统计学复习题

1．利率变化是影响股票价格波动的一个基本因素。一位资深股票分析师估计：在未来一段事件内，利率不会上调，有可能保持不变，但利率下降的概率是70%；同时，在利率下降的情况下，股票价格上涨的概率是80%。请问该分析师是否看好该公司股票？

解：设A=利率下降，B=股价上涨。据题意有：

P(A)= 0.70，P(B|A)=80%；P(A)= 0.30，P(B|A)=30% 所以，根据这位分析师的判断，该公司股票价格上涨的概率为

P(B)= 0.70×0.80+0.30×0.30=0.65=65%，因此比较看好。

2．某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95%的占四成，优质率维持在原来水平(即80％)的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策?

解：这是一个计算后验概率的问题。设A=优质率达95%，A=优质率为80%， B=试验所生产的5件全部优质。

P(A)= 0.4， P(A)= 0.6，P(B|A)= 0.95，P(B|A)=0.8，所求概率为

55)? P(ABP(A)P(BA)P(A)P(BA?)0.30951??0.61 150.50612P(A)P(BA)决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

3．某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％，30％和45％。这三个企业产品的次品率分别为4％，5％，3％。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：

(1)抽出次品的概率是多少?

(2)若发现抽出的产品是次品，则该产品来自丙厂的概率是多少?

解：令A1,A2,A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得： P(A P(A2)= 0.30，P(A3)=0.45；P(B|AP(B|A2)=0.05，P(B|A3)=0.03；1)= 0.25，1)=0.04，因此，所求概率分别为

(1) P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.04+0.30×0.05+0.45×0.03=0.038 5 (2) P(A3B)?

4．某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布。试求途中遇到红灯的次数的期望值和方差、标准差。

解：据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p=24／(24+36)= 0．4。设途中遇到红灯的次数=X，因此，X～B(3，0．4)。其概率分布所示：

0.45?0.030.0315??0.3506

0.25?0.04?0.30?0.05?0.45?0.030.0385 1

xi P(X?xi) 0 0．216 1 0．432 2 0．288 3 0．064 E(X)=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2

?2?(0?1.2)2?0.216?(1?1.2)2?0.432?(2?1.2)2?0.288?(3?1.2)2?0.064?0.72

??(0?1.22)?0.2?16?(121.?2)?0.72?0.8485?0.43?22(2?1.2?)0.?22.8086?4(31.2)

0

5．一位投资者欲将10万元用于一项短期投资，若该项投资的收益率X是一个随机变量，其概率分布如表所示： 收益率X(％) 概率P -1 0.05 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.15 试求这位投资者预期将获利多少?获利的标准差是多大?

参考答案：获利(收益)的期望值=0.195(万元)；标准差=0.135 9(万元) 解：E(X)=1×0.05+0×0.1+l ×.2+2×0.3+3×0.2+4×0.15=1.95％ 获得(收益)的期望值=10(万元)×1.95％=0.195(万元) 收益率的标准差=1.374％

获得(收益)的标准差=l0(万元)×1.374％=0.137 4(万元)

6．某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。试求：

(1)在同一时刻需要咨询的商品种数的最可能值是多少？

(2)若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？

解：设X=同一时刻需用咨询服务的商品种数，由题意有X～B(6，0.2)。

(1) X的最可能值为X0?[(n?1)p]?[7?0.2]?1X。=[(n+1)p]=[7×0.2]=l (2) P(X?2)?1?P(X?2)?1?

7．一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人。据测算被保险人一年中的死亡率为万分之五。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该保险中(这里不考虑保险公司的其他费用)：

(1)至少获利50万元的概率； (2)亏本的概率；

(3)计算陪付总金额的期望值和标准差。

解：设被保险人死亡数=X，X~B(20000, 0.0005)。 (1) 保费总收入=20000×50(元)=100(万元)

2

?Ck?02k60.2k0.86?k?1?0.9011?0.0989

要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人(=50?5万元/人)，因此所求的获利至少50万元的概率为P(X?10)。由于X~B(20000, 0．0005)，利用Excel可算得： P(X?10)= 0．58604

(2) 当被保险人死亡数超过20人时，赔付保险金额就要大于保费收入，保险公司就要

亏本。因此，所求的亏本的概率为

P(X>20)=1-P(X?20)=1- 0.99842=0.00158 (3) 赔付保险总金额的期望值为

50000×E(X)=50000×20000×0.0005(元)=50(万元) 赔付保险金额的标准差为

50000×?(X)=50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2=158074(元)

8．某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品，试求该企业所生产电池的：

(1)合格率是多少?

(2)电池寿命在200小时左右多大范围内的概率不小于0.9？

解：(1)P(X<150)=P(Z<

150?200)=P(Z<-1.6667)= 0.04779

30合格率为1-0.04779=0.95221=95.221%。 (2)P{|X—200|

9．将大量的数值相加时，若要求这些数值只保留整数，通常须遵循四舍五入的原则。假设这种舍入所产生的误差相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。那么，将1000个数值相加，其误差总和的绝对值超过20的概率是多少?

参考答案：0.02846

解：设Xi=第i个数据的舍人误差(i=1，2，?，1 000)，由于Xi在(-0.5,0.5)上服从均匀

2?0.5?0.512[0.5?(?0.5)]?。由独立同分布的分布，所以E(Xi)=?==0，D(Xi)=?=

21212中心极限定理可知，总误差Y=∑Xi～N(1000×0，1000×1／12),即

Z?Y?0~ N(0,1)。因此，所求概率为

1000/12P(Y?20)?P{Y?01000/12?20?0}?1?P{Z?2.19089}

1000/12 =2[1—?(2．19089)]=2(1—0．89577)= 0．028 46=2．846％

3

10．从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线路程较短但比较容易遇到交通阻塞，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(50，100)；第二条路线路程较长但道路较为通畅，所需时间服从正态分布N(60，16)。若有70分钟的时间可用，问应该选择哪一条路线更有把握及时赶到火车站?

解：设第一、二条线路所需时间分别为X和Y。

X～N(50，100)，则有Z=X?70～N(0，1) 100 P(X≤70)=P(Z≤2)=0.977 25 Y～N(60，16)，则有Z=Y?60～N(0，1) 16 P(y≤70=P(Z≤2．5)=0.993 79

1l. 一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对该电信的服务的满意情况。调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量比两年前好。试在95％的置信水平下对大客户中认为营业厅现在的服务质量比两年前好的比率进行区间估计。

解：这是一个求某一属性所占比率的区间估计的问题。已知n=30，za/2=1．96，根据

??抽样结果计算出的样本比率为p9=30％。 30??za/2总体比率置信区间的计算公式为p计算得：

?(1?p?)p n??za/2p??(1?p)p30%?(1?30%)=(13．60％，46．40％) ?30%?1.96?n3012．为了确定某大学学生配戴眼镜的比率，调查人员欲对该大学的学生进行抽样调查。

而根据以往的调查结果表明，该大学有75％的学生配戴眼镜。则对于边际误差E分别为5％，10％，15％时，显著性水平为95％，抽取的样本量各为多少较合适?

解：根据估计总体比率时样本容量的确定公式为

(za/2)2??(1??) n?

E2这里za/2?z0.05/2=1．96，?=0．75，则： (1)当边际误差E=0．05时，有：

(za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??73 n?22E0.05(2)当边际误差E=0．10时，有：

4

(za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??19 n?E20.12(3)当边际误差E：0．15时，有：

(za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??9 n?22E0.15看来边际误差E=0.15时，误差已经相当大了，要求样本量很少就可以满足精度要求。

13．为调查某单位每个家庭每天观看电视的平均时间是多长，从该单位随机抽取了16户，得样本均值为6.75小时，样本标准差为2.25小时。

(1)试对家庭每天平均看电视时间进行区间估计。

(2)若已知该市每个家庭看电视置信水平为95 9／6，问此时需调查多少户才能满足要求?

解：(1)根据已知有：n=16，x=6．75，s=2．25，ta/2(15)=2．131。 由方差未知时，小样本的区间估计公式得： x?ta/2s2.25=6．75±2．131?=[5．55，7．95] n16即该单位平均每个家庭每天看电视的95%的置信区间为5.55小时到7.95小时。

(2)若已知总体标准差?=2.5，且要求区间估计的边际误差与上一题的相同，即取边际误差E=ta/2s2.25=2．131?=1．20。 n16(za/2)2?2估计总体均值时样本容量的确定公式为 n? 2E当?=0．05时，za/2=1．96，则：

(za/2)2?21.962?2.52n?==17 22E1.20也就是说，只需多增加一个样本就能满足精度要求。

14．据某市场调查公司对某市80名随机受访的购房者的调查得到了该市购房者中本地人购房比率P的区间估计，在置信水平为10％时，其边际误差E=0．08。则：

(1)这80名受访者样本中为本地购房者的比率是多少? (2)若显著性水平为95％，则要保持同样的精度进行区间估计，需要调查多少名购房者?

解：(1)由比率区间估计的公式 E?za/2??(1?p)p 得： n22E?n0.08?80? 则： ??p=0．75 p(1??p)=22z0.1/21.645 5

995 948 1014 931 1045 1010 1004

假定灯泡寿命服从正态分布，取显著性水平为?=0.05，试考虑分别用左侧检验和右侧检验来验证该厂声称“灯泡平均使用寿命在1000小时以上”这一说法是否成立。

解：先计算出样本均值和标准差，结果如下：

x? x?ni?14868=991.2(小时) 152 s??(x?x)in?1?21316.4?39.02(小时) 14若根据以往经验，我们对该厂的灯泡质量比较信任，认为大部分情况下该厂的灯泡质量是可以达到标准的，这时我们控制的错误是“本来该厂灯泡的质量达到了标准而检验认为该厂的灯泡质量没有达到标准”，这个出错概率被控制在小于?=0.05的水平下。此时假设形式为左侧假设：H0：??1000，H1：?<1000。

这里?未知，可以用样本方差s代替，所以检验统计量为

22t?x??0s/n?991.2?1000?8.8???0.873456

39.02/1510.075根据假设，这是个单侧检验问题，由?=0.05，查t分布表得t?(n?1)?t0.05(14)=1.7613。

由于t??0.873456??t???1.7613，所以接受原假设，即该厂的说法是成立的。 若根据以往经验，我们对该厂的灯泡质量不太信任，认为大部分情况下该厂的灯泡质量达不到标准，这时我们控制的错误是“本来该厂的灯泡质量并没有达到标准，而检验认为该厂的灯泡质量达到了标准水平”，我们把这个出错概率控制在小于?=0.05的水平下。此时假设形式为右侧假设：H0：??1000，H1：?>1000。

这里检验统计量与上面的情况是一样的，应为

t?x??0s/n?991.2?1000?8.8???0.873456 10.07539.02/15但这时拒绝域为t>t?=1.7613，显然t??0.873456??t???1.7613，所以接受原假设，即不能认为该厂的灯泡质量符合标准。

26．某洗涤剂厂有一台瓶装洗洁精的灌装机，在生产正常时，每瓶洗洁精的净重服从正态分布，均值为454克，标准差为12克。为检查近期机器是否正常，从中抽出16瓶，称得其净重的平均值为x=456.64克。

(1)试对机器正常与否作出判断。(取?=0.01，并假定?不变)

(2)若标准差未知，但测得16瓶洗洁精的样本标准差为s=12 g，试对机器是否正常作出判断。(取?=0.01)

11

2

解：(1)H0：??454，H1：??454。

在?=0．01时，z?/2?z0.005=2.58，从而拒绝域为|z|≥2.58。现由样本求得 z?456.6?4454=0.88

12/16由于|z|<2．58，故不能拒绝H。，即认为机器正常。

(2)当方差未知时，假设形式与上一问是相同的，只是检验统计量变为 t?x??0s/n?456.6?4454 ?0.8812/16在?=0.01时，t?/2(n?1)?t0.005(15)=2.946 7，拒绝域为|t|≥2.946 7。

由于|t |=0．88<2.946 7，故不能拒绝H。，即认为机器正常。

27．某厂产品的优质品率一直保持在40％，近期技监部门来厂抽查，共抽查了15件产品，其中优质品为5件，在?=0.05水平上能否认为其优质品率仍保持在40％?

解：H0：?=0.4，H1：?≠0.4 检验统计量为z?p?? ?(1??)n在?=0.05水平上，拒绝域为| z|>z?/2=1.96，由已知数据得检验统计量：

z?p??5/15?0.4???0.52705

?(1??)0.4(1?0.4)n15由于|z|=0．527

28．已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，该种木材的标准抗压力应不小于470 kg／cm。，现对某木材厂的10个试件作横纹抗压力试验，得数据如下：(kg／cm。)

482 493 457 471 510 446 435 418 394 469

(1)若已知该木材的横纹抗压力的标准差?=36，试检验该厂的木材是否达到标准。(?=0.05) (? (2)若该木材的横纹抗压力的标准差口未知，试检验该厂的木材是否达到标准。=0.05)

解：(1) H0：??470，H1：?<470

由于方差已知，且样本为小样本，检验统计量为z?

x??0?/n 12

拒绝域为z??z???z0.05??1.645 由已知计算得：z?x??0?/n?457.5?470??1.098

36/10由于z??1.098??z0.05，故接受原假设，即可认为该厂的木材达标。 (2) H0：??470，H1：?<470

此时方差未知，且样本为小样本，检验统计量为 t?x??0s/n 拒绝域为t<一ta(n?1)??t0.05(10?1)??1.122 由已知计算得：

t?x??0s/n?457.5?470??1.122

35.22/10由于t??1.122??t0.05(9)，故接受原假设，即可认为该厂木材达标。

29．某家公司付给生产一线雇员的平均工资是每小时15美元。该公司正计划建造一座新厂，备选厂址有好几个地方。但是，能够获得每小时至少15美元的劳动力是选定厂址的主要因素。某个地方的40名工人的样本显示：最近每小时平均工资是x=14美元，样本标准差是s=2.4美元。问在?=0.01的显著性水平下，样本数据是否说明在这个地方的工人每小时的平均工资大大低于15美元?

解：H0：??15，H1：?<15 检验统计量为z?x??0?/n 拒绝域为 z??z???z0.01??2.33 由已知计算得：

z?x??0?/n?14?15??2.635

2.4/40由于z??2.635??z0.01，故拒绝原假设，即可认为该地的平均工资确实大大低于15美元。

30．一条自动装配线预定的平均操作完成时间是2.2分钟。由于完成时间对装配操作前后都会产生影响，所以将完成时间控制在2.2分钟是很重要的。45次装配的随机样本显示：样本的平均完成时间是2.39分钟，样本的标准差是0.2分钟。采用?=0.02的显著性水平，

13

检验平均操作完成时间是否为2.2分钟。

解：H0：?=2.2，H1：?≠2.2 检验统计量为z?x??0s/n 在显著性水平?=0.02下，拒绝域为 |z|>z?/2=z0.01 =2．33 由已知计算得：

z?x??0s/n?2.2?2.39??6.373

0.2/45由于|z|=6.373>z0.01故拒绝原假设，即可认为该自动装配线的平均操作时间不为2.2分钟。

31．1995年2月，某个航线往返机票的平均折扣费是258美元。随机抽取了在3月份中15个往返机票的折扣作为一个简单随机样本，结果得到下面的数据：

310 260 265 255 300 310 230 250 265 280 290 240 285 250 260

以显著性水平?=0.05检验3月份往返机票的折扣费是否有所增加。你的结论是多少?

解：H0：?≤258，H1：?>258 检验统计量为t?x??0s/n 拒绝域为t>ta(n?1)?t0.05(15?1)=1．761 根据已知数据计算得：

样本均值x=270，样本标准差为s=24．785

t?x??0s/n?270?258=1．875

24.785/15由于t=1．875≥t0.05(15?1)，故拒绝原假设，即可以认为机票折扣费有所增加。

32．某厂生产的钢丝的强度服从正态分布，这种钢丝的标准强度为1900千克。为检验该厂生产的钢丝强度是否达到标准，现从中随机抽取了20根，测得其强度的平均值为x=1800千克，标准差s=120千克，试问应如何建立假设，检验结果如何?( ?=0.01)

解：H0：?≥1 900，H1：?<1 900 检验统计量为t?x??0s/n 14

拒绝域为t>?ta(n?1)??t0.05(20?1)=一1．729 根据已知计算检验统计量值： t?x??0s/n?1800?1900=一3．727

120/20由于t??3.727??t0.05(19)，故拒绝原假设，即可以认为该厂的钢丝不符合标准。

33．假定某商店中一种商品的日销售量服从正态分布，仃未知，根据已往经验，其销售量均值为x=60。该商店在某一周中进行了一次促销活动，其一周的日销量数据分别为：64，57，49，81，76，70，59。为测量促销是否有效，试对其进行假设检验，给出你的结论。(?=0.01)

解：H0：?≤60，H1：?>60 检验统计量为t?x??0s/n 拒绝域为t>ta(n?1)?t0.01(7?1)=3．143 根据样本数据计算检验统计量值为t?x??0s/n?65.143?60=1．21

11.246/7由于t=1．21

34．在某电视节目收视率一直保持在30％，即100人中有30人收看该电视节目，在最近的一次电视收视率调查中，调查了400人，其中有100人收看了该电视节目，可否认为该电视节目的收视率仍保持原有水平?( ?=0.01)

解：H0：?≥0.3，H1：?<0.3，??检验统计量为z?100=0.25 400???

?0(1??0)n拒绝域为 z??z???z0.01??2.33 根据已知计算检验统计量值为

z?0.25?0.3??2.182

0.3(0.7)400由于z??2.182??z0.01??2.33，故不拒绝原假设，即该节目的收视率仍保持原有水

15

平。

35．某啤酒厂用新工艺来改进啤酒质量，生产后作了一项试验：用4个玻璃杯装上啤酒，其中有一杯是用改进的工艺生产的，让品尝者选出最好的一种，有300个人作了试验，有90人选出了新工艺生产的啤酒。根据这一结果，令?=0.05，工厂是否应采用新工艺?若?=0.01，则其结论如何?

解：H0：??1190，H1：??，??=0．3 44300检验统计量为z?0.3?0.250.05?=2 0.0250.25(0.75)300z0.05?1.645，z?z0.05，故拒绝H0，接受H1。 z0.05=2.325，z?z0.01，故接受H0。

若用?=0．05显著性水平可以改用新工艺，用?=0.01尚不能推断H0，这说明，认为新工艺好的置信度可达95%，但不到99%。

36．为检验不同品牌电池的质量，质检部门抽检了3家生产商生产的五号电池，在每个厂家随机抽取5个电池，测得使用寿命(小时)数据如表7—12所示：

表7—12

试验号 1 2 3 4 5 电池生产商 生产商A 50 50 43 40 39 生产商B 32 28 30 34 26 生产商C 45 42 38 48 40

用Excel输出的方差分析表如表所示： 方差分析：单因素方差分析 summary 列1 列2 列3 方差分析 差异源 组间 组内 总计

计数 5 5 5 求和 222 150 213 平均 44.4 30 42.6 方差 28.3 10 15.8 SS — 216.4 — df — — 14 MS 307.8 — F — P—value 0.000 31 F crit 3.885 29 16

(1) 将方差分析表中划线部分所缺的数值补齐。

(2) 分析三个生产商生产的电池的平均寿命之间有无显著差异(?=0.05)？ (3) 如果有差异，到底是哪些生产商之间有差异？ 参考答案：

(1) 方差分析表中所缺的数值如表7—21所示：

表7—21

方差分析 差异源 组间 组内 总计 SS 615.6 216.4 832 df 2 12 14 MS 307.8 18.0333 F 17.0684 P—value 0.000 31 F crit 3．885 29 (2) 提出假设：

H0：?1??2??3，三个生产商生产的电池的使用寿命相同

H1：?1,?2,?3不全相等，三个生产商生产的电池的使用寿命不全相同

由Excel输出的方差分析表可知，由于F=17.0684>F0.05=3.88529，所以拒绝原假设H0，表明三个生产商生产的电池的平均使用寿命不全相同。

(3) 为分析哪些生产商生产的电池的使用寿命不相同，需要用LSD方法进行比较。校

验的具体步骤如下： 第一步：提出原假设。

假设1：H0：?1??2，H1：?1??2 假设2：H0：?1??3，H1：?1??3 假设3：H0：?2??3，H1：?2??3 第二步：计算检验统计量。

x1?x2=44.4-30=14.4 x1?x3=44.4-42.6=1.8 x2?x3=30-42.6=-12.6

第三步：计算LSD。由于每个样本的用量相同，所以只需计算一个LSD即可。根据方差分析表中的结果可知，MSE=18.0333，查t分布得到t(n-k)=t(15-3)=2.1788，

ni?nj=5.所以有：

LSD=ta/2MSE(11?) ninj 17

=2.1788?18.0333?(?)=5.8517 第四步：作出决策。如果xi?xj>LSD，则拒绝H0；如果xi?xj? LSD，则接受H0。根据上述计算，有：

1155x1?x2=14.4>5.8517，拒绝H0，生产商A与生产商B之间有显著差异； x1?x3=1.8<5.8517，接受H0，生产商A与生产商C之间有显著差异； x2?x3=12.6>5.8517，拒绝H0，生产商B与生产商C之间有显著差异。

37．某企业准备用三种方法组装一种新的产品，为确定哪种方法组装的产品数量最多，随机抽取了30名工人，并指定每个人使用其中的一种方法。每个工人生产的产品数如表7—14所示：

表7—14

组装方法 A1 99 94 87 66 59 86 88 72 84 75 A2 73 100 93 73 97 95 92 86 100 91 A3 55 77 93 100 93 83 91 90 85 73 产品数量 用Excel给出方差分析结果，并分析每种方法组装的产品数是否相同。(?=0.05)

参考答案： 提出假设：

H0：?1??2??3，三种方法组装的产品数量相同

H1：?1,?2,?3不全相等，三种方法组装的产品数量不全相同

用Excel输出的方差分析表如表7—22所示：

表7—22

方差分析：单因素方差分析

summary 列1 列2

计数 10 10 求和 810 900 平均 81 90 方差 159.7778 98 18

列3 方差分析 差异源 组间 组内 总计 SS 420 3836 4256 10 840 84 168.4444 df 2 27 29 MS 210 142.0741 F 1.478102 P—value 0.245946 F crit 3.354131 由Excel输出的方差分析表可知，由于F=1.478102

38．一家房地产开发公司正在新建一个住宅小区，准备购进一批灯泡。房地产公司在购货时，需要考虑价格、供货地点的远近、灯泡的质量等因素。现有四个可供选择的供货商，这些供货商提供不同品牌的灯泡，价格相差不大。如果它们提供的产品在质量上没有什么差异，房地产公司就可以考虑就近购买，以节约成本。为比较它们提供的灯泡在质量上是否有显著差异，房地产公司首先从每个供货商处随机抽取了10只灯泡，对其使用寿命(小时)进行了测试，所得结果如表7—15所示：

表7—15

供货商 A 609 459 621 666 B 508 396 442 400 539 454 611 423 384 383 C 495 423 355 491 567 414 513 494 421 557 D 659 586 493 529 485 529 524 481 465 459 灯泡的使用寿命(小时) 680 650 494 623 626 572 试分析不同供货商灯泡的使用寿命之间是否有显著差异。(?=0.05) 参考答案： 提出假设：

H0：?1??2??3??4，四个供货商提供的灯泡质量相同 H1：?1,?2,?3,?4不全相等，四个供货商提供的灯泡质量不全相同

用Excel输出的方差分析表如表7—23所示：

表7—23

方差分析：单因素方差分析

summary 列1 列2

计数 10 10 求和 6000 4540 平均 600 454 方差 5209.333 5790.667 19

列3 列4

方差分析 差异源 组间 组内 总计 SS 127100 174416 301516 10 10 4730 5210 473 521 4594.444 3785.111 df 3 36 39 MS 42366.67 4844.889 F 8.744611 P—value 0.000173 F crit 2.866265 由Excel输出的方差分析表可知，由于F=8.744611>F0.05=2.866265,所以拒绝原假设

H0，表明四个供货商提供的灯泡所以寿命有显著差异。

39．有四个品牌的彩电在五个地区销售，为了分析彩电的品牌(因素A)和销售地区(因素B)对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下样本数据，见表7—16。

表7—16

销售地区(B) 销售量 品牌(A) B1 365 345 358 288 B2 350 368 323 280 B3 343 363 353 298 B4 340 330 343 260 B5 323 333 308 298 A1 A2 A3 A4 假定品牌和销售地区两个因素对销售量的影响是相互独立的。用Excel给出方差分析结果，并分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有影响。(?=0.05)

参考答案：首先提出如下假设： 因素A：

H0：?1??2??3??4，品牌对销售量没有影响 H1：?1,?2,?3,?4不全相等，品牌对销售量有影响

因素B：

H0：?1??2??3??4??5，地区对销售量没有影响 H1：?1,?2,?3,?4,?5不全相等，地区对销售量有影响

用Excel输出的方差分析表如表7—24所示：

表7—24

20

方差分析：单因素方差分析

summary 行1 行2 行3 行4 列1 列2 列3 列4 列5 方差分析 差异源 行 列 误差 总计 SS 13004.55 2011.7 2872.7 17888.95 计数 5 5 5 5 4 4 4 4 4 求和 1721 1739 1685 1424 1356 1321 1357 1273 1262 平均 344.2 347.8 337 284.8 339 330.25 339.25 318.25 315.5 方差 233.7 295.7 442.5 249.2 1224.667 1464.25 822.9167 1538.917 241.6667 df 3 4 12 19 MS 4334.85 502.925 239.3917 F 18.1078 2.1008 P—value 0.0001 0.1437 F crit 3.4903 3.2592 上表中的行指因素A，，列指因素B。根据方差分析表的计算结果，可以得出以下结论： 由于FA=18.1078>F?=3.4903，所以拒绝原假设H0，即?1??2??3??4不成立，这说明该四种彩电的品牌对销售量有显著影响。

由于FB=2.1008

表7—17

包装方法(B) 销售量 销售地区(A) B1 B2 B3 A1 A2 A3 45 50 35 75 50 65 30 40 50 用Excel得出的方差分析表如表7—18所示： 表7—18

差异源 SS df MS F P—value F crit 21

行(地区) 列(包装) 误差 总计 22.2222 955.5556 611.1111 1588.889 2 2 4 8 11.1111 477.7778 152.7778 0.0727 3.1273 0.9311 0.1522 6.9443 6.9443 取显著性水平?=0.05，检验不同地区和不同包装方法对该食品的销售量是否有显著性影响。 参考答案：

首先提出如下假设： 因素A：

H0：?1??2??3，地区对销售量没有影响 H1：?1,?2,?3不全相等，地区对销售量有影响

因素B：

H0：?1??2??3，包装方法对销售量没有影响 H1：?1,?2,?3不全相等，包装方法对销售量有影响

由于FA=0.0727

由于FB=3.1273

直接用P-value进行分析，结论也是一样的。

41．5种不同品牌的鲜牛奶在不同的超市出售。为研究不同品牌的牛奶销售量是否有差异，随机抽取了8家超市，记录了一周中各品牌牛奶的销售量数据(单位：箱。每箱30袋，每袋500克)，结果如表7—19所示：

表7—19

销售量 品牌 商场 1 2 3 4 5 6 7 8 A1 A2 A3 A4 A5 71 71 73 73 62 73 78 78 75 66 66 81 76 73 69 69 89 86 80 81 58 78 74 75 60 60 85 80 71 64 70 90 81 73 61 61 84 76 72 57 取显著性水平?=0.05，用Excel输出的方差分析表如表所示： 方差分析：无重复双因素分析

22

差异源 行(品牌) 列(商场) 误差 总计 SS 1760 520 552 2832 df 4 7 28 39 MS — — — F — — P—value 0.0000 0.0053 F crit 2.7141 2.3593 (1) 在方差分析表中划线部分填上所缺的数值。 (2) 分析品牌和商场对牛奶销售量是否有影响。 参考答案：

(1) 所缺数值如表所示：

差异源 行(品牌) 列(商场) 误差 总计 SS 1760 520 552 2832 df 4 7 28 39 MS 440 74.2857 19.7143 F 22.3188 3.7681 P—value 0.0000 0.0053 F crit 2.7141 2.3593 (2) 首先提出假设： 因素A：

H0：?1??2??3??4??5，品牌对销售量没有影响 H1：?1,?2,?3,?4,?5不全相等，品牌对销售量有影响

因素B：

H0：?1??2??3??4??5??6??7??8，商场对销售量没有影响 H1：?1,?2,?3,?4,?5,?6,?7,?8不全相等，商场对销售量有影响

由于FA=22.3188>F?=2.7141，所以拒绝原假设H0，这说明品牌对销售量有显著影响。 由于FB=3.7681>F?=2.3593，所以拒绝原假设H0，这说明品牌对销售量有显著影响。

42．表8—10是道琼斯工业指数(DJIA)和标准普尔500种股票指数 (S&P 500)1988—1997年对应股票的收益率资料：

表8一10

年份 DJIA收益率(％) S&P500收益率(％) 年份 DJIA收益率(％) S&P500收益率(％) 1988 1989 1990 1991 1992 16.0 31.7 -0.4 23.9 7.4 16.6 31.5 -3.2 30.0 7.6 1993 1994 1995 1996 1997 16.8 4.9 36.4 28.6 24.9 10.1 1.3 37.6 23.0 33.4 计算两种指数收益率的相关系数，分析其相关程度，以0．05的显著性水平检验相关

23

系数的显著性。

参考答案：

(1)利用Excel计算结果可知，相关系数为rXY=0．948 138，说明相关程度较高。 (2)计算t统计量： t?rn?21?r2?0.948138?10?21?0.9481382?2.681739?8.436851

0.317859给定显著性水平=0．05，查t分布表得自由度，n—2=10—2=8的临界值t?/2为2．306，显然t>t?/2，表明相关系数r在统计上是显著的。

43．利用表8—11中提供的我国内地各省、自治区、直辖市人均GDP和第一产业中就业比例的数据，试分析各地区人均GDP与第一产业就业比例的相关性，并对其显著性作统计检验。

表8—11

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 序号 16 17 18 19 20 21 22 23

地区 北京 天津 河北 山西 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江 上海 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 地区 河南 湖北 湖南 广东 广西 海南 重庆 四川 财政收入y (亿元) 454.2 163.6 283.5 132.8 99.4 370.4 121.1 213.6 609.5 572.1 500.7 192.2 274.3 132.0 573.2 财政收入y (亿元) 267.7 231.9 205.4 1160.5 178.7 43.8 106.1 271.1 国内生产总值 GDP(亿元) 2845.65 1840.10 5577.78 1779.97 1545.79 5033.08 2032.48 3561.00 4950.84 9511.91 6748.15 3290.13 4253.68 2175.68 9438.31 国内生产总值 GDP(亿元) 5640.11 4662.28 3983.00 10647.71 2231.19 545.96 1749.77 4421.67 第一产业就业比重 (％) 11.2 20.0 49.6 46.9 53.9 37.2 50.7 49.6 12.5 41.4 35.7 58.7 45.8 51.6 52.3 第一产业就业比重 (％) 63.1 48.4 60.5 40.0 61.8 60.3 54.7 58.8 24

24 25 26 27 28 29 30 31 贵州 云南 西藏 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆 99.7 191.3 6.1 135.8 69.9 19.8 27.6 95.1 1084.90 2074.71 138.73 1844.27 1072.51 300.95 298.38 1485.48 66.4 73.6 71.8 55.7 59.4 60.0 56.5 56.6 资料来源：《中国统计年鉴(2002)》，中国统计出版社。

参考答案：

利用Excel中的“数据分析”计算各地区人均GDP和第一产业中就业比例的相关系数为-0．342 39，这说明人均GDP与第一产业中就业比例是负相关，但相关系数只有-0．342 39，表明二者负相关程度很弱。

相关系数检验：

在总体相关系数JD一0的原假设下，计算t统计量：

t?rn?21?r2??0.34239?31?21?(?0.34239)2=1．962 4

查t分布表，自由度为31—2=29，当显著性水平取?=0．05时，t?/2=2．045；当显著性水平取?=0．1时，t?/2=1．699。

由于计算的t统计量的绝对值1．962 4小于2．045，所以在?=0．05的显著性水平下，不能拒绝相关系数?=0的原假设。即在?=0．05的显著性水平下不能认为人均GDP与第一产业中就业比例有显著的线性相关性。

但是计算的t统计量的绝对值1．962 4大于1．699，所以在?=0．1的显著性水平下，可以拒绝相关系数?=0的原假设。即在?=0．1的显著性水平下，可以认为人均GDP与第一产业中就业比例有一定的线性相关性。

44．表8—12中是16只公益股票某年的每股账面价值和当年红利：

表8—12

公司序号 1 2 3 4 5 6 7 8 账面价值(元) 22.44 20.89 22.09 14.48 20.73 19.25 20.37 26.43 红利(元) 2.4 2.98 2.06 1.09 1.96 1.55 2.16 1.60 公司序号 9 10 11 12 13 14 15 16 账面价值(元) 12.14 23.31 16.23 0.56 0.84 18.05 12.45 11.33 红利(元) 0.80 1.94 3.00 0.28 0.84 1.80 1.21 1.07 根据表8—12中的资料：

(1) 建立每股账面价值和当年红利的回归方程。 (2) 解释所估计回归系数的经济意义。

(3) 若序号为6的公司的股票每股账面价值增加1元，估计当年红利可能为多少。

25

并以0．05的显著性水平检验相关系数的显著性。

表8—19

体重(千克) 体表面积(10平方米) ?111.0 11.8 12.0 12.3 13.1 13.7 14.4 14.9 15.2 16.0 5.3 5.3 5.4 5.64 5.3 6.0 5.8 6.1 6.1 6.4 参考答案：

(1)用Excel计算相关系数，结果为

儿童体重与体表面积的相关系数为rXY=0．912 081，说明相关程度较高。 (2)计算t统计量：

t?rn?21?r2?0.912081?10?21?0.9120812?2.57975464=6．291 930 289

0.410010048给定显著性水平=0．05，查t分布表得自由度n—2=10—2=8的临界值ta/2为2．306，显然t>ta/2，表明相关系数r在统计上是显著的。

50．某商业企业1997—2001年五年内商品销售额的年平均数为421万元，标准差为30．07万元；商业利润的年平均数为113万元，标准差为15.41万元；五年内销售额与商业利润的乘积和为240 170万元，各年销售额的平方和为890 725万元，各年商业利润的平方和为65 033万元。试就以上资料计算：

(1)商业销售额与商业利润的样本相关系数并解释其含义。

(2)其他条件不变时，估计当商品销售额为600万元时，商业利润可能为多少万元。 参考答案：

设商品销售额为X，商业利润为Y，根据所给条件有：

X=421；∑X=X·n=421×5=2 105；∑X2=890 725；

Y=113；∑Y=Y·n=113×5=565；∑Y=65 033 ∑XY=240 170 样本相关系数为

2

2

r?n?XiYi??Xi?Yin?Xi?(?Xi)22n?Yi?(?Yi)22

=5?240170?2105?5655?890725?210525?65033?5652?11525=0.99470

11585.93说明商业销售额与商业利润是高度线性相关的。 对于回归模型Yt?a??Xt?ut估计参数为

n?XiYi??Xi?Yi5?240170?2105?565????=0.50996 2225?890725?2105n?Xi?(?Xi)?X=113—0．509 96×421=-101.693 2 ??Y???

31

???101.6932?0.50996X 即Ytt其他条件不变时，估计当商品销售额为600万元时，商业利润可能为

?=—101．693 2+0．509 96×600=204．282 8(万元) Yt

51．假设某地区住宅建筑面积与建造单位成本的有关资料如表：

建筑地编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 建筑面积(万平方米)X 0.6 0.95 1.45 2.1 2.56 3.54 3.89 4.37 4.82 5.66 6.11 6.23 建造单位成本(元／平方米)Y 1860 1750 1710 1690 1678 1640 1620 1576 1566 1498 1425 1419 根据上表资料：

(1)建立建筑面积与建造单位成本的回归方程。 (2)解释回归系数的经济意义。

(3)估计当建筑面积为4．5万平方米时，建造单位成本可能为多少。 参考答案：

(1)建立建筑面积X与建造单位成本y的回归方程： Yi????Xi?u i估计参数得出结果如表所示。

summary output

回归统计

Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 回归分析 残 差 总 计

32

0．973 051 0．946 829 0．941 512 31．736 12 SS 179 348．9 10 071．74 189 420．7 MS 179 348．9 1 007．174 F 178．071 5 df 1 10 11 Intercept X Variable 1 即

Coefficients 1 845．475 —64．184 标准误差 19．264 46 4．809 828 t Stat 95．796 88 —13．344 3 P—value 3．76E—16 1．07E—07 ??1845.4 Y?75i 8464.Xi1X的参数的t检验显著，拟合优度0．946 829较高。

(2)解释回归系数的经济意义：回归系数—64．184说明建筑面积每增加1万平方米，平均说来，每平方米建造单位成本将降低64．184元。

(3)估计当建筑面积为4．5万平方米时，建造单位成本可能为

?i?1845.47 Y?564.?18=1 55644.．5647(元)

52．若X表示在一家分店工作的售货员人数，Y表示这家分店的年销售额 (千元)，已经求出Y对X的回归方程的估计结果如表8—21所示。

表8—21

预测量 常数 X 方差分析

离差来源 回归 残差 总离差 平方和 6 828．6 2 298．8 9 127．4 自由度 1 28 29 方差 6 828．6 82．1 系数 80．0 50．0 标准差 11．333 5．482 t值 7．06 9．12 (1)写出估计的回归方程。 (2)在研究中涉及多少家分店?

(3)计算F统计量，在0．05显著性水平下检验关系的显著性。 (4)预测有12名售货员的某分店的年销售收入。 参考答案：

??80.0?50.00X (1)估计的回归方程为Yii(2)在研究中涉及30家分店。 (3)F统计量为F=

6828.6=83．17 82.1临界值F?(k?1,n?k)=4．2

因为F=83．17>4．2，所以在0．05的显著性水平下，分店销售额与售货员人数的关系是显著的。

(4)预测：有12名售货员的某分店的年销售收入预测值为

??80.? Y0i80．0+50．00 *12=680(千元) 50.X00i=

53．某村从部分地块测得水稻产量y和施肥量X的有关数据如表所示。

33

地块 1 2 3 4 5 6 7 8 9 水稻亩产量(千克) 140 210 280 350 420 490 510 500 480 每亩施肥量X(千克) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 分别建立水稻产量Y和施肥量X的线性回归方程和二次抛物线回归方程，并对比这两个回归方程，哪个方程更理想?

参考答案：

(1)建立线性回归模型：Yi?a?bXi?ui 回归估计Excel输出结果如表8—29所示。

表8—29

summary output

回归统计

Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析 回归分析 残 差 总 计 Intercept X Variable 1 Coefficients 1 86.8889 4.716667 标准误差 31.80244 0.667985 t Stat 5.876559 7.061039 P—value 0.000614 0.0002 df 1 7 8 SS 133481.7 18740.56 152222.2 MS 133481.7 2677.222 F 49.85827 0．936422 0．876887 0．859299 51.74188 9 (2)建立二次抛物线回归方程： Yi?a?bXi?cXi2?ui 回归估计Excel输出结果如表8—30所示。

表8—30 summary output

回归统计

Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值

0．991121 0．982321 0．976428 21.17848 9 34

方差分析

回归分析 残 差 总 计 Intercept X Variable 1 X Variable 2 Coefficients 119.5152 10.49156 -0.07219 标准误差 17.21338 1.003375 0.012068 t Stat 6.943155 10.45627 -5.98183 P—value 0.000443 4.49E-05 0.00098 df 2 6 8 SS 149531.1 2691.169 152222.2 MS 74765.53 448.5281 F 166.6908 (3)对比以上两个回归方程可以看出：

线性回归方程的可决系数为0．876 887，F统计量为49．858 27，回归系数的t检验表明X对Y有显著影响。

二次抛物线回归方程的可决系数为0．982 321，修正的可决系数为0．976 428，F统计量为166．690 8，回归系数的t检验表明X和X对Y都有显著影响。

虽然这两个方程的参数z检验都显著，但二次抛物线回归方程修正的可决系数比线性回归方程高得多，且F统计量也比线性回归方程更大，说明二次抛物线回归方程比线性回归方程对样本拟合情况更好，因此二次抛物线回归方程更理想。

54．表8—23给出了每周家庭消费支出y(美元)与每周家庭的收入X(美元)的数据：

表8—23

每周收入(X) 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 每周消费支出(Y) 55，60，65，70，75 65，70，74，80，85，88 79，84，90，94，98 80，93，95，103，108，113，115 102，107，110，116，118，125 110，115，120，130，135，140 120，136，140，144，145 135，137，140，152，157，160，162 137，145，155，165，175，189 150，152，175，178，180，185，191 2(1)对每一收入水平，计算平均的消费支出，即条件期望。 (2)以收入为横轴，消费支出为纵轴，作散点图。

(3)你认为X与Y之间的关系如何?X与Y的均值之间的关系如何? (4)写出总体回归函数。

(5)总体回归函数是线性的还是非线性的? 参考答案：

(1)平均的消费支出，即条件期望如表8—31所示。 表8—3l X E(Y|Xi)

80 65 l00 77 120 89 140 101 160 113 180 125 200 137 220 149 240 161 260 173 35

(2)散点图(略)

(3)X与Y有正的相关关系，X与Y的均值近似线性关系，Y的均值随X的增大而增大。 (4)总体回归函数为Yi?17?0.6Xi?ui

(5)总体回归函数是线性的。

16．根据第15题中的数据，对于每一个X值，随即抽取一个Y值，结果如表所示。

X Y 80 70 100 65 120 90 140 95 160 110 180 115 200 120 220 140 240 155 260 150 (1)以Y为纵轴，X为横轴作图。 (2)你认为Y与X是怎样的关系? (3)确定样本回归函数。

(4)样本回归函数与总体回归函数相同吗?为什么? 参考答案： (1)作图(略)。

(2)Y与X是正相关关系。

(3)样本回归函数为Yi?24.47?0.509Xi。

(4)显然这里的样本回归函数与总体回归函数Yi?17?0.6Xi?ui是不同的，这是因为存在抽样误差。

55．从某大学统计系学生中随机抽取了16名学生，对他们的数学和统计学成绩进行调查，结果如表8—25所示。

表8—25

学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 81 90 91 74 70 73 85 60 统计学成绩 72 90 96 68 82 78 81 71 学生编号 9 10 11 12 13 14 15 16 数学成绩 83 81 77 60 66 84 70 54 统计学成绩 78 94 68 66 58 87 82 46 (1)绘制学生数学成绩与统计学成绩的散点图，判断数学成绩与统计学成绩之间关系的形态。

(2)计算数学成绩与统计学成绩的简单相关系数。 (3)对相关系数的显著性进行检验。 参考答案： (1) 散点图略。

(2) 计算得出相关系数如表8—32所示：

表8—32

列1

列1 1 列2 36

列2 (3) 相关系数显著性检验：

0.784764 1 H0：?=0，H1：?>0

检验统计量t?0.784764?01?(0.784764)16?22=4.7376 取?=0.05，查表得t0.05(14)=2.145，显然t=4.7376>2.145，则拒绝H0：?=0，说明相关系数显著不为0。

56．某城市人均鲜蛋消费金额和人均生活费收入的统计数据如表8—26所示。

表8—26

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 年份 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 人均鲜蛋消费Y 14．76 15．84 18．12 23．64 29．76 37．44 37．60 41．42 48．67 54．33 52．16 55．49 75．10 86．91 102．81 人均生活费收入X 491．76 491．76 498．84 552．72 671．16 811．80 988．43 1 094．65 1 231．77 1 374．60 1 522．22 1 698．60 2 080．08 2 579．06 3 724．75 (1)绘制人均鲜蛋消费金额和人均生活费收入的散点图。 (2)计算人均鲜蛋消费金额和人均生活费收入的相关系数。 (3)对相关系数的显著性作检验。 参考答案：(1)绘制散点图，略。

(2) 计算得出相关系数如表8—33所示。

表8—33

列1 列2 列1 1 0.975883 列2 1 57．根据第18题中的数据，建立人均鲜蛋消费金额和人均生活费收入的回归模型，估计其参数，对斜率系数的显著性作检验。估计检验的结果说明了什么?

参考答案：

(1)由于Y与X近似线性关系，建立线性回归模型：

37

Yi????Xi?ui (2)估计参数：

Excel估计结果如表8—34所示。 表8—34 summary output

回归统计

Multiple R R Square Adjusted R Square 标准误差 观测值 方差分析

回归分析 残 差 总 计 Intercept X Variable 1 Coefficients 9.32551 0.027971 标准误差 2.754168 0.001735 t Stat 3.385963 16.11855 P—value 0.004872 5.67E-10 Lower95% 3.375494 0.024222 df 1 13 14 SS 9087.888 454.731 9542.619 MS 9087.888 34.97931 F 259.8075 Significance F 5.67E-10 0．975883 0．952347 0．948682 5.914331 15 ??9.3255?0.02797X 即估计的回归方程为 Yii(3) 斜率系数的t检验：

由估计结果看出：斜率系数?的t统计量为16.1186，取?=0.05，查表得t0.025(13)=2.160，显然，斜率系数?的t统计量为16.1186>t0.025(13)=2.160，拒绝H0：?=0，这说明人均生活费收入对人均鲜蛋消费金额确实有显著影响。

58．根据第18题中的数据，假如预测1995年人均年生活费收入可达4 000元，预测该年人均鲜蛋消费金额。

参考答案： (1) 点题预测：

将1995年人均年生活费收入4000元代入回归方程中得：

?yf?9.3255?0.02797Xi?9.3255?0.02797?4000=118.53(元)

(2)区间预测：

2(x?x)1f?1?? yf??yf?t?/2?n?(xi?x)2由表中的数据可得：n=15；

?x=19812.20；x=1320.81；?y=694.05；y=46.27；

ii 38

?xiyi=1241614.255；?yi=41656.4125；?(xi?x)2=37783948；?ei=454.731；

2???34.9793=5.9143 2(x?x)1f?1??则有 yf?? yf?t?/2?2n?(xi?x)221(4000?1320.81)2 =118.23?2.16?5.9143?1? ?1537783948 =118.23?12.8555(元) 即预测区间为(105.37，131.09)元。

59．某汽车制造厂2003年产量为30万辆。

(1)若规定2004--2006年年产量递增率不低于6％，其后的年递增率不低于5％，2008年该厂汽车产量将达到多少?

(2)若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，而2004年的增长速度可望达到7．8 ％，问以后9年应以怎样的速度增长才能达到预定目标？

(3)若规定2013年汽车产量在2003年的基础上翻一番，并要求每年保持7．4％的增长速度，问能提前多少时间达到预定目标?

解：(1)30?1.06?1.05?30?1.3131?39.393 (万辆) (2)9(30?2)(30?1.078)?1?921.078?1?7.11% (3)设按7.4％的增长速度n年可翻一番 则有 1.074?6030?2

所以 n?log2/log1.074?9.71 (年)， 故能提前0.29年达到翻一番的预定目标。

60．某地区社会商品零售额1988—1992年期间(1987年为基期)每年平均增长10％，1993—1997年期间每年平均增长8.2％，1998--2003年期间每年平均增长6.8％。问2003年与1987年相比该地区社会商品零售额共增长多少？年平均增长速度是多少?若1997年社会商品零售额为30亿元，按此平均增长速度，2004年的社会商品零售额应为多少?

解：

(1)以1987年为基期，2003年与1987年相比，该地区社会商品零售额共增长：

n32(1?10%)5?(1?8.2%)5?(1?6.8%)6?1?3.5442?1?2.5442?254.42%

(2)年平均增长速度为

16(1?10%)5?(1?8.2%)5?(1?6.8%)6-1=0.082295=8.2295%

(3)2004年的社会商品零售额应为

30?(1?0.082295)7?52.1842 (亿元)。

39

61．在整理历史数据时发现缺失了一些数据，试补充表9—2空栏中的数据并计算这段时间的平均增长速度。

表9—2

年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005

产量 (百万平方米) 95.2 115.0 与上年比较 增长绝对量 (百万平方米) — 4.8 7.0 发展速度 (%) — 104.0 增长速度 (%) — 5.8 解：如表所示：

年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 产量 (百万平方米) 95.2 100.0 104.0 110.03 115.0 122.0 与上年比较 增长绝对量 (百万平方米) — 4.8 4.0 6.03 5.0 7.0 发展速度(％) — 105.04 104.0 105.8 104.5 106.1 增长速度(％) 一 5.04 4.0 5.8 4.5 6.1 平均增长速度=5122?1=5．09％ 95.2或51.0504?1.04?1.058?1.045?1.061?1?5.09%

62．某地区国内生产总值在1991—1993年平均每年递增12％，1994一1997年平均每年递增10％，1998--2000年平均每年递增8％。试计算：

(1)该地区国内生产总值在这10年间的发展总速度和平均增长速度。

(2)若2000年的国内生产总值为500亿元，以后平均每年增长6％，到2002年可达多少?

(3)若2002年的国内生产总值的计划任务为570亿元，一季度的季节比率为105％，则2002年一季度的计划任务应为多少?

解：(1)发展总速度=(1?12%)?(1?10%)?(1?8%)=259.12% 平均增长速度=10259.12%?1?9.9892% (2)500?(1+6%)?561.8 (亿元)

40

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