动力学03zhao

力的时间累积 1.15 动量和冲量 动量定理 1.15.1 冲量

第一章 质点力学

力对时间的积累作用1、恒力的冲量 I=F t

2、变力的冲量 I

t2

t1

Fdt

3、单位：牛顿秒(Ns) 量纲：MLT-1 4、冲量为过程量哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 1.15.2 动量 动量定理

第一章 质点力学

1、动量

P=mv

单位：千克米每秒(kgm/s) 量纲：MLT-1 物理意义：用来描述物体在一定状态下 所具有的“运动量”。 即：运动物体所能产生的机 械效果。哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 2、动量定理

第一章 质点力学

dP F dt

d P F dt

I =

t2

t1

F dtt2

P2

P 1

d P F dtt1

t2

P 2 P1 F dt It1

I Fdt= P

质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。 这个结论称为动量定理。哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 分量式：

I x mv2 x mv1x I z mv2 z mv1z

第一章 质点力学

I y mv2 y mv1 y注意：1、动量为状态量，冲量为过程量。

2、坐标方向的选取与分量的正负有关。3、冲量只能改变自身方向上的动量。 F 1.15.3 平均冲力 冲力：量值很大、作用 时间很短的力哈尔滨工程大学理学院

F O

t1

t2

t

力的时间累积

第一章 质点力学

F为恒力时，可以得出 I=F t 当力的作用时间很短时，可用力的平均值F 来代替。

变力冲量转换为恒力冲量：

P F t

Ix Iy Iz 哈尔滨工程大学理学院

t2

t1 t2

Fx dt Fx (t 2 t1 ) Fy dt Fy (t 2 t1 ) Fz dt Fz (t 2 t1 )

t1 t2

t1

力的时间累积

第一章 质点力学

例1、质量为2.5g的乒乓球以10m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以 20m/s的速率飞出。设两速度在垂 直于板面的同一平面内，且它们 与板面法线的夹角分别为45o和30o, 求：(1)乒乓球得到的冲量； (2)若撞击时间为0.01s,求板施 于球的平均冲力的大小和方向。

y

v2

30o45o v1

n

x

哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 解：取球为研究对象，由于作用时 间很短，忽略重力影响。设挡板对 球的冲力为F 则有：

第一章 质点力学

y

v2

I F dt mv 2 mv1

30o45o v1

n

x

取坐标系，将上式投影，有：

I x Fx dt mv2 cos 30 ( mv1 cos 45 ) Fx t I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy t 哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积

第一章 质点力学

t 0.01s v1 10m/s

v2 20m/s 2

m 2.5g

I x 0.061Ns

I y 0.007 Ns

I

I I 6.14 10 Ns2 x 2 y

Fx 6.1N Fy 0.7 N

F F F 6.14N

2 x

2 y

tan

F

y

F

0.1148

6.54

x

为F与x方向的夹角。哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积

第一章 质点力学 o

例2、一质量均匀分布的柔软 细绳铅直地悬挂着，绳的下 端刚好触到水平桌面上，如 果把绳的上端放开，绳将落 在桌面上。试证明：在绳下 落的过程中，任意时刻作用 于桌面的压力，等于已落到 桌面上的绳重量的三倍。

x

哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 证明：取如图坐标，设t时刻已有 x长的柔绳落至桌面，随后的dt时

第一章 质点力学 o

间内将有质量为 dx(Mdx/L)的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面而停 止，它的动量变化率为：

dx dx dP dt dt dt一维运动可用标量哈尔滨工程大学理学院

x

力的时间累积

第一章 质点力学

根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：

dx dx dP dt =- v 2 F = dt dt 柔绳对桌面的冲力F=-F’ 即：

M 2 F v v 而v 2 2 gx F 2Mgx / L L2

而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积

第一章 质点力学

例3、在水平桌面上，一质量为m,原静止的物体， 被一锤所击，锤的作用力沿水 平方向，其大小为 F F0 sin t (0 t ) 求(1)锤力对物体所作的功；

(2)物体在任一时刻的速度。F F0 F哈尔滨工程大学理学院

o

/2

t

力的时间累积 解(1)由动量定理：

第一章 质点力学

0

F dt mv mv0

即： F dt mv0

m 2 F02 2 1 1 由动能定理： W mv 2 mv 2 0 2 2 m 2(2)由动量定理：

积分得： v 2 F0

0哈尔滨工程大学理学院

t

F dt mv mv0

即： F dt mv0

t

力的时间累积

第一章 质点力学

F0 v (1 cos t ) m

该题中条件给出了锤力远远大于重力，所 以摩擦力忽略不计。

哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 1.16 1.16.1 动量守恒定律 质点系的动量定理

第一章 质点力学

1、两个质点的系统

m1 m2

f

F1

d P1 F1 f dt

f

f

d P2 F1 f F2 F2 f dt d P1 d P 2 F1 f F2 f dt dt

F2

f - f 哈尔滨工程大学理学院

d P1 d P 2 F1 F2 dt dt

力的时间累积

第一章 质点力学

2、n个质点的系统由于内力总是成对出现的，所以矢 量和为零。 d 则 Fi P 即： F

i

dti

i

dP dt

以F 和P 表示系统的合外力和总动量， 3、质点系的动量定理

Fdt=d P

微分形式P2

t2

t1

F dt=

P1

d P P 积分形式

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力的时间累积

第一章 质点力学

1.16.2 动量守恒定律

F 0即：

dP 0 dti

P 常矢量i i

pi

m vi

常矢量

一个质点系所受的合外力为零时，

这一质点系的总 动量就保持不变。

分量式： 当 :

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F 当: F 当: F

ix iy iz

mv 0时，有 mv 0时，有 mv 0时，有

ix iy iz

C C C

力的时间累积 注意：

第一章 质点力学

1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化，这种动量转换靠内力。

2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中，往往可忽略恒外力。 3、动量守恒可在某一方向上成立。只要 满足在该方向上外力之和为零。 4、定律中的速度应是对同一惯性系的速

度，动量和应是同一时刻的动量之和。5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。 6、动量守恒定律只适用于惯性系。哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 1.17 碰撞 1.17.1 碰撞的定义及分类

第一章 质点力学

定义：碰撞是作用时间极短的相互作用。

一般可以将恒外力忽略，系统动量守恒 按运动形式分，碰撞可以分为两类：正碰 和斜碰，我们主要分析正碰。按能量损失分，碰撞可以分为三类： (1)(完全)弹性碰撞； (2)非(完全)弹性碰撞； (3)完全非弹性碰撞。哈尔滨工程大学理学院

力的时间累积 1.17.2 完全弹性碰撞

第一章 质点力学

特点：碰后无形变，分离，能量守恒

设两物体m1、m2发生完全弹性正碰

m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 1 m v2 1 m v2 1 m v2 1 m v2 2 1 10 2 2 20 2 1 1 2 2 2 由(1)得由(2)得 (4)/(3)得哈尔滨工程大学理学院

(1) (2)

m1 (v10 v1 ) m2 (v2 v20 )m1 (v v ) m2 (v v ) v10 v1 v2 v202 10 2 1 2 2 2 20

(3)(4) (5)

力的时间累积

第一章 质点力学

由(3)、(5)得

( m1 m2 )v10 2m2 v20 v1 m1 m2 ( m2 m1 )v20 2m1v10 v2 m1 m2 对完全弹性碰撞e=1。

定义：恢复系数 e ,即：牛顿碰撞定律。

讨论：

v2 v1 e v10 v20

1、若m1=m2,则v2=v10, v1=v20 ; 2、若m1>>m2,且v20=0,则v1=v10, v2=2v10;

3、若m1<<m2,且v20=0,则v1=-v10, v2=0。哈尔滨工程大学理学院

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