方法二）

tan?（1）在?AOP中，

OPOA52OA??，即

3sin?PAOsin?OPAsin?sin(???)45cos??5sin?

sin?5cos??5sin?在Rt?AOB中，OB?OAtan??

cos?OA5cos??5sin?AB??

cos?sin?cos?所以OA?352(??)?sin??所以L(?)?OA?OB?AB

5cos??5sin?5cos??5sin?5cos??5sin???

sin?cos?sin?cos?5(cos??sin?)(1?sin??cos?)??(0???)

sin?cos?2?（2）令cos??sin??t，则t?因为0???2sin(????4)

?2，所以

2?4????43?，所以1?t?2 4t2?1由(cos??sin?)?1?2sin?cos?，得sin?cos??

2记L(?)?g(t)?5t(1?t)10??10

t2?1t?12因为g(t)在1,2上单调递减，所以当t?此时????2时L(?)最小

?4??2，即???4

5cos?5sin44?10，OB?10tan??10 OA??4sin4112所以?AOB的面积S?AOB?OA?OB??10?10?50(km)

22答：开发区域?AOB的面积为50km

2??x2y219.解：（1）在2?2?1中，令x?c

aby2c2b2b42可得2?1?2?2，所以y?2

baaa2b2所以当直线l?x轴时，PQ?

a32b23??2a 又PQ?AB，所以

4a4所以

b23?a24c2b21，所以e?2?1?2?

aa42（2）① 因为e?c1?，所以a?2c，b?a2?c2?3c a2x2y2椭圆方程为2?2?1

4c3c当点P与点D重合时，P点坐标为(0,?3c) 又F(c,0)，所以此时直线l为

y?3x?3c

?y?3x?3c8?2x?c 由?x2得Qy5?2?2?13c?4c4c2812?c?又，所以c?1 c55x2y2??1 所以椭圆方程为43② 设直线l为x?my?1(m?0)

?x?my?1?22由?x2y2得3(my?1)?4y?12

?1??3?422即(3m?4)y?6my?9?0，??0恒成立

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)

6m9则y1?y2??，y1y2?? 223m?43m?4所以S?APQ?1?AF?y1?y2 2?3(y1?y2)2?4y1y2 2?36m236 (?2)?223m?43m?4m2?1 ?18(3m2?4)2令m?1?t，则t?1且m?t?1

22S?APQ?18t1t?18，t?1 ?182219t?1?6t(3t?1)9t??tt1易知函数y?9t?在?,???上单调递增

t?3?所以当t?1时，(S?APQ)max?即?APQ的面积的最大值为20.解：f?(x)?e?ax

xx（1）当a?2时，f?(x)?e?2x记g(x)?f?(x)?e?2x

x?1?9 29 2则g?(x)?e?2，由g?(x)?0得x?ln2. 当x?ln2时，g?(x)?0，g(x)单调递减 当x?ln2时，g?(x)?0，g(x)单调递增 所以当x?ln2时，g(x)min?2?2ln2 所以f?(x)min?2?2ln2 （2）由f(x)?2得e?xx121ax?2，即ax2?ex?2 221ex?2(?). 因为x?1，所以a?22xex?2exx2?(e?x2)?2x(x?2)ex?4(x?1)，则h?(x)??记h(x)? 2xx4x3

记y?(x?2)ex?4，则y??ex?(x?2)ex?(x?1)ex 因为x?1，所以y??0且不恒为0 所以x?1时，y单调递增，

当x?1时，ymin(x?2)ex?4?0 ?4?e?0，所以h?(x)?3x所以h(x)在?1,???上单调递增，h(x)min?h(1)?e?2 因为(*)对x?1恒成立， 所以

1a?e?2，即a?2e?4 2所以实数a的最大值为2e?4

（3）记m(x)?f?(x)?ex?ax，m?(x)?ex?a 因为f(x)存在极大值与极小值，

所以f?(x)，即m(x)存在两个零点，且m(x)在零点的两侧异号. ①当a?0时，m?(x)?0，m(x)单调递增， 此时m(x)不存在两个零点；

②当a?0时，由m?(x)?0，得x?lna 当x?lna时，m?(x)?0，m(x)单调递减， 当x?lna时，m?(x)?0，m(x)单调递增， 所以m(x)min?m(lna)?a?alna

所以m(x)存在两个零点的必要条件为：m(lna)?a?alna?0，即a?e 由a?e时，

111?lna(a?e)，则y???2??0 aaa1所以当a?e时，y??lna单调递减，

a111当a?e时，?lna??1?0，所以?lna.

aea(ⅰ)记y?所以m(x)在(,lna)上，有且只有一个零点. 又m(x)在(??,lna)上单调，

所以m(x)在(??,lna)上有且只有一个零点，记为x1，

由m(x)在(??,lna)内单调递减，易得当x?x1时，函数f(x)存在极大值 （ⅱ）记y?a?lna(a?e)，则y??1?1a1?0 a所以a?e时，a?lna?e?1?0，所以a?lna

由（1）知a?2时，f(x)?ex?x2有f?(x)min?2?2ln2?0

所以f(x)在R上单调递增，所以a?e时, m(a)?ea?a2?ee?e2?0 因为m(a)?0且m(lna)?0，m(x)的图像在(lna,a)单调且不间断， 所以m(x)在(lna,a)上，有且只有一个零点. 又m(x)在(lna,??)上单调

所以m(x)在(lna,??)上有且只有一个零点，记为x2，

由m(x)在(lna,??)内单调递增，易得当x?x2时，函数f(x)存在极小值 综上，实数a的取值范围为(e,??).

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