2011年中考数学试题分类解析汇编

2011年全国2011年中考数学试题分类解析汇编

二次函数(2)

一、选择题

1.（广西梧州3分）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼 杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛 1

物线y=－x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，

4球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是

13131313

（A）y=－x2+x+1 （B）y=－x2+x－1 （C）y=－x2－x+1 （D）y=－x2－x－1

44444444【答案】A。

【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系。

【分析】由已知知，点A和B的坐标分别为（4，0），（0，1）。根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的 1133关系将它们分别代入抛物线y=－x2+bx+c可求出b＝，c＝1。因此这条抛物线的解析式是y=－x2+x+1。

4444故选A。

2.（湖南株洲3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y??x2?4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是

【答案】A。

【考点】二次函数的应用。

【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y??x2?4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即可：∵y??x2?4x???x?2??4，∴抛物线顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米。故选A。

3.（山东聊城3分）某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形

构件组成，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如

图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为

A．50m B．100m C．160m D．200m 【答案】C。

2A．4米 B．3米 C．2米 D．1米

【考点】二次函数的应用。

【分析】建立如图所示的直角坐标系，由于抛物线的顶点为（0，0.5），所以可设抛物线函数表达式为则由于点（1，0）在抛物线上，代入后得a=?0.5，从而抛物线函数表达式为y=?0.5x2?0.5。 y=ax2?0.5。

当x=0.2时，y=0.48；当x=0.6时，y=0.32。则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为： 100×2×（0.48＋0.32）＝160（m）。故选C。

4.（广东台山3分）如图，正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH,设小正方形EFGH的面积为Y，AE为X，则Y关于X的函数图象大致是

【答案】B。

【考点】二次函数的应用和图象，勾股定理。

【分析】根据已知可得二次函数关系式：Y＝X2＋（1－X）2＝2X2－2X＋1，它是开口向上的抛物线,且经过点（1，1）。故选B。

5, （甘肃兰州4分）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是

A、 B、 C、 D、

【答案】B。

【考点】二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH， ∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG。

设AE为x，则AH=1﹣x，根据勾股定理，得EH=AE+AH=x+（1﹣x）， 即s=x+（1﹣x）=2x﹣2x+1。

∴所求函数是一个开口向上，对称轴是x=

2

2

2

22222

1的抛物线在0＜x ＜1部分。故选B。 26.（青海西宁3分）西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管的最大高度为3 1

米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式

2是

1

A．y＝－(x－)2＋3

21

C．y＝－12(x－)2＋3

2【答案】C。

【考点】二次函数的应用。

1

【分析】∵一支高度为1米的喷水管喷水的最大高度为3米，此时喷水水平距离为米，

21

∴顶点坐标为（，3）。

2

1

∴设抛物线的解析式为y=a（x－ ）2＋3，而抛物线还经过（0，0），

2

11

∴0=a（－）2＋3，∴a=－12。∴抛物线的解析式为y＝－12(x－)2＋3。故选C。

22二、填空题

21.（浙江舟山、嘉兴4分）如图，已知二次函数y?，（1，-2），当y随xx?bx?c的图象经过点（-1，0）

1

B．y＝－3(x＋)2＋3

2

1

D．y＝－12(x＋)2＋3

2

的增大而增大时，x的取值范围是 ▲ ． 【答案】x>1。 2【考点】待定系数法，二次函数的图象和性质。

2【分析】先把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y?x?bx?c中，得到关于b、

?1?b?c=0c的方程? ，求出b=-1、c=-2 ，即可求解析式：y?x2?x?2。它的

?1?b?c=?2对称轴为x=11。根据二次函数图象和的性质，当x>时，y随x的增大而增大。 222.（四川泸州2分）如图，半径为2的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆的直径，上底CD的端点在圆周上，则该梯形周长的最大值是 ▲ 【答案】10。

【考点】二次函数的最值，等腰梯形的性质，勾股定理。 【分析】∵圆心为O，则OA=OB=OC=OD=2，设腰长为x 设上底长是2b，过C作直径的垂线，垂足是P， 则x﹣（2﹣b）=2﹣b=CP

2

2

2

2

2

x2整理得b=2﹣。

4x2x212∴梯形周长=4+2x+2b=4+2x+4﹣=﹣+2x+8=??x?2??10

222∴该梯形周长的最大值是：10。

3.（贵州安顺3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是

A． 【答案】C。

【考点】二次函数综合题。 【分析】依题意，得y=S

B．

C．

D．

1（1﹣x）21，抛物线开口向上，对称轴为x=。故选C。 x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1）

2正方形

ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×

三、解答题

1.（北京7分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y?mx2?的图象与x轴交于A、（m-3）x-3（m＞0）B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A的坐标；

（2）当∠ABC=45°时，求m的值；

（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴

（m-3）x-3（m＞0）的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y?mx2?的图象于N．若只有当

﹣2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式．

【答案】解：（1）∵点A、B是二次函数y?mx2?的图象与x轴的交点， （m-3）x-3（m＞0） ∴令y=0，即mx+（m﹣3）x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=2

3。 m 又∵点A在点B左侧且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）。

?3? 0?， （2）由（1）可知点B的坐标为? ，?m? ∵二次函数的图象与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3）。 ∵∠ABC=45°，∴

3=3。∴m=1。 m2

（3）由（2）得，二次函数解析式为y=x﹣2x﹣3。

依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2。 由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3）， 将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中， 得???2k?b=5?k=?2解得：?。

?2k?b=?3?b=1 ∴一次函数解析式为y=﹣2x+1。 【考点】二次函数综合题。

【分析】（1）令y=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标。 （2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得。 （3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得。 2. （天津8分）

注意：为了使同学们更好她解答本题，我们提供了—种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答．也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．

某商品现在的售价为每件35元．每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格．每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是多少? 设每件商品降价x元．每天的销售额为y元．

(I) 分析：根据问题中的数量关系．用含x的式子填表：

(Ⅱ) (由以上分析，用含x的式子表示y，并求出问题的解) 【答案】解：（Ⅰ）

（Ⅱ）根据题意，每天的销售额y?(35?x)(50?2x)， (0?x?35) 整理配方，得y??2(x?5)2?1800。 ∴当x=5时，y取得最大值1800。

答：当每件商品降价5元时，可使每天的销售额最大，最大销售额为l 800元。 【考点】列函数关系式，二次函数的应用。 【分析】（Ⅰ）根据题意，可分析出结果。 （Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系： 每天的销售额=每件售价×每天销量

?(50?2x) y ? (35?x) 求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式y?a?x?m??n的形式即可求出。 （Ⅱ）列函数关系式是找出等量关系： 每天的销售额=每件售价×每天销量

2?(50?2x) y ? (35?x) 求每件商品降价多少元时的每天的销售额最大和最大销售额是多少，只要把二次函数变形为顶点式y?a?x?m??n的形式即可求出。

3.（辽宁沈阳12分）一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2 万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本 增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年

2年销售量增加x倍（本题中0＜x≤11）．

⑴用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为________元，今年生产的这种玩具每件 的出厂价为_________元．

⑵求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．

⑶设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售 利润是多少万元？

注：年销售利润=（每件玩具的出厂价－每件玩具的成本）×年销售量． 【答案】解：⑴10＋7x ； 2＋6x。

⑵由⑴，得y=(12＋6x)－（10＋7x）。即y=2－x。

∴年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式为y=2－x。 ⑶∵w=2（1＋x）（2－x）=－2x2＋2x＋4，∴w=－2(x－0.5)2＋4.5。 ∵－2＜0，0＜x≤11，∴w有最大值。 ∴当x=0.5时，w最大=4.5（万元）。

答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元。 【考点】二次函数的应用。

【分析】（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10＋10?0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12＋12?0.5x）元/件。

（2）今年这种玩具的每件利润y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12＋6x）－（10＋7x），然后整理即可。

（3）今年的年销售量为（2＋2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价-每件玩具的成本）×年销售量，得到w=-2（1＋x）（x－2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案。

4.（辽宁本溪12分）我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件． （1）求y与x的函数关系式；

（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价－成本） 【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y?kx?b (k?0)，

?22k?b?780把x=22，y=780和x=25，y=750代入y?kx?b ，得?，

?25k?b?750?k??10解得，? 。

b?1000?∴y与x的函数关系式为y??10x?1000。 （2）设该工艺品每天获得的利润为w元，

则W?y(x?20)?(?10x?1000)(x?20)??10(x?60)2?16000， ∵?10?0，∴当20?x?30时，w随x的增大而增大。 所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大。

W最大??10(30?60)2?16000?7000元。

答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元。 【考点】待定系数法求一次函数解式，解二元一次方程组，二次函数性质的应用。

【分析】（1）用待定系数法将x=22，y=780和x=25，y=750代入y?kx?b 即可求得y与x的函数关系式。

（2）先求得每天获得的利润w关于x的函数关系式，再利用二次函最大值的性质求出当x=30时获得的利润最大。

5.（吉林长春7分）如图，平面直角坐标系中，抛物线y?12x?2x?3交y轴于点 2OAPQ，

A．P为抛物线上一点，且与点A不重合．连结AP，以AO、AP为邻边作PQ所在直线与x轴交于点B．设点P的横坐标为m． （1）点Q落在x轴上时m的值．

（3）若点Q在x轴下方，则m为何值时，线段BQ的长取最大值，并求出这个最大值．

b4ac?b2,【参考公式：二次函数y?ax?bx?c(a?0)的顶点坐标为（?）】 2a4a2【答案】解：（1）令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3。 在y= 12x－2x＋3中，令y=3可求得点P横坐标m=4。 212x－2x＋3有最小值y=1。 2（2）∵QB=OA-PB=3-PB，∴当PB取最小值时，QB最大。 当x=2时，二次函数y= ∴当m=2时，QB的最大值为2。 【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】（1）可以令x=0可得点A坐标为（0，3），当Q落在x轴上时，PQ=OA=3，即可得出y=3时m的值。 （2）根据当PB取最小值时，QB最大，当x=2时，二次函数y= 12x－2x＋3有最小值即可得出答案。 26.（黑龙江哈尔滨3分）手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x (单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大?最大面积是多少?

【答案】解：（1）S??（2）把S??∵a??12x?30x。 21212x?30x化为顶点式：S???x?30??450 221＜0， 2∴当x?30时，S有最大值，最大值为450。

∴当x为30cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm 2。 【考点】二次函数的应用，菱形的性质，二次函数的最值。

【分析】（1）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出S与x之间的函数关系式。 （2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的最值原理，即可求出。

7.（黑龙江大庆7分）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件．经过调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少时，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】解：设销售单价定为x元（x?10），每天所获利润为y元， 则y?[100?10(x?10)]?(x?8)??10x2?280x?1600??10(x?14)2?360 ∴将销售定价定为14元时，每天所获利润最大，且最大利润是360元。 【考点】二次函数的应用。

【分析】根据题意列出二次函数，将函数化为顶点式，便可知当x=14时，所获得的利润最大。 8.（黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西6分）已知：二次函数y?对称轴为直线x＝1，且经过点（2，－

32x?bx?c，其图象49）． 4（1）求此二次函数的解析式．

（2）设该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点的左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积．

注：二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的对称轴是直线x＝－【答案】解：（1）由二次函数y?b． 2a329x?bx?c的图象对称轴为直线x＝1，且经过点（2，－）得 44?b3???3?1b????2?339?2，解得，?。∴此二次函数的解析式为y?x2?x?。 4?424??c??99?3?2b?c???4?4?（2）∵由

3239x?x??0得x1＝－1，x2＝3。 424∴B（－1，0），C（3，0）。∴BC=4。

又∵E点在x轴下方，且△EBC面积最大， ∴E点是抛物线的顶点，其坐标为（1，－3）。 ∴△EBC的最大面积=

1?4?3?6。 2【考点】二次函数综合题，二次函数上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。 【分析】（1）利用二次函数上点的坐标与方程的关系将点（2，－直线x＝1，得二元一次方程组，即可求得。

（2）利用二次函数与x轴相交即y＝0，求出即可，再利用E点在x轴下方，且E为顶点坐标时△EBC面积最大，求出即可。

9．（湖南长沙10分）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。例如，对于函数y?x?1，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数y?x?1的零点。 己知函数y?x2?2mx?2(m?3) (m为常数)。 （1）当m=0时，求该函数的零点；

（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且

9））代入二次函数解析式和对称轴为4111???，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点Ax1x24在点B左侧)，点M在直线y?x?10上，当MA＋MB最小时，求直线AM的函数解析式。 【答案】解：（1）当m=0时，该函数为y?x2?6，令y=0，可得x??6，

∴当m=0时，求该函数的零点为6和?6。

（2）令y=0，得△=(?2m)2?4[?2(m?3)]?4(m?1)2?20?0，

∴无论m取何值，方程y?x2?2mx?2(m?3)总有两个不相等的实数根。 即无论m取何值，该函数总有两个零点。 （3）依题意有x1?x2?2m，x1x2??2(m?3) 由

?2?m?3?1111x?x21??，解得m?1。 ???得1??，即

2m4x1x24x1x24∴函数的解析式为y?x2?2x?8。 令y=0，解得x1??2，x2?4。

0)，B(4，0)。 ∵点A在点B左侧，∴A(?2 ，作点B关于直线y?x?10的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线y?x?10的交点就是满足条件的M点。

易求得直线y?x?10与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）。 连结CB’，则∠BCD=45°，∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°。

-6）∴∠BCB’=90°，即B’（10 ，。

设直线AB’的解析式为y?kx?b，则

??2k?b?01，解得k??，b??1 ?2?10k?b??6∴直线AB’的解析式为y??x?1，即AM的解析式为y??x?1。

【考点】二次函数综合题，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，等量代换，对称的性质，线段垂直平分线的性质，待定系数法，曲线上的点与方程的关系，解二元一次方程组。 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y?x2?2mx?2(m?3)，然后令y=0即可解得函数的零点；

（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可。

（3）根据题中条件求出函数解析式从而求得A、B两点坐标，作点B关于直线y?x?10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标，应用待定系数法即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式。

121210.（湖南永州10分）如图，已知二次函数y??x2?bx?c的图象经过A（?2，?1），B（0，7）两点．

⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x为何值时，y?0？

⑶在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．

【答案】解：（1）把A（－2，－1），B（0，7）两点的坐标代入y??x2?bx?c，

得???4?2b?c??1， 解得??c?7?b?2。∴该抛物线的解析式为?c?7y??x2?2x?7。

又∵y??x2?2x?7???x?1?2?8，所以对称轴为直线x?1。 （2）当函数值y?0时，?x2?2x?7?0的解为x?1?22。 ∴结合图象，容易知道1?220。 （3）当矩形CDEF为正方形时，设C点的坐标为（m，n）， 则n??m2?2m?7，即CF??m2?2m?7。

∵C，D两点的纵坐标相等，所以C，D两点关于对称轴x?1对称，设点D的横坐标为p， 则1?m?p?1，∴p?2?m，∴CD=(2?m)?m?2?2m。

∵CD=CF，∴2?2m??m2?2m?7，整理，得m2?4m?5?0，解得m??1或5。 ∵点C在对称轴的左侧，∴m只能取－1。

当m??1时，n??m2?2m?7??(?1)2?2?(?1)?7?4， ∴点C的坐标为（－1，4）。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程，正方形的性质，对称的性质。

【分析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，求二次函数解析式，再用配方法或公式法求出对称轴即可。

（2）求出二次函数与x轴交点坐标即可，再利用函数图象得出x取值范围； （3）利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案。

11.（江苏常州、镇江7分）某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级

干果与乙级干果后同时开始销售。这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与

x的关系为y1??x2?40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2?at2?bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：

t y2 1 21

2 44 3 69

⑴求a、b的值；

⑵若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克的6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？

⑶问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？

（说明：毛利润=销售总金额-进货总金额。这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计） 【答案】解：⑴选取表中任两组t,y2数据，代入y2?at2?bt，得

?a?b?21，b=20。 ? ， 解得，a=14a?2b?44? ⑵设甲级干果与乙级干果m天销完这批货。 则有?m2?4m?m2?20m=1140，解得m?19， 当m?19时,y1?39,y2?741

毛利润＝399×8＋741×6－1140×6＝798（元） ⑶第n天甲级干果的销售量为

2第n天的总销量-第n?1天的总销量=?-n2?40n?????n?1??40?n?1????2n?41 ，

?? 第n天乙级干果的销售量为

2第n天的总销量-第n?1天的总销量=?n2?20n????n?1??20?n?1???2n?19。

?? 依题意有?2n?19????2n?41??6?n?7。

答：从第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克。 【考点】二次函数的应用，解二元一次方程组和一元一次不等式，待定系数法。 【分析】⑴用待定系数法得二元一次方程组直接求解。 ⑵列方程解应用题。关键是找出等量关系： m天甲级干果销量＋m天乙级干果销量＝总销量 ?m2?4m ? m2?20m ?1140 ⑶关键在表示第n天干果的销售量，然后列不等式求解。

12.（江苏徐州8分）某网店以每件60元的价格进一批商品, 若以单价80元销售,每月可售出300件, 调查表明:单价每上涨1元,该商品每月的销量就减少10件。

（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？

【答案】解：（1）每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）间的函数关系式为y=?10x2?100x?6000。

22 （2）∵y=?10x?100x?6000=?10x?10x?25?6250=?10?x?5??6250

??????2 ∴ 当x=5时，即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250元。 【考点】列二次函数关系式，二次函数的顶点式，求二次函数的最大（小）值。 【分析】（1）关键是找出等量关系：利润=收入—成本，即

利润? 销量 ? 单价 - 销量 ?进价 y=?300?10x??8?x???300?10x??60??10x2?100x?60002

（2）根据二次函数的最大（小）值的概念，二次函数y=a?x?b??c ，对于a<0 ， 当x?b 时，

y 有最大值 c 。故只要通过配方法把y=?10x2?100x?6000化为y=?10?x?5??6250即可。

13. （山东济南9分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0)．抛物线y=?x2?bx?c经过点A、C，与AB交于点D． (1)求抛物线的函数解析式；

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设 CP＝m，△CPQ的面积为S． ①求S关于m的函数表达式；

249②当S最大时，在抛物线y=?x2?bx?c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． ．．

49

【答案】解：(1)由点A、C在抛物线y=?42x?bx?c上，得 9?4?b=?3。 ??c=8?8=c? ?，解之，得 420=??6?6b?c?9? ∴抛物线的函数解析式为y=?(2) ①作QE⊥X轴于E，QF⊥Y轴于F。 ∵OC＝6，OA＝8，∴AC＝10。 由△AFQ∽△AOE，有

424x?x?8。 93FQAQ3?, ?FQ?m。 OCAC5353?10?m?。 5∴EC＝OC－OE＝OC－FQ＝6－m?∴S?PC?EC?m?121233?10?m???m2?3m?0

2

【考点】二次函数的性质和应用，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理的逆定理。

【分析】(1)根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，可求出抛物线的函数解析式。 （2）①把△CPQ的高表示成m的函数即可求出S关于m的函数表达式。 ②∵S??323152m?3m???m?5?? 10102 ∴当m＝5时，S最大。此时点Q的坐标为（3，4）。（这一点同①用相似三角形可证） 又∵点D在抛物线y=?424x?x?8上， 93

∴有8=?424x?x?8，解之可得点D横坐标3。 93∴当S最大时，点D和点Q在直线x＝3上。

444?3?又∵y=?x2?x?8=??x???9，

939?2?∴抛物线y=?24243x?x?8对称轴l为x=。 932∴如果DQ是直角边，则当点F的纵坐标与点D或点Q在同一水平线，即y=8或y?4时，△DFQ为直角三角形。此时点F的坐标为（ ， 4）或（ ，8）。

如果DQ是斜边，则当点F的坐标满足FD2?FQ2?DQ2时，△DFQ为直角三角形。

3

2323?26532?设点F的坐标为（，k）则DQ2＝16，FD2??3????8?k??k2?16k?，

242??3?732?FQ2??3????k?4??k2?8k?。

2?4? ∴k2?16k?222652731?k?8k??16，即4k2?48k?137?0，解之，得k?6?7。 442321317）或（ ，6-7）。 222 ∴此时点F的坐标为（ ，6+综上所述，对称轴l上，使△DFQ为直角三角形的点F的坐标为： （ ，，（ ，6+ 4）,（ ，8）

3

23232131。 7）或（ ，6-7）22214．（山东潍坊10分）2010年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬. 8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落. 已知1月份至7月份，该农产品的月平均价格y元/千克与月份x呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格y元/千克与月份x满足二次函数关系式y?ax2?bx?c. 其中1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克. （1）分别求出当1≤x≤7和7≤x≤12时，y关于x的函数关系式；

（2）2010年1月至12月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？

（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？ 【答案】解：（1）当1≤x≤7时，设y?kx?b

?k?b?8?k?3将点（1，8）、（7，26）分别代入y?kx?b得：?，解之得，?。

7k?b?26b?5??∴函数的解析式为：y?3x?5。

当7≤x≤12时，将点（7，26）、（9，14）、（12，11）代入y?ax2?bx?c得：

?49a?7b?c?26?a?1??81a?9b?c?14，解之得，??b??22。 ?144a?12b?c?11?c?131??∴函数的解析式为y?x2?22x?131。

（2）当1≤x≤7时，y?3x?5为增函数，∴当x=1时，y有最小值8。

当7≤x≤12时，y?x2?22x?131??x?11??10，∴当x=11时，y有最小值10。 ∴该农产品月平均价格最低的是1月，最低为8元/千克。

（3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数，∴x=4时的月平均价格17是前7个月的平均值。 将x=8和x=10分别代入y?x2?22x?131得y=19和y=11。 ∴后5个月的月平均价格分别为19、14、11、10、11。 ∴年平均价格为

217?7+19+14+11+10+11≈15.3（元/千克）。

12又当x=3时，y=14＜15.3，

∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格。

【考点】一、二次函数的应用（销售问题），待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，一、二次函数的性质，加权平均数。

【分析】（1）根据自变量的不同取值范围内不同的函数关系设出不同的函数的解析式，利用待定系数法求得函数的解析式即可。

（2）根据一次函数的增减性和二次函数的最值确定该农产品的最低月份和最低价格即可。 （3）分别计算5个月的平均价格和年平均价格，比较得到结论即可。

15．（山东泰安10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件． （1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】解：（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800。 （2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，

由题意，得y=（x－20）[105－5（x－25）]=－5x2＋330x－4600=－5（x－33）2＋845。 ∵－5＜0，∴当x=33时，y的最大值为845。

故当售价定为33元时，一个月的利润最大，最大利润是845元。 【考点】二次函数的应用（销售问题）。

【分析】（1）当售价定为30元时，可知每一件赚10元钱，再有售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．可计算出一个月可获利多少元。

（2）设售价为每件x元时，一个月的获利为y元，得到y与x的二次函数关系式求出函数的最大值即可。 16.（山东青岛10分）某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件． (1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；

(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；

(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场 销售该品牌童装获得的最大利润是多少？

【答案】解：(1)由题意，得：y＝200＋（80－x）·20＝－20x＋1800，

∴销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝－20x＋1800。 (2) 由题意，得：w＝（x－60）（－20x＋1800）＝－20x2＋3000 x－108000， ∴利润w元与销售单价x元之间的函数关系式为：w＝－20x2＋3000 x－108000。 (3) 由题意，得：???20x?1800?240，解得76≤x≤78。

?x?763000=75，又a??20<0，

2???2? 对于w＝－20x2＋3000 x－108000，对称轴为x＝? ∴当76≤x≤78时，w随x增大而减小。

∴当x＝76时，wmax＝（76－60）（－20×76＋1800）＝4480。 ∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4480元。 【考点】列一次、二次函数关系式，二次函数的性质。 【分析】(1) (2)根据已知条件，直接得出结果。

（3）根据已知条件，求出x的取值范围，然后根据二次函数的性质求出函数的最大值。 17.（广东佛山10分）商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：[来源:Z_ ①销售成本p（元/千克）与销售月份x的关系如图所示： ②销售收入q（元/千克）与销售月份x满足q??x?15； ③销售量m（千克）与销售月份x满足m?100x?200；

32试解决以下问题：

（1） 根据图形，求p与x之间的函数关系式；

（2） 求该种商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系式，并求出哪个月的 销售利润最大？

【答案】解：（1）根据图形，知p与x之间的函数关系是一次函数关系， 故设为p=kx?b，并有

?9=k?b?k=?1，解之得 。 ??4=6k?bb=10?? 故p与x之间的函数关系式为p=?x?10。 （

2

）

依

题

意

，

月

销

售

利

润

??3??y=?q?p?m=???x?15????x?10???100x?200?，

???2? 化简，得y=?50x2?400x?1000=?50?x?4??1800。 所以4月份的销售利润最大。

【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系，待定系数法，解二元一次方程组，列二次函数关系式，二次函数最大值。

【分析】（1）根据点（1，9），（6，4）在一次函数p=kx?b的图象上，点的坐标满足方程的关系，将（1，9），（6，4）代入p=kx?b即可求出k，b，从而求得一次函数的解析式。

（2）根据“销售利润=（单位销售收入—单位销售成本）×销售量”这一等量关系列出该种商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系式。然后利用二次函数最大值求法求出求出哪个月的销售利润最大。

18..（广东广州14分）已知关于x的二次函数y＝ax2?bx?c?a?0?的图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0） （1）求c的值； （2）求a的取值范围；

（3）该二次函数的图象与直线y＝1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0＜a＜1时，求证：S1﹣S2为常数，并求出该常数．

【答案】解：（1）把C（0，1）代入二次函数y＝ax2?bx?c得：1＝0＋0＋c，解得：c＝1。

2 ∴c的值是1。

（2）由（1）二次函数为y＝ax2?bx?1，把A（1，0）代入得：0＝a＋b＋1， ∴b＝－1－a。

∵二次函数为y＝ax2?bx?1与x轴有两个交点， ∴ 一元一次方程ax2?bx?1＝0根的判别式?＞0，即 ??1?a??4a=a2?2a?1＝?a?1?＞0， ∴a≠1且a＞0。 ∴a的取值范围是a≠1且a＞0。 （3）证明：∵0＜a＜1，

∴B在A的右边，设A（1，0），B（xb，0）， ∵ax2???1?a?x?1＝0 由根与系数的关系得：1＋xb＝ ∴AB＝

221?a1，∴xb＝。 aa11?a。 ?1＝aa 把y＝1代入二次函数得：ax2???1?a?x?1＝1解得：x1＝0，x2＝错误！未找到引用源。，

∴CD＝错误！未找到引用源。。

过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，则MN⊥x轴， ∵CD∥AB，∴△CPD∽△BPA。

1?aPMCDPN1?a1?a＝ , ?＝a 。 ?PN＝ ，PM＝ ?。 PNAB1?PN1?a22a ∴ S1?S2＝CD?PM?AB?PN＝?121211?a1?a11?a1?a????＝1。

2a22a2 即不论a为何值，S1－S2的值都是常数。这个常数是1。

【考点】二次函数综合题，解一元一次方程，解二元一次方程组，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）把C（0，1）代入抛物线即可求出c。

＝0的?的值 （2）把A（1，0）代入得到0＝a＋b＋1，推出b＝－1－a，求出方程ax2?bx?1

即可。

（3）设A（1，0），B（xb，0），由根与系数的关系求出AB错误！未找到引用源。，把y＝1代入抛物线得到方程ax2???1?a?x?1＝1，求出方程的解，进一步求出CD过P作MN⊥CD于M，交x轴于N，根据△CPD∽△BPA，求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出S1－S2的值即可。 19. （江西省B卷10分）已知：抛物线y?a(x?2)2?b (ab?0)的顶点为A，与x轴的交点为B，C （点B在点C的左侧）. (1)直接写出抛物线对称轴方程；

（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；

（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，

b满足的关系式；若不能，说明理由.

【答案】解：（1）抛物线对称轴方程：x?2。 （2）设直线x?2与x轴交于点E，则E（2，0）。 ∵抛物线经过原点，∴B(0，0)，C(4，0)。

∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC， ∴AE=BE=EC。∴A(2，－2)或(2，2)。

当抛物线的顶点为A(2，－2))时，y?a?x?2??2，把(0，0)代入，得：a?221，此时，b??2 。 2当抛物线的顶点为A(2，2)时，y?a?x?2??2，把(0，0)代入，得：a??，此时，b?2。 ∴a?1211，b??2或a??，b?2。 22y A O B E C x （3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A,D也关于点E对称，且BE=AE时， 四边形ABDC是正方形。

∵A?0, b?， ∴AE?b。∴B?2?b, 0?。 把B?2?b, 0?代入y?a(x?2)2?b，得ab2?b?0， ∵b?0，∴ab??1。

【考点】抛物线的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系，正方形的性质。 【分析】（1）根据y?a(x?2)2?b直接得出答案。

（2）根据直线x?2与x轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出B（0，0），C（4，0），从而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为A（2，﹣2）或A（2，2）时求出即可。

（3）根据B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形，即可求出。

20.（湖北武汉10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x的取值范围.

【答案】解：（1）y=30－2x (6≤x<15)。 （2）设矩形苗圃园的面积为S， 则S=xy=x (30－2x)=－2x2＋30x， ∴S=－2(x－7.5)2＋112.5。

由（1）知，6≤x<15，∴当x=7.5时,S最大值＝112.5。

即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5。 （3）6≤x≤11。

【考点】二次函数的应用（几何问题）。

【分析】（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=30－2x与自变量x的取值范围为6≤x＜15。

（2）设矩形苗圃园的面积为S，由S=xy，即可求得S与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值。

（3）根据题意得－2（x－7.5）2＋112.5≥88，根据图象，即可求得x的取值范围。 21.（湖北荆州10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投 资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示

的函数对应关系.

型号 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 5 2 资金额x（万元） 贴金额y（万元） x y1?kx(k?0)x y2?ax2?bx(a?0) 2 .4 4 3.2 （1）分别求y1和y2的函数解析式；

（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方 案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

22， ∴ y1?x。

55128?4a?2b?2.4,18②?∴a??， b?. ∴y2??x?x。

5555?16a?4b?3.2,【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=

（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10－t）万元，共获补贴Q万元。 ∴y1?1822(10?t)?4?t ，y2??t2?t 5555212816129t?t?t??t2?t?4??(t?3)2? 。 5555555∴Q?y1?y2?4?∵?291＜0，∴Q有最大值，即当t?3时，Q最大＝。

55∴10?t?7 (万元) 。

即投资7万元购Ⅰ型设备， 3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元。 【考点】二次函数的应用，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。 【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可。 （2）根据Q?y1?y2得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可。

22.（湖北黄冈、鄂州12分随州14分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=?12．当地政府?x?60??41（万元）

100拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=?992942． ?100?x???100?x??160（万元）

1005（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ （3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？ 【答案】解：（1）∵每投入x万元，可获得利润P=?∴当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元。

∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）。 （2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大， 所以x=50时，P值最大， 即这两年的获利最大为：2×[?12， ?x?60??41（万元）

10012。 ?50?60??41 ]=80（万元）

100后三年：设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100－x， ∴y=P+Q=[?2

1992942x?160] ?x?60??41]+[?x2?10010052

=﹣x+60x+165=﹣（x﹣30）+1065。 ∴当x=30时，y最大且为1065。

∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元）。

∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3495﹣50×2=3175（万元）。

（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值。 【考点】二次函数的应用（销售问题）。 【分析】（1）由可获得利润P=?12，即可知当x=60时，P最大，最大值为41，?x?60??41（万元）

100继而求得5年所获利润的最大值；

（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设每年获利y，设当地投资额为x，则外地投资额为100－x，即可得函数y=P+Q=[?1992942x?160]，整理求解即可求得最大值，则可?x?60??41]+[?x2?1001005求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值。 （3）比较可知，该方案是具有极大的实施价值。

23.（湖北荆门10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投 资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示 的函数对应关系.

型号 Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 5 资金额x（万元） x x 2 4 贴金额y（万元） y1?kx(k?0) 2 y2?ax2?bx(a?0) .4 3.2 （1）分别求y1和y2的函数解析式；

（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方 案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

22， ∴ y1?x。

55128?4a?2b?2.4,18②?∴a??， b?. ∴y2??x?x。

5555?16a?4b?3.2,【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=

（2）设购Ⅱ型设备投资t万元，购Ⅰ型设备投资（10－t）万元，共获补贴Q万元。 ∴y1?1822(10?t)?4?t ，y2??t2?t 5555212816129t?t?t??t2?t?4??(t?3)2? 。 5555555∴Q?y1?y2?4?∵?291＜0，∴Q有最大值，即当t?3时，Q最大＝。

55∴10?t?7 (万元) 。

即投资7万元购Ⅰ型设备， 3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元。 【考点】二次函数的应用，曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。 【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可。 （2）根据Q?y1?y2得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可。

24.（湖北咸宁9分）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶．

（1）假设每桶柴油降价x元，每天销售这种柴油所获利润为y元，求y与x之间的函数关系式； （2）每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？

【答案】解：（1）y?(40?x)(20?2x)??2x2?60x?800。 （2）∵y??2x?60x?800??2(x?15)?1250． ∴当x?15时，y有最大值1250．

因此，每桶柴油降价15元后出售，可获得最大利润。 ∵1250?40?20?450，

22

∴与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利450元。 【考点】二次函数的应用。

【分析】（1）根据每桶柴油的利润乘以销售量等于销售利润，可以得到y与x的函数关系式。 （2）根据二次函数的性质，用顶点式表示二次函数，可以求出最大利用和降价数。

25. （四川成都8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙（墙的长度不限），另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形

A围墙DABCD．已知木栏总长为120米，设AB边的长为x米，长方形ABCD的面积为S平方米．

（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）．当x为何值时，S取得最值（请指出是最大值还是最小值）？并求出这个最值； （2）学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等BO1O2C圆，其圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当（l）中S取得最值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由． 【答案】解：（1）∵AB=x，∴BC=120﹣2x。 ∴S=x（120﹣2x）=﹣2x2+120x。

1200?1202?30时，S有最大值为∴当x=??1800。

2???2?4???2?（2）设圆的半径为r，路面宽为a，

?4r?2a?60?r?15根据题意得：?，解得：?。

2r?2a?30a?0??∵路面宽至少要留够0.5米宽，∴这个设计不可行。 【考点】二次函数的应用，相切两圆的性质。

【分析】（1）表示出BC的长120﹣2x，由矩形的面积公式得出答案。

（2）设出圆的半径和药材种植区外四中平面路面的宽，利用题目中的等量关系列出二元一次方程组，求得半径和路面宽，当路面宽满足题目要求时，方案可行，否则不行。

26.（辽宁盘锦10分）如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过A(1，－1)、B(4，0)两点． (1)求这个二次函数解析式；

(2)点M为坐标平面内一点，若以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

【答案】解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx的图象经过A(1，－1)、B(4，0)两点，

?1a=??a?b=?1124?3∴ ，解得。∴二次函数的解析式为y＝x－x。 ??3316a?4b=04??b=??3?(2)M1(3，1)、M2(－3，－1)、M3(5，－1)。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，点的对称，坐标平移的性质。

【分析】(1) 由二次函数的图象经过A、B两点，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将A、B两点代入二次函数表达式即可求解。

（2）若AB是平行四边形的对角线，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定，只要求出点A（1，－1）关于OB中点（2，0）的对称点M1（2＋1，－（－1））即（1，3），得到的四边形OAB M1即是平行四边形。

若AB是平行四边形的边，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，只要将点A（1，－1）向左或右平移OA＝4个单位得M2(－3，－1)、M3(5，－1)，得到的四边形OM2AB 和OA M3B即是平行四边形。

综上所述，以点O、A、B、M为顶点的四边形是平行四边形的点M为 M1(3，1)、M2(－3，－1)、M3(5，－1)。

27.（辽宁盘锦12分） 如图，在一个矩形空地ABCD上修建一个矩形花坛AMPQ，要求点M在AB上，点Q在AD上，点P在对角线BD上．若AB＝6m，AD＝4m，设AM的长为xm，矩形AMPQ的面积为S平方米． (1)求S与x的函数关系式；

(2)当x为何值时，S有最大值？请求出最大值．

【答案】解：(1)∵四边形AMPQ是矩形，∴PQ＝AM＝x。 DQPQ

∵PQ∥AB，∴△PQD∽△BAD。∴＝。

DABA22

∵AB＝6，AD＝4，∴DQ＝x。∴AQ＝4－x。

3322

4－x?x＝－x2＋4x(0＜x＜6) ∴S＝AQ·AM＝??3?3222

(2)∵S＝－x2＋4x＝－(x－3)2＋6，又－＜0，

333∴S有最大值。

∴当x＝3时，S的最大值为6。

答：当AM的长为3米时，矩形AMPQ的面积最大；最大面积为6平方米。

【考点】二次函数的应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。

DQPQ

【分析】(1)由△PQD∽△BAD得＝，把AQ用x不表示，即可求出S与x的函数关系式。

DABA （2）把函数关系式化为顶点式，根据二次函数的最值原理即可求出答案。

28.（云南曲靖9分）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y??1225x?x?，铅球运行路线如图。 1233（1）求铅球推出的水平距离；

（2）通过计算说明铅球行进高度能否达到4m。 【答案】解：（1）由y＝0，得?1225x?x?=0，解之，得 1233 x1=10，x2=?2（不合题意，舍去）。 ∴铅球推出的水平距离是10m。 （2）∵y=?122512x?x?=??x?4??3， 123312 ∴函数的最大值为3m。 ∴铅球行进高度不能达到4m。 【考点】二次函数点的坐标和性质。

【分析】（1）根据点A在x轴上，y＝0即可求。

（2）根据二次函数最大值的求法，比较4m和函数的最大值的关系即可得出结论。 29.（贵州贵阳10分）如图所示，二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B，且与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求点B的坐标；

（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0） 使S△ABD=S△ABC，求点D的坐标．

【答案】解：（1）∵二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0）， ∴﹣9+2×3+m=0，解得：m=3。

（2）由m=3得，二次函数的解析式为：y=﹣x2+2x+3。 当y=0时，﹣x2+2x+3=0， 解得：x=3或x=﹣1， ∴B（﹣1，0）。

（3）过点D作DE⊥AB，

∵当x=0时，y=3，∴C（3，0）。 若S△ABD=S△ABC，

∵D（x，y）（其中x＞0，y＞0），则可得OC=DE=3。 ∴当y=3时，﹣x2+2x+3=3，解得：x=0或x=2， ∴点D的坐标为（2，3）。

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）由二次函数y=﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），利用待定系数法将点A的坐标代入函数解析式即可求得m的值。

（2）根据（1）求得二次函数的解析式，然后将y=0代入函数解析式，即可求得点B的坐标。

（3）根据（2）中的函数解析式求得点C的坐标，由二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），可得点D在第一象限，又由S△ABD=S△ABC，可知点D与点C的纵坐标相等，代入函数的解析式即可求得点D的坐标。

30.（福建三明12分）如图，抛物线y=ax2﹣4ax+c（a≠0）经过A（0，﹣1），B（5，0）两点，点P是抛物线上的一个动点，且位于直线AB的下方（不与A，B重合），过点P作直线PQ⊥x轴，交AB于点Q，设点P的横坐标为m． （1）求a，c的值；

（2）设PQ的长为S，求S与m的函数关系式，写出m的取值范围； （3）以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l有哪些位置关系？并写出对应的m取值范围．（不必写过程）

【答案】解：（1）∵抛物线y＝ax2－4ax＋c过A（0，－1），B（5，0），

??a＝?c＝－1?∴ ，解得：?5?25a－20a＋c＝0?

1

。

?c＝－1

1

（2）∵直线AB经过A（0，－1），B（5，0），∴直线AB的解析式为y＝x －1。

514

由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2－x－1。

55

∵点P的横坐标为m，点P在抛物线上，点Q在直线AB上，PQ⊥x轴， 141

∴P（m，m 2－m－1），Q（m，m －1）。

555114

∴S＝PQ＝（m －1）－（m 2－m－1）。

5551

即S＝－m 2＋m（0＜m＜5）。

5

（3）抛物线的对称轴l为：x＝2。

以PQ为直径的圆与抛物线的对称轴l的位置关系有：相离、相切、相交三种关系。 15－145－5＋105相离时：0＜m＜或 ＜m＜5；

22相切时：m＝

15－145－5＋105 m＝； 22

15－145－5＋105

相交时：＜m＜。

22

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，直线与圆的位置关系。

【分析】（1）利用待定系数法把点A、B的坐标代入抛物线表达式解二元一次方程组即可。

（2）先求出直线AB的解析式，然后分别求出点P与点Q的坐标，则PQ的长度S就等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，然后整理即可。

（3）根据直线与圆的位置关系有相离、相切与相交共三种情况，又点P可以在对称轴左边也可以在对称轴右边，进行讨论列式求解即可。

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