线性规划问题的教学设计

3.3.2简单的线性规划问题的教学设计

一、教材分析：

本节是新教材（人教A版）必修5：3.3.2简单的线性规划问题（第一课时）的内容：在学习了利用不等关系描述客观世界、二元一次不等式（组）与平面区域的对应关系两节内容后，又补充了直线的斜率和倾斜角的基础上来学习本节的线性规划问题。经过前两节的铺垫，本节课学生将学习以下几点：

（1）正确构造线性约束条件、线性目标函数； （2）明确线性目标函数的几何意义； （3）利用图解法求线性目标函数的最值问题。

二、学情分析：

本节课之前学生通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，本节线性规划求最优问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，如果不在前面打好基础，就会增加本节课学习的难度。学生没有学习直线方程的斜截式，如果本节涉及截距的话，怕学生理解不到位，所以，我选择避开截距，而继续用初中学生比较熟悉的与y轴交点的纵坐标来说明。从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还不熟练，这成了学生学习的困难。

三、教学目标：

知识和技能：

（1）了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念； （2）了解线性规划的图解法，体会数形结合的思想，转化和化归的思想的运用，并会用图解法

求线性目标函数的最大（小）值；

（3）能将实际问题转化为数学问题，从实际情景中抽象解决一些简单线性规划应用问题的基本

思路和方法。

过程与方法：

(1) 在学生独立探究和师生互动的活动中完成简单的线性规划的数学理论的建构 (2) 在实践中掌握求解简单的线性规划的方法——的图解法 情感态度与价值观：

（1）通过实例，继续感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，体验数学和日常生

活的联系，感受数学的应用价值，增强应用意识，提高实践能力

（2）让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神； （3）设计不同层次的练习，让不同层次的学生在练习中体验成功的喜悦，得到应有的发展，为

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数学的高效课堂提供保证

四、教学重点、教学难点

教学重点：利用图解法求线性目标函数的最值问题 教学难点：（1）目标函数几何意义的理解

(2) 对用图解法求线性规划问题的最优解这一方法的理解和应用

五、突破重难点的方法：

1、以已有的知识、能力为基础，引导联想、类比，用逐层递进的问题探究调动思维，激发学习

热情；

2、适当运用多媒体，调动学生通过数形结合的手段帮助理解、分析；

六、教学方法：引导，探究，讲授，实践，归纳 七、教学过程：

【一】复习回顾：

上节课学习了什么知识：

二元一次不等式（组）与平面区域。 下面我们对学习过的内容进行回顾： 【二】创设情境，引入新课： （1）请作出不等式组对应的平面区域：

?0?x?4??0?y?3 ?x?2y?8?【设计意图】对所学的知识进行回顾，展示学生的作图结果，引导学生指出需要注意的问题。

（关键是作图是否规范）

【处理手段】请学生利用实物投影演示作图结果，教师予以相应评价

?0?x?4?（2）已知(x,y)满足不等式组?0?y?3，求z?2x?y的最大值。

?x?2y?8?我们怎么解析决这个新问题呢？（停顿数秒，环顾课堂），这就是今天所要讲的知识。 【设计意图】由旧知复习过渡到新知讲授，通过问题解决，体现本节课的主要内容 【处理手段】教师设置问题情境，鼓励学生积极思考，教师适时加以引导 【三】引导探究，获取新知

（一）探究：

探究1、要想求z?2x?y的范围，是否可以通过x和y的范围来求解（代数方法）？（学生讨论，

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得出结论）

探究结果：(x,y)必须是区域内的点，看来将x,y分开考虑是行不通的，x,y是相互制约的

【设计意图】引发学生思考，体会不等式组所表示的平面区域涵义，并通过讨论解决。

【师】：我们需要在不等式组表示的平面区域内找一点，把它的坐标代入式子z?2x?3y时，使该

式取最大值。可是我们不可能逐点代入，太费时了，我们就想是否有什么办法，使得我们通过图，就能观察出过哪点时，Z取得最大值呢？

探究2、不等式组在直角坐标系中有对应的几何图形，z?2x?y在直角坐标系中的几何图形是什么？能否联想到学过的函数？

得出结论：在直角坐标系中，

（1）y??2x?z表示的是 （2）y??2x?z中的z表示的是

【师】： 不等式组在直角坐标系中有对应的几何图形，z?2x?y在直角坐标系中的几何图形是什么？能否联想到学过的函数？ 从方程的角度来理解这个等式z?2x?y，它是关于(x,y)的二元一次方程2x?y?z?0对应的图像是一条直线，在初中，我们习惯把直线化作什么形式呢？对，斜截式。即y??2x?z，这条直线大家都会画吗？为什么？因为是不知道的。通常在一个问题不好解决时，我们通常先想特殊情况，取什么值是你会画？研究

的取不同值对直线有什么影响？令

Z?0,1，?1,2，?2,观察发现，

【生】：y??2x?z表示的是倾斜程度一样的平行直线。

【师】：我们将特殊的一条l0:y??2x在直角坐标系中画出。将其平移即可得到y??2x?z，

但什么时候Z值最大呢？研究Z与直线的什么有关呢？所以，要想Z最大,只需直线与y轴交点的

纵坐标最大就行了。是不是越往上还是往下平移呢？往上Z越大,那是不是Z的最值是无穷大呀？

对，点(x,y)必须是区域内的点，所以，要求直线必须与区域相交。最后过的是哪点呢？

【设计意图】例题学习的重点是引导学生分析解题思路和方法，要让学生参与到其中，要引导学生

经历、体验新知的发现、生成、应用的过程，体验数形结合和转化的思想方法，从而

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使学生更好地理解求最优解问题。对于需要学生完成的操作、尝试、猜想等探究活动教师要放手让学生去做。

【处理手段】设置几个逐层递进的问题，引导学生发现规律，体会平移的本质，找到解决问题的途

径。教师示范标准的解题过程。

下面我们一起写出本题的详细解答过程。

解：先做出区域（如图）：z?2x?y?y??2x?z

令z?0，作直线l0:y??2x，并平移l0，

当直线过点M时，直线与y轴交点的纵坐标最大

?x?4?M(4,2) ?x?2y?8??Zmax?2?4?2?10 答：略

【设计意图】教师要把握讲授与学生自主学习合作探究的量与度，要引导学生经历、体验新知的发

现、生成、应用的过程，对于需要学生完成的操作、尝试、猜想等探究活动教师要放手让学生去做。在教师启发性问题的引导下，结合多媒体给出的图形，经过独立思考、合作交流等手段探究出。例题学习重点是引导学生分析思路方法，分析知识运用，有规范的板书和推理过程，解题后归纳其中体现的数学思想方法和注意问题。

【处理手段】在黑板上将整个过程展示给学生，让学生有一个整体感、有一个初步的认识，并进一

步让学生感受一下画移求答的过程。

（二）自主学习基本概念：

【师】我们顺利解决了上述z的最值问题，其实这就是一个简单的线性规划问题。现在请大家打开课本88页，阅读第二自然段，学习一些基本概念。 【生】阅读教科书，填写学案。

（1）关于x,y的一次不等式或方程组成的不等式组称为x,y 的线性约束条件； （2）欲达到最大值或最小值所涉及的变量x,y 的一次解析式称为线性目标函数；

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（3）求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为线性规划问题；

（4）满足线性约束条件的解(x,y)称为可行解；所有可行解组成的集合称为可行域；使目标函数取

得最大值或最小值的可行解称为最优解。

【设计意图】结合上道题介绍概念，避免了数学概念的枯燥，使学生更容易理解，同时通过自学增

强学生的自我学习能力。

【处理手段】学生自学，教师巡视。 【四】变式演练，深入探究：

?0?x?4?已知(x,y)满足不等式组?0?y?3，

?x?2y?8?求Z?2x?y的最大值。

注意：作图规范的问题，

【设计意图】及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况，练习的目的：培养学生的触类旁通、

迁移的思想，会用数形结合思想解决问题，在做题的过程中体会解决线性规划问题的四步。进一步强调目标函数直线的纵截距与z的最值之间的关系，有时并不是截距越 大，z值越大。

【处理手段】师生共同探究，借助多媒体演示，教师讲授。同学在下边自己做，之后利用实物投影

展示学生的作品，然后教师讲解，及时发现错误并指正，对的给予鼓励

【反思过程，提炼方法】解答线性规划问题的步骤：画、移、求、答。

（1）根据约束条件画出可行域；将目标函数化为y?kx?b形式，赋予z一个几何含义， （2）令z＝0，画直线l0；并平移直线l0，从而找到z的最优解； （3）求出目标函数的最大值或最小值； （4）作答，下结论。

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【五】运用新知，解决问题

问题2、电视台应某企业之约播放两套连续剧.其中，连续剧甲每次播放时间为80min，其中

广告时间为1min，收视观众为 60 万；连续剧乙每次播放时间为40min，其中广告时间为 1min，收视观众为 20 万.已知此企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放 6min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于 320min 的节目时间.如果你是电视台的制片人，电视台每周播映两套连续剧各多少次，才能获得最高的收视率?

探究：（1）设每周播放连续剧甲x次、播放连续剧乙y次，则目标函数Z是什么？

（2）列出约束条件是什么？ （3）能画出它的可行性区域吗？ （4）能求出它的最优解吗？

解：设每周播放连续剧甲x次、播放连续剧乙y次， 目标函数为z?60x?20y

y864?80x?40y?320?x?y?6?约束条件为?

?x?0??y?0可行域如图。

令z?0，作直线l0:y??3x 平移l0

由图可知：直线过A(2,4)点时，z最大，Zmax?2?05?5?7.5(万元) 4246x答：每周播放连续剧生产甲2次，播放连续剧4次，才能获得最高的收视率。

【设计意图】一是使学生认识到现实世界中存在许多简单的二元线性规划问题，二是让学生经历完

整的分析探究问题、制定解决问题的策略的过程，把实际问题转化成线性规划问题（即建立数学模型），并求线性目标函数的最值问题，体现数学应用意识。让学生全面参与课堂教学，完善知识结构体系。

【处理手段】学生分组探究，结合多媒体演示教师给予适当指导（也可利用实物投影讲解）。 【师】你能总结出解线性规划应用题的一般步骤吗？ ．．．【生】解线性规划应用题的一般步骤： （1）理清题意，需要时列出表格；

（2）设好未知量并列出线性约束条件和目标函数； （3）做出可行域；

（4）在可行域内运用平移法求目标函数的最优解(准确作图，准确计算)； （5）还原成实际问题，下结论。

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【六】归纳总结，巩固提高：

本节课，你学习了哪些知识？用到了哪些思想方法？有什么困惑之处吗？ （1） 会用理解线性规划的几个概念； （2） 掌握图解法求线性规划的最优解问题； （3） 通过探究，体会直线的几何涵义；

（4） 能将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的过程 （5） 体会数形结合和转化的思想的运用

【设计意图】有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培

养了学生数学交流和表达的能力。

【处理手段】先学生总结，后教师补充。 【七】布置作业，课外拓展

1、梳理知识：课上所讲内容； 2、必做：P91 1、2；P93 习题3.3A组4；

?3?x?y?5思考题3、设z=2x+y，变量x、y满足下列条件 ?，求z的最大值和最小值.

1?x?y?3?

?x?0?思考题4、不等式组?y?0表示的平面区域内的整数点共有 个

?4x?3y?12?

【设计意图】除了帮助学生巩固新学的知识，还能引导学生运用新知识，迅速清楚地发现以前用解

不等式的知识错解此类题的原因。让学生再一次深刻体会到数形结合的妙处，同时又巩固了旧知识，增强学生探究问题的能力，完善了知识结构体系。并为下一课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。

【处理手段】学生探究为主，教师引导为辅。

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【九】教学反思：

本节课的准备：

本节课之前学生通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。从数学知识上看，本节线性规划求最优问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，如果不在前面打好基础，就会增加本节课学习的难度。为了让本节课的学习难度降低，在不等式和不等关系中，重点练习了如何将实际问题转化为数学问题，即如何根据条件列对应的不等式组；同时，在讲二元一次不等式（组）所表示的平面区域时，加强了练习，强调了作图要规范的问题，为本节课的顺利学习做好了准备。

教学环节的设计意图： 引入部分：

原来我使用一个实际问题引入的，希望通过创设实际问题情境使学生感到数学是自然的，有用的， 但试讲时觉得时间耗时太多了，而且本节后半部分也有实际应用问题，为了不重复，所以改为由复习上节所讲的内容来引入，直接引出所研究的问题。所以，我觉得引入可能不是很生动，不知有什么好的引入方法，请专家指导。

新课讲解部分：

本节线性规划问题的重点是引导学生分析解题思路和方法，通过设置2个探究问题，要引导学生 经历、体验新知的发现、生成、应用的过程，体验数形结合和转化的思想方法，要让学生参与到其中，从而使学生更好地理解求最优解问题。对于需要学生完成的操作、尝试、猜想等探究活动教师要放手让学生去做。

对目标函数的讲解问题：

学生没有学习直线方程的斜截式，如果本节涉及截距的话，怕学生理解不到位，所以，我选择避 开截距，而继续用初中学生比较熟悉的与y轴交点的纵坐标来说明。在教学过程中我尽量落实高效课堂的“四个给与”，即给与学生思考的空间、给与学生解释的机会、给与学生恰当的肯定和赞赏、

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给与学生适时的启发与点拨。

通过探究得出结论后，在黑板上将整个过程展示给学生，让学生有一个整体感、有一个初步的认 识，并进一步让学生感受一下画移求答的过程。通过变式训练，进一步强调要理解z的几何涵义。

运用新知，解决问题：

题中的量较多，我们可将此问题分解为几个容易理解的小问题来解决，降低学生学习的难度，让 学生经历数学建模的过程，增强学生的分析问题的能力。体现数学应用意识。让学生全面参与课堂 教学，完善知识结构体系。

归纳总结，巩固提高：

有利于学生养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构，同时也培养了学生 数学交流和表达的能力。

布置作业，课外拓展

除了帮助学生巩固新学的知识，还能引导学生运用新知识，迅速清楚地发现以前用解不等式的知识错解此类题的原因。让学生再一次深刻体会到数形结合的妙处，同时又巩固了旧知识，增强学生探究问题的能力，完善了知识结构体系。并为下一课时解决实际问题中的最优解是整数解的教学埋下伏笔。

本节课要体现两个重要的思想，即数形结合和转化的思想。

困惑：

本节课学生“眼睛在看，手在动，脑子在想，嘴巴在说”，基本达到了预期教学目标 但是，也有很多遗憾和困惑，比如：如何引导学生将目标函数转化为斜截式，为什么这么转化。为什么非要利用前面所讲的区域，如何解释更好？如何引导学生将所求问题与已知建立联系？

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