蝴蝶定理与燕尾定理

燕尾定理

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

AEO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：

FBDCAS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab； ③S的对应份数为?a?b?．

等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

2ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD；

反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)，

则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEBC

BC

如图，S2?2，S3?4，求梯形的面积．

S1S2S3S4

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图，梯形ABCD的AB平行于CD，对角线AC，BD交于O，已知△AOB与△BOC的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形ABCD的面积是________平方厘米．

A25O35BDC

梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O，已知梯形上底为2，且三角形ABO的面积等于三

2角形BOC面积的，求三角形AOD与三角形BOC的面积之比．

3ADOCB

(第十届华杯赛)如下图，四边形ABCD中，对角线AC和BD交于O点，已知AO?1，并且三角形ABD的面积3?，那么OC的长是多少？

三角形CBD的面积5BAOCD

梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC的面积是9cm2，问三角形AOD的面积是多少？

ADOBC

如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形ADG的面积是11，三角形BCH的面积是23，求四边形EGFH的面积．

AGDFBHCE

如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点．求图中阴影部分

的面积．

BCGADM

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 平方厘米．

ADF

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积．

BECABODEFC

如图，在长方形ABCD中，AB?6厘米，AD?2厘米，AE?EF?FB，求阴影部分的面积．

AEOFBDC(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形，BC:CE?3:2，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是 平方厘米．

AODB方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．

CE【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平

A9214BEDC【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．

A8162BEDC如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，?DEF的面积是5平方厘米，?CED的面积是10平方厘米．问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

AF5E10DBC

(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米．

AE25O8DF?BC(98迎春杯初赛)如图，长方形ABCD中，AOB是直角三角形且面积为54，OD的长是16，OB的长是9．那么四边形OECD的面积是 ．

ADO燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的

中点，点D在BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

A

BEC

EBDFC

【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

AEFB2DC

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm，E 在AC上，点D在BC上，且

AE:EC?3:5,BD:DC?2:3，AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

AEBDFC【巩固】如图，已知BD?3DC，EC?2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几？

AEOBDC【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD?2DC，CE?2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?

AEFBDC

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积 ．

AEFBDC

CD?2，CB?3，AM?BM，三角形ABC中，已知AC?2，那么三角形AMN(阴C是直角，

影部分)的面积为多少？

AMNCDB

【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC?2DE，F是DG的中点．阴影部

分的面积是多少平方厘米?

AFBGDECAxF如图所示，在四边形ABCD中，AB?3BE，AD?3AF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．

BxGAFEBOCD

ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．

DCGFAEB如图所示，在△ABC中，BE:EC?3:1，D是AE的中点，那么AF:FC? ．

AFDB【巩固】在?ABC中，BD:DC?3:2， AE:EC?3:1，求OB:OE?？

EC

AOB【巩固】在?ABC中，BD:DC?2:1， AE:EC?1:3，求OB:OE?？

EDC

AEOC

如右图，三角形ABC中，BD:DC?4:9，CE:EA?4:3，求AF:FB．

BDAFBODEC

如右图，△ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则△ABC的面积是多少平方厘米？

AGNMBDEFC

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图，?ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，若?ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是_________．

ADNB

MEFC

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