第十讲：三角形中的三角函数问题

三角形中的三角函数问题

一、引言

（一）本节的地位：运用正弦定理、余弦定理解三角形是高考的考查内容，高考考纲中就明确提出要加强对正、余弦定理的考查．

（二）考纲要求：通过本节的学习掌握正弦定理、余弦定理；并能够应用正弦定理、余弦定理解决问题；同时在运用两个定理解决一些实际问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，增强应用意识；注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．

（三）考情分析：应用正弦定理、余弦定理解三角形、求值、求参数范围、恒等变形与其它知识交汇等．对数形结合、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归等重要思想重点考查．

二、考点梳理

1．正弦定理:在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，R为?ABC的外接圆的半径，则有

abc???2R． sinAsinBsinC变形应用:a:b:c?sinA:sinB:sinC；a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC．

2．余弦定理：在?ABC中，有a?b?c?2bccosA，

222b2?a2?c2?2accosB；c2?a2?b2?2abcosC．

b2?c2?a2b2?a2?c2a2?c2?b2cosB?变形应用:如cosA?，cosC?．

2bc2ba2ac

3．三角形的有关公式：

（1）射影公式如：a?bcosC?ccosB． （2）三角形面积公式：S??1111aha?absinC?acsinB?cbsinA． 2222A?BC?cos等． 224．熟练掌握下列知识对解三角形有帮助：

（1）sin(A?B)?sinC；cos(A?B)??cosC；sin（2）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；等角对等边，

大边对大角，大角对大边．

222（3）在?ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，若a?b?c，则C?90?；

222222若a?b?c，则C?90?；若a?b?c，则C?90?．

三、典型问题选讲

例1 在?ABC中，sinA:sinB:sinC?2:6:(3?1)，则角A度数是（ ）

1

A．45? B．60? C．75? D．90?

解析:由sinA:sinB:sinC?2:6:(3?1)可得a:b:c?2:6:(3?1)， 设a?2k,b?6k,c?(3?1)k，由余弦定理，

b2?c2?a26k2?(3?1)2k2?4k22有cosA?，则A?45?． ??2bc22(3?1)k?6k故选A．

归纳小结：要熟练掌握余弦定理及它的变式的应用，余弦定理a?b?c?2bccosA还可以改写为sinA?sinB?sinC?2sinBsinC，应用它求三角函数值有时比较方便；本题将sinA:sinB:sinC?2:6:(3?1)，转化为a:b:c?2:6:(3?1)，应用余弦定理的变式使问题得以解决．

例2 在△ABC中，A，B，C所对边的长分别为a、b、c，且A?则sin(B?222222?3，b?c=3a，

?63333A．? B． C． D．?

2222解析:因为A?因为B?C=

)的值是（ ）

?3，b?c=3a，由正弦定理得sinB+sinC=3sinA=

3． 2322??，所以sinB+sin(?B)=．

233所以

33?33cosB+sinB=．即sin(B?)=．故选C．

22622归纳小结：本题解法中利用正弦定理将条件中三角形三边的数量关系变为角度的关系，

这也是正弦定理的重要功能之一，同时本题综合运用两角和与差的正弦公式，这些知识应熟练掌握．

例3 在?ABC中，已知角A,B,C所对的三边分别为a,b,c成等比数列．则角B的取值范围是（ ）

A．?0,????8?? B．?0,????6?? C．?0,2????4?? D．?0,???? ?3?解析：因为a,b,c成等比数列，所以b?ac．

a2?c2?b22ac?ac1≥由余弦定理得：cosB==．

22ac2ac又因为B?(0,?)，所以0?B?π．故选D． 32

归纳小结：由余弦定理可知，对角B的讨论可以转化为对a、b、c的讨论，利用条件

b2?ac，结合平均值不等式则很容易得出结论，本题是将角的问题转化为边的关系，体现

转化思想的应用．

a2?b2sin(A?B)?例4 在?ABC中，角A,B,C所对的三边分别为a,b,c．求证：． 2csinC分析：证明三角形中的等式或不等式的问题的关键是利用正弦定理、余弦定理以及其它

公式，将边角关系进行互化．

证明：由余弦定理可知a?b?c?2bccosA，b?a?c?2accosB，两式相减

222222a2?b2acosB?bcosA?得：a?b?b?a?2bccosA?2cacosB，所以． 2cc2222由正弦定理得

asinAbsinB?,?， csinCcsinCa2?b2sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??则． c2sinCsinC归纳小结：此题主要考查正弦定理、余弦定理在证明恒等式中的应用，由等式左边式子

联想到余弦定理，运用余弦定理进行转化，由等式右边正弦值联想到正弦定理，运用正弦定理进行转化，从而使问题得以证明．

例5 在?ABC中，已知AB?466，cosB=，AC边上的中线BD=5，求sinA36的值．

分析：利用题目给的条件，通过作辅助线将已知条件放在同一个三角形中，利用余弦定理求出BC长，或利用平面几何的知识、向量的知识解决问题．

解法1：设E为BC的中点，连接DE，如图：

则DE//AB，且DE=

126AB=， 23设BE?x，在?BDE中利用余弦定理可得：

BD2?DE2?BE2?2DE?BEcos?DEB．

2所以5=x?78266+2?×x．解得x?1，x??(舍)．故BC?2．

33363

从而AC?AB?BC?2AB?BCcosB?22228221．即AC?． 332212303，sinA=70．

又sinB=，故=sinA630146

????解法2：以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象

限．如图：

30， 6????4646445则BA=(cosB，sinB)=(,)．

3333????????4?3x25设BC= (x，0)，则BD=(,)．

63由sinB=????4?3x2252由条件得|BD|=()?()=5．

63从而x?2，x=－

????24514(舍)．故CA=(?,)． 333880??????????314BA?CA99?????=于是cosA=???=．

|BA||CA|168048014??9999所以sinA=1?cos2A=70． 146构造三角形6????445?????BDE，利用余弦定理求出BC长；解法2是求出向量BA=(,)，设BC=(x，0)，

归纳小结：解法1中抓住了AC边上的中线BD?5及cosB?33 4

?????????1???4?3x25利用BD=(BA+BC)=(,)及中线长求出BC长，两种方法都是围绕条件中的

263中线长，从用余弦定理解斜三角形，向量，平面几何的不同角度找到突破口，这说明不同知识之间是有着深刻的内在联系的．

例6 在?ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a?c?2b，且

22sinAcosC?3cosAsinC,求b ．

分析:此题事实上比较简单，但不知从何入手．对已知条件(1)a?c?2b左侧是二次的右侧是一次的，总感觉用余弦定理不好处理，而对已知条件(2)

22sinAcosC?3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦公式．

解法一：在?ABC中?sinAcosC?3cosAsinC,则由正弦定理及余弦定理有:

a2?b2?c2b2?c2?a2a??3?c化简并整理得：2(a2?c2)?b2．又由已知

2ab2bca2?c2?2b?4b?b2．解得b?4或b?0(舍）．

解法二:由余弦定理得：a?c?b?2bccosA．又a?c?2b，b?0． 所以b?2ccosA?2…………………………………①

又sinAcosC?3cosAsinC，?sinAcosC?cosAsinC?4cosAsinC

22222sin(A?C)?4cosAsinC，即sinB?4cosAsinC．

由正弦定理得sinB?bsinC，故b?4ccosA………………………② c由①，②解得b?4．

归纳小结：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查．在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力．

例7 已知△ABC的周长为2?1，且sinA?sinB?2sinC． （1）求边AB的长； （2）若△ABC的面积为

1sinC，求角C的度数． 6解：（1）由题意及正弦定理，得AB?BC?AC?2?1，

BC?AC?2AB，

两式相减，得AB?1． （2）由△ABC的面积

111BC?AC?sinC?sinC，得BC?AC?， 263 5

AC2?BC2?AB2由余弦定理，得cosC?

2AC?BC

(AC?BC)2?2AC?BC?AB21??，

2AC?BC2所以C?60?．

归纳小结：（1）将角的关系转化为边的关系，利用方程思想求解，（2）利用三角形面积公式，及余弦定理求出角C的值，体现化归与转化思想．

例8 在△ABC中，tanA?（1）求角C的大小；

（2）若△ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．

分析：由三角形中C?π?(A?B)，利用两角和的正切公式求得角C，由三角函数值判断出最小角，利用正弦定理解决问题．

解：（1）?C?π?(A?B)，

13，tanB?． 4513??tanC??tan(A?B)??45??1．

131??453又?0?C?π，?C?π．

43（2）?C??，

4?AB边最大，即AB?17．

又?tanA?tanB，A，B??0，?，

???????角A最小，BC边为最小边．

sinA1?tanA??，17??π?由?． cosA4且A??0，?，得sinA?17?2??sin2A?cos2A?1，?由

ABBCsinA??2．所以最小边BC?2． 得BC?AB?sinCsinAsinC归纳小结：本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知

识以及推理和运算能力．

例9 在?ABC中，角A,B,C所对的三边分别为a,b,c成等比数列，且cosB?3． 4 6

11?的值； tanAtanC????????3（2）设BA?BC?，求a?c的值．

232分析：由cosB?可求得sinB的值，由b?ac，联想到正弦定理或余弦定理；另外

4（1）求

将正切问题转化为正、余弦问题来解决是常用的解题方法；运用向量数量公式将问题转化为三角函数问题使问题解决．

解：（1）由cosB?337,得sinB?1?()2?, 44422因为a,b,c成等比数列，所以b?ac．则sinB?sinAsinC．则

11cosAcosCsinCcosA?cosCsinAsin(A?C)147???????. 2tanAtanCsinAsinCsinAsinCsinBsinB7或者由cosB?37，得到sinB?． 44b2?c2?a2a2?b2?c2再由余弦定理，得到cosA?，cosC?．

2bc2abcosAcosC211（b2?c2?a2）2（a2?b2?c2）4b2?所以=+=+=． tanAtanCsinAsinC7ac7ac7ac又b?ac，所以

2114?7． =tanAtanC7????????33（2）因为BA?BC?，由向量数量积公式，得accosB?．

223由cosB?,可得ca?2,即b2?2.

4由余弦定理b?a?c?2accosB，所以a?c?4cosB?2．则a?c?5． 所以(a?c)22222222?a2?c2?2ac?5?4?9．因此a?c?3．

归纳小结：本题将正、余弦定理，三角变形公式及向量数量积公式等基础知识紧密结合起来，重在考查基本运算能力，因此要熟练掌握这些知识是解好问题的关键．

四、本专题总结

本节课包含正弦定理、余弦定理、解三角形等知识．主要研究应用定理进行求值、求参数范围、恒等变形等问题，主要方法有：边角互化、切弦互化等，同时在运用两个定理解决问题的过程中，要学会用数学的思维方式去解决问题，注意数形结合和代数思想方法的运用，不断提高分析问题和解决问题的能力．

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