复变函数第一章学习指导

复变函数第一章学习指导

一 知识结构

复数的定义???有序实数对???代数式???复数的五种表示?三角式???指数式 1. 复数?????向量??复数的模、辐角、共轭复数?棣莫夫公式??复数的n次方根???平面点集??预备知识?区域??曲线????2. 复变函数数?复变函数的概念及其集合意义

?复变函数的极限与连续概念与性质?????

二 学习要求

⒈了解复数定义及其几何意义； ⒉熟练掌握复数的运算； ⒊知道无穷远点邻域；

⒋了解单连通区域与复连通区域； ⒌理解复变函数；

⒍理解复变函数的极限与连续。 三 内容提要

复数是用有序数对(x,y)定义的，其中x,y为实数。要注意，因为复数是“有

序数对”，所以一般地讲，(x,y)?(y,x)。

正如所有实数构成的集合用R表示，所有复数构成的集合用C表示，即

C?{z?(a,b):a,b?R}

复数的四则运算定义为

(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(a?c,b?d) (a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)

1

ac?bdbc?ad,2),c2?d2?0 222c?dc?d 复数的四则运算满足以下运算律

(a,b)?(c,d)?( ①加法交换律 z1?z2?z2?z1

②加法结合律 z1?(z2?z3)?(z1?z2)?z3 ③乘法交换律 z1?z2?z2?z1

④乘法结合律 z1?(z2?z3)?(z1?z2)?z3

⑤乘法对加法的分配律 z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3

(x,?y)称为z?(x,y)的共轭复数，记为z。x2?y2称为z?(x,y)的模，记为z。共轭复数满足 z?z?z,2z?z?Rez,2z?z?Imz 2i z1?z2?z1?z2 z1?z2?z1?z2 (z1z)?1,z2z2z2?0

复数的三角式 z?r(co?s?isin?) （其中r?z） 复数的三角式 z?rei? 由此得如下关系式

z1?z2?r1ei?1?r2ei?2?r1?r2ei(?1??2)

z1r1ei?1r1i(?1??2)??e,z2?0 i?2z2r2er2 zn?rnein? z1?z2?z1?z2

z1z1?,z2?0 z2z2 2

Argz1(?z2)?Argz1()?Argz2()

z1)?Argz1()?Argz( Arg(2) z2 对于复数z?re，它的n次方根为z?rei?nni??2kπn(k?0,1,?,n?1)。

z0点的?邻域为复数集合{z:z?z0??}，记为N(z0,?).

z0点的去心?邻域为复数集合{z:0?z?z0??}，记为N*(z0,?)。

无穷远点的?邻域为复数集合{z:z??}，记为N(?,?).

开集：所有点为内点的集合；开集的余集我们称为闭集. 区域：1、D是开集；

2、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D。

对于区域D，若D中任意一条简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域。不是单连通区域的区域称为复连通区域。

复变函数的定义： 设G?C，如果对于G中任意以点z，有确定的复数w同它对应，则称在G上定义了一个复变函数，记为w?f(z).

复变函数w?f(z)的定义类似于数学分析中实函数y?f(x)的定义，不同的是前者w?f(z)是复平面到复平面的映射，所以无法给出它的图形。 注1、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w和z对应； 注2、同样可以定义函数的定义域与值域； 注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数。

复变函数的极限：设函数w?f(z)在集合E上确定，z0是E的一个聚点，

如果任给??0，可以找到一个与?有关的正数???(?)?0，a是一个复常数。使得当z?E，并且0?|z?z0|??时，

|f(z)?a|??，

则称a为函数

f(z)当z趋于z0时的极限，记作：

z?z0,z?Elimf(z)?A或f(z)?A(当z?z0)

复变函数在一点的极限可用两个二元实函数在一点的极限来讨论，即

3

z?z0limf(z)?A?Rez?Rez0Imz?Imz0limRef(z)?ReA且limRez?Rez0Imz?Imz0Imf(z)?ImA

复变函数连续性的定义：

如果limf(z)?f(z0)成立，则称f(z)在z0处连续；如果

z?z0f(z)在E中每一点

连续，则称 如果

f(z)在E上连续。

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，z0?x0?iy0，f(z)在z0处连续的充

x?x0,y?y0,要条件为：

lim四.典型例题

u(x,y)?u(x0,y0)，limz1． z2x?x0,y?y0,

v(x,y)?v(x0,y0)，例1 设z1?2?5i,z2?3?i，求

分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。

解 为求

z1，在分子分母同乘z2，再利用i2??1，得 z2z1z?z(2?5i)(3?i)1?17i117?12????i 2z2z2?z2101010z 例2 求复数A?(4?3i)(1?2i)的模．

(4?3i)(1?2i)解 令z1?4?3i,z2?1?2i，有

A?z1?z2z1?z2

由共轭复数的运算结果得

A?例3 求(1?i)8． 解 1?i?2e，故有

iπ4z1?z2z1?z2?z1?z2z1?z2?z1?z2z1?z2?1

(1?i)8?(2e)?(2)8e 例4 设z?1?i，求4z．

iπ48πi8?4?16ei2π?16

4

解 因z?2e，故z?2,argz?8iπ4?4i．于是，z的四个四次方根为

w0?2e w1?2e8π16i9π16 w2?82e w3?2e0?arg8i17π1625π16iz?iπ?z?i4所确定的点集是什么图形？ 例5 试确定不等式

解法1 （按复数几何意义和辐角定义分析）

z?iπarg?z?i4的点的集合. 先考虑满足等式

因为

z?iarg?arg(z?i)?arg(z?i)z?i

又arg(z?i)和arg(z?i)分别是始点在i和?i而终点在z的向量与正实轴的夹角（根据本书规定：主辐角的范围为0?argz?2π，故上述描述成立）.因此等式

argz?iπ?z?i4

Y π表示到两定点i,?i的张角之差等于定数4的点z－1 X 的集合.由平面几何的定理知，这是缺了点i和?i的两

－i 个圆弧.见图1.10所示，图中两个圆弧实际上只有实

z?iπarg?图 1.10 z?i4所确定的点集；虚线圆弧是线圆弧才是

z?iπarg?z?i4所确定的点集.

z?iarg?0z?i再考虑等式 确定的点集.实际上，此点集是虚轴上点i以上，点?i以下的点的全体。

从图中看出可见，该点集和图1.10中实线圆弧将整个平面分为两半. 容易验

z?iπ0?arg?z?i4所确定的点证，左边的部分除去圆域（即图中淡灰色）为不等式

集.

解法2 根据辐角定义得出，由z?x?iy

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/jac.html