连续时间信号傅里叶级数分析及MAtlAB实现 - 图文

课程设计任务书

学生姓名: 专业班级:

指导教师: 工作单位:

题 目:

连续时间信号傅里叶级数分析及MATLAB实现

初始条件：

MATLAB 6.5

要求完成的主要任务：

深入研究连续时间信号傅里叶级数分析的理论知识，利用MATLAB强大的图

形处理功能，符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。

1.用MATLAB实现周期信号的傅里叶级数分解与综合。 2.用MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。 3.用MATLAB实现典型周期信号的频谱。 4.撰写《MATLAB应用实践》课程设计说明书。

时间安排：

学习MATLAB语言的概况 第1天 学习MATLAB语言的基本知识 第2、3天 学习MATLAB语言的应用环境，调试命令，绘图能力 第4、5天 课程设计 第6-9天 答辩 第10天

指导教师签名： 年 月 日 系主任（或责任教师）签名： 年 月 日

目 录

摘 要 ................................................................................................................................................ I Abstract .......................................................................................................................................... II 绪论 ................................................................................................................................................. 1 1 MATLAB简介 .............................................................................................................................. 2

1.1 MATLAB语言功能 ............................................................................................................. 2 1.2 MATLAB语言特点 ............................................................................................................. 2 2 傅里叶级数基本原理概要 ......................................................................................................... 4

2.1 周期信号的傅里叶分解 ................................................................................................ 4 2.2 三角形式和指数形式傅里叶级数及各系数间的关系 .................................................. 5 2.3 周期信号的频谱 .............................................................................................................. 5 3 用MATLAB实现周期信号的傅立叶级数分解与综合 ............................................................... 6

3.1 合成波形与原波形之间的关系 ...................................................................................... 6 3.2 吉布斯现象 ...................................................................................................................... 6 4 用MATLAB实现周期信号的单边频谱及双边频谱。 ............................................................... 8

4.1 单边，双边（幅度，相位）频谱及其关系 .................................................................. 8

4.1.1单边，双边（幅度，相位） ................................................................................ 8 4.1.2 单边，双边频谱关系 ........................................................................................... 9 4.2以单边幅度频谱为例，研究脉冲宽度与频谱的关系 ................................................. 10 4.3以单边幅度频谱为例，研究脉冲周期与频谱的关系 ................................................. 11 5用MATLAB实现典型周期信号的频谱 ...................................................................................... 13

5.1 周期方波脉冲频谱的MATLAB实现 .............................................................................. 13 5.2 周期三角波脉冲频谱的MATLAB 实现 ......................................................................... 14 6 小结及心得体会 ....................................................................................................................... 17 参考文献 ....................................................................................................................................... 18 附录： ........................................................................................................................................... 19

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摘 要

MATLAB目前已发展成为由MATLAB 语言、MATLAB 工作环境、MATLAB 图形处理系统、MATLAB 数学函数库和MATLAB 应用程序接口五大部分组成的集数值计算、图形处理、程序开发为一体的功能强大的系统。本次课程设计则在研究连续时间信号傅里叶级数分析理论知识的基础上，利用MATLAB强大的图形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，从而实现连续时间周期信号频域分析的仿真波形。

关键词：MATLAB；图形功能仿真；傅里叶级数；周期信号；频谱

I

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Abstract

MATLAB now evolved into MATLAB language, MATLAB working environment, MATLAB graphics processing systems, MATLAB math library and the MATLAB application program interface has five major components of the set of numerical computation, graphics processing, program development as one powerful system. The curriculum design, in-depth study Fourier series analysis of continuous-time signal on the basis of theoretical knowledge, using MATLAB a powerful graphics processing capabilities, symbolic computing and numerical computing capabilities, including the following: realization of periodic signals using MATLAB Fourier series decomposition and integration of the waveform; periodic signals using MATLAB to achieve unilateral and bilateral spectrum waveform and spectrum analysis; using MATLAB to achieve a typical cycle of the signal wave spectrum.

Keywords: MATLAB; graphics processing; Fourier series; periodic signal; Spectrum

II

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绪论

本次课程是通过MATLAB软件来实现数字信号系统里的相关图像和相关仿真的软件。近年来，MATLAB以其强大的矩阵计算和图像视化功能逐渐为国人所知。MATLAB是mathworks公司的软件产品，MATLAB已经成为一个系列产品：MATLAB主包各种工具（toolbox）。功能丰富的工具箱大致分为两类：功能型工具箱和领域型工具箱。功能型工具箱主要用来扩充MATLAB的符号计算功能﹑图形建模仿真功能﹑文字处理功能以及与硬件实时交互功能，能用于多种学科。而领域型工具箱是专业性很强的，如控制工具（control toolbox）﹑信号处理工具箱（signal processing toolbox）等。MATLAB (MATrix LABoratory)具有用法简易、可灵活运用、程式结构强又兼具延展性。

以下为其几个特色： 功能强的数值运算 - 在MATLAB环境中，有超过500种数学、统计、科学及工程方面的函数可使用，函数的标示自然，使得问 题和解答像数学式子一般简单明了，让使用者可全力发挥在解题方面，而非浪费在电脑操作上。

先进的资料视觉化功能 - MATLAB的物件导向图形架构让使用者可执行视觉数据分，并制作高品质的图形，完成科学性或工程 性图文并茂的文章。

高阶但简单的程式环境 - 做为一种直译式的程式语言，MATLAB容许使用者在短时间内写完程式，所花的时间约为用 FORTRAN 或 C 的几分之一，而且不需要编译(compile)及联结 (link) 即能执行，同时包含了更多及更容易使用的内建 功能。

开放及可延伸的架构 - MATLAB容许使用者接触它大多数的数学原使码，检视运算法，更改现存函数，甚至加入自己的函数使 MATLAB成为使用者所须要的环境。

丰富的程式工具箱 - MATLAB的程式工具箱融合了套装前软体的优点，与一个灵活的开放但容易操作之环境，这些工具箱提 供了使用者在特别应用领域所需之许多函数。现有工具箱有：符号运算（利用Maple V的计算核心执行 ）、影像处理、统计分析、讯号处理、神经网路、模拟分析、控制系统、即时控制、系统确认、强建控 制、弧线分析、最佳化、模糊逻辑、mu分析及合成、化学计量分析。

1

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图4-9 a=-6,b=6即T=12时的情况

通过观察以上三个图像中第一个零点的位置，不难看出：当方波的周期越大，频谱就越密集，周期越小，频谱就越稀疏，其实这点也不难理解。因为τ值不变，改变T值就等于改变了T=ατ中比例系数α的大小。由于周期脉冲信号的时域宽度不变，这时频谱包络线的零点所在位置不变，而当周期增长时，相邻谱线的间隔减少，频谱变密。如果周期无限增长（这时就成为非周期信号），那么，相邻谱线的间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。随着周期的增长，各谐波分量的幅度也相应减少。脉冲周期T 愈长，谱线间隔愈小，频谱越稠密；反之，则越稀疏。

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5用MATLAB实现典型周期信号的频谱

5.1 周期方波脉冲频谱的MATLAB实现

周期方波脉冲信号如图5.1所示，其幅度为1，脉冲宽度‘占空比’：duty=1/2，周期T=5。

图5.1 周期方波脉冲

编写CTFSdbfb.m函数文件，源程序文件见附录程序。调用函数CTFSdbfb.m，即可绘出方波脉冲的双边频谱如5.2，5.3，图所示，其中周期T和占空比duty可变，修改程序即可得到单边频谱如图5.4，5.5所示。

图5.2 周期为T=5，占空比duty=50的方波脉冲双边频谱

图5.3 周期为T=10，占空比duty=80的方波脉冲双边频谱

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图5.4 周期为T=5，占空比duty=50的方波脉冲单边频谱

由图可以看出，周期方波信号频谱与周期矩形脉冲信号具有相同的规律，由于方波的周期与脉宽比，T 因此频谱的第一个过零点内只有两根谱线。

??25.2 周期三角波脉冲频谱的MATLAB 实现

周期三角波脉冲如图5.6所示，周期T=5，其幅度为1。

图5.6 周期三角波脉冲

MATLAB:

内置有产生三角波的函数sawtooth(t)，其调用格式为:x= sawtooth(t,width):根据width值的不同产生不同形状的三角波,参数width 是0—1 之间的标量,指定在一个周期之间最大值的位置,width是该位置的横坐标和周期的比值.因而,当width=0.5 时产生标准的对称三角波，当width时（可缺省）产生锯齿波。

编写CTFSsjbshbd.m函数文件，源程序文件见附录程序。调用函数CTFSsjbshbd.m，即可绘出方波脉冲的双边频谱如图5.7，5.8所示，其中周期T和width可变，修改程序即可得到单边频谱如图5.9，5.10所示。

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图5.7 周期T=5，width=0.5的三角脉冲双边频谱

图5.8 周期T=10，width=1的三角脉冲双边频谱

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图5.9 周期T=5，width=0.5的三角脉冲单边频谱

图5.10 周期T=10，width=1的三角脉冲单边频谱

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axis([-20,20,-1,1.2]) line([-20,20],[0,0]) subplot(2,1,2)

stem(k2,abs(S7));

title('连续时间函数周期三角脉冲的双边幅度谱') axis([-40,40,0,0.6]) end

function y=time_fun_s(t) syms a a1 T=10;a=T/2;

y1=sym('Heaviside(t+a1)')*(2*t/a1+1)+sym('Heaviside(t-a1)')*(2*t/a1-1); y=y1-sym('Heaviside(t)')*(4*t/a1); y=subs(y,a1,a); y=simple(y);

function x=sjb_timefun T=10;t=-2*T:0.01:2*T; x=sawtooth(t-2*T/3,1);

源程序八：

周期三角脉冲单边频谱分析源程序 function [A_sym,B_sym]=CTFSsjbshbd syms t n k y

T=10;

if nargin<4;Nf=input('pleas Input 所需展开的最高谐波次数:’);end if nargin<5;Nn=32;end y=time_fun_s(t); A0=2*int(y,t,0,T)/T;

As=int(2*y*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); Bs=int(2*y*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); A_sym(1)=double(vpa(A0,Nn)); for k=1:Nf

A_sym(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn));

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B_sym(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn));end if nargout==0

S1=fliplr(A_sym) S1(1,k+1)=A_sym(1) S2=fliplr(1/2*S1) S3=fliplr(1/2*B_sym) S3(1,k+1)=0 S4=fliplr(S3) S5=S2-i*S4; N=Nf*2*pi/T; k2=0:2*pi/T:N; subplot(2,1,1)

x=sjb_timefun T=10;t=-2*T:0.01:2*T; plot(t,x)

title('T=10,脉宽为1的周期三角波脉冲') axis([-20,20,-1,1.2]) line([-20,20],[0,0]) subplot(2,1,2)

stem(k2,abs(S5));

title('连续时间函数周期三角脉冲的单边幅度谱') axis([0,40,0,0.6]) end

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本科生课程设计成绩评定表

姓 名 专业、班级 性 别 课程设计题目： 连续时间信号傅里叶级数分析及MATLAB实现 课程设计答辩或质疑记录： 1.什么是吉布斯现象？ 答：吉布斯现象就是：在x(t)的不可导点上，如果我们只取x(t)等式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。 2.如何将MATLAB程序中的方波占空比由80%改为50% 答：用MATLAB 6.5 程序打生成方波的M文件，将其中的占空比相关数据“duty” 从80改为50即可。 成绩评定依据： 最终评定成绩（以优、良、中、及格、不及格评定） 指导教师签字：

年 月 日

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syms a a1

T=input('pleas Input 信号的周期T='); M=input('周期与脉冲宽度之比M='); A=1;tao=T/M;a=tao/2; y1=sym('Heaviside(t+a1)')*A; y=y1-sym('Heaviside(t-a1)')*A; y=subs(y,a1,a); y=simple(y);

function x=time_fun_e T=5;t=-2*T:0.01:2*T;tao=T/5; x=rectpuls(t,1); subplot(3,1,1) plot(t,x) hold on

x=rectpuls(t-5,1); plot(t,x) hold on

x=rectpuls(t+5,1); plot(t,x)

title('周期为T=5,脉宽tao=1的矩形脉冲') axis([-10,10,0,1.2])

源程序四：

单边频谱（幅度，相位）分析源程序 a=-5; b=5; n=50; j=sqrt(-1); tol=1e-6;

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T0=b-a;

xsqual=@(x)1/2.*(x==-1/2)+1.*(x>-1/2&x<1/2)+1/2.*(x==-1/2); out(1)=1/T0.*quad(xsqual,a,b,tol);

xfun=@(x,k,T)xsqual(x).*exp(-j*2*pi*x*k/T); for i=1:n out(i+1)=1/T0.*quad(xfun,a,b,tol,[],i,T0); end

out1=out(n+1:-1:2); out1=[conj(out1),out]; angout=angle(out1); absout=abs(out1); n1=[-n:n]; subplot(2,1,1)

stem(n1(n+1:2*n+1),absout(n+1:2*n+1)); subplot(2,1,2)

stem(n1(n+1:2*n+1),angout(n+1:2*n+1));

源程序五：

周期方波脉冲频谱双边频谱分析源程序 function [A_sym,B_sym]=CTFS3 syms t n k y T=10;

if nargin<4;Nf=input('pleas Input 所需展开的最高谐波次数: ');end if nargin<5;Nn=32;end y=time_fun_s(t); A0=2*int(y,t,0,T)/T;

As=int(2*y*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); Bs=int(2*y*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); A_sym(1)=double(vpa(A0,Nn)); for k=1:Nf

A_sym(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn)); B_sym(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn));end if nargout==0

S1=fliplr(A_sym) S1(1,k+1)=A_sym(1)

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S2=fliplr(1/2*S1) S3=fliplr(1/2*B_sym) S3(1,k+1)=0 S4=fliplr(S3) S5=S2-i*S4; S6=fliplr(S5); N=Nf*2*pi/T;

k2=-N:2*pi/T:N; S7=[S6,S5(2:end)]; subplot(2,1,1)

x=squ_timefun T=10;t=-2*T:0.01:2*T; plot(t,x)

title('T=10，占空比为80%的周期方波脉冲') axis([-20,20,-1,1.2]) line([-20,20],[0,0]) subplot(2,1,2)

stem(k2,abs(S7));

title('连续时间函数周期方波脉冲的双边幅度谱') axis([-40,40,0,0.6]) end

function y=time_fun_s(t) syms a a1 T=10;a=T/2;

y1=sym('Heaviside(t)')*2-sym('Heaviside(t-a1)'); y=y1-sym('Heaviside(t+a1)'); y=subs(y,a1,a); y=simple(y);

function x=squ_timefun T=10;t=-2*T:0.01:2*T;duty=80; x=square(t,duty);

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源程序六：

周期方波脉冲单边频谱分析源程序 function [A_sym,B_sym]=CTFS31 syms t n k y T=10;

if nargin<4;Nf=input('pleas Input 所需展开的最高谐波次数: ');end if nargin<5;Nn=32;end y=time_fun_s(t); A0=2*int(y,t,0,T)/T;

As=int(2*y*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); Bs=int(2*y*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); A_sym(1)=double(vpa(A0,Nn)); for k=1:Nf

A_sym(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn)); B_sym(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn));end if nargout==0

S1=fliplr(A_sym) S1(1,k+1)=A_sym(1) S2=fliplr(1/2*S1) S3=fliplr(1/2*B_sym) S3(1,k+1)=0 S4=fliplr(S3) S5=S2-i*S4; N=Nf*2*pi/T; k2=0:2*pi/T:N; subplot(2,1,1)

x=squ_timefun T=10;t=-2*T:0.01:2*T; plot(t,x)

title('T=10，占空比为80%的周期方波脉冲') axis([-20,20,-1,1.2]) line([-20,20],[0,0]) subplot(2,1,2)

stem(k2,abs(S5)); title('周期方波脉冲的单边幅度谱')

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axis([0,40,0,0.6]) end

源程序七：

周期三角脉冲双边频谱分析源程序 function [A_sym,B_sym]=CTFS4 syms t n k y T=10;

if nargin<4;Nf=input('pleas Input 所需展开的最高谐波次数: ');end if nargin<5;Nn=32;end y=time_fun_s(t); A0=2*int(y,t,0,T)/T;

As=int(2*y*cos(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); Bs=int(2*y*sin(2*pi*n*t/T)/T,t,0,T); A_sym(1)=double(vpa(A0,Nn)); for k=1:Nf

A_sym(k+1)=double(vpa(subs(As,n,k),Nn)); B_sym(k+1)=double(vpa(subs(Bs,n,k),Nn));end if nargout==0

S1=fliplr(A_sym) S1(1,k+1)=A_sym(1) S2=fliplr(1/2*S1) S3=fliplr(1/2*B_sym) S3(1,k+1)=0 S4=fliplr(S3) S5=S2-i*S4; S6=fliplr(S5); N=Nf*2*pi/T;

k2=-N:2*pi/T:N; S7=[S6,S5(2:end)]; subplot(2,1,1)

x=sjb_timefun T=10;t=-2*T:0.01:2*T; plot(t,x)

title('T=10，脉宽为1的周期三角波脉冲')

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j8td.html