中考数学易错题综合专题（附答案详解）探究

一．选择题（共16小题） 1．用9根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ） A． 1个 B．2 个 C． 3个 D．4 个 2．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1﹣x），当1≤x≤2时的最大值是（ ） A． k 2k﹣2 B．k ﹣1 C． D．k +1 3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm，AD=2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A

2

时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D． 4．（2011?牡丹江）一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，乙管为出水管．单位时间内，甲管水流量最大，丙管水流量最小．先开甲、乙两管，一段时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间，关闭甲管开乙管．则能正确反映水池蓄水量y（立方米）随时间t（小时）变化的图象是（ ） A． B． C． D．

5．（2006?余姚市）一次函数y=ax+b，若a+b=1，则它的图象必经过点（ ） A． （﹣1，﹣1） B．（ ﹣1，1） C． （1，﹣1） D．（ 1，1） 6．一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（ ）

A． 7种 B．8 种 C． 9种 D．1 0种 7．如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（ ）

1

①②④ ①②③ A． B．① ③④ C． D．① ②③④ 8．（2008?咸宁）如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；

222

④BE+DC=DE．其中正确的是（ ）

②④ ②③ A． C． D．① ③ 9．（2012?莱芜）如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是（ ）

B．① ④

A． 6个 B．7 个 C． 8个 D．9 个 10．（2010?济宁）（课改）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（ ）

A． 3 5 B．4 C． D．6 11．用若干个大小相同、棱长为1的小正方体搭成一个几何体模型，其三视图如下所示．则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是（ ）

A． 5个 B．6 个 2

C． 7个 D．8 个 12．在同一坐标系中，二次函数y=﹣x与反比例函数y=的图象交点个数是（ ） A． 0个 B．1 个 C． 2个 D．3 个 2

13．（2009?荆门）若不等式组

有解，则a的取值范围是（ ）

a≤1 A． a＞﹣1 B．a ≥﹣1 C． D．a ＜1 14．（2011?重庆）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）

A． 1 B．2 3 C． D．4 15．（2011?常州）已知二次函数，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣1、

m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（ ） A． 1＜0、y2＜0 C． 1＞0、y2＜0 y1＞0、y2＞0 B．yy1＜0、y2＞0 D．y 16．（2011?鸡西）分式方程 A． 0和3 B．1 二．填空题（共6小题）

=

C． 1和﹣2 有增根，则m的值为（ ） D．3 17．（2005?荆州）若关于x的函数y=（a﹣2）x﹣2（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个交点，则a= _________ ．

18．由n个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的个数是 _________ ．

2

19．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 _________ ．

20．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2个矩形的面积为 _________ ，第n个矩形的面积为 _________ ．

21．（2011?常州）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 _________ ． 22．（2010?黑河）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 _________ ．

3

三．解答题（共4小题） 23．（2011?黑龙江）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县．我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县．甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修．剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应．经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇．为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县．下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象．请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接在坐标系中的（ ）内填上数据．

（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）求乙车的行驶速度．

24．（2012?牡丹江）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线． 25．（2003?黑龙江）为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长．

26．已知：等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．

4

2013年4月995737494的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共16小题） 1．用9根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ） A． 1个 B．2 个 C． 3个 D．4 个 考点： 三角形三边关系． 分析： 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．根据三角形的三边关系，可以首先确定一边，再加以分析． 解答： 解：有2，3，4；3，3，3；4，4，1三种情况． 故选C． 点评： 注意先确定一边的长，再根据三角形的三边关系进行分析． 2．设0＜k＜2，关于x的一次函数y=kx+2（1﹣x），当1≤x≤2时的最大值是（ A． 2k﹣2 B．k ﹣1 C．k D．k +1 考点： 一次函数的性质． 分析： 首先确定一次函数的增减性，根据增减性即可求解． 解答： 解：原式可以化为：y=（k﹣2）x+2 ∵0＜k＜2 ∴k﹣2＜0，则函数值随x的增大而减小． ∴当x=1时，函数值最大，最大 5

）

值是：（k﹣2）+2=k 故选C． 本题主要考查了一次函数的性质，正确根性质确定当x=2时，函数取得最小值是解题的关键． 点评： 3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，CD=6cm，AD=2cm，动点P、Q同时从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到C点停止，两点运动时的速度都是1cm/s，而当点P到达点A

2

时，点Q正好到达点C．设P点运动的时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm）．下图中能正确表示整个运动中y关于t的函数关系的大致图象是（ ）

A． B． C． D． 考点： 专题： 分析： 解答： 动点问题的函数图象． 动点型． 注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 解：做AE⊥BC于E，根据已知可得，AB=BC，∴AB=6+（AB2﹣2），解之得，AB=BC=10cm． 由图可知：P点由B到A，△BPQ的面积从小到大，且达到最大此时面积22 6

=×10×6=30cm2点评： ． 当P点在AD上时，因为同底同高，所以面积保持不变； 当P点从D到C时，面积又逐渐减小；又因为AB=10cm，AD=2cm，CD=6cm，速度为1cm/s， 则在这三条线段上所用的时间分别为10s、2s、6s． 故选B． 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 4．（2011?牡丹江）一水池有甲、乙、丙三个水管，其中甲、丙两管为进水管，乙管为出水管．单位时间内，甲管水流量最大，丙管水流量最小．先开甲、乙两管，一段时间后，关闭乙管开丙管，又经过一段时间，关闭甲管开乙管．则能正确反映水池蓄水量y（立方米）随时间t（小时）变化的图象是（ ） A． B． C． D． 考点： 分析： 函数的图象． 根据水量增多则函数随x的增大而增大，反之，则x随x的增大而减小，据此即可确定． 解：先开甲、乙两管，则蓄水量增加，函数图象倾斜向上； 一段时间后，关

解答： 7

闭乙管开丙管，则蓄水量增加的速度变大，因而函数图象倾斜角变大； 关闭甲管开乙管则蓄水量减小，函数图象随x的增大而减小． 故选D． 点评： 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 5．（2006?余姚市）一次函数y=ax+b，若a+b=1，则它的图象必经过点（ A． （﹣1，﹣1） B．（ ﹣1，1） C． （1，﹣1） D．（ 1，1） 考点： 一次函数图象上点的坐标特征． 分析： x=1时，ax+b=a+b=1，依此求出一次函数y=ax+b的图象必经过点的坐标． 解答： 解：一次函数y=ax+b只有当x=1，y=1时才会出现a+b=1， ∴它的图象必经过点（1，1）． 故选D． 点评： 本题考查的知识点为：一次函数y=ax+b只有当x=1，y=1时才会出现a+b=1． 8

）

6．一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（ ）

A． 7种 B．8 种 C． 9种 D．1 0种 考点： 由三视图判断几何体． 分析： 从正面看得到的图形表现了几何体的长与高，从左面看得到的图形表现了几何体的宽和高，得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数，进而得到相应的可能情况总数即可． 解答： 解：由2个视图可得该组合几何体有3行，3列，所以最底层最多有9个正方体，最少有3个正方体；第二层最多有4个正方体，最少有2个正方体；第3层最多有1个正方体，最少有1个正方体，所以组合几何体最多有9+4+1=14个正方体，最少有3+2+1=6个正方体． 故正方体可能的个数在6和14之间，共有9种可能的情况， 故选C． 9

点评： 考查由视图判断几何体；得到组合几何体的正方体的最多的个数和最少的个数是解决本题的关键． 7．如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（ ）

A．① ②④ B．① ③④ C．① ②③ 考点： 三角形的角平分线、中线和高． 分析： 根据三角形的中线的概念、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理以及全等三角形的判定和性质进行分析判断． 解答： 解：①∵CB是三角形ACE的中线， ∴AE=2AB，又AB=AC，∴AE=2AC．故此选项正确； ②取CE的中点F，连接BF． ∵AB=BE，CF=EF， ∴BF∥AC，BF=AC． ∴∠CBF=∠ACB． ∵AC=AB， ∴∠ACB=∠ABC． ∴∠CBF=∠DB

D．① ②③④ 10

C． 又CD是三角形ABC的中线， ∴AC=AB=2BD． ∴BD=BF． 又BC=BC， ∴△BCD≌△BCF， ∴CF=CD． ∴CE=2CD． 故此选项正确． ③若要∠ACD=∠BCE，则需∠ACB=∠DCE，又∠ACB=∠ABC=∠BCE+∠E=∠DCE，则需∠E=∠BCD． 根据②中的全等，得∠BCD=∠BCE，则需∠E=∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故此选项错误； ④根据②中的全等，知此选项正确． 故选A． 点评： 此题的知识综合性较强，同时注意利用成立的结论得到新的结论． 8．（2008?咸宁）如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；

222

④BE+DC=DE．其中正确的是（ ）

11

A．② ④ B．① ④ C．② ③ D．① ③ 考点： 相似三角形的判定；全等三角形的判定；勾股定理；旋转的性质． 专题： 综合题． 分析： 由△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，可知△ADC≌△AFB，∠FAD=90°，由∠DAE=45°可判断∠FAE=∠DAE，可证①△AED≌△AEF．由已知条件可证△BEF为直角三角形，则有④BE2+DC2=DE2是正确的． 解答： 解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB， ∴△ADC≌△AFB，∠FAD=90°， ∴AD=AF， ∵∠DAE=45°， ∴∠FAE=90°﹣∠DAE=45°， ∴∠DAE=∠FAE，AE为△AED和△AEF的公共边， ∴△AED≌△AEF ∴ED=FE

12

在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°， 又∵∠ACB=∠ABF， ∴∠ABC+∠ABF=90°即∠FBE=90°， ∴在Rt△FBE中BE+BF=FE， 22∴BE+DC=D2E③显然是不成立的． 故正确的有①④，不正确的有③，②不一定正确． 故选B 本题考查的知识点较多，由图形的旋转变换、图形的全等、图形的相似、勾股定理等知识点，通过判断可知①④是正确的． 222点评： 9．（2012?莱芜）如图所示是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则小立方体的个数不可能是（ ）

A． 6个 考点： 分析： B．7 个 由三视图判断几何体． 易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相C． 8个 D．9 个 13

解答： 加即可． 解：由俯视图易得最底层有5个立方体，由左视图易得第二层最多有3个立方体和最少有1个立方体， 那么小立方体的个数可能是6个或7个或8个． 故小立方体的个数不可能是9． 故选D． 查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．注意俯视图中有几个正方形，底层就有几个立方体． 点评： 10．（2010?济宁）（课改）由若干个相同的小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方体的个数是（ ）

A． 3 考点： 分析： B．4 由三视图判断几何体． 从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个5 C． D．6 14

数，从而算出总的个数． 解：从主视图看第一列两个正方体，说明俯视图中的左边一列有两个正方体，主视图右边的一列只有一行，说明俯视图中的右边一行只有一列，所以此几何体共有四个正方体．故选B． 本题考查由三视图想象立体图形．做这类题时要借助三种视图表示物体的特点，从主视图上弄清物体的上下和左右形状；从俯视图上弄清物体的左右和前后形状；从左视图上弄清楚物体的上下和前后形状，综合分析，合理猜想，结合生活经验描绘出草图后，再检验是否符合题意． 解答： 点评： 11．用若干个大小相同、棱长为1的小正方体搭成一个几何体模型，其三视图如下所示．则搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是（ ）

A． 5个 考点： 分析： B．6 个 由三视图判断几何体． 用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、 C． 7个 D．8 个 15

左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状，即可得出小正方体的个数． 解答： 解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+2=5个小正方体，第二、三层各有1个小正方体， 因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是5+1+1=7个． 故选：C． 点评： 此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 12．在同一坐标系中，二次函数y=﹣x2

与反比例函数y=的图象交点个数是（ A． 0个 B．1 个 C． 2个 D．3 个 考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象． 分析： 根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 解答： 解：∵二次函数y=﹣x2的图象在三、四，开口 16

）

向下，顶点在原点，y轴是对称轴； 反比例函数y=的图象在一、三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．故选B． 点评： 主要考查二次函数和反比例函数图象的有关性质，同学们应该熟记且灵活掌握． 13．（2009?荆门）若不等式组有解，则a的取值范围是（ A． a＞﹣1 B．a ≥﹣1 C．a ≤1 D．a ＜1 考点： 解一元一次不等式组． 分析： 先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出a的取值范围． 解答： 解：由（1）得x≥﹣a， 由（2）得x＜1， ∴其解集为﹣a≤x＜1， ∴﹣a＜1，即a＞﹣1， ∴a的取值范围是a＞﹣1， 故选A． 点评： 求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 本题是已知不

17

）

等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知数处理，求出不等式组的解集并与已知解集比较，进而求得另一个未知数的取值范围． 14．（2011?重庆）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（ ）

A． 1 考点： B．2 翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 几何综合题． 根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt3 C． D．4 专题： 分析： 解答：

△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可． 解：①正确．因

18

为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）； ②正确．因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC； ③正确．∵CG=BG，BG=GF， ∴CG=GF， ∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF． 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG； ∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF， ∴AG∥CF； ④错误． ∵S△GCE=GC?CE=×3×4=6 ∵GF=3，EF=2，△GFC和△FCE等高， ∴S△GFC：19

S△FCE=3：2， ∴S△GFC=×6=≠3． 故不正确． 故选C． 点评： 本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度． 15．（2011?常州）已知二次函数

，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m﹣1、

m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（ ） A． 1＜0、y2＜0 C． 1＞0、y2＜0 y1＞0、y2＞0 B．yy1＜0、y2＞0 D．y 考点： 抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题． 分析： 根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标，利用自变量x取m时对应的值大于0，确定m﹣1、m+1的 20

位置，进而确定函数值为y1、y2． 解答： 解：令=0， 解得：x=， ∵当自变量x取m时对应的值大于0， ∴＜m＜， ∵点（m+1，0）与（m﹣1，0）之间的距离为2，大于二次函数与x轴两交点之间的距离， ∴m﹣1的最大值在左边交点之左，m+1的最小值在右边交点之右． ∴点（m+1，0）与（m﹣1，0）均在交点之外， ∴y1＜0、y2＜0． 故选B． 点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数图象上的点的特征，解题的关键是求得抛物线与横轴的交点坐标． 16．（2011?鸡西）分式方程=

有增根，则m的值为（ A． 0和3 B．1 C． 1和﹣2 D．3 考点： 分式方程的增根；解一元一次方程． 21

） 专题： 分析： 计算题． 根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可． 解：∵分式方程=解答： 有增根， ∴x﹣1=0，x+2=0， ∴x1=1，x2=﹣2． 两边同时乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化为x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m， 整理得，m=x+2， 当x=1时，m=1+2=3； 当x=﹣2时，m=﹣2+2=0， 当m=0时，分式方程变形为﹣1=0，此时x=﹣2不成立，前后矛盾， 故m=0舍去， 即m的值是3， 故选D． 本题主要考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解此题的关键． 点评： 二．填空题（共6小题）

2

17．（2005?荆州）若关于x的函数y=（a﹣2）x﹣2（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个交点，则a= 2或0 ． 考点： 抛物线与x轴的

22

交点． 分析： 运用二次函数与一次函数的性质解答本题． 解答： 解：因为关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个交点，即与x轴、y轴各有一个交点． 所以此函数若为二次函数，则b2﹣4ac=[﹣2（2a﹣1）]2﹣4（a﹣2）a=0，即2a2+（a﹣1）2=0，无解， 若a=0，二次函数图象过原点，满足题意． 若此函数为一次函数，则a﹣2=0，所以a=2． 所以若关于x的函数y=（a﹣2）x2﹣2（2a﹣1）x+a的图象与坐标轴只有两个交点，则a=2或0． 点评： 此题考查了二次函数与一次函数的性质， 当二次函数与x轴有两个交点时，b2﹣4ac＞0， 当二次函数与x轴有一个交点时，b2﹣4ac=0， 当二次函数与x轴没有交点时，b2﹣4ac＜0． 18．由n个相同的小正方体搭成的几何体的视图如图所示，则搭成这个几何体的个数是 5 ． 23

考点： 由三视图判断几何体． 分析： 从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数． 解答： 解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有2+1=3个小正方体； 第二层应该有1个小正方体； 第三层应有1个小正方体； 因此搭成这个几何体的小正方体的个数是3+1+1=5个． 故答案为：5． 点评： 本题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案． 19．等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 15°或75°． ． 考点： 等腰三角形的性质；勾股定理． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 此题分两种情 24

况，当顶角为锐角时，利用勾股定理，AD的长，然后即可得出∠ABD=60°，可得顶角度数．同理即可求出顶角为钝角时，底角的度数． 解答： 解；如图1，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1， 顶角为锐角， ∵AD2=AB2﹣BD2， ∴AD2=4﹣1=3， ∴AD=， ∴∠ABD=60°， ∴顶角为30°，底角为75°； 如图2，△ABC中，AB=AC=2，BD为腰上的高，且BD=1， 顶角为钝角 同理可得，底角为15°． 故答案为：15°或75°． 点评： 此题主要考查学生对等腰三角形性质的理解和掌握，解答此题的关键是

25

利用分类讨论的思想进行分析，对顶角为锐角和顶角为钝角时分别进行分析． 20．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第2个矩形的面积为

，第n个矩形的面积为 （ ）

2n﹣2

．

考点： 三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的性质． 专题： 规律型． 分析： 易得第二个矩形的面积为（ ）2，第三个矩形的面积为（ ）4，依此类推，第n个矩形的面积为（ ）2n﹣2． 解答： 解：已知第一个矩形的面积为1； 第二个矩形的面积为原来的（ ）2×2﹣2=； 第三个矩形的面积是（ ）2×3﹣2=； … 故第n个矩形的面积为：（ ）2n﹣2． 故答案为：； 26

（ ）点评： 2n﹣2． 本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 21．（2011?常州）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 24 ． 考点： 一元一次方程的应用；截一个几何体． 专题： 分类讨论；方程思想． 分析： 从三种情况进行分析：（1）只有棱长为1的正方体；（2）分成棱长为3的正方体和棱长为1的正方体或棱长为3的正方体和棱长为2的正方体和棱长为1的正方体；（3）分成棱长为2的正方体和棱长为1的正方体． 解答： 解：棱长为4的正方体的体积为64， 如果只有棱长为1的正方体就是64个不符合题意排除； 如果有一个3×3×3的立方体（体积27），有1×1×1的立方体 27

37个，37+1＞29，不符合题意排除； 如果有一个3×3×3的立方体（体积27），有一个2×2×2的立方体（体积8），就只能有1×1×1的立方体29个，1+1+29＞29，不符合题意排除； 所以应该是有2×2×2和1×1×1两种立方体． 则设棱长为1的有x个，则棱长为2的有（29﹣x）个， 解方程：x+8×（29﹣x）=64， 解得：x=24． 所以分割的立方体应为：棱长为1的24个，棱长为2的5个． 故答案为：24． 本题考查了一元一次方程组的应用，立体图形的求解，解题的关键是分三种情况考虑，得到符合题意的可能，再列方程求解． 点评： 22．（2010?黑河）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 4；或2；或 ． 考点： 勾股定理． 专题： 分类讨论． 分析： 分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD． 解答： 解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC， 28

∵∠DAC=90°，且AD=AC， ∴BD=BA+AD=2+2=4； ②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD， 连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E． ∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°， ∴∠DCE=45°， 又∵DE⊥CE， ∴∠DEC=90°， ∴∠CDE=45°， ∴CE=DE=2×=， =2， =2； 在Rt△BAC中，BC=∴BD==③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC， ∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2， ∴AD=DC=ACsin45°=2×=， 又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠BCD=90°， 又∵在Rt△ABC中，BC=∴BD===2， =． 点评： 三．解答题（共4小题） 23．（2011?黑龙江）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县．我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县．甲车在驶往剑

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故BD的长等于4或2或． 分情况考虑问题，主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．

阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修．剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应．经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇．为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县．下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象．请结合图象信息解答下列问题：

（1）请直接在坐标系中的（ ）内填上数据．

（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围． （3）求乙车的行驶速度．

考点： 一次函数的应用． 专题： 函数思想． 分析： （1）根据已知和函数图象，可知确保物资能准时运到，甲车需3小时，因此可求出甲车的速度，从而求出图中B点的纵坐标，即180﹣=120，那么F点的横坐标为1+=1.2，那么D点的横坐标为：1.2+（3﹣1.2）÷2=2.1． （2）作DK⊥X轴于点K，由（1）得出点D的坐标，进而求出函数解析式及自变量的取值范围． （3）根据（2）求出的点D的坐标求出乙车的行驶速度．

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（本题满分8分） 解：（1）由已知得：B点的纵坐标为：180﹣180×=120F点的横坐标为：1+=1+0.2=1.2，D点的横坐标为：1.2+（3﹣1.2）÷2=2.1， ∴纵轴填空为：120，横轴从左到右依次填空为：1.2；2.1．（3分） （2）作DK⊥x轴于点K． 由（1）可得K点的坐标为（2.1，0）， 由题意得：120﹣（2.1﹣1﹣）×60=74， ∴点D坐标为（2.1，74）．（131

解答：

分） 设直线CD的解析式为y=kx+b， ∵C（，120），D（2.1，74）， ∴， 解得：．（1分） ∴直线CD的解析式为：yCD=﹣60x+200（≤x≤2.1）．（1分） （3）由题意得：V乙=74÷（3﹣2.1）=（千米/时）， ∴乙车的速度为（千米/点评： 时）．（2分） 此题考查的知识点是一次函数的应用，根据已知和函数图象计算出各数据，再求出点D，进而求解析式和速度． 24．（2012?牡丹江）已知一个等腰三角形的腰长为5，底边长为8，将该三角形沿底边上的高剪成两个三角形，用这个两个三角形能拼成几种平行四边形？请画出所拼的平行四边形，直接写出它们的对角线的长，并画出体现解法的辅助线． 考点： 图形的剪拼；作图—应用与设计作图． 专题： 作图题． 分析： 根据等腰三角形三线合一的 32

性质，等腰三角形被分成两个斜边是5，有一直角边是4的直角三角形，根据勾股定理求出另一直角边为3，然后把两直角三角形相等的边分别重合拼接成平行四边形，再根据勾股定理构造出直角三角形并求解平行四边形的对角线． 解答： 解：能拼成3种平行四边形，如图： 图1中，对角线的长为5； 图2中，对角线的长为3和=； 图3中，对角线长为4和=2． 点评： 本题考查了图形的剪接，应用与设计作图，拼接平行四边形时，让相等的边重合作为平行

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四边形的对角线是关键． 25．（2003?黑龙江）为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长． 考点： 等腰三角形的性质；勾股定理． 专题： 应用题；分类讨论． 分析： 由题意知面积是一定的，这是解题的关键，由已知一边长为10，所以要使面积相等就要保证高相等，因三角形不知哪边边长为10，要分为三种情况来讨论． 解答： 解：分三种情况计算． 不妨设AB=10米，过点C作CD⊥AB，垂足为D， 则AB×CD=30， 即×10CD=30， CD=6（米）， （1）当AB为底边时，AD=DB=5（米）（如图1）AC=BC=（米）； （2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时（如图2）AB=AC=10（米）

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（米），BD=2（米） BC=（米）（1分）； （3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时（如图3）AB=BC=10（米） BD==8， AD=10+8=18， AC=（米）．点评： 此题看似开放，其实还是考查三角形面积相等性质，还考查学生思维的严密性，学会分类讨论，不要漏掉其它情况． 26．已知：等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．

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考点： 等边三角形的性质；等式的性质；三角形三边关系；全等三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： （1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论； （2）在AD外侧作等边△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再证△AB′C≌△ADB，根据全等三角形的性质推出CB′=BD即 36

可． 猜想：AP=BP+PC， （1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE， ∵∠BPC=120°， ∴∠CPE=60°，又PE=PC， ∴△CPE为等边三角形， ∴CP=PE=CE，∠PCE=60°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC=BC，∠BCA=60°， ∴∠ACB=∠PCE， ∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP， 即：∠ACP=∠BCE， ∴△ACP≌△BCE， ∴AP=BE， ∵BE=BP+PE， ∴AP=BP+PC． （2）证明： 在AD外侧作等边△AB′D， 则点P在三角形ADB′外， ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD， 在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， ∴PA+PD+PC＞CB′， ∵△AB′D、△ABC是等边三角形， ∴AC=AB，37

解答：

AB′=AD， ∠BAC=∠DAB′=60°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD， 即：∠BAD=∠CAB′， ∴△AB′C≌△ADB， ∴CB′=BD， ∴PA+PD+PC＞BD． 点评： 本题主要考查对等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度． 38

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