第八章 曲线积分与曲面积分部分考研真题及解答

第八章 曲线积分与曲面积分 8.1对弧长的曲线积分

8.2对坐标的曲线积分

07.1) 设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （ B ） (A)

?Tf(x,y)dx. (B)

T?Tf(x,y)dy.

fx?(x,y)dx?fy?(x,y)dy.

(C)

?f(x,y)ds. (D)

?T04.1) 设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分，则曲线积分

?Lxdy?2ydx的值为

3? .（利用极坐标将曲线用参数方程表示） 209.1) 已知曲线L:y?x2(0?x?2)，则

?Lxds=

13 610.1)已知曲线L的方程为y?1?|x|,(x?[?1,1]),起点为(?1,0),终点为(1,0),则曲线积分

?Lxydx?x2dy? 0 （直接算或格林）

01.1)计算I???(yL2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz，其中L是平面x?y?z?2与

柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。

解：记S为平面x?y?z?2上L所围部分的上侧，D为S在xOy坐标面上的投影。由斯托克斯公式得

I???(?2y?4z)dydz?(?2z?6x)dzdx?(?2x?6y)dxdyS??2??(4x?2y?3z)dS3S??2??(x?y?6)dxdy??12??dxdy=-24

DD08.1)计算曲线积分

?Lsin2xdx?2(x2?1)ydy，其中L是曲线y?sinx上从点(0,0)到点

(?,0)的一段.（路径表达式直接代入）

8.3格林公式

02.1)设函数f(x)在(??,??)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y?0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)，记I?1x2???y2f(xy)?1?1?yf(xy)dx?2?????dy yyL（1）证明曲线积分I与路径L无关；（2）当ab?cd时，求I的值.

03.1) 已知平面区域D?{(x,y)0?x??,0?y??}，L为D的正向边界. 试证： (1)

?xeLsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx; (2)

L?xeLsinydy?ye?sinxdx?2?2.

【详解】 方法一： (1) 左边= 右边=所以

???0?esinydy???e?sinxdx=??(esinx?e?sinx)dx，

?0?siny0??0?edy???e?0sinxdx=??(esinx?e?sinx)dx，

0??xeLsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx.

L(2) 由于esinx?e?sinx?2，故由（1）得

?sinx?xeLsinydy?yedx???(esinx?e?sinx)dx?2?2.

0?方法二：

（1） 根据格林公式，得

?xeLLsinydy?ye?sinxdx???(esiny?e?sinx)dxdy，

DD?sinysinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy. ???因为D 具有轮换对称性，所以故

siny?sinx?sinysinx=(e?e)dxdy(e?e)dxdy， ????DD?xeLsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx.

L (2) 由(1)知

siny?sinxsiny?sinxsiny?sinx=xedy?yedx?(e?e)dxdyedxdy?e???????dxdy LDDD = =

sinx?sinxedxdy?e????dxdy （利用轮换对称性） DD??(eDsinx?e?sinx)dxdy???2dxdy?2?2.

D05.1)设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分

??(y)dx?2xydy2x2?y4L的值恒为同一常数.

（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有

??(y)dx?2xydy2x?y24C?0；

（II）求函数?(y)的表达式.

Y

【详解】 （I）

l1 l2

C o X l3

如图，将C分解为：C?l1?l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则

??(y)dx?2xydy2x2?y4C???(y)dx?2xydy2x2?y4l1?l3???(y)dx?2xydy2x2?y4l2?l3?0.

（II） 设P??(y)2x2?y,Q?42xy，P,Q在单连通区域x?0内具有一阶连续偏导数，242x?y在该区域内与路径无关，故当x?0时，总有

由（Ⅰ）知，曲线积分

??(y)dx?2xydy2x?y24L?Q?P?. ?x?y?Q2y(2x2?y4)?4x?2xy?4x2y?2y5??, ① ?x(2x2?y4)2(2x2?y4)2?P??(y)(2x2?y4)?4?(y)y32x2??(y)???(y)y4?4?(y)y3??. ② 242242?y(2x?y)(2x?y)比较①、②两式的右端，得

③ ???(y)??2y, ?435　④ ???(y)y?4?(y)y?2y. 由③得?(y)??y?c，将?(y)代入④得 2y?4cy?2y, 所以c?0，从而?(y)??y. 06.1)设在上半平面D=

22535??x,y?y?0?内,数f?x,y?是有连续偏导数,且对任意的

t>0都有

f?tx,ty??t2f?x,y?.

证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有证：把f(tx,ty)?t?2??yf?x,y?dx?xf?x,y?dy?0

2f(x,y)两边对t求导得：xfx?(tx,ty)?yfy?(tx,ty)??2tf(x,y)

令 t?1，则xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y) 再令 P?yf(x,y),Q??xf(x,y)

所给曲线积分等于0的充分必要条件为

?Q?Q?P???f(x,y)?x, y)今 ?xf(x?x?x?y

?P??f(x,y)?y, y)yf(x?y?Q?P成立，只要xfx?(x,y)?yfy?(x,y)??2f(x,y) ??x?y要求

我们已经证明，??Q?P，于是结论成立。 ??x?y

8.4对面积的曲面积分

07.1) 设曲面?:x?y?z?1，则

??(x?|y|)dS=?43. 3解：由于曲面?关于平面x=0对称，因此换对称性，于是

??xdS=0. 又曲面?:x?y?z?1具有轮

???(x?|y|)dS=??|y|dS=??|x|dS=??|z|dS=

????1(|x|?|y|?|z|)dS 3???=

11343. =dS??8?3323???22210.1)设P为椭球面S:x?y?z?yz?1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂

直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分I?于C上方的部分.

8.5对坐标的曲面积分 06.1)

设

????x?3?y?2z4?y?z?4yz22dS，其中?是椭球面位

?是锥面

Z=x2?y2(0?Z?1)的下侧，则

?x2?y2?1上侧) xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?2? (补一个曲面?1:????z?1?

8.6高斯公式

05.1) 设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?

的整个边界的外侧，则

??xdydz?ydzdx?zdxdy?2?(1??23)R.(用高斯公式转化为三重2积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可) 08.1)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧，则??xydydz?xdzdx?x2dxdy?4? （高斯）

?3322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy,其中?是曲面???04.1) 计算曲面积分I?z?1?x2?y2(z?0)的上侧.

【详解】 取?1为xoy平面上被圆x2?y2?1所围部分的下侧，记?为由?与?1围成的空间闭区域，则

I? ????1??2xdydz?2y3333dzdx?3(z2?1)dxdy

2??2xdydz?2ydzdx?3(z?1?1)dxdy.

由高斯公式知

???1332222xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?6(x?y?z)dxdyd z?????? =6?2?0d??dr?011?r20(z?r2)rdz

=12?而

12232[r(1?r)?r(1?r)]dr?2?. ?0213322xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy?????1x2?y2?1???3dxdy?3?，

其中?为曲面

故 I?2??3????.

07.1) 计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,?y2z?1?x?(0?z的上侧。?1)

42y2?1,z?0，取下侧. 则 【详解】 补充曲面：?1:x?42I? =

???1??xzdydz?2zydzdx?3xydxdy???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy

?1???(z?2z)dxdydz???3xydxdy

?D2y2?1. 其中?为?与?1所为成的空间区域，D为平面区域x?4 由于区域D关于x轴对称，因此

??3xydxdy?0. 又

D110Dz0???(z?2z)dxdydz?3???zdxdy=3?zdz??dxdy?3?z?2?(1?z)dz??.

??y2?1?z. 其中Dz:x?4209.1) 计算曲面积分I?侧。

????xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)322其中?是曲面2x2?2y2?z2?4的外

【考点】R中复连通域上的 Stokes定理、Guass公式。 【解析与点评】I?3

????xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z)y322，其中2x2?2y2?z2?4

记X?

x,Y?3,Y?3z(x2?y2?z)322，则

(x2?y2?z2)2(x2?y2?z2)2?Xy2?z2?2x2， ?5?x(x2?y2?z2)2?Yx2?z2?2y2?Zx2?z2?2z2由轮换对称性，， ?,?55?y?z(x2?y2?z2)2(x2?y2?z2)2除原点外，散度div(X,Y,Z)??X?Y?Z???0。 xyz记S1:x2?y2?z2?1，由复连域上的Stokes公式及Guass公式，注意到约束条件可得：

????xdydz?ydxdz?zdxdy(x2?y2?z)322???S1xdydz?ydxdz?zdxdy(x2?y2?z)322

??xdydz?ydxdz?zdxdy????3dV?3.S1?4??4? 3

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