平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

1.利用数量积运算公式求解

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,即(a＋b)

２

＝a２＋２a2b＋b２，（a－b）２＝a２－２a2b＋b２

２

２

上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a－b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中

可以直接应用.

例1 已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a2b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

２２２２２２

解析：∵｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋２a2b＋b＝２＋２3（－３）＋５＝２３

∴｜a＋b｜＝23，∵（｜a－b｜）＝（a－b）＝a－2a2b＋b＝2－23（－3）

２

２

２

２

２

3５＝35，

∴｜a－b｜＝35．

例2 已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).

２２２２２

解析：∵（｜a＋b｜）＝（a＋b）＝a＋2a2b＋b＝｜a｜＋2｜a｜2｜b｜ｃｏ

２

ｓθ＋｜b｜

２２２

∴１６＝８＋２3８3１０ｃｏｓθ＋１０，

∴ｃｏｓθ＝

２

23，∴θ≈５５° 40例3 已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y) 又（xa+yb）⊥a?(xa+yb)2a＝０?3(3x+4y)+4(4x+3y)=0

即25x+24y＝０ ①

２２２

又｜xa+yb｜=1?｜xa+yb｜＝１?（３x+4y）＋（４x+3y）＝１

２２２

整理得：25x＋48xy+25y＝１即x(25x+24y)+24xy+25y＝１ ②

２

由①②有24xy+25y＝１ ③

将①变形代入③可得：y=±

5 724?24?x?x?????35?35和?再代回①得：? 55?y???y??7?7??

1

2. 利用定义直接求解.

????????例4 若向量a,b满足a?b?2，a,b的夹角为45°，则a?a?a?b=______. 解析：根据数量积的定义得a?a?a?b?2?2?2?2cos45?4?22， 例5 设向量2te1?7e2与向量e1?te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 解析：∵(2te1?7e2)(e1?te2)?0，故2t?15t?7?0，

解之?7?t??2????01 ． 2另有2t??,7?t?，解之t??14,???14， 2∴t?(?7,?14141)?(?,?)． 222例6 如图, 已知正六边形PP12P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是（ ）

????????????????????（A）PP12?PP13 （B）PP12?PP14 ???????????????????? （C）PP12?PP15 （D）PP12?PP16

?????解析：选项中均有向量PP12，根据数量积的几何意义，要找??????????????????的最大值,只需求PPP?3,4,5,6)1P2?P1Pi(i1i(i?3,4,5,6)在PP12方向上??????????的投影最大即可，画图可知只有PP13在PP12方向上的投影最大，故最大

选A.

3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解 例7 判断正误，并简要说明理由.

①ａ20＝0；②02ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ2ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ2ｂ≠０；⑥ａ2ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任

２

意向量ａ，ｂ，с都有（ａ2ｂ）с＝ａ（ｂ2с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ＝ｂ２.

分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有02ａ＝０； 对于②：应有０2ａ＝0； 对于④：由数量积定义有｜ａ2ｂ｜＝｜ａ｜2｜ｂ｜2｜ｃｏｓθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，

2

这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ2ｂ｜＝｜ａ｜2｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ2ｂ＝０； 对于⑥：由ａ2ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс. 则ａ2ｂ＝（λс）2ｂ＝λ（с2ｂ）＝λ（ｂ2с）， ∴（ａ2ｂ）2с＝λ（ｂ2с）с＝（ｂ2с）λс＝（ｂ2с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ2ｂ)с≠（ｂ2с）ａ.

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

4. 借助零向量. 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理使用向量的移项以及平方等变形，求解数量积.

例8 已知△ABC中，BC?a,CA?b,AB?c，若a?b?b?c?c?a，求证：△ABC 为正三角形.

证明：?b?c?c?a， ∴c(b?a)?0， 又∵a?b?c?0， c??(a?b)，

故?(a?b)(b?a)?0 ， 知a=b， 同理可知b=c ， 故a=b=c ， 得证．

????????????????????????????????????例9 已知平面上三点A、B、C满足AB?3,BC?4,CA?5则AB?BC?BC?CA?CA?AB的值等于 。

?????????????解析：注意到∵AB?BC?CA?0，两边平方得

????????????????????????????2????2????2????????????????????????AB?BC?CA?2AB?BC?2BC?CA?2CA?AB?0所以AB?BC?BC?CA?CA?AB=?25

5. 借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直条件关

????系或平行向量关系的向量数量积，借助a?b，则a?b?0等解决问题.

例10 已知向量a＝（3，－4），b＝（2，x）， c＝（2，y）且a∥b，a?c．求|b－c|的值．

解析：∵ a∥b，∴ 3x＋8＝0． ∴x＝?88． ∴ b＝（2， ?） ． 3333． ∴ c＝（2， ）． 22∵ a?c， ∴ 6－4y＝0． ∴ y＝

而b－c ＝（2，?3825）－（2，）＝（0，－），

632∴ |b－c|＝

25． 6C例11 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点

AB3

????????????????A为中心，问PQ与BC的夹角θ取何值时BP·CQ的值最大？，并求出这个最大值.

????????????????????????????????????????????解析：∵AB⊥AC∴AB2AC=0又∵AP=－AQ，BP=AP－AB,CQ=AQ－????AC,

????????????????????????????????????????????????????????∴BP·AC－AB·AC CQ=(AP－AB)2(AQ－AC)=AP·AQ－AP·AQ+AB·

????????????????????????????????????221AP=－a+AP(AB－AC)=－a+PQ2BC. =－a－AP·AC+AB·

22

????????????????∴当cosθ=1,，即θ=0（PQ与BC方向相同）时，BP·CQ最大，最大值为0.

例12 四边形ABCD中，AB?(6,1),BC?(x,y),CD?(?2,?3) （1）若BC//DA，试求x与y满足的关系式；

（2）满足（1）的同时又有AC?BD，求x,y的值及四边形ABCD的面积。 解析：?BC?(x,y)

DA??AD??(AB?BC?CD)??(x?4,y?2)?(?x?4,?y?2)

（1）?BC//DA 则有x?(?y?2)?y?(?x?4)?0 化简得：x?2y?0 （2）AC?AB?BC?(x?6,y?1), BD?BC?CD?(x?2,y?3) 又AC?BD 则 (x?6)?(x?2)?(y?1)?(y?3)?0 化简有：x?y?4x?2y?15?0 联立?22?x?2y?0 22x?y?4x?2y?15?0?解得??x??6?x?2 或?

?y?3?y??1?BC//DA AC?BD 则四边形ABCD为对角线互相垂直的梯形

?x??61当?时,AC?(0,4)BD?(?8,0) 此时SABCD??AC?BD?16

2?y?3当??x?21时, AC?(8,0)BD?(0,?4) 此时SABCD??AC?BD?16

2?y??14

6. 借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积.

，AB?2，AC?1，D是边BC上一点，例13 如图，在△ABC中，?BAC?120°????????DC?2BD，则AD ·BC?_______ .

????????，AB?2，AC?1，解析：直接利用定义求AD·BC较困难，题目中给出了?BAC?120°????????????????????????可以利用定义直接求出AB·AC，这样问题就转化为能否将向量AD,BC都用AB,AC形式

????1????2????????????????????????????????????????表示.由DC?2BD得AC?AD?2(AD?AB)即AD?AC?AB，BC?AC?AB

33?2????2????????1????21???????8∴AD?BC?AC?AC?AB?AB??.

33337. 建立坐标系，利用坐标运算求解数量积

例14 已知O为Rt△ABC的内切圆的圆心，AB=5,BC=4,CA=3下列结论正确的是（ ）

????????????????????????????????????????????????A. OA?OB?OB?OC?OC?OA B. OA?OB?OB?OC?OC?OA ????????????????????????????????????????????????C. OA?OB?OB?OC?OC?OA D. OA?OB?OB?OC?OC?OA

解析：建立如图直角坐标系：设A(0,3)，B(4,0)，C(0,0)， ∵O为Rt△ABC的内切圆的圆心∴O(1,1)，

????????????∴OA?(?1,2)，OB?(3,?1)，OC?(?1,?1) ????????????????????????∴OA?OB??5，OA?OC?1，OB?OC??2故选 A

，AB?2，AC?1，D是边BC上一点，例15 如图，在△ABC中，?BAC?120°????????DC?2BD，则AD·BC?_______.

解析：建立以AB为x轴，过点A作AB的垂线为y轴的直角坐标系，如图所示，则

????137353A(0,0)，B(2,0)，C(?,)，由定比分点坐标公式得D(,)，所以BC?(?,)，

226622????73AD=(,), 66????????57338·BC???????. 即AD26263

5

三角恒等式证明的基本技巧

三角恒等式的证明是三角函数中一类重要问题，这类问题主要以无条件和有条件恒等式出现。根据恒等式的特点，可采用各种不同的方法技巧，技巧常从以下各个方面表示出来。 1．化角

观察条件及目标式中角度间联系，立足于消除角间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是证明三角恒等式时一种常用技巧。

例1求证：tan

312sinxx - tanx = 22cosx?cos2x31x -x，可作以下证明： 22思路分析：本题的关键是角度关系：x=

3131312sin(x?x)sinxcosx?cosxsinx22=2222= tan3x - tan1x。 右式=

313122cosxcosx2cosxcosx22222．化函数

三角函数中有几组重要公式，它们不仅揭示了角间的关系，同时揭示了函数间的相互关系，三角变换中，以观察函数名称的差异为主观点，以化异为为同（如化切为弦等）的思路，恰当选用公式，这也是证明三角恒等式的一种基本技巧。

tan(A?B)sin2C 例2 设+=1，求证：tanA、tanC、tanB顺次成等比数列。 2tanAsinA思路分析：欲证tanC = tanA2tanB，将条件中的弦化切是关键。可作以下证明：

2

tan2Ctan2Asin2Ctan2C(1?tan2A)2

∵ sinC= ，sinA= ∴ = 由已知可得222221?tanC1?tanAsinAtanA(1?tanC)2

tan(A?B)sin2CtanB(1?tan2A)=1-=， 2tanAsinAtanA(1?tanAtanB)tanBtanAtan2CtanB(1?tan2A)tan2C(1?tan2A)∴ = ∴= 2221?tanC1?tanAtanBtanA(1?tanAtanB)tanA(1?tanC) 即tanC = tanA2tanB 命题成立。

3．化幂

应用升、降幂公式作幂的转化，以便更好地选用公式对面临的问题实行变换，这也是三角恒等式证明的一种技巧。

4

例3求证 cos4α-4cos2α+3=8sinα 思路分析：应用降幂公式，从右证到左：

2

6

右边=8(

1?cos2?21?cos4?2

)=2(1-2cos2α+cos2α)= 2(1-2cos2α+)=cos4α-4cos2α22+3=左边。

4．化常数

将已知或目标中的常数化为特殊角的函数值以适应求征需要，这方面的例子效多。如

222222

1=sinα+cosα=secα-tanα=cscα-cotα=tanαcotα=sinαcscα=cosαsecα，

000

1=tan45=sin90=cos0等等。如何对常数实行变换，这需要对具体问题作具体分析。 例4 求证

1?2sin?cos?1?tan?= 22cos??sin?1?tan?2

2

思路分析：将左式分子中“1”用“sinα+cosα”代替，问题便迎刃而解。

?(sin??cos?)1?tan?(sin??cos?)2左边====右边

cos??sin?1?tan?(cos??sin?)(cos??sin?)5．化参数

用代入、加减、乘除及三角公式消去参数的方法同样在证明恒等式时用到。

22222222

例5 已知acosα+bsinα=mcosβ，asinα+bcosα=nsinβ，mtanα=ntanβ(β≠nπ) 求证：(a+b)(m+n)=2mn

22

思路分析：消去参数，当m=0时，由mtanα=ntanβ得n=0，显然成立。当m≠0时，只须

222222

消去α、β即可。由acosα+bsinα=mcosβ，asinα+bcosα=nsinβ得

asin2??bcos2?nasin2??bcos2?2222

=tanβ，再由mtanα=ntanβ得=tanα即可得2222acos??bsin?macos??bsin?1atan2??b2222

=tanα，解得tanα=1，所以sinα=cosα=。 22a?btan?求得cosβ=

2

a?ba?ba?ba?b222

，sinβ=，又由cosβ+sinβ=1不得。∴+=1 ， 2m2n2m2n即 (a+b)(m+n)=2mn

6．化比

一些附有积或商形式的条件三角恒等式证明问题，常可考虑应用比例的有关定理。用等比定理，合、分比定理对条件加以变换，或顺推出结论，或简化条件，常常可以为解题带来方便。

例6 已知(1+?cosα)(1-?cosβ)=1-?(?≠0，1)。求证：tan

2

2

?1??2?=tan 21??21??为向导，应用1??2

思路分析：综观条件与结论，可考虑从条件中将?分离出来，以结论中

2

合比定理即可达到论证之目的。 由已知得1+?cosα-?cosβ-?cosαcosβ=1-?, ?2

(cosαcosβ-1)= ?(cosα-cosβ)，∴ ?=

cos??cos? 依合分比定理得

cos?cos??17

1??cos??cos??cos?cos??1(1?cos?)(cos??1)===1??cos?cos??1?cos??cos?(1?cos?)(cos??1)4cos24cos2??2sin2sin2??2

22=tan

2

?1??2?2?2?cot ∴ tan=tan 2221??27．化结构

观察等式左右结构上的差异，立足于统一结构形式也是三角恒等式的一种技巧。

例7设A+B+C=π，求证：sinA+sinB+sinC=4cos

ABCcoscos 222思路分析：这里等式左右分别为和积的形式，现将左边化成积。 ∵ A+B+C=π ∴ sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) ∴左边=2sin

A?BA?Bcos+

22sin(A+B)= 2sin

A?BA?BA?BA?BAB(cos+cos)=2sin2coscos

222222=4 cos

ABCcoscos 2228．化拆项

这一类恒等式可与数学求和结合起来，常拆项相消法。

cos例8 求cosx+cos2x+?+cosnx=

n?1nxsinx22

xsin2思路分析：左边同乘以sin

x,去括号，积化和差可得 2左边=

13xx5x3x(2n?1)x(2n?1)x[(sin-sin)+(sin-sin)+?+(sin-sin)] 2222222=

1(2n?1)xx(n?1)xnx(sin- sin)=cossin 222228

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j91r.html