2019高考数学二轮复习第二编专题三三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量配套作业文

第3讲 平面向量

配套作业

一、选择题

1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →

＝( )

A.34AB →－14AC →

B.14AB →－34AC →

C.34AB →＋14

AC →

D. 14AB →＋34

AC →

答案 A

解析 由题意(如图)，根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14

(AB →

＋

AC →)＝34

AB →－14

AC →，故选A.

2．(2018·成都二诊)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥

(a ＋b )，则c ＝( )

A.? ????79，73

B.? ????－7

3，－79 C.? ????73，79

D.? ????－7

9

，－73

答案 D

解析 设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)，

又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①

又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②

联立①②，解得x ＝－79，y ＝－7

3

.

3．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝x OA →＋y OB →，且BP →＝2PA →

，则( )

A ．x ＝23，y ＝

13 B ．x ＝13，y ＝

2

3 C ．x ＝14，y ＝

3

4

D ．x ＝34，y ＝

14

答案 A

解析 由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2PA →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋

1

3

OB →，易知x ＝23

，y ＝1

3

.

4．(2018·洛阳质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角为( )

A.π2

B.π

3 C.

π4

D.π6

答案 B

解析 a ·(b －a )＝a ·b －a 2

＝2，所以a ·b ＝3，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝31×6＝12

，

所以〈a ，b 〉＝π

3

.

5．已知AB →＝(2,1)，点C (－1,0)，D (4,5)，则向量AB →在CD →

方向上的投影为( )

A ．－3 5

B ．－

35

5 C.32

2

D ．35

答案 C

解析 ∵点C (－1,0)，D (4,5)，∴CD →＝(5,5)．又AB →

＝(2,1)，

∴向量AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →

〉＝AB →·CD →

|CD →|＝1552

＝322.

6．(2018·海口一模)在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2

，则△ABC 的形状一定是( )

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰直角三角形

答案 C

解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →

)＝0，∴

AC →·2BA →＝0，∴AC →⊥BA →

. ∴∠A ＝90°，选C.

7．(2018·开封质检)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，∠A ＝60°，点M 在

AB 边上，且AM ＝13

AB ，则DM →·DB →

等于( )

A ．－32 B.32 C ．－1

D ．1 答案 D

解析 因为DM →＝DA →＋AM →＝DA →＋13

AB →，DB →＝DA →＋AB →， 所以DM →·DB →＝?

????DA →＋13AB →·(DA →＋AB →)＝|DA →|2＋13|AB →|2＋43DA →·AB →＝1＋43－43AD →·AB →＝73－43|AD →|·|AB →|·cos60°＝73－43×1×2×12

＝1. 8．(2018·黑龙江省哈尔滨六中一模)平面向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上

的投影为5，则|a －2b |为( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16 答案 B

解析 根据条件，|a ＋b |cos 〈(a ＋b )，a 〉＝|a ＋b |·＋|a ＋b||a|＝a2＋a·b |a|＝16＋a·b 4

＝5，

所以a ·b ＝4，

所以(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16，

所以|a －2b |＝4.故选B.

二、填空题

9．已知向量AC →，AD →和AB →在正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λμ＝________.

答案 －3

解析 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，则AC →＝(2，－2)，AB →＝(1,2)，AD →＝(1,0)，

由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即?????

2＝λ＋μ，－2＝2λ， 解得????? λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.

10．(2018·济南二模)向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且|a －2b |∈(2,23]，则a ，

b 的夹角θ的取值范围是________．

答案 ? ????π3

，2π3

解析 ∵|a －2b |∈(2,23]，∴(a －2b )2∈(4,12]，即a 2＋4b 2－4a ·b ＝4＋4－8cos θ

∈(4,12]， ∴cos θ∈??????－12，12，故θ∈? ????π3

，2π3. 11．已知函数y ＝tan ? ??

??π4x －π2的部分图象如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝________.

答案 6

解析 结合题中图象，令y ＝tan ? ????π4

x －π2＝0，得π4x －π2＝k π(k ∈Z )．当k ＝0时，解得x ＝2.故A (2,0)．由y ＝tan ? ????π4

x －π2＝1?π4x －π2＝k π＋π4?x ＝4k ＋3(k ∈Z )，结合题中图象可得x ＝3，故B (3,1)，所以OA →＋OB →＝(5,1)，AB →＝(1,1)．故(OA →＋OB →)·AB →＝5×1＋

1×1＝6.

三、解答题

12．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝? ??

??cos ? ????x ＋π6＋sinx ，cosx ，函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的单调递增区间；

(2)若α∈? ????0，π2，且cos ?

????α＋π12＝13，求f (α)．

解 (1)f (x )＝sin x cos ?

????x ＋π6＋1＝32sin x cos x －12sin 2

x ＋1＝34sin2x ＋14cos2x ＋

34＝12sin ?

?

???2x ＋π6＋34.

令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π

6

，k ∈Z .

故f (x )的单调递增区间为?

?????k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .

(2)f (α)＝12sin ?

?

???2α＋π6＋

34 ＝sin ?

????α＋π12cos ? ????α＋π12＋34，

又∵cos ? ????α＋π12＝13，且α∈? ????0，π2， ∴sin ? ????α＋π12＝223，∴f (α)＝229＋34. 13．已知△ABC 的面积为S ，且BA →·BC →

＝S .

(1)求tan2B 的值；

(2)若cos A ＝35

，且|CA →－CB →

|＝2，求BC 边中线AD 的长．

解 (1)由已知BA →·BC →

＝S 有ac cos B ＝12

ac sin B ，

可得tan B ＝2，所以tan2B ＝

2tanB 1－tan2B ＝－4

3

.

(2)由|CA →－CB →|＝2可得|BA →

|＝2，由(1)知tan B ＝2，

解得sin B ＝255，cos B ＝55，又cos A ＝3

5

，

所以sin A ＝45，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝25

5

.

因为sin B ＝sin C ，所以B ＝C ，所以AB ＝AC ＝2，

所以中线AD 也为BC 边上的高，

所以AD ＝AB sin B ＝2×255＝45

5

.

14．已知向量m ＝? ????3sin x 4，1，n ＝? ????cos x

4

，cos2x 4.

(1)若m ·n ＝1，求cos ?

??

?

?2π3－x 的值；

(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B

＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．

解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4

＝32sin x 2＋12cos x 2＋12

＝sin ? ????x 2＋π6＋12.

(1)∵m ·n ＝1，∴sin ? ????x 2＋π6＝12，

cos ? ????x ＋π3＝1－2sin 2? ????x 2＋π6＝12，

cos ? ????2π3－x ＝－cos ? ????x ＋π3＝－12.

(2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 及正弦定理得

(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，

2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ，

2sin A cos B ＝sin(B ＋C )． ∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0，

∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0<A <2π3. ∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ? ????A 2＋π6<1.

又∵f (x )＝m ·n ＝sin ? ????x 2＋π6＋12

， ∴f (A )＝sin ? ????A 2＋π6＋12

， 故1<f (A )<32.

故函数f (A )的取值范围是? ??

??1，32. 15．已知向量a ＝? ????2cos ωx 2，3，b ＝? ??

??3cos ωx 2，sin ωx ，ω>0，设函数f (x )＝a ·b －3的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为等边三

角形，其高为2 3.

(1)求ω的值及函数f (x )的值域；

(2)若f (x 0)＝835，且x 0∈? ??

??－103，23， 求f (x 0＋1)的值．

解 (1)由已知可得

f (x )＝a ·b －3＝6cos 2ωx 2＋3sin ωx －3

＝23sin ? ????ωx ＋π3，

由正△ABC 的高为23，可得BC ＝4，

所以函数f (x )的最小正周期T ＝4×2＝8， 即2πω＝8，得ω＝π4，

故f (x )＝23sin ? ????πx 4＋π3，

所以函数f (x )的值域为[－23，23]．

(2)由(1)有f (x 0)＝23sin ? ????πx04＋π3，

又f (x 0)＝835，故sin ? ????πx04＋π3＝45，

由x 0∈? ??

??－103，23，得πx04＋π3∈? ????－π2，π2， 所以cos ? ????πx04＋π3＝1－? ????452＝35，

故f (x 0＋1)＝23sin ? ????πx04＋π4＋π3 ＝23sin ??????? ????πx04＋π3＋π4

＝23×22??????sin ? ????πx04＋π3＋cos ?

????πx04＋π3 ＝6×? ????45＋35＝765

.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/j8oi.html