蝴蝶定理与燕尾定理

更新时间:2024-05-08 04:18:01 阅读量: 综合文库 文档下载

说明:文章内容仅供预览,部分内容可能不全。下载后的文档,内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的,是否完整无缺。

燕尾定理

燕尾定理:

在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么S?ABO:S?ACO?BD:DC.

AEO

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):

FBDCAS2aS1OS3S4DBbC

①S1:S3?a2:b2

②S1:S3:S2:S4?a2:b2:ab:ab; ③S的对应份数为?a?b?.

等积变形

①等底等高的两个三角形面积相等;

②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b

2ABS1aS2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;

反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.

如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上),

则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEEBC

BC

如图,S2?2,S3?4,求梯形的面积.

S1S2S3S4

【巩固】(2006年南京智力数学冬令营)如下图,梯形ABCD的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知△AOB与△BOC的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD的面积是________平方厘米.

A25O35BDC

梯形ABCD的对角线AC与BD交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三

2角形BOC面积的,求三角形AOD与三角形BOC的面积之比.

3ADOCB

(第十届华杯赛)如下图,四边形ABCD中,对角线AC和BD交于O点,已知AO?1,并且三角形ABD的面积3?,那么OC的长是多少?

三角形CBD的面积5BAOCD

梯形的下底是上底的1.5倍,三角形OBC的面积是9cm2,问三角形AOD的面积是多少?

ADOBC

如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形ADG的面积是11,三角形BCH的面积是23,求四边形EGFH的面积.

AGDFBHCE

如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴影部分

的面积.

BCGADM

【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是 平方厘米.

ADF

如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中,E,F是DC边上的三等分点,求阴影部分的面积.

BECABODEFC

如图,在长方形ABCD中,AB?6厘米,AD?2厘米,AE?EF?FB,求阴影部分的面积.

AEOFBDC(2008年”奥数网杯”六年级试题)已知ABCD是平行四边形,BC:CE?3:2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.

AODB方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.

CE【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平

A9214BEDC【巩固】(2008年三帆中学考题)右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.

A8162BEDC如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,?DEF的面积是5平方厘米,?CED的面积是10平方厘米.问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?

AF5E10DBC

(2007年”迎春杯”高年级初赛)如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为___________平方厘米.

AE25O8DF?BC(98迎春杯初赛)如图,长方形ABCD中,AOB是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是 .

ADO燕尾定理应用 【例 1】 2009年第七届希望杯五年级一试试题)如图,三角形ABC的面积是1,E是AC的

中点,点D在BC上,且BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .

A

BEC

EBDFC

【巩固】如图,已知BD?DC,EC?2AE,三角形ABC的面积是30,求阴影部分面积.

AEFB2DC

【巩固】如图,三角形ABC的面积是200cm,E 在AC上,点D在BC上,且

AE:EC?3:5,BD:DC?2:3,AD与BE 交于点F.则四边形DFEC的面积等于 .

AEBDFC【巩固】如图,已知BD?3DC,EC?2AE,BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几?

AEOBDC【巩固】如图,三角形ABC的面积是1,BD?2DC,CE?2AE,AD与BE相交于点F,请写出这4部分的面积各是多少?

AEFBDC

【巩固】如图,E在AC上,D在BC上,且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2,AD与BE交于点F.四边形DFEC的面积等于22cm2,则三角形ABC的面积 .

AEFBDC

CD?2,CB?3,AM?BM,三角形ABC中,已知AC?2,那么三角形AMN(阴C是直角,

影部分)的面积为多少?

AMNCDB

【巩固】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC?2DE,F是DG的中点.阴影部

分的面积是多少平方厘米?

AFBGDECAxF如图所示,在四边形ABCD中,AB?3BE,AD?3AF,四边形AEOF的面积是12,那么平行四边形BODC的面积为________.

BxGAFEBOCD

ABCD是边长为12厘米的正方形,E、F分别是AB、BC边的中点,AF与CE交于G,则四边形AGCD的面积是_________平方厘米.

DCGFAEB如图所示,在△ABC中,BE:EC?3:1,D是AE的中点,那么AF:FC? .

AFDB【巩固】在?ABC中,BD:DC?3:2, AE:EC?3:1,求OB:OE??

EC

AOB【巩固】在?ABC中,BD:DC?2:1, AE:EC?1:3,求OB:OE??

EDC

AEOC

如右图,三角形ABC中,BD:DC?4:9,CE:EA?4:3,求AF:FB.

BDAFBODEC

如右图,△ABC中,G是AC的中点,D、E、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M,AF与BG交于N,已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,则△ABC的面积是多少平方厘米?

AGNMBDEFC

【巩固】(2007年四中分班考试题)如图,?ABC中,点D是边AC的中点,点E、F是边BC的三等分点,若?ABC的面积为1,那么四边形CDMF的面积是_________.

ADNB

MEFC

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/jaog.html

Top