2016年上海市虹口区中考数学二模试卷及答案

2016年上海市虹口区中考数学二模试卷及答案

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（﹣2）3的计算结果是（ ） A．6

B．﹣6 C．﹣8 D．8

是同类二次根式的是（ ） D．

2．下列根式中，与A．

B．

C．

3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．C．

B．

D．

4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球

的频率是（ ）

A．12 B．0.3 C．0.4 D．40

5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（ ）

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A．尺规作线段的垂直平分线 B．尺规作一条线段等于已知线段 C．尺规作一个角等于已知角 D．尺规作角的平分线

6．下列命题中，正确的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当a=1时，|a﹣3|的值为 ． 8．方程

的解为 ．

9．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是出一个符合条件的即可）． 11．函数y=

的定义域是 ．

图象上的两点，则y1 y2，你写的这个方程是 （写

2

12．y1）By2）+若A（﹣，、（，是二次函数y=﹣（x﹣1）

（填“＞”或“＜”或“=”）．

13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 ． 14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩（分） 4 人数 1 5 2 6 2 7 6 8 9 9 11 10 9 则这些学生成绩的众数是 分．

15．如图，在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若（结果用表示）．

=

，

=

，则向量

=

第2页（共24页）

16．若两圆的半径分别为1cm和5cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是 ． 17．设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）．

18．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是 ．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．先化简，再求值：

，其中x=8．

20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式． 21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=求边AB的长和cos∠CDB的值．

，tanA=，BC=2

，

第3页（共24页）

22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？

23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD?DC=BH?DG．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m） （m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=时，求k1的值；

（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．

的图象于点

的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F．

（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长； （2）设

，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；

的值．

（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求

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2016年上海市虹口区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．（﹣2）3的计算结果是（ ） A．6

B．﹣6 C．﹣8 D．8

【考点】有理数的乘方．

【分析】根据有理数的乘方的定义进行计算即可得解． 【解答】解：（﹣2）3=﹣8． 故选C．

【点评】本题考查了有理数的乘方的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．

2．下列根式中，与A．

B．

C．

是同类二次根式的是（ ） D．

【考点】同类二次根式．

【分析】运用化简根式的方法化简每个选项． 【解答】解：A、B、C、D、

==3=2

=2

，故A选项不是；

，故B选项是； ，故C选项不是； ，故D选项不是．

故选：B．

【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法．

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3．不等式2x+4≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．C．

B．

D．

【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式． 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：移项得，2x≤﹣4， 系数化为1得，x≤﹣2． 在数轴上表示为：

．

故选C．

【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．

4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球

的频率是（ ）

A．12 B．0.3 C．0.4 D．40

【考点】频数（率）分布直方图．

【分析】由频数之和等于数据总数计算出学生总数，再由频率=【解答】解：读图可知：共有（6+5+12+8+7+2）=40人， 最喜欢足球的频数为12，是最喜欢篮球的频率是故选：B．

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计算最喜欢足球的频率．

=0.3，

【点评】此题考查频数（率）分布直方图，熟知计算公式：频率=

5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（ ）

是解题的关键．

A．尺规作线段的垂直平分线 B．尺规作一条线段等于已知线段 C．尺规作一个角等于已知角 D．尺规作角的平分线 【考点】作图—基本作图．

【分析】利用线段垂直平分线的作法进而判断得出答案．

【解答】解：如图所示：可得尺规作图的痕迹表示的是尺规作线段的垂直平分线． 故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．

6．下列命题中，正确的是（ ） A．四边相等的四边形是正方形 B．四角相等的四边形是正方形 C．对角线垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【考点】正方形的判定． 【专题】证明题．

【分析】根据正方形的判定：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，对各个选项进行分析．【解答】解：A，错误，四边相等的四边形也可能是菱形；

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B，错误，矩形的四角相等，但不是正方形； C，错误，对角线垂直的平行四边形是菱形； D，正确，符合正方形的判定； 故选D．

【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有 ①先说明它是矩形，②先说明它是菱形，两种：再说明有一组邻边相等；再说明它有一个角为直角．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当a=1时，|a﹣3|的值为 2 ． 【考点】绝对值．

【分析】直接将a的值代入化简求出答案． 【解答】解：当a=1时，|a﹣3|=|1﹣3|=2． 故答案为：2．

【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 8．方程

的解为 3 ．

【考点】无理方程．

【分析】首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出x的值． 【解答】解：两边平方得：2x+3=x2 ∴x2﹣2x﹣3=0，

解方程得：x1=3，x2=﹣1，

检验：当x1=3时，方程的左边=右边，所以x1=3为原方程的解， 当x2=﹣1时，原方程的左边≠右边，所以x2=﹣1不是原方程的解． 故答案为3．

【点评】本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把x的值代入原方程进行检验．

9．已知关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜1 ． 【考点】根的判别式．

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【专题】推理填空题．

【分析】关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围． 【解答】解：∵a=1，b=﹣2，c=m，

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×m=4﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故答案为m＜1．

【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根．

10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是出一个符合条件的即可）． 【考点】高次方程． 【专题】开放型．

【分析】根据（﹣1）2+22=5列出方程即可． 【解答】解：∵（﹣1）2+22=5， ∴x2+y2=5， 故答案为：x2+y2=5．

【点评】此题考查高次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值，根据解写方程应先列算式再列方程是关键．

11．函数y=

的定义域是 x≠ ．

，你写的这个方程是 x2+y2=5 （写【考点】函数自变量的取值范围．

【分析】该函数是分式，分式有意义的条件是分母不等于0，故分母2x﹣1≠0，解得x的范围． 【解答】解：根据题意得：2x﹣1≠0，

第9页（共24页）

解得：x≠． 故答案为：x≠．

【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．要使得本题函数式子有意义，必须满足分母不等于0．

12．若A（﹣，y1）、B（，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+（填“＞”或“＜”或“=”）．

【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【专题】计算题．

【分析】直接计算自变量为﹣和所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【解答】解：∵A（﹣，y1）、B（，y2）是二次函数y=﹣（x﹣1）2+∴y1=﹣（﹣﹣1）2+∴y1＜y2． 故答案为＜．

【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是把A点和B点坐标代入抛物线解析式求出y1和y2．

13．一个不透明纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 【考点】概率公式．

【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．

【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，

∴从中随机摸出一个小球，共有7中等可能结果，其中是奇数的有4种结果， 则其标号是奇数的概率为，

．

=﹣

+

，y2=﹣（﹣1）2+

=﹣

+

，

图象上的两点，

图象上的两点，则y1 ＜ y2

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故答案为：．

【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表： 成绩（分） 4 人数 1 5 2 6 2 7 6 8 9 9 11 10 9 则这些学生成绩的众数是 9 分． 【考点】众数．

【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．依此即可求解． 【解答】解：∵在这一组数据中9分是出现次数最多的， ∴这些学生成绩的众数是9分． 故答案为：9．

【点评】考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．

15．如图，在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，若7 （结果用表示）．

=

，

=

，则向量

=

【考点】*平面向量；梯形中位线定理．

【分析】由在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点，可得答案．

【解答】解：∵在梯形△ABCD中，E、F分别为腰AD、BC的中点， ∴∵

=（+），继而求得

=（=

，

+ =

）， ，

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∴=2﹣=10﹣3=7．

故答案为：7．

【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的中位线的性质．注意梯形的中位线平行于上下底，且等于上底与下底和的一半．

16．若两圆的半径分别为1cm和5cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是 内切 ． 【考点】圆与圆的位置关系． 【专题】推理填空题．

【分析】只需将两圆的位置关系转化为圆心距与两圆半径之间的数量关系，就可解决问题． 【解答】解：∵4=5﹣1，即两圆的圆心距等于两圆的半径之差， ∴两圆内切． 故答案为内切．

【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，设两圆的半径分别为R，r（其中R≥r），圆心距为d，则d＞R+r?两圆外离；d=R+r?两圆外切；R﹣r＜d＜R+r?两圆相交；d=R﹣r?两圆内切；0≤d＜R﹣r?两圆内含．

17．设正n边形的半径为R，边心距为r，如果我们将的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是

（结果保留根号）．

【考点】正多边形和圆． 【专题】分类讨论．

【分析】求出正六边形的边心距（用R表示），根据“接近度”的定义即可解决问题． 【解答】解：∵正六边形的半径为R， ∴边心距r=

R，

∴正六边形的“接近度”===．

故答案为．

a（a是

【点评】本题考查正多边形与圆的共线，等边三角形高的计算，记住等边三角形的高h=等边三角形的边长），理解题意是解题的关键，属于中考常考题型．

第12页（共24页）

18．已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6（如图所示），将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应．若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，则m的值是 5或3或

．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理． 【专题】分类讨论．

【分析】分三种情况讨论：①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形；②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形，列方程得到m的值，③当AD=AE=m时，△ADE是等腰三角形，得到四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE=AD=m，由勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：分三种情况讨论：

①当m=AD=DE=5时，△ADE是等腰三角形； ②当DE=AE时，△ADE是等腰三角形．

作EM⊥AD，垂足为M，AN⊥BC于N，则四边形ANEM是平行四边形， ∴AM=NE，AM=AD=m，CN=BC=3， ∴NE=3﹣m， ∴m=3﹣m，∴m=3，

③当AD=AE=m时，△ADE是等腰三角形，

∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE=AD=m， ∴NE=m﹣3， ∵AN2+NE2=AE2， ∴42+（m﹣3）2=m2，

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∴m=，

时，△ADE是等腰三角形．

综上所述：当m=5或3或故答案为：5或3或

．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质是解题的关键．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．先化简，再求值：【考点】分式的化简求值．

【分析】先计算除法：将分母因式分解同时将除法转化为乘法，约分后即变为同分母分式相加可得，再将x=8代入计算即可． 【解答】解：原式===

+，

+

，其中x=8．

当x=8时， 原式== =．

【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．

第14页（共24页）

20．已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣1）、B（1，5）、C（﹣1，﹣3）三点． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）用配方法把这个函数的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式． 【专题】计算题．

【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把点A、B、C三点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值即可得到抛物线解析式； （2）利用配方法把一般式化为顶点式即可．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

根据题意得，解得，

所以抛物线的解析式为y=2x2+4x﹣1；

（2）y=2x2+4x﹣1=2（x2+2x+1﹣1）﹣1=2（x+1）2﹣3．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

21．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=求边AB的长和cos∠CDB的值．

，tanA=，BC=2

，

【考点】解直角三角形．

【分析】CE⊥AB于点E，分别解RT△BCE、RT△ACE求得BE、CE及AE的长，可得AB；根据中线结合BD的长可得DE，在RT△CDE中由勾股定理可得CD，继而计算得cos∠CDB． 【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，

第15页（共24页）

在RT△BCE中，∵BC=2∴CE=BC?sinB=2∴BE=

×=

，sinB=，

=2，

=2，

在RT△ACE中，∵tanA=，

∴AE===4，

∴AB=AE+BE=4+2=6， ∵CD是边AB上的中线， ∴BD=AB=3， ∴DE=BD﹣BE=1， 在RT△CDE中，∵CD=∴cos∠CDB=

=

=

．

． =

=

，

故边AB的长为6，cos∠CDB=

【点评】本题主要考查了解直角三角形的能力，构建直角三角形是解题的前提，依据三角函数、勾股定理解直角三角形求出所需线段的长是解题的关键．

22．社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成．但在实际制作时，有10名同学因为参加学校跳绳比赛而没有参加制作．这样，该班实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划多5个，那么这个班级共有多少名同学？ 【考点】分式方程的应用．

【分析】设该班级共有x名同学，根据实际每个学生做的个数﹣原计划制作的个数=5，可列出关于x的分式方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：设该班级共有x名同学，

第16页（共24页）

依题意得﹣=5，

解得：x=40，或x=﹣30（舍去）．

检验：将x=40代入原方程，方程左边=20﹣15=5=右边， 故x=40是原方程的解． 答：这个班级共有40名同学．

【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据数量关系列出关于x的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．

23．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E、F为对角线BD上两点，且BE=DF，AF∥EC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）延长AF，交边DC于点G，交边BC的延长线于点H，求证：AD?DC=BH?DG．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】（1）通过证明△ABF≌△CDE得到AB=CD，加上AB∥CD，则可判断四边形ABCD是平行四边形；

AD∥BC，（2）根据平行四边形的性质得AD=BC，再证明△CHG∽△DAG，利用相似比得到然后利用比例的性质和等线段代换即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠ADB， ∵AF∥EC， ∴∠AFB=∠CED， ∵BE=DF， ∴BE+EF=DF+EF， 即BF=DE，

在△ABF和△CDE中，

第17页（共24页）

=，

，

∴△ABF≌△CDE， ∴AB=CD， 而AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵CH∥AD， ∴△CHG∽△DAG， ∴∴即

==

， =，

，

∴AD?DC=BH?DG．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m） （m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=时，求k1的值；

（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值．

的图象于点

的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB

第18页（共24页）

【考点】反比例函数综合题．

【分析】（1）先通过解直角三角形求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；（2）作DE∥OA，根据题意得出

=

=，求得DE=，即D的横坐标为，代入AB的解析式求

得纵坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k1；

（3）根据勾股定理求得AB、OE，进一步求得BE，然后根据相似三角形的性质求得EF的长，从而求得FM的长，得出F的坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k2． 【解答】解：（1）∵B（0，m）（m＞0）， ∴OB=m， ∵tan∠BAO=∴OA=， ∴A（，0），

设直线AB的解析式为y=kx+m， 代入A（，0）得，0=k+m， 解得k=﹣2，

∴直线AB的解析式为y=﹣2x+m； （2）如图1，∵AD=2DB， ∴

=，

=2，

作DE∥OA， ∴

=

=，

=，

∴DE=OA=

∴D的横坐标为，

第19页（共24页）

代入y=﹣2x+m得，y=﹣+m=∴D（，∴k1=×

=）， ；

，

（3）如图2，∵A（，0），B（0，m）， ∴E（，），AB=∴OE=∵EM⊥x轴， ∴F的横坐标为， ∵△OEF∽△OBE， ∴

=

，

=

m，BE=

=

m， m，

∴=，

∴EF=m，

m=

m．

∴FM=﹣∴F（m，∴k2=×

=

m）， ．

第20页（共24页）

【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的性质以及勾股定理的应用，求得关键点的坐标是解题的关键．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2．点D、E分别在边BC、AB上，ED⊥BC，以AE为半径的⊙A交DE的延长线于点F．

（1）当D为边BC中点时（如图1），求弦EF的长； （2）设

，EF=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（不用写出定义域）；

的值．

（3）若DE过△ABC的重心，分别联结BF、AF、CE，当∠AFB=90°时（如图2），求

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）如图1中，作AM⊥DF于M，只要证明△AEM≌△BED得ME=DE，再根据中位线定理、垂径定理即可解决．

（2）先证明四边形AMDC是矩形，再利用

=

即可解决问题．

（3））如图2中，因为点O是重心，所以AM、CN是中线，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，利用（2）的结论先求出ED、EF，由△BDE∽△FDB得决问题．

【解答】解：（1）如图1中，作AM⊥DF于M． ∵AM⊥EF， ∴FM=ME， ∵DE⊥BC，

∴∠BDE=∠C=∠AME=90°， ∴AM∥BC，AC∥DF， ∵BD=DC，

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=可以求出a，再求出AB、CE即可解

∴BE=AE， ∴ED=AC=1， 在△AEM和△BED中，

，

∴△AEM≌△BED， ∴ME=ED=1， ∴EF=2ME=2． （2）如图1中，∵ =x，

∴

=1﹣x，

∵ED∥AC， ∴

=

，

∴DE=2（1﹣x）， ∵AM∥CD，AC∥DM， ∴四边形AMDC是平行四边形，∵∠C=90°，

∴四边形AMDC是矩形， ∴AM=CD， ∵=， ∴

=

=

，

∴=，

∴y=4x．

（3）如图2中，∵点O是重心，∴AM、CN是中线， ∴BN=AN，BM=MC， ∵MN∥AC，MN=AC，

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∴=，设DM=a，CD=2a，则BM=CM=3a，

==，

由（2）可知x=∴EF=4y=， ∵

=

=

=，

∴ED=，DF=， ∵DF∥AC， ∴∠FEA=∠EAC， ∵AE=AF， ∴∠AFE=∠AEF， ∴∠EAC=∠AFE，

∵∠AFE+∠BFE=90°，∠EAC+∠ABC=90°， ∴∠BFD=∠EBD，∵∠BDE=∠BDF， ∴△BDE∽△FDB， ∴

=

，

∴=，

∴a=（负根以及舍弃）．

，

==

=2

， =

，

∴BC=6a=2

在RT△ABC中，AB=在RT△ECD中，EC=

∴==．

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【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、重心的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，知道重心把中线线段分成1：2两部分，属于中考压轴题．

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