高考试题（直线和圆的方程）

一、选择题

A(1,cos?),B(sin?,1),??(0,]2，则当△OAB的（江西）在△OAB中，O为坐标原点，

面积达最大值时，??（D）。

???? A．6 B．4 C．3 D．2

1（北京）“m=2”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的（C）

（A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

22

（北京）从原点向圆 x＋y－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（B） （A）π （B）2π （C）4π （D）6π

22

（北京）从原点向圆 x＋y－12y＋27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（B）

?2???? （A）6 （B）3 （C）2 （D）3

（重庆）圆(x?2)?y?5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（A）

2222x?(y?2)?5 (x?2)?y?5 A． B．

C．(x?2)?(y?2)?5 D．x?(y?2)?5

222222（湖南）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的取值范围是（C）

A．[－2，－1] B．[－2，1] C．[－1，2] D．[1，2]

222x?y?c?0x?y?5相切，则c的值为a?(1,?1)（辽宁）若直线按向量平移后与圆

?x?2?0,??y?1?0,?x?2y?2?0?（A）

A．8或－2

B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8

22(?2,0)x?y?1相切，则l的斜率是(D) l(全国I) 设直线过点，且与圆

13??3 （D）?3 （A）?1 （B）2 （C）

22（重庆）若x?y?4,则x?y的最大值是 。22

（?2，0）(全国I) 已知直线l过点，当直线l与圆x?y?2x有两个交点时，其斜率k的

取值范围是?

22（?22，22）（?2，2）（A） （B）

2211（?，）（?，）88 44 （D）（C）

?y?x?1?y??3x?1(全国I) 在坐标平面上，不等式组?所表示的平面区域的面积为(B)

- 1 -

（A）2

二、填空题

3（B）2

32（C）2

（D）2

?2x?y?0,则x?3y?x?y?3?0,x,y（福建）非负实数满足?的最大值为 9 。

（全国II）圆心为(1,2)且与直线5x?12y?7?0相切的圆的方程为____________。

(x?1)2?(y?2)2?4

（湖南）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OA?OB ＝ 。

?12

22（湖南）设直线2x?3y?1?0和圆x?y?2x?3?0相交于点A、B，则弦AB的垂直平分线方程是 。3x?2y?3?0

（湖南）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则

OA?OB ＝ 。

?12

3 。2

（江西）设实数x, y满足

?x?y?2?0y?x?2y?4?0,则的最大值是?x?2y?3?0??x?y?5,?3x?2y?12,???0?x?3,?(山东) 设x,y满足约束条件?0?y?4.则使得目标函数z?6x?5y的值最大的点(x,y)是___(2,3)____。

?x?1?2cos??（上海）将参数方程?y?2sin?（?为参数）化

为普通方程，所得方程是____(x-1)+y=4。______。

2

2

?x?y?3?x,y（上海）若满足条件?y?2x，则z?3x?4y的

最大值是____11______。

（上海）直角坐标平面xoy中，若定点A(1,2)与动点

P(x,y)满足OP?OA?4，则点P的轨迹方程是 x+2y-4=0_______。

y?（上海）直线

1x2关于直线x?1对称的直线方程是___x+2y-2=0_。

- 2 -

（浙江）设集合

A＝?(x,y)|x,y,1?x?y是三角形的三边长?，则A所表示的平面区域

(不含边界的阴影部分)是(A)

1y1y1y1y12121212o121xo121xo121x o121x

(A) (B) (C) (D)

（浙江）点(1，－1)到直线x?y?1?0的距离是(D)

13232(A) 2 (B) 2 (C) 2 (D)2

三、解答题

（北京）如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2。

（I）分别用不等式组表示W1和W2；

（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积

2

等于d，求点P的轨迹C的方程；

（III）设不过原点O的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合。 解：（I）W1={(x, y)| kx

kx0}，

（II）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得

222|kx?y||kx?y|2|kx?y|2??d?d222k?1 k?1, 即k?1，

由P(x, y)∈W，知kx－y>0，

222

k2x2?y2?d2222222kx?y?(k?1)d?0, k?1 所以 ，即

22222kx?y?(k?1)d?0； 所以动点P的轨迹C的方程为

（III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△

2OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（3a，0），即它们的重心重合，

当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．

?k2x2?y2?(k2?1)d2?0?2222222y?mx?n 由?，得(k?m)x?2mnx?n?kd?d?0

由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k－m≠0且

△=(2mn)?4(k?m)?(n?kd?d)>0

设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，

- 3 -

22222222

2

则

设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)，

x1?x2?2mnk2?m2, y1?y2?m(x1?x2)?2n,

?y?kx?y??kxn?n及??x?,x?34y?mx?n?y?mx?n得k?mk?m 由?2mnx3?x4?2?x1?x22k?m从而，

所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2,

于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合。

（江苏）如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2?4，过动点P分别作圆O1.圆O2的切线PM、PN（M.N分别为切点），使得PM?迹方程。

2PN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨

yMO1o解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线

PNO2x为x轴，建立平面直角坐标系，则O1（-2，0），O2（2，0），

22由已知PM?2PN，得PM?2PN。 因为两圆的半径均为1，所以

PO1?1?2(PO2?1) P(x,y)设

22，则

(x?2)2?y2?1?2[(x?2)2?y2?1]，

22(x?6)?y?33， 即

22(x?6)?y?33所以所求轨迹方程为

x2?y2?12x?3?0）。

（或

Oxy（辽宁）如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y?x?0. （Ⅰ）将十字形的面积表示为?的函数；

?为何值时， （Ⅱ）十字形的面积最大？最大面积是多少？ 本小题主要考查根据图形建立函数关系、三角函数公式、用反三角函数表示角以及解和

三角函数有关的极值问题等基础知识，考查综合运用三角函数知识的能力. 满分12分.

2S?2xy?x（Ⅰ）解：设S为十字形的面积，则

?xy?2sin?cos??cos2?(?4????2

).1151S?2sin?cos??cos2??sin2??cos2???sin(2???)?,2222 （Ⅱ）解法一：

其中

??arccos?25sin(2???)?1,即2????时,S.25 当最大.

1255?1?arccos时,S.4252所以，当最大. S的最大值为

2S?2sin?cos??cos?,所以S??2cos2??2sin2??2sin?cos? 解法二： 因为

??? - 4 -

?2cos2??sin2?.

令S′=0，即2cos2??sin2??0,

可解得

???2?1arctan(?2)2

2所以，当

（辽宁）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 概 第二工果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、 工序率 第一工序 乙产品为一等品的概率P甲、P乙； 序 产品 （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、

甲 0.8 0.85 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条

件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη； 0.75 0.8 利 乙 等级 一等 二等 （Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 产品润如表三所示.该工厂有工人40名，可用资，金60 甲 5（万元） 2.5（万元） 万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在

????15?1arctan(?2).22时，S最大，S的最大值为

（II）的条件下，x、y为何值时，z?xE??yE?

最大？最大值是多少？（解答时须给出图示） 用 项目 量（本小题主要考查相互独立事件的概率、随机变 量的分布列及期望、线性规划模型的建立与求解 产品 等基础知识，考查通过建立简单的数学模型以解 甲 决实际问题的能力。 乙 乙 2.5（万元） 1.5（万元） 工人（名） 资金（万元） 8 2 8 10 （Ⅰ）解：

P,甲?0.8?0.85?0.681.5 0.4 P乙0.75 ?0.8?0.6.????2分

（Ⅱ）解：随机变量?、?的分别列是

? P 2.5 0.6 ? P 5 0.68 2.5 0.32 E??5?0.68?2.5?0.32?4.2, E??2.5?0.6?1.5?0.4?2.1.????6分 y?5x?10y?60,?8x?2y?40,68x+2y=40???x?0,M(4,4)?（Ⅲ）解：由题设知?y?0.

5x+10y=60o5x目标函数为 z?xE??yE??4.2x?2.1y.作出可行域（如图）：

作直线l:4.2x?2.1y?0,

将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行

域上 的点M点与原点距离最大，

此时z?4.2x?2.1y

- 5 -

?5x?10y?60,?取最大值. 解方程组?8x?2y?40.

得x?4,y?4.即x?4,y?4时，z取最大值，z的最大值为25.2。

（天津）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为?,tan?=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）

,0)，解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A(200B(0,220)，C(0,300)．

直线l的方程为y?(x?200)tan?，即

y?x?2002．

CBy设点P的坐标为(x,y)，则由经过两点的直线的斜率公式

P(x,x?200)2（x?200）

kPCP?oAxkPBx?200?300x?8002??x2x， x?200?220x?6402??x2x．

由直线PC到直线PB的角的公式得

tanBPC?kPB?kPC1?kPBkPC16064x2x??2x?800x?640x?288x?160?6401??2x2x

6416?0640x??288x （x?200）

160?640x??288x要使tanBPC达到最大，只须达到最小．

160?640160?640x?x??288?2160?640?288xx由均值不等式．当且仅当时上式320?200y??60y2取等号．故当x?320时tanBPC最大．这时，点P的纵坐标为．

?0??BPC?2，所以tanBPC最大时，?BPC最大．故当此人距由此实际问题知，

水平地面60米高时，观看铁塔的视角?BPC最大。

? 命题走势

- 6 -

(7) 三年的“直线与圆的方程”考了哪些内容？

近三年全国高考对本章设题考查了4个方面的内容； 一、直线方程和两直线的位置关系 求直线方程的主要方法是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意形式的选择，注意讨论的思想.平行与垂直是平面内两直线的两种特殊位置关系.高考时该考点每年必考，常考常新.

【例1】 （2005年全国Ⅲ）已知过点A??2，m?和B?m，4?的直线与直线2x?y?1?0平行，则的值为 ( )

A 0 B ?8 C 2 D 10

????解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a=(1,-2),AB?(m?2,4?m),由AB?a

即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选B.

【例2】 （2006年上海）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p、q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．

已知常数p≥0，q≥0，给出下列命题：

① 若p＝q＝0，则“距离坐标”为（0，0）的

点有且仅有1个；

② 若pq＝0，且p＋q≠0，则“距离坐标”为 （p，q）的点有且仅有2个；

③ 若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是 [答]（ ）

（A）0； （B）1； （C）2； （D）3． 解：选（D）

① 正确，此点为点O； ② 正确，注意到p,q为常数，由p,q中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为

M（p，q）

l1l2

O q（或p）； ③ 正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的

两条平行线的交点.

二、简单线性规划

线性规划是教材的重点内容，也是高考的热点之一，2006年高考有12个省市都对该知识进行考查.一般为中、低档题.

【例3】（2005年浙江）设集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三边长}，

则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是( )

- 7 -

?x?01??y?00?x??2???1?x?y?01?解：由题意可知?得?0?y?由此可知A所表示的平面区

2x?y.?1?x?y???1?1?x?y?x?y?2?x?y?1???1?x?y?y?x域(不含边界的阴影部分)是(A )

?x?y?4? 【例4】 （2006年北京）已知点P(x,y)的坐标满足条件?y?x，点O为坐标

?x?1?原点，那么|PO|的最小值等于2,最大值等于

_________________________10.

解：画出可行域，如图所示：

y易得A（2，2），OA＝22 BB（1，3），OB＝10 C（1，1），OC＝2 故|OP|的最大值为10， 最小值为2.

COAx【例5】 （2007年全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x?y?1?0的距离为2，2且位于??x?y?1?0，表示的平面区域内的点是（ ）

?x?y?1?0 - 8 -

， A．(11)， B．(?11)

，?1) C．(?1，?1) D．(1解：C 先看满足第一个条件的点，1-1+1=1,-1-1+1=-1,-1-(-1)+1=1,1-(-1)+1=3,排除D.再看满足x-y+1>0的点，可以排除B，而A不满足x+y-1<0,故只有C.

三、圆的方程

重点考查标准方程和一般方程，有时也将圆的方程作为解答题考查.

【例6】 （2005年北京）如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆

O1、圆O2的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得PM?坐标系，并求动点P的轨迹方程.

P

M N O1 O2

分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何

关系式：ＰＭ＝2PN,即

ＰＭ＝２ＰＮ，结合图形由勾股定理转化为：

２

２

2PN.试建立适当的

2PO12?1?2(PO2?1),设P(x,y)由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求

轨迹方程.

解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系， y P M N x

O1 O2 O

则O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝2PN,即 ＰＭ＝２ＰＮ，

２

２

因为两圆的半径都为1,所以有：PO1?1?2(PO2?1)，设P（x,y） 则（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即(x?6)?y?33

综上所述，所求轨迹方程为：(x?6)?y?33（或x?y?12x?3?0）

22222222 - 9 -

评析：本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思

想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等。

【例7】 （2006年上海卷）已知圆x－4x－4＋y2＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是 ．

解：由已知得圆心为：P(2,0)，由点到直线距离公式得：d?

【例8】（2007年湖南卷）圆心为(11)，且与直线x?y?4相切的圆的方程是 ． 解：设圆的标准方程为(x?1)2?(y?1)2?r2，且与x+y=4相切，∴

2|2?0?1|2?. 21?1r?

|1?1?4|2?2,所以圆的方程为（x-1）2+（y-1）2=2.

四、直线与圆的位置关系

【例9】 （2005年重庆卷）若x2?y2?4,则x?y的最大值是 . 解：令x=2cosα,y=2sinα,则x-y=2cosα-2sinα=2

2sin(

?4??)≤22,∴若

x2?y2?4,则x?y的最大值是22.

【例10】 （2006年全国卷Ⅱ）过点(1,2)的直线l将圆(x?2)2?y2?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k= .

解：(数形结合)由图形可知点A(1,2)在圆(x?2)2?y2?4的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l?OA,所以kl??112 ???kOA2?2【例11】 （2007年江西卷）设有一组圆Ck:(x?k?1)2?(y?3k)2?2k4(k?N*)．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 ．

Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）

解：圆心为（k-1,3k）.圆心在y=3(x+1)上移动，半径也随k的增大而增大，故y=3(x+1)一定与所有的圆均相交，故B正确C不正确.

对于选项A，设存在定直线Ax+By+C=0与圆相切.

- 10 -

∴d=r，则与k无关.

2又2k?|A(k?1)?B?3k?C|A?B22

虽然该式中k不可能消去，故A不正确. 对于选项D，只需代入坐标原点验证即可. 故答案为BD.

2007年高考数学试题分类汇编（直线和圆的方程）

重庆文

（8）若直线y?kx?1与圆x2?y2?1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为

?32?（A）??,?

?77?天津文

（3） “a?2”是“直线ax?2y?0平行于直线x?y?1”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

?24??32?（B）??,? （C）?,??

?721??77?

4??2（D）?,??

?721?（14）已知两圆x2?y2?10和(x?1)2?(y?3)2?20相交于A，B两点，则直线AB的方程是 ．x?3y?0 四川文

15、已知?O的方程是x?y?2?0，?O'的方程是x?y?8x?10?0，由动点P向

2222?O和?O'所引的切线长相等，则运点P的轨迹方程是__________________

解析：?O：圆心O(0,0)，半径r?由切线长相等得

2；?O'：圆心O'(4,0)，半径r'?6．设P(x,y)，

3． 2x2?y2?2?x2?y2?8x?10，x?上海理

211、已知圆的方程x??y?1??1，P为圆上任意一点（不包括原点）。直线OP的倾斜

2角为?弧度，OP?d，则d?f上海文

???的图象大致为_____2sin? 正弦函数

11．如图，A，B是直线l上的两点，且AB?2．两个半径相等的动圆分别与l相切于 A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与 C l

线段AB围成图形面积S的取值范围是 ． A

- 11 -

Bπ??2?? ?0，2??

13．圆x2?y2?2x?1?0关于直线2x?y?3?0对称的圆的方程是（ ）

22 Ａ．(x?3)?(y?2)?1 2

22Ｂ．(x?3)?(y?2)?1 2 Ｃ．(x?3)2?(y?2)2?2 山东理

Ｄ．(x?3)2?(y?2)2?2

（15）与直线x?y?2?0和曲线x?y?12x?12y?54?0都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．

江西理

16．设有一组圆Ck:(x?k?1)2?(y?3k)2?2k4(k?N*)．下列四个命题： Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 ．Ｄ．所有的圆均不经过原点 ．其中真命题的代号是

．（写出所有真命题的代号）

22B，D

湖南理

11．圆心为(11)，且与直线x?y?4相切的圆的方程是 ．

(x?1)2?(y?1)2?2

湖北文

8．由直线y?x?1上的一点向圆(x?3)?y?1引切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 安徽文

(5)若圆x?y?2x?4y?0的圆心到直线x?y?a?0的距离为(A)-2或2

(B)

2222

B．22

C．7 D．3

2,则a的值为 213或 22(C)2或0 (D)-2或0

- 12 -

?2x?y?2?0?(9)如果点P在平面区域?x?y?2?0上,点O在曲线x2?(y?2)2?1上,那么|PQ|的?2y?1?0?最小值为 (A)

3 2(B)

45?1 (C)22?1 (D)2?1

2008年全国高考数学试题汇编——直线与圆的方程（一）

一、选择题：

1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线x?2y?5?0的距离为

A．1

B．3

C．2

（ D ）

D．5

2．（福建文科2）“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的 （ C ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线y?3x绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为

（ A ）

A．y??11x? 33B．y??1x?1 3C．y?3x?3 D．y?1x?1 3解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为?1．再右移1得

31y??(x?1)．

3选A．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换．

4．（全国I卷理科10）若直线

A．a?b≤1

2211?≥1 a2b2?????5．（重庆理科7）若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段PP12所

D．

成的

比?的值为

A．－

（ A ）

xy??1通过点M(cos?，sin?)，则 ab1122B．a?b≥1 C．2?2≤1

ab （ B ）

111 C． D． 553????????1（重庆文科4）若点P分有向线段AB所成的比为－，则点B分有向线段PA所成的比是

3

B．－

（ A ）

A．－

1 33 2 B．－

1 2 C．

1 2 D．3

- 13 -

226．（安徽理科8文科10）若过点A(4,0)的直线l与曲线(x?2)?y?1有公共点，则直线l的

斜率

的取值范围为 A．[?3,3]

（ C ）

B．(?3,3) C．[?33,] 33D．(?33,) 33227．（辽宁文、理科3）圆x?y?1与直线y?kx?2没有公共点的充要条件是 （ C ） ．．

A．k?(?2,2) C．k?(?3,3)

B．k?(??,?2)?(2,??) D．k?(??,?3)?(3,??)

228．（陕西文、理科5）直线3x?y?m?0与圆x?y?2x?2?0相切，则实数m等于

（ C ） A．3或?3

B．?3或33

C．?33或3

D．?33或33 ?x≤0,?9．（安徽文科11）若A为不等式组 ?y≥0, 表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1

?y?x≤2?时，

动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为 A．

（ C ）

3 4 B．1 C．

7 4D．2

10．（湖北文科

??x≤y,5）在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组?的点(x,y)的集合用

x?1??

（ C ）

阴影表

示为下列图中的

- 14 -

?y?x?1≤0,?11．（辽宁文科9）已知变量x、y满足约束条件?y?3x?1≤0,则z＝2x+y的最大值为（ B ）

?y?x?1≥0,?A．4

B．2

C．1

D．－4

?x?y?1≥0?12．（北京理科5）若实数x,y满足?x?y≥0，则z=3x+y的最小值是 （ B ）

?x≤0?A．0

B．1

C．3

D．9

?x?y?1≥0?（北京文科6）若实数x，y满足?x?y≥0，则z=x+2y的最小值是

?x≤0?A．0

B．

（ A ）

1 2 C．1

D．2 （ C ） D．[1，+∞)

?x－y+1≤0y

13．（福建理科8）若实数x、y满足?，则的取值范围是

x?x>0

A．(0，1) B．(0，1] C．(1，+∞)

?x?y?2≤0,y?（福建文科10）若实数x、y满足?x?0,则的取值范围是

x?x≤2,?A．（0，2）

B．（0，2）

C．(2,+∞)

（ D ）

D．[2，+∞)

?x?y≥0?14．（天津理科2文科3）设变量x,y满足约束条件?x?y≤1，则目标函数z?5x?y的最大

?x?2y≥1?值为

A．2 （ D ）

B．3

C．4

D．5

?2x?y≤40?x?2y≤50?15．（广东理科4）若变量x、y满足?，则z?3x?2y的最大值是（ C ）

?x≥0??y≥0A．90

B．80

C．70

D．40

?x≥1,?16．（湖南理科3）已知变量x、y满足条件?x?y≤0,则x+y的最大值是（ C ）

?x?2y?9≤0,?A．2

B．5

C．6

D．8

- 15 -

，?x≥1?（湖南文科3）已知变量x、y满足条件?y≤2，则x+y是最小值是

?x?y≤0，?A．4

B．3

C．2

（ C ）

D．1

?y≥x,?17．（全国Ⅱ卷理科5文科6）设变量x，y满足约束条件：?x?2y≤2,则z?x?3y的最小值

?x≥?2?为（ D ）

A．－2

B.－4

C. －6

D.－8

，?y≥1?，18．（陕西理科10）已知实数x，y满足?y≤2x?1如果目标函数z?x?y的最小值为?1，

?x?y≤m．?则实

数m等于 （ B ）

A．7

D．3

B．5 C．4

?x≥0,?19．（浙江文科10）若a≥0,b≥0，且当?y≥0,时，恒有ax?by≤1，则以a,b为坐标点

?x?y≤1?P(a,b) 所形成的平面区域的面积等于

A．

（ C ）

1 2 B．

? 4 C．1 D．

? 2?x?2y?19≥0，?20．（山东理科12）设二元一次不等式组?x?y?8≥0,所表示的平面区域为M，使函数

?2x?y?14≤0?

y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 （ C ） A．[1,3]

B．[2,10]

C．[2,9]

D．[10,9]

21．（山东文科11）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x?3y?0和x轴相切，则该

圆的标准方程是 （ B ）

2

7??A．(x?3)2??y???1

3??

- 16 -

B．(x?2)?(y?1)?1

22C．(x?1)2?(y?3)2?1

3??D．?x???(y?1)2?1

2??

（ C ）

222．（重庆文科3）曲线C:??x?cos??1.(?为参数)的普通方程为

?y?sin??1

A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1

B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1

2223．（北京理科7）过直线y＝x上的一点作圆(x?5)?(y?1)?2的两条切线l1，l2，当直线

l1，l2关

于y＝x对称时，它们之间的夹角为 （ C ）

A．30° B．45°

C．60° D．90°

2224．（广东文科6）经过圆x?2x?y?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是

（ C ）

A．x＋y＋1＝0

B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0

2225．（湖北理科9）过点A（11，2）作圆x?y?2x?4y?164?0的弦，其中弦长为整数的

共有

A．16条 （ C ）

2226．（山东理科11）已知圆的方程为x＋y－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为

AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （ B ）

B．17条 C．32条 D．34条

A．106

B．206

C．306

D．406

222227．（重庆理科3）圆O1：x＋y－2x＝0和圆O2：x＋y－4y＝0的位置关系是 （ B ）

A．相离 二、填空题

B．相交 C．外切 D．内切

?2x?y≤40?x?2y≤50?29．（广东文科12）若变量x、y满足?，则z?3x?2y的最大值是

?x≥0??y≥070 ．

- 17 -

?x?y≥0，?30．（全国I卷理科13）若x，y满足约束条件?x?y?3≥0，则z?2x?y的最大值为

?0≤x≤3，?9 ．

?x?y?2≥0，??5x?y?10≤0，31．（山东文科16）设x，y满足约束条件?则z?2x?y的最大值为

?x≥0，?y≥0，?11 ．

?x≤0?32．（安徽理科15）若A为不等式组?y≥0表示的平面区域，则当a从－2连续变化到

?y?x≤2?1时，动

直线x?y?a扫过A中的那部分区域的面积为

7 ． 4?x≥0,?33.（浙江理科17）若a≥0,b≥0,且当?y≥0,时，恒有ax＋by≤1，则以a、b为坐标的点

?x?y≤1?（a，b）所形成的平面区域的面积等于_______1__.

?x=1+cosθ

34．（福建理科14）若直线3x+4y+m=0与圆?（θ为参数）没有公共点，则实数m

?y=－2+sinθ

的取值范围是 (??,0)?(10,??)

（福建文科14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范

?,?围是 (??,0)?(10．

35．（山东文科13）已知圆C:x?y?6x?4y?8?0．以圆C与坐标轴的交点分别作为

22x2y2??1． 双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为

41236．（江苏9）如图，在平面直角坐标系xOy中，设△ABC的顶点分别为

y A P E x A(0，a)，B(b，，0)C(c，0)，点

P(，0p是线段OA上一

零实数．直线BP、CP分

B

F 点（异于端点），a，b，c，p均为非别交AC、AB于点E，F．一同学已正

O C - 18 -

确地求出直线OE的方程为??11??11???x????y?0，请你完成直线OF的方程：?bc??pa?（

?11?11? ）x????y?0． cb?pa?37．（广东理科11）经过圆x2?2x?y2?0的圆心C，且与直线x?y?0垂直的直线方程是x?y?1?0__．

38．（重庆理科15）直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），

则直线l的方程为 x－y＋1＝0 ．

（重庆文科15）已知圆C：x2?y2?2x?ay?3?0（a为实数）上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a= －2

39．（天津理科13）已知圆C的圆心与抛物线y2?4x的焦点关于直线y?x对称.直线

4x?3y?2?0与圆C相交于A,B两点，且AB?6,则圆C的方程为

x2?(y?1)2?10 .．

，关于直线y?x?1对称．直线40．（天津文科15）已知圆C的圆心与点P(?21)3x?4y?11?0与

圆C相交于A，B两点，且AB?6，则圆C的方程为 x2?(y?1)2?18 ． 41．（湖南文科14）将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；

若过点(3，0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 ． 答案：(x－1)2+y2＝1；33或?33

2242．（四川文、理科14）已知直线l:x?y?4?0与圆C:(x?1)?(y?1)?2，则C上各点到l距离

的最小值为 ．

解析：由数想形，所求最小值＝圆心到到直线的距离－圆的半径．圆心(1,1)到直线x?y?6?0的距离d?6?32．故最小值为32?2?22．

2三、解答题

243．（宁夏海南文科第20题）已知m?R,直线l:mx?(m?1)y?4m和圆

- 19 -

C:x2?y2?8x?4y?16?0.

（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；

（Ⅱ）直线l能否将圆C分割成弧长的比值为解：（Ⅰ）?k?1的两段圆弧？为什么？ 2m,?km2?m?k?0(?)， 2m?111?m?R,∴当k≠0时?≥0，解得?≤k≤且k≠0

2211又当k＝0时，m＝0，方程(?)有解，所以，综上所述?≤k≤

22（Ⅱ）假设直线l能否将圆C分割成弧长的比值为B两点

1的两段圆弧．设直线l与圆C交于A，2则∠ACB＝120°．∵圆C:(x?4)2?(y?2)2?4，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．

故有4m?2(m2?1)?4mm2?(m2?1)2?1，整理得3m4?5m2?3?0．

∵??52?4?3?3?0，∴3m4?5m2?3?0无实数解． 因此直线l不可能将圆C分割成弧长的比值为

44．（江苏18）在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)?x?2x?b（x?R）与两坐标轴有三

个交点．记过三个交点的圆为圆C． （Ⅰ）求实数b的取值范围； （Ⅱ）求圆C的方程；

（Ⅲ）圆C是否经过定点（与b的取值无关）？证明你的结论． 解：（Ⅰ）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）

令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0 （Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0

令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b 令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1 所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0 （Ⅲ）圆C必过定点（0，1），（-2，1）

证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0 所以圆C必过定点（0，1）； 同理可证圆C必过定点（-2，1）．

21的两段圆弧． 22009年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（11解析几何初步）

一、选择题：

1. （2009安徽文） 直线l过点（-1，2）且与直线垂直，则l的方程是

- 20 -

A．3x?2y?1?0 C. 2x?3y?5?0

B.3x?2y?7?0 D. 2x?3y?8?0

1.【解析】可得l斜率为??l:y?2??323(x?1)即3x?2y?1?0，选A。 2 2。(2009海南、宁夏文)已知圆C1：(x?1)2+(y?1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x?y?1?0对称，则圆C2的方程为

（A）(x?2)2+(y?2)2=1 （B）(x?2)2+(y?2)2=1 （C）(x?2)2+(y?2)2=1 （D）(x?2)2+(y?2)2=1

?a?1b?1??1?0??a?2?222．【解析】设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，有?，解得：?，

b?1?b??2???1??a?1对称圆的半径不变，为1，故选B。.

3. (2009辽宁文、理) 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为

（A）(x?1)2?(y?1)2?2 (B) (x?1)2?(y?1)2?2 (C) (x?1)2?(y?1)2?2 (D) (x?1)2?(y?1)2?2

3.【解析】圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可. 【答案】B

E4. (2009陕西文、理)过原点且倾斜角为60?的直线被圆x2?y2?4y?0所截得的弦长为学科网LJ（A）3 （B）2 （C）6（D）23

4. 解析:直线方程y=3x,圆的标准方程x2?(y?2)2?4,圆心(0,2)到直线的距离Ad?3?0?2(3)2?(?1)2N?1，由垂径定理知所求弦长为 d*?222?12?23 故选D. AOB

5．(2009上海文)已知直线l1:(k?3)x?(4?k)y?1?0,与l2:2(k?3)x?2y?3?0,平行，则K得值是（ ） （A） 1或3 （B）1或5 （C）3或5 （D）1或2

w.w.w.ks.5.u.c.o.m KF5、【解析】当k＝3时，两直线平行，当k≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：3?k＝4?kk－3，解得：k＝5，故选C。

226．(2009上海文)点P（4，－2）与圆x?y?4上任一点连续的中点轨迹方程是 [答]

- 21 -

（ ）

（A）(x?2)2?(y?1)2?1 （B）(x?2)2?(y?1)2?4 （C）(x?4)2?(y?2)2?4 （D）(x?2)2?(y?1)2?1 6、【答案】A

4?s?x???s?2x?4?2【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则?，解得：，??t?2y?2?y??2?t?2?代入圆方程，得（2x－4）2＋（2y＋2）2＝4，整理，得：(x?2)2?(y?1)2?1

7. (2009上海理)过圆C：(x?1)2?(y?1)2?1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，?AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S??S￥?S??S|||,则直线AB有（ ）

（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条

7、【解析】由已知，得：SIV?SII?SIII?SI,，第II，IV部分的面积是定值，所以，SIV?SII为定值，即SIII?SI,为定值，当直线AB绕着圆心C

移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。

8．(2009上海春招)过点P(0,1)与圆x2?y2?2x?3?0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是 [答] ( )

（A）x?0. （B）y?1. （C）x?y?1?0. （D）x?y?1?0.

9．(2009重庆文)圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）

A．x?(y?2)?1 B．x?(y?2)?1 C．(x?1)?(y?3)?1

9. 【答案】A

2解法1（直接法）：设圆心坐标为(0,b)，则由题意知(o?1)?(b?2)?1，解得b?2，

222222

D．x?(y?3)?1

22故圆的方程为x?(y?2)?1。

解法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x?(y?2)?1 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C。

10．(2009重庆理)直线y?x?1与圆x?y?1的位置关系为（ ）

A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心

222222D．相离

- 22 -

10.【解析】圆心(0,0)为到直线y?x?1，即x?y?1?0的距离d?12，而?220?2?1，选B。 2

二、填空题：

1．(2009安徽文)在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。

1.【解析】设M(0,y,0)由12?y2?4?1?(?3?y)2?1可得y??1故M(0,?1,0) 【答案】(0,-1，0)

2. (2009广东文) 以点（2，－1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是_______________.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2．解：由题意得，所求圆的半径为r?2?1?61?1?52，所以所求圆的方程为

?x?2?2?(y?1)2?25.

2

2-3. (2009湖北文)过原点O作圆x2+y－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则

线段PQ的长为 。

3.【答案】4

【解析】可得圆方程是(x?3)?(y?4)?5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ?4

4．(2009江西文)设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题： A．存在一个圆与所有直线相交 B．存在一个圆与所有直线不相交 C．存在一个圆与所有直线相切

D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

4. 答案：ABC

【解析】因为xcos??(y?2)sin??1所以点P(0,2)到M中每条直线的距离

22cos??sin?22即M为圆C:x?(y?2)?1的全体切线组成的集合,所以存在圆心在(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线相交, 也存在圆心在(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交, 也存在圆心在(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线相切,

故ABC正确,

又因M中的边能组成两类大小不同的正三角形,故D错误, 故命题中正确的序号是ABC

d?122?1

- 23 -

5．(2009江西理)设直线系M:xcos??(y?2)sin??1(0???2?),对于下列四个命题： A．M中所有直线均经过一个定点

B．存在定点P不在M中的任一条直线上

C．对于任意整数n(n?3)，存在正n边形,其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．

5. 答案：B,C

【解析】因为xcos??(y?2)sin??1所以点P(0,2)到M中每条直线的距离

cos??sin?即M为圆C:x2?(y?2)2?1的全体切线组成的集合,从而M中存在两条平行直线,所以A

错误

又因为(0,2)点不存在任何直线上,所以B正确

w.w.w.s.5.u.c.o.m d?122?1

对任意n?3,存在正n边形使其内切圆为圆C,故C正确

M中边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF,故D错误, 故命题中正确的序号是 B,C

6. (2009全国Ⅰ文)若直线m被两平行线l1:x?y?1?0与l2:x?y?3?0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是

①15 ②30 ③45 ④60? ⑤75

其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）

【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。

w.w.w..s.5.u.c.o.m ????解：两平行线间的距离为d?o|3?1|1?1?2，由图知直线m与l1的夹角为30o，l1的倾斜

o00o00角为45，所以直线m的倾斜角等于30?45?75或45?30?15。故填写①或⑤

227. (2009全国Ⅱ文)已知圆O：x?y?5和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 × 7.答案：

25 41(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上251525的截距分别是5和，所以所求面积为??5?。

2224解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=?

228. (2009全国Ⅱ理)已知AC、BD为圆O:x?y?4的两条相互垂直的弦，垂足为

M1,2,则四边形ABCD的面积的最大值为 。

2228. 解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d1+d2?OM?3.

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??四边形ABCD的面积S?1|AB|?|CD|?2(4?d12)(4-d22)?8?(d12?d22)?5 2

9. (2009上海文、理)某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(?2，2)，（除零售点外）__________(3，4)，(?2，3)，(4，5)，(6，6)为报刊零售点.请确定一个格点(3，1)，为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短. 9．【答案】（3，3） 【解析】设发行站的位置为?x,y?，零售点到发行站的距离为z?2x?2?y?2?2x?3?y?1?y?4?y?3?x?4?y?5?x?6?y?6，这六个点的横纵坐标的平均值为A（2，?2?3?3?2?4?62?1?4?3?5?67?2，?，记

6627），画出图形可知，发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比2较可知，在（3,3）处z取得最小值。

10. (2009四川理)若⊙O1:x2?y2?5与⊙O2:(x?m)2?y2?20(m?R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是

w

10.【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。 解析：由题知O1(0,0),O2(m,0)，且5?|m|?35，又O1A?AO2，所以有

m2?(5)2?(25)2?25?m??5，∴AB?2?5?20?4。 5

11. (2009天津文、理)若圆x2?y2?4与圆x2?y2?2ay?6?0(a?0)的公共弦长为

23，则a=________.

11.【答案】1

【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，基础题。 解析：由知x2?y2?2ay?6?0的半径为6?a2，由图可知

6?a2?(?a?1)2?(3)2解之得a?1

【解析】由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为y?1 ，利用圆心（0，a1|22a0）到直线的距离d?为2?3?1，解得a=1 1|【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。

三、解答题：

1．(2009江苏)（本小题满分16分）

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在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x?3)2?(y?1)2?4和圆C2:(x?4)2?(y?5)2?4. （1）若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。

1. 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。

(1)设直线l的方程为：y?k(x?4)，即kx?y?4k?0 由垂径定理，得：圆心C1到直线l的距离

d?42?(232)?1， 2结合点到直线距离公式，得：|?3k?1?4k|2k?172化简得：24k?7k?0,k?0,or,k??

24求直线l的方程为：y?0或y???1,w.w.w..s.5.u.c.o.m

7(x?4)，即y?0或7x?24y?28?0 24(2) 设点P坐标为(m,n)，直线l1、l2的方程分别为：

111y?n?k(x?m),y?n??(x?m)，即：kx?y?n?km?0,?x?y?n?m?0

kkk因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心C1到直线l1与C2直线l2的距离相等。

w.w.w..s.5.u.c.o.m 41|??5?n?m|k故有：|?3k?1?n?km|?k，

21k?1?12k化简得：(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5 关于k的方程有无穷多解，有：??2?m?n?0?m-n+8=0,或??m?n?3?0?m+n-5=0w.w.w..s.5.u.c.o.m

解之得：点P坐标为(?3,13)或(5,?1)。

2222

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