因式分解的常用方法(方法最全最详细)
更新时间:2023-11-22 15:26:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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因式分解的常用方法
第一部分:方法介绍
因式分解:因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式,主要有提公因式法,公式法,十字相乘法,分组分解法,换元法等 因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;。
注意:将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.:ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
2222
(1) (a+b)(a-b) = a-b -----------a-b=(a+b)(a-b);
222222
(2) (a±b) = a±2ab+b ---------a±2ab+b=(a±b);
22333322
(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b---------a+b=(a+b)(a-ab+b);
22333322
(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b --------a-b=(a-b)(a+ab+b). 下面再补充两个常用的公式:
2222
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);
333222
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);
例.已知a,b,c是?ABC的三边,且a?b?c?ab?bc?ca, 则?ABC的形状是( )
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解:a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca
222222222?(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0?a?b?c
1
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:am?an?bm?bn
分析:从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:原式=(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式! =(m?n)(a?b)
例2、分解因式:2ax?10ay?5by?bx
解法一:第一、二项为一组; 解法二:第一、四项为一组;
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解:原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y)
2练习:分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:x?y?ax?ay
分析:若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。 解:原式=(x?y)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)
222例4、分解因式:a?2ab?b?c 解:原式=(a?2ab?b)?c =(a?b)?c
=(a?b?c)(a?b?c)
22222练习:分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz
223223综合练习:(1)x?xy?xy?y (2)ax?bx?bx?ax?a?b
222(3)x?6xy?9y?16a?8a?1 (4)a?6ab?12b?9b?4a 2222(5)a?2a?a?9 (6)4ax?4ay?bx?by
43222222222222 2
(7)x2?2xy?xz?yz?y2 (8)a?2a?b?2b?2ab?1 (9)y(y?2)?(m?1)(m?1) (10)(a?c)(a?c)?b(b?2a)
22a?b?c?3abc (11)(12)a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点:(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
333思考:十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<a≤5,且a为整数,若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.
2解析:凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c,都要求??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数,a?1
2例5、分解因式:x?5x?6
分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6),从中可以发现只有2×3的分解适合,即2+3=5。 1 2
2解:x?5x?6=x?(2?3)x?2?3 1 3
2 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键:将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
2例6、分解因式:x?7x?6
解:原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1
=(x?1)(x?6) 1 -6
(-1)+(-6)= -7
222练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5
222练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24
3
2(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c 条件:(1)a?a1a2 a1 c1
(2)c?c1c2 a2 c2 (3)b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果:ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)
2例7、分解因式:3x?11x?10
分析: 1 -2 3 -5 (-6)+(-5)= -11
解:3x?11x?10=(x?2)(3x?5)
练习7、分解因式:(1)5x?7x?6 (2)3x?7x?2
2 (3)10x?17x?3 (4)?6y2?11y?10
(三)二次项系数为1的齐次多项式
22222b 例8、分解因式:a?8ab?128分析:将b看成常数,把原多项式看成关于a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b 8b+(-16b)= -8b
282=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) 解:a?8ab?12b =(a?8b)(a?16b)
练习8、分解因式(1)x2?3xy?2y2
(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2x?7xy?6y 例10、xy?3xy?2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解:原式=(x?2y)(2x?3y) 解:原式=(xy?1)(xy?2)
22练习9、分解因式:(1)15x?7xy?4y (2)ax?6ax?8
222222222222 4
综合练习10、(1)8x?7x?1 (2)12x2?11xy?15y2 (3)(x?y)2?3(x?y)?10 (4)(a?b)2?4a?4b?3
63m?4mn?4n?3m?6n?2 (5)x2y2?5x2y?6x2 (6)
(7)x2?4xy?4y2?2x?4y?3(8)5(a?b)2?23(a2?b2)?10(a?b)2 (9)4x2?4xy?6x?3y?y2?10(10)12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2
思考:分解因式:abcx2?(a2b2?c2)x?abc
五、换元法。
22(1)、换单项式
例1 分解因式x6 + 14x3 y + 49y2.
分析:注意到x6=(x3)2,若把单项式x3换元,设x3 = m,则x6= m2,原式变形为
m2 + 14m y + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2.
(2)、换多项式
例2 分解因式(x2+4x+6) + (x2+6x+6) +x2.
分析:本题前面的两个多项式有相同的部分,我们可以只把相同部分换元,设x2 +6= m,则x2+4x+6= m+4x,x2+6x+6= m+6x,原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x2= m2 +10mx+24x2+x2= m2 +10mx+25x2
= (m+5x)2= ( x2 +6+5x)2
= [(x+2)(x+3)]2= (x+2) 2 (x+3)2.
以上这种换元法,只换了多项式的一部分,所以称为“局部换元法”. 当然,我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元,就成了“整体换元法”. 比如,设x2+4x+6=m,则x2+6x+6=m+2x,原式变形为
m(m+2x)+ x2 = m2+2mx+x2= (m+x)2= ( x2+4x+6+x)2= ( x2+5x+6)2
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