2018北京各区初中二模数学分类汇编28号题及答案

2018北京各区初中二模数学分类汇编28号题及答案

西城28. 对于平面直角坐标系xOy中的点Q(x,y)（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的比

称为点Q的“理想值”，记作LQ.如Q(?1,2)的“理想值”LQ?y x2??2. ?1（1）①若点Q(1,a)在直线y?x?4上，则点Q的“理想值”LQ等于_________；

②如图，C(3,1)，⊙C的半径为1. 若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”LQ的取值范围是 .

（2）点D在直线y??3x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有 30≤LQ≤3，求点D的横坐标xD的取值范围；

（3）M(2,m)（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤LQ≤22时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径r的值.（要求画图位置准确，但不

必尺规作图）

平谷28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和M，给出如下定义：若A，B，使AB=2PM，则称点P为M的“美好点”． （1）当M半径为2，点M和点O重合时，

M上存在两个点

1点P，0? ，P2?11，2?中，O的“美好点”是 ； ?，P3?2，○1??22点P为直线y=x+b上一动点，点P为O的“美好点”，求b的取值范围； ○

（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作M，点P为直线y=4上一动点，点P为的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．

M

顺义28．已知边长为2a的正方形ABCD，对角线AC、BD交于点Q，对于平面内的点P与正

方形ABCD，给出如下定义：如果a≤PQ≤2a，则称点P为正方形ABCD的“关联点”． 在平面直角坐标系xOy中，若A(-1，1)，B(-1，-1)，C(1，-1)，D(1，1) ．

131 （1）在P， P(,)，P3(0,2)中，正方形ABCD的“关联点”有 ；(?,0)21222（2）已知点E的横坐标是m，若点E在直线y?3x上，并且E是正方形ABCD的“关联点”，求m的取值范围；

（3）若将正方形ABCD沿x轴平移，设该正方形对角线交点Q的横坐标是n，直线

y?3x?1与x轴、y轴分别相交于M、N两点．如果线段MN上的每一个点都是

正方形ABCD的“关联点”，求n的取值范围．

东城28. 研究发现，抛物线y?yOx12x上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：y??1的距离412相等.如图1所示，若点P是抛物线y?x上任意一点，PH⊥l于点H，则PF?PH.

4基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y?称点M为抛物线y?12x的关联距离；当2≤d≤4时，412x的关联点. 4

2)，M3(4，?4)中，抛物线y?0)，M2(1，5)，M4(0，（1）在点M1(2，______ ；

（2）如图2，在矩形ABCD中，点A(t，1)，点A(t?1，3)C( t.

①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y?②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y?__________.

12x的关联点是412 x的关联距离d的取值范围；

412x的关联点，则t的取值范围是4

房山28. 已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q

作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.

13（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（－2，2 ），M（0，－1）中，⊙O的“关

联点”为 ；

（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为5 ，求

n的值；

（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H 的“关联圆”，直线y??4x?4与 3x轴，y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.

昌平28.在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.

例如：点A (?2,0) ，点 B(1,1) ，点 C (?1, ?2)，则A、

Ay4321B4x–4–3–2–1O123–1C–2–3–4B、C三点的 “横长”a=|1?(?2)|=3，A、B、C三点的“纵长”b=|1?(?2)|=3.

因为a=b，所以A、B、C三点为正方点.

（1）在点R (3，5) ，S(3，?2) ，T (?4，?3)中，与点A、B为正方点的是 ； （2）点P (0，t)为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点， t的值为 ；

（3）已知点D (1，0).

①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中

画出所有符合条件的点E组成的图形； ②若直线l：y?1x?m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出2m的取值范围．

海淀28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点(a,b1)，(a?1,b2)，b2?b1?k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数y??x?2，当x取值a和a?1时，函数值分别为b1??a?2，b2??a?1，故b2?b1??1?k，因此函数y??x?2是限减函数，它的限减系数为?1． （1）写出函数y?2x?1的限减系数；

（2）m?0，已知y?值范围．

1（?1?x?m,x?0）是限减函数，且限减系数k?4，求m的取x（3）已知函数y??x2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数y??x2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数k??1，直接写出P点横坐标n的取值范围．

石景山28．在平面直角坐标系xOy中，对于任意点P，给出如下定义：若⊙P的半径为1，

则称⊙P为点P的“伴随圆”． （1）已知，点P?1,0?，

①点A??13?在点P的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；

?2,?2????3x相切，求点P的坐标； 3②点B??1,0?在点P的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； （2）若点P在x轴上，且点P的“伴随圆”与直线y?（3）已知直线y?x?2与x、y轴分别交于点A，B，直线y?x?2与x、y轴分别

交于点C，D，点P在四边形ABCD的边上并沿AB?BC?CD?DA的方 向移动，直接写出点P的“伴随圆”经过的平面区域的面积．

门头沟28.在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中”表示.以W(?3,0)为圆心，半径为2的圆上.

（1）已知弦MN长度为2.

①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d中的长度；

②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d中的取值范围. （2）已知点M(?5,0),点N为⊙W上的一动点，有直线y?x?2，求到直线y?x?2的d中的最大值.

yMPNyx1WAPOW，取弦OxP，若满足??1，则怀柔28. A为⊙C上一点，过点A作弦ABAB上一点3AB称P为点A关于⊙C的黄金点．已知⊙C的半径为3，点A的坐标为（1，0）． (1)当点C的坐标为（4，0）时，

①在点D（3，0），E（4，1），F（7，0）中，点A关于⊙C的黄金点是 ； ②直线y?33x?上存在点A关于⊙C的黄金点P，求点P的横坐标的取值范围； 33

(2)若y轴上存在点A关于⊙C的黄金点，直接写出点C横坐标的取值范围． ．．

朝阳28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m，给出如下定义：若存在一点P，使

得点P到直线m的距离等于，则称P为直线m的平行点． （1）当直线m的表达式为y=x时， ①在点P1（1，1），P2（0，2），P3（?22，）中，直线m的平行点是 ； 22②⊙O的半径为10，点Q在⊙O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标. （2）点A的坐标为（n，0），⊙A半径等于1，若⊙A上存在直线y?3x的平行点，

直接写出n的取值范围．

丰台28．在平面直角坐标系xOy中，将任意两点P?x1,y1?与Q?x2，y2?之间的“直距”定

义为：DPQ?x1?x2?y1?y2.

例如：点M（1，?2），点N（3，?5），则DMN?1?3??2?(?5)?5.

已知点A(1，0)、点B(-1，4).

（1）则DAO?_______，DBO?_______；

（2）如果直线AB上存在点C，使得DCO为2，请你求出点C的坐标； （3）如果⊙B的半径为3，点E为⊙B上一点，请你直接写出DEO的取值范围.

y 654321

答案

西城28.解：（1）①?3． ………………………………………………………………………… 1分

② 0≤

LQ≤3．……………………………………………………………… 2分

（2）设直线

y??3x+3A(33,0)， 3与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得

B(0,3)．

∴ OA?33，OB?3，?OAB?30?． 由0≤

LQ≤3，作直线y?3x．

①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心D1满足题意，其横坐标取到最大值．作D1E1?x轴于点E1，

D1E1AE1?DEAO． 可得11∥OB，BO∵ ⊙D的半径为1， ∴ D1E1?1．

∴ AE1?3，OE1?OA?AE1?23． ∴

图13

xD1?23．

②如图14，当⊙D与直线y?3x相切时， 相应的圆心D2满足题意，其横坐标取到 最小值．

作D2E2?x轴于点E2，则D2E2⊥OA．

设直线

y?3x与直线

y??3x+33的

图14 交点为F．

可得?AOF?60?，OF⊥AB．

则

AF?OA?cos?OAF?33?39?22．

∵ ⊙D的半径为1，

平谷28．解：（1）○1P1 ，P2； ···························································································· 2 ○2当直线y=x+b与

O相切时，b?22或?22； ································· 3

∴?22?b?22． ·················································································· 5

（2）当直线y=4与M相切时，m=2或6． ·························································· 6 ∴2≤m≤6． ······································································································ 7

顺义28．解：（1）P2，P3； ……………………… 2分

（2）做出正方形ABCD的内切圆和外接圆， ∴OF?1,OG?2． ∵E是正方形ABCD的“关联点”， ∴E在正方形ABCD的内切圆和外接圆之间， ∵点E在直线y?3x上， ∴点E在线段FG上． 分别做FF’⊥x轴，GG’⊥x轴， ∵OF?1,OG?2， 21∴OF'?,OG'?． 2212∴?m?． 22根据对称性，可以得出?1.510.521.81.61.41.21GF0.80.60.40.20.2OF'G'0.511.522.53y = 3?x0.40.60.811.21.421?m??． 221221?m??．……………… 5分 ∴?m?，?22223（3）∵M(?,0)、N(0,1)， 33∴OM?,ON?1． N3∴?OMN?60?． F∵线段MN上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”， OMQ①MN与小⊙Q相切于点F，如右图 ∵QF?1,?OMN?60?， 2∴QM?3． 33∵OM?， 33∴OQ?． N3F3∴Q1(,0)． 3②M落在大⊙Q上，如右图 OMQ3∵QM?2,OM?， 33∴OQ?2?． 33,0)． ∴Q2(2?333?n?2?综上：．……………………………………………… 7分 33

1.61.61.41.210.80.60.40.210.50.510.20.40.60.811.21.41.61.61.41.210.80.60.40.20.50.511.520.20.40.60.811.21.41.61.522.532.53东城28. (1) M1，M2； -----------------------------------------------------------------2分

（2）①当t?4时，A?41，，3?，D?4，3?， ?，B?51?，C?5， 此时矩形ABCD上的所有点都在抛物线y?∴d?MF. ∴AF≤d≤CF. ∵AF=4，CF=29，

∴4≤d≤29. ---------------------------------------------------------------------------------- 5分 ②-23≤t≤23?1. ------------------------------------------------------------------------8分

M.………………………………………………………………………2′ 房山28. 解：（1）① F，

（注：每正确1个得1分） （2）如图1，过点Q作QH⊥x轴于H. ∵PH=1，QH=n，PQ=5 ∴由勾股定理得，PH2+QH2=PQ2 即12?n2?12x的下方， 4?5?

2 解得，n?2或－2. ………………………………………………………4′

y （3）由y??4x?4，知A（3，0），B（0，4） 3BTDOH1Ax ∴可得AB=5

I. 如图2（1），当⊙D与线段AB相切于点T时，连接DT. 则DT⊥AB，∠DTB=90°

OADT? ∵sin?OBA? ABBD6

∴可得DT=DH1=5

图2(1)y6 ∴m1? …………………………………………………5′

5 II. 如图2（2）, 当⊙D过点A时，连接AD.

由勾股定理得DA=OD2+OA2=DH2=13 ……………………6′ 综合I，II可得：-13≤m≤-BDOAH2x66 2(2)或≤m≤13 ………………………………8′图55

昌平28．解：（1）点R……………………… 1分 （2）?2或3……………………… 3分

（3）①画出如图所示的图像……………………… 5分

y543215②m?或m??2……………………… 7分

2

AD–5–4–3–2–1O123–1–2–3–4–545x海淀28．解：（1）函数y?2x?1的限减系数是2；

（2）若m?1，则m?1?0，（m?1，

11）和（m，）是函数图象上两点，m?1m111????0，与函数的限减系数k?4不符，∴m?1． mm?1m(m?1)若0?m?111，（t?1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两2t?1t111?点，则0?t?m，?，

tt?1?t(t?1)11111∵?t(t?1)?0，且?t(t?1)??(t?)2???(m?)2??，

2424411?4，与函数的限减系数k?4不符. ∴?tt?1∴m?1． 2若

111?m?1，（t?1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两2t?1t111?点，则0?t?m，?，

tt?1?t(t?1)111∵?t(t?1)?0，且?t(t?1)??(t?)2??，

2441111??4，当t?时，等号成立，故函数的限减系数k?4． ∴?tt?1?t(t?1)2∴m的取值范围是

1?m?1． 2（3）-1?n?1．

石景山28．解：（1）上；外； ………………… 2分 （2）连接PH，如图1，

∵点P的“伴随圆”与直线y?∴PH?OH.

∴PH?1，?POH?30?， 可得，OP?2，

3x相切， 3（-2,0） ∴点P（2,0）或； …………………… 6分

（3）162?4??.（可参考图2） …………………… 8分

P'–3–2–1–1–221yFyHPO123321B

xEA–3–2–1CO–1–2–3123G45x H' 门头沟28．（本小题满分8分） 图1 D解： (1). 23……………………………………………2分 H–4示意图正确 …………………………………3分 3?3≤d中≤3?3……………………………4分 yNxy （2）由于PW是⊙W的弦心距

P 所以PW?MN WP'OM 所以点N在运动过程中，点P在以MW为直径的圆上…………………5分 由图可知直线与点P的运动轨迹形成的圆相切时，且 弦中距d中过圆心时，距离最大………………6分 ∵y?x?2的图象与x轴夹角是45° ∴由图可得DE?6

在等腰直角三角形DFM中

可得DE?32，所以PL?32?1 即：d中的最大值为PL?32?1

NPMDWOLEx怀柔28.解：（1）①D（3,0），E（4, 1）；……………………….…………………………………2分 ②∵直线y?设直线y?∴∴

（2）-2≤x＜

y33过A（1,0），且与x轴正方向夹角为30°， x?3333与以（2,0）为圆心，1为半径的圆交于点P1，与⊙C交于点P2 . x?33xP=15，2xP2=

11

.2511≤x＜.……………………………………………………………….…………………5分 224321AP1CxP2–4–3–2–1–1–2–3–4O123456783.……………………………………….…………………………………7分

朝阳28.（1）①P2，P3 ……………………………………………………………………………………2分

② 解：由题意可知，直线m的所有平行点组成平行于直线m，且到直线m的距离为1的直线.

设该直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.

如图1，当点B在原点上方时，作OH⊥AB于点H，可知OH=1. 由直线m的表达式为y=x，可知∠OAB=∠OBA=45°.

所以OB=2.

直线AB与⊙O的交点即为满足条件的点Q. 连接OQ1，作Q1N⊥y轴于点N，可知OQ1=10. 在Rt△OHQ1中，可求HQ1=3. 所以BQ1=2.

在Rt△BHQ1中，可求NQ1=NB=2. 所以ON=22.

所以点Q1的坐标为（2，22）.

同理可求点Q2的坐标为（?22，?2）.……………………………………4

分

如图2，当点B在原点下方时，可求点Q3的坐标为（22，2）点Q4的坐标

为

（?2，?22）. …………………………………………………………………

6分

?2）?22）22）综上所述，点Q的坐标为（2，，（?22，，（22，2），（?2，.

（2）?4343≤n≤. …………………………………………………………………8分 33丰台28. （1）DAO?1，DBO?5；………………2分

（2）如图：

解法1：由点A和点B坐标可得，直线AB的解析式为y=-2x+2.

设点C的坐标为（x，-2x+2），则x??2x?2?2，则点C 的坐标为（0，2）或(,?). 解法2：由点A和点B坐标可得，直线AB的解析式为y=-2x+2.

点C与点O之间的“直距DCO”为2的运动轨迹为以点O为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C的坐标为（x，-2x+2），则利用直线解析式可求得，点C的坐标为（0，2） 或(,?). ………………5分

（3）DEO的取值范围为4?22?DEO?5?32………………7分

y

y 43234323

x

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